Слабонадкритические режимы трехмерной конвекции в кубической полости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 1 (16)

УДК 532.5

Слабонадкритические режимы трехмерной конвекции в кубической полости

Н. А. Зубоваа, Д. В. Любимовь, Т. П. Любимоваа

а Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Акад. Королева, 1 ь Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассматривается трехмерная конвекция в кубической полости, подогреваемой снизу. В силу высокой симметрии задачи уровни неустойчивости двукратно вырождены. Вследствие этого становится актуальным определение структуры конвективного движения при малых надкри-тичностях. Эксперименты показывают, что при изменении числа Прандтля наблюдается переход от надкритической структуры в виде вала с осью, параллельной грани куба, к структуре в виде вала, параллельного горизонтальной диагонали, однако критическое значение Прандтля, при котором происходит переход, оставалось неизвестным. Для его нахождения проведено численное моделирование в рамках трехмерного подхода.

Ключевые слова: слабонадкритические структуры, слабонелинейный анализ, метод конечных разностей.

1.Введение

В литературе имеется достаточно большое число работ, посвященных экспериментальному и теоретическому исследованию конвекции в кубической полости. Эксперименты проводились в разных средах (воздух, вода, этиловый спирт, трансформаторное масло, глицерин). Определены критические числа Рэлея и получено несколько режимов движения жидкости.

Рис. 1. Режимы надкритических движений

В работе [1] для воздуха экспериментально были получены движения типа а, в и д, схематически представленные на рис. 1. Здесь стрелками показано направление движения жидкости в верхней части полости. Знаком плюс обозначены области в среднем горизонтальном сечении, где скорость жидкости направлена вверх, а температура выше, чем при равновесии. Области, в которых жидкость опускается, а температура ниже равновесной, -

знаком минус. Сплошные прямые изображают границы раздела между этими областями, т.е. линии, на которых скорость жидкости и отклонение температуры от равновесной равны нулю. Стенки полости были выполнены из металла, что обеспечивает близость граничных условий к случаю твердых идеально теплопроводных границ. Экспериментально исследована устойчивость этих движений, а также влияние на нее малых угловых отклонений полости от положения равновесия. Критическое число Рэлея для движения типа а, определенное в данной работе, оказалось равным Яа = 7800 . Дальнейшее увеличение числа Рэлея сопровождалось сменой структуры от типа а к типу в и далее к типу д.

В опытах [2] с трансформаторным маслом на установке, аналогичной [1], были получены стационарные надкритические движения, которые схематически изображены на рис. 1.

В монографии [3] опубликованы результаты расчетов, проведенных для движений типа а, в, д (рис. 1) прия идеально теплопроводных и теплоизолированных граничных условиях. Представлена схема нижних уровней спектра для двух рассмотренных предельных случаев температурных граничных условий.

В работе [4] исследуются трехмерные нелинейные режимы конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу, для малых и умеренных над-критичностей и различных значений числа Прандтля. Рассмотрены случаи адиабатических и

б

а

в

г

д

© Зубова Н. А., Любимов Д. В., Любимова Т. П., 2011

21

идеально теплопроводных боковых границ полости. Изучены структуры различных надкритических движений и обсуждается их устойчивость. Рассматриваются два вида граничных условий: 1) все границы твердые, боковые грани теплоизолированные, а горизонтальные изотермические; 2) все границы твердые и идеально теплопроводные. Вычисления проводились для трех основных значений чисел Прандтля: Рг = 0,71 (воздух), 7 (вода) и 250 (трансформаторное масло). Для теплоизолированных и идеально теплопроводных боковых границ обнаружено соответственно шесть и восемь различных типов движения. Критические числа Рэлея составили 3350 и 6710 для кубической полости с теплоизолированными и идеально теплопроводными боковыми гранями соответственно.

В работе [5] численно исследуется влияние геометрических параметров двух- и трехмерных прямоугольных полостей на устойчивость движений для случая идеально теплопроводных верхней и нижней границ и теплоизолированных боковых границ. Верхняя граница считалась свободной и недеформируемой, остальные границы - твердыми. Задача решается методом Галеркина с тремя базисными функциями для Рг = 1 (воздух). В результате получены данные о структуре движений и приведены критические значения числа Рэлея для разных отношений сторон полости.

