CC BY
10
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«СЛАБЫЕ» СИСТЕМЫ ВЫВОДОВ КЛАССИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ НЕ МОНОТОННЫ Чубарян А.А.1, Саядян С.М.2 Email: [email protected]
1 Чубарян Анаит Арташесовна - доктор физико-математических наук, профессор;
2Саядян Сергей Мушегович - кандидат физико-математических наук, ассистент, факультет информатики и прикладной математики, Ереванский государственный университет, г. Ереван, Республика Армения
Аннотация: в настоящей статье для некоторых пропозициональных систем выводов классической логики мы исследуем соотношение между сложностными характеристиками выводов минимальных тавтологий и результатов подстановок в них. Мы показываем, что существует последовательность пар минимальных тавтологий фп и формул yn, являющихся результатом подстановок в фп таких, что: 1) длины фп и по порядку равны, 2) для каждого n количество шагов выводов уn ограничены константой, а длины тех же выводов в двух системах ограничены константой, а в третьей ограничены линейной функцией от длины формул, в то время как 3) и количество шагов и длины выводов фп во всех системах по порядку не менее экспоненты от длины формул. Таким образом, доказано, что результат подстановки в минимальную тавтологию может быть выведен в этих системах гораздо проще, чем сама минимальная тавтология, следовательно, исследованные системы не монотонны ни по шагам, ни по длинам выводов.
Ключевые слова: минимальная тавтология, элиминационная система выводов, система резолюций, обобщенная система расщеплений, сложностные характеристики выводов, монотонные системы.
"WEAK" PROPOSITIONAL PROOF SYSTEMS OF CLASSICAL LOGIC ARE NO MONOTONOUS Chubaryan A.A.1, Sayadyan S.M.2
1Chubaryan Anahit Artashesovna - Doctor of Sciences, Professor; 2Sayadyan Sergej Mushegovich - PhD, Assistant, DEPARTMENT OF INFORMATICS AND MATHEMATICS, YEREVAN STATE UNIVERSITY, YEREVAN, REPUBLIC OF ARMENIA
Abstract: in this paper we investigate the relations between the proof complexities of minimal tautologies and of results of substitutions in them for some propositional proof systems of classical logic. We show that there is sequence ofpairs of minimal tautologies ф„ and formulae yn, which are the results of some substitution in ф„ such, that: 1) the sizes of ф„ and yn are equal by order, 2) for every n the lines of proofs for yn in all systems and the sizes ofproof in two systems are bounded by some constant and the sizes ofproofs for yn in tried system are bounded by linear function in the length of formulas, just as 3) both the lines and the sizes of proofs for ф„ in all systems are required with exponential functions in the length of formulas. So the result of substitution can be proved in investigated systems more easier than corresponding minimal tautology, therefore these systems are no monotonous neither by lines nor by size.
Keywords: minimal tautology, elimination proof systems, resolution system, generalized Analytic Tableaux system, proof complexity characteristics, monotonous system.
УДК 510.6
1. Введение.
В теории сложностей выводов важную роль играют минимальные тавтологии, т.е. тавтологии, которые не являются результатом подстановки в более короткие тавтологию. Традиционно считается, что минимальные тавтологии не могут выводится сложнее результатов подстановок в них, т.е. должна быть некоторая «естественная монотонность» выводов. Однако, оказалось, что многие «строгие» пропозициональные системы выводов двузначных и многозначных логик не монотонны ни по шагам ни по длине выводов [1, 2].
В настоящей работе для некоторых «слабых» пропозициональных систем выводов двузначной логики исследованы соотношения между сложностными характеристиками выводов минимальных тавтологий и результатов подстановок в них. Показано, что существует последовательность пар минимальных тавтологий фп и формул уп, являющихся результатом подстановок в фп таких, что: 1) длины фп и уп по порядку равны , 2) для каждого п количество шагов выводов уп ограничены константой, а длины тех же выводов в двух системах ограничены константой, а в третьей ограничены линейной функцией от длины формул, в то время как 3) и количество шагов и длины выводов фп во всех системах по порядку не менее экспоненты от длины формул. Таким образом, доказано, что результат подстановки в минимальную тавтологию может быть выведен в этих системах гораздо проще, чем сама минимальная тавтология, следовательно, исследованые системы также не монотонны ни по шагам, ни по длинам выводов.
2. Предварительные понятия. Для представления основных результатов напомним некоторые понятия и обозначения, введенные в [3]. Мы пользуемся общепринятыми понятиями единичного п-мерного булева куба В", пропозициональной формулы, тавтологии и системы доказательства классического исчисления высказываний.