В работе [6] получены бифуркационные диаграммы и исследована устойчивость стационарных конвективных режимов в воздухе (Рг = 0,71) в кубической полости с подогревом снизу при числах Рэлея до Яа = 1.5 х105. Границы считались твердыми, боковые границы - теплоизолированными. Вычисления производились методом Галеркина с четырьмя базисными функциями. Получены карты устойчивости для пятнадцати типов структур. Определено, что режим типа а устойчив в диапазоне от Яа = 3390 до Яа = 66200 , режим типа б неустойчив во всей области своего существования и возникает при Яа = 3390 .

В работе [2] сделано предположение, что структура движения будет зависеть от числа Пран-дтля Рг . Аналитически показано, что в случае свободных границ и теплоизолированных боковых граней для всех чисел Прандтля устойчиво движение типа а. В случае теплопроводных твердых границ при решении методом Галеркина с двумя базисными функциями в пределах бесконечно больших и нулевых чисел Прандтля оказалось, что при Рг = 0 реализуется движение с валом, параллельным одной из граней (режим а), а при Рг ^ да реализуется вал, параллельный диагонали куба (режим б). Экспериментальные исследования для разных сред показали, что в глицерине (Рг = 9000) стационарное конвективное движение, возникающее за порогом устойчивости равновесия, имеет структуру типа б. В жидкостях с меньшими значе-

ниями Pr (Рг = 240 - трансформаторное масло, Рг = 16 - этиловый спирт, Рг = 7 - вода) при малых надкритичностях наблюдалось движение типа

а, которое при увеличении числа Рэлея сменялось движением типа б. Этот переход происходил в трансформаторном масле при пятикратном превышении критического значения числа Рэлея, а в спирте и воде - при тридцатикратной надкритич-ности. В воздухе ( Рг = 1 ) движения типа б обнаружено не было.

Таким образом, количественные данные о перестройке структуры течения в кубической полости при малых надкритичностях, от вала с осью, параллельной грани куба, к валу, параллельному горизонтальной диагонали, отсутствуют.

Цели настоящей работы:

- получить слабонадкритическую структуру в виде горизонтального диагонального вала;

- получить критическое значение числа Прандтля, при котором в слабонадкритической области появляется диагональный вал ;

- изучить влияние тепловых граничных условий на структуру слабонадкритических движений.

2.Постановка задачи

Рис. 2. Геометрия задачи

Рассмотрим конвективное движение в кубической полости X, У, 2 е[0; Ь]. В качестве единиц

измерения скорости, температуры, давления, времени выбраны соответственно

у/Ь, ЛЬу/х, ру2/Ь, 1}/V , где Л - равновесный градиент температуры, % - коэффициент температуропроводности, у - кинематическая вязкость. Уравнения тепловой конвекции в приближении Буссинеска для отклонений величин скорости, температуры и давления от равновесных значений имеют вид

^ + (уУ)V = -Ур + Ду + ЯауГ , (2.1)

Рг | + уУТ \ = АТ + ■

divv = 0.

(2.2)

(2.3)

Т = єТ (1)+є2Т (2)+....

р = єр^11 +є2р(21 + ... .

(3.1)

Для описания процессов перестройки движения

I 2

введем медленное время 1=8 ^ В первом порядке по 8 получим однородную задачу

Ду (1)+ Яа*уГ (1)-Ур(1) = 0,

АТ (11+ V (-1'1у = 0,

div V(11 = 0.

(3.2)

Т« =о,Та + рТр .

(3.3)

Р(11 =аРа +РРв .

где введены безразмерные параметры Рг = — -

число Прандтля, Яа = — число Рэлея. Здесь

р - коэффициент теплового расширения, g - ускорение свободного падения. Горизонтальные границы области будем считать изотермическими, на боковых (і-і) гранях будем ставить условия теплоотдачи типа Био:

V = 0; п-УТІ ,= ВІТІ п ,= 0. (2.4)

1^ ’ І5-І І5-І ’ \2=0;1 у 7

к ^

Здесь введено число Био ВІ = — , где к - коэффициент теплопроводности.