Конкретный выбор языка для представления пропозициональной формулы, а значит, и системы доказательств, не имеет значения для наших рассмотрений, однако из технических соображений мы предполагаем, что он содержит пропозициональные переменные (I > 1) и (или) р; (I >1, ] > 1), логические связки —, &, V, з и пару
скобок ( , ). Длина формулы <р, определяемая как количество всех вхождений в нее пропозициональных переменных, обозначается через |^|. Очевидно, что линейной функцией от оцениваются и полная длина формулы, понимаемая как количество всех символов, и количество вхождений логических связок.
Следуя общепринятой терминологии, литералом считается переменная или ее отрицание (сопряженные переменные). Конъюнкт К может быть представлен как множество литералов, причем это множество не может содержать переменную и ее отрицание одновременно.
Для произвольной формулы у следующие тривиальные эквивалентности называются правилами замещения
о &4> = о, 4>& о = о, 1&4> = 4>, 4>&1 = 4>,
о Утр = гр, гру 0 = гр, 1 Угр = 1, грУ 1 = 1,
03^ = 1, гр ^>0 = ф, 1^>гр = гр, гр^>1 = 1,
0 = 1, 1 = 0, гр = гр,
Применение правил замещения к некоторому слову заключается в замене какого -либо его подслова, имеющего вид левой части одного из указанных эквивалентностей, правой частью.
Отметим также, что функция рб определяется общепринятым образом: р0 есть -р, а р1 есть р.
Пусть <р - пропозициональная формула, Р = {р1,р2, . ,рп}- множество ее всех переменных, а Р ' = {р^, р; ,..., р^} (1 < т < п) - некоторое подмножество Р.
Определение 2.1. Для некоторого а = {ах ,а2 ,. . . ,ат}бВт конъюнкт Кст = {р^.р^2,. . .,р ^ } называется -определяющим, если, подставляя в р вместо каждой переменной рг значение а, ( 1 < у < т) и последовательно применяя правила замещения, получаем значение формулы р ( 0 или 1 ) вне зависимости от значений остальных переменных.
Определение 2.2. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) D= {К¡, К2,...,КГ } называется ф-определяющей для формулы ф, если каждый конъюнкт из Б является ф-1-определяющим и ф= Б.
Определяющую ДНФ будем обозначать через оДНФ.
2.1. Описания рассматриваемых систем.
В [3] была описана следующая система доказательств Е. Аксиомы системы Е не фиксируются. Для каждой формулы ф в качестве аксиом берутся конъюнкты из некоторой оДНФ. Элиминационное правило вывода (э-правило) выводит конъюнкт К К" из конъюктов К ' и {р } и К ' 'и{ -1 р } для произвольной пропозициональной переменной р .
¿-выводом называется такая конечная последовательность конъюнктов, каждый из которых или является одной из зафиксированных аксиом, или получаются из предыдуших по э-правилу.
Очевидно, что ДНФ О = {К, К2,..., К1} является тавтологией, если применяя э-
правило можно вывести пустой конъюнкт (0) из аксиом {К, К2,..., К1}.
Известная пропозициональная система резолюций Я направлена на установление тавтологичности заданной формулы путем установления противоречивости некоторой системы дизъюнктов, строящейся по заданной формуле. Напомним предложенный Г.С. Цейтиным в [4] метод построения соответствующей системы дизъюнктов для произвольной формулы таким образом, чтобы длина этой системы не превышала 6 | р | . Каждой подформле даннной формулы ставится в соответствие своя переменная. Если одна из подформул является отрицанием другой, то им соответствуют сопряженные переменные. Если некоторая подформула А является конъюкцией подформул В и С и этим подформулам приписаны соответственно переменные а, в, у, то подформуле А приписывается система дизъюнктов ар, а,, ару: Аналогично приписываются системы дизънктов подформулам, являющимся дизъюнкцией или импликацией других подформул соответственно ар, ау, аву для дизъюнкции и ав, ау, ару для импликации. Объединяя все полученные дизъюнкты, добавляется туда еще дизъюнкт \ где 4 - переменная, приписанная всей формуле.
Аксиомы системы Я не фиксируются. Для каждой формулы ф в качестве аксиом берутся дизъюнкты из построенной вышеописанным способом системы. Правило резолюции (р-правило) выводит дизъюнкт £> 'и£> ' ' из дизъюнктов и для произвольной пропозициональной переменной р . Если
применяя правило вывода к дизъюнктам построенной по ф системе, а также ко вновь полученным дизъюнктам, мы в конце концов получим пустой дизъюнкт , то формула ф является тавтологией.
Система обобщенных расщеплений ОР была введена в [5]. Обобщенный метод расщеплений (о.м.р.) позволяет каждой формуле сопоставить некоторое помеченное бинарное дерево расщепления (д.р.), корню которого приписана сама формула , конечным узлам приписаны значения 0 или 1, а сыновьям каждого узла V, которому приписана некоторая формула , приписаны результаты расщепления по некоторой переменной р, входящей в р„ следующим образом:
1) при расщеплении тавтологии р по литералу а делаем пометку а на ребре, ведущем от узла с пометкой к узлу с пометкой ,
2) сама формула строится по следующим образом: если ,
то всюду в вместо переменной подставляем значение ( ) и применяем правила замещения или до получения формулы, не содержащей константы, или до получения константы.
Естественно, что меняя порядок переменных, по которым производится расщепление, можно получать различные д.р. Очевидно также, что тавтологиям соответствуют деревья, конечным узлам которых приписаны только единицы.
Соответствующая система, основанная на о.м.р. с одной аксиомой-тавтологией - 1 и одним правилом вывода [р ] , [р] I- <р,обозначена через О Р.
2.2. Сложностные характеристики выводов.
Основными сложностными характеристиками выводов являются: /- сложность, определяемая как количество различных формул в выводе, и /-сложность, определяемая как сумма длин всех различных формул в выводе [2]. Пусть ф является некоторой системой выводов, а ф - некоторая тавтология. Через (ф (ф) ( гф (ф) ) обозначим минимально возможное значение /-сложности (/-сложности) всевозможных выводов тавтологии ф в системе ф. Если система ф зафиксирована, то будем обозначать просто ф ф .
Следующие понятия введены в [1]
Определение 2.2.1. Тавтология называется минимальной, если она не может быть получена подстановкой из более короткой тавтологии.
Обозначим через 8(<р) множество всех формул, являющихся результатом подстановки в минимальную тавтологию
Определение 2.2.2. Система выводов ф называется имонотонной (и монотонной), если для каждой минимальной тавтологии ф и для каждой формулы ^
из S(ф) (ф (ф) < (ф (у) ( гф (ф) < г ф (у)).
2.3. Важные формулы.
В ряде трудов по исследованиям сложностей выводов пропозициональных формул важную роль играют тавтологии
Vm п
& V (п > 1,1 < т < 2п - 1),
(0-1.....<%) ег™7
которые при каждых фиксированных п > 1 и т из указанных интервалов «выражают» следующее истинное утверждение: в каждой 0 , 1 -матрице размера п х т можно так «перевернуть» строки (заменить 0 на 1 и 1 на 0), чтобы в каждом столбце была по крайней мере одна единица. В силу структуры очевидно, что каждый - определяющий конъюнкт содержит, по крайней мере,
т литералов, а значит каждая оДНФ содержит не менее 2 т конъюктов.
Пусть Ап = 7ТМ п, 2 п_ х. Заметим, что количество вхождений переменных в формулу Ап есть п 2 п (2 п — 1 ) , а в [3] и [5] доказано, что в системах Е, R и ОР г (Ап)>I (Ап) >2 2 п_
3. Основные результаты.
В качестве исследуемых здесь последовательностей формул зафиксируем тавтологии:
фп = Р Щ V Ап и Уп = р З(р зр) V Ап .
Нетрудно убедиться, что для каждого формула фп является минимальной
тавтологией и уп е S(фn).
Лемма 3.1. Для любого п > 1 в каждой из систем Е, R и ОР
г (фп )>с (фп ) >2 2 п _ 1
Доказательство.
Учитывая, что каждая оДНФ формул фп получается объединением множества {—р , (7} с некоторой оДНФ формул Ап , а переменные р и q не входят в формулу Ап , а значит не входят ни в одну оДНФ формулы Ап , получаем, что количество различных
формул в выводе 0 из оДНФ формулы фп не может быть меньше количества различных формул в выводе 0 из оДНФ формулы Ап .
Для оценки сложностных характеристик выводов каждой из формул ф п в системе резолюций допустим, что подформуле Ап приписана переменная у, подформуле q V Ап - переменная а, а самой формуле фп - переменная р, тогда система дизъюнктов формулы фп должна состоять из системы дизъюнктов формулы Ап и из дизъюнктов уЧ—а, —уа, — Ча, рР, — ар, — Р—ра и — р. Если переменной у придать значение 0, то нетрудно убедиться, что можно подобрать значения остальных переменных а, Р, Ч и р таким образом, что все семь указанных дизъюнктов примут значение 1, а значит из системы 2 должен быть выведен дизъюнкт у, после чего, используя дизъюнкты —уа, — ар и — р, можно вывести Л. В [3] было показано, что любой вывод Л из системы дизъюнктов, построенных по методу Цейтина для тавтологии, которой приписана переменная у может быть преобразован без увеличения количества шагов и длины таким образом, чтобы правило резолюции с использованием дизъюнкта —у было последним. Таким образом, количество различных формул в опровержении формулы фп в системе Я не может быть меньше количества различных формул в опровержении формулы Ап .
Рассмотрим вывод формулы фп в системе ОР. Если начать расщепление с переменной р, то на выходящих узлах получим 1 и q V Ап , далее, расщепляя последнюю формулу по переменой q, получим на выходящих узлах 1 и Ап . Если сначала расщеплять по переменой q, затем по переменной р , мы получим сначала 1 и рэ Ап , затем 1 и Ап. Если же начать расщепление с переменных формулы Ап , быть может иногда перемежая расщеплениями по р или q, то мы получим не менее 2 2 п _ 1 указанных в [5] различных формул F, быть может, «обрамленных» одним из следующих видов: р^ V Е, рэ Е или qV Е. Таким образом, количество различных формул в д.р. формулы фп не может быть меньше количества различных формул в д.р. формулы Ап. □
Лемма 3.2. а) Для любого п > 1в каждой из систем Е, R и ОР ( (уп) ограничено некоторой константой.
б) Для любого п > 1 в каждой из систем Е и Я г (уп) ограничено некоторой константой, а гОР(уп ) = | у | +1.
Доказательство. Утверждения для системы Е очевидны, так как одной из оДНФ формулы уп является { р , —р }. Утверждения для системы ОР также очевидны, так как расщепляя по переменной р, мы сразу получим две единицы и в д.р. будут только две различные формулы: сама уп и 1. Утверждения для системы Я также нетрудно доказать, так как если подформулам Ап , (рэр), (рэр) V Ап и самой формле рэ(рэр) V Ап приписать сответственно переменные Р, а, у и Ч, то в соответствующей системе дизъюнктов будут, в частности, ра, — ра, — уЧ, — Ч и —ау. Из первых двух можно вывести а, из двух следующих - —у, используя которое с последним можно вывести а и далее . □
Теорема. Ни одна из систем Е, R и ОР не является ни имонотонной ни I-монотонной.
Доказательство следует из утверждений Лемм 1. и 2. и оценок из [3,5], указанных непосредственно перед пунктом 3. Действительно, в каждой из систем Е, R и ОР г (фп )> ( (фп ) =33 (2 2 п) , а ( (уп )=0(1). В каждой из систем Е и Я г (уп )=0(1), а гОР(уп )=0(п 2 2 п). □
Дискуссия. Отметим, что для любого п > 1 уп е 8(р з (р зр^ q) и нетрудно показать, что минимальное количество шагов выводов минимальной тавтологии (рэ(рэр) V q) во всех рассмотренных системах совпадает с минимальным количеством шагов выводов формулы уп. Интересно исследовать следующий вопрос: для каждой ли не минимальной тавтологии существует такая минимальная
тавтология, минимум количества шагов выводов которой в заданной пропозициональной системе совпадает с минимумом количества шагов первоначальной формулы.
Список литературы /References
1. Chubaryan Anahit, Petrosyan Garik. Frege systems are no monotonous, Evolutio, Естественные науки. Вып/ 3, 2016. С. 12-14.
2. Chubaryan Anahit, Khamisyan Artur, Petrosyan Garik. On some systems for two versions of many-valued logics and its properties. Lambert Academic Publishing (LAP), 2017. 80 p.
3. Чубарян А., Относительная эффективность некоторых систем доказательств классической пропозициональной логики. Известия НАН РА. Т. 37. № 5, 2002 and Journal of CMA (AAS). V. 37. № 5, 2002. С. 71-84.
4. Цейтин Г.С. О сложности вывода в исчислении высказываний. Записки научных семинаров ЛОМИ. Ленинград. Наука, 1968. Т. 8. С. 234-259.
5. Чубарян Ан.А., Чубарян Арм.А. Оценки некоторых сложностных характеристик выводов в системе обобщенных расщеплений, НАУ, Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и теории нового времени. Часть 10. № 2 (7), 2015. С. 11-14.