3. Слабонелинейный анализ

3.1. Описание методов

Решение уравнений (2.1)-(2.3) записывается в

виде ряда по малому параметру є = ^Яа - Яа* |/2, где Яа* - критическое значение числа Рэлея:

V = єv ^ + єМ21 + ...,

р •

Зависимость амплитуд а и р от времени определяется из условий разрешимости уравнений высших порядков.

Решение линейной неоднородной задачи второго порядка можно представить в виде суперпозиции решений частных задач, соответствующих отдельным группам слагаемых в неоднородности (двумя индексами отмечены решения этих неоднородных задач):

^21 =а2а +аpvар+р2v

Т(2) =а2Таа+арТар+р2Тр

[РР :

(3.4)

Р{2) =а2Раа +арРар+р2Ррр ■

В третьем порядке условия разрешимости приводят к уравнениям для амплитуд а и р :

ай = а(Л-а2а - р2(Ь + с)),

□

рй =а(Л-а2(Ь + с)-р2 а).

(3.5)

Здесь коэффициенты выражаются через интегралы от решений уравнений первого и второго порядка, точкой обозначено дифференцирование по медленному времени.

Система (3.5) имеет следующие стационарные решения:

О .Л. О .Л.

р = 0, а2 = —, а = 0, р2 = —,

а2 =р2 =

Л

(3.6)

а + Ь + с

Решение задачи (3.2) можно записать в виде суперпозиции конвективных валов, оси которых параллельны координатным осям X и У:

у(1) =ауа +Рур ,

Первые два решения описывают конвективные валы с осями, параллельными граням куба (движение типа а, рис. 1 ,а). Третье решение соответствует валу, ось которого лежит в вертикальной диагональной плоскости куба (движение типа б, рис. 1,б). Рассмотрение бесконечно малых возмущений решений (3.6) показывает, что движение типа а устойчиво при выполнении условия Е = а - Ь - с < 0 . Движение типа б устойчиво при Е> 0.

Системы уравнений первого и второго порядков с граничными условиями (2.4) решаются численно, методом конечных разностей в терминах компонент скорости, давления и температуры. При построении разностных эволюционных уравнений наибольшие трудности вызывает написание уравнения для давления, т.к. для давления невозможно записать ни естественных граничных условий, ни тем более полной краевой задачи. Один из способов - получить уравнение, определяющее поле

а

а

давления, из требования выполнения условия неразрывности &у V = 0, для этого вводится вспомогательное поле “квази-скорости” V, новые значения которой на очередном временном слое вычисляются при решении уравнения Навье-Стокса с отброшенным градиентным слагаемым, а истинная скорость находится из соотношения

V = V-тУр, (3.7)

где т - шаг по времени. Для поля р составляется уравнение Пуассона, решаемое методом последовательной верхней релаксации.

Для ускорения процесса вычисления использовались соображения симметрии. Для первого приближения при вычислениях по описанной выше схеме получается конвективный вал с осью, параллельной оси У Для такого вала можно выделить следующие симметрии (знак плюс означает четность по соответствующей координате относительно середины куба, знак минус - нечетность, и, V, W, Р, Т - X-, У-, 2-компоненты скорости, давление и температура соответственно):

Таблица 1. Симметрии для конвективного вала, полученного при решении уравнений а) первого приближения и б) второго приближения

а) X У I

и + + -

V - - -

W - + +

Р - + -

т - + +

б) X У I

и - + +

V + - +

W - + -

Р + + +

т + + -

Тогда, используя симметрию задачи по координатам X и У, можно проводить вычисления в У части объема.

Заметим, что задача первого приближения не содержит числа Прандтля, а задача второго приближения содержит его в правых частях, так что решения второго приближения зависят от числа не более чем линейно. Это означает, что критерий Е представляет собой полином второй степени отно-

сительно числа Прандтля. Вещественные корни этого полинома, если они есть, определяют критические значения числа Прандтля, при которых происходит обмен устойчивостью между движениями типов а и б.

3.2. Результаты

В результате решения линеаризованной задачи (3.2) находились критические числа Рэлея для различных случаев теплопроводных границ, задаваемых разными значениями числа Био. Расчеты проводились для значений Б1 = 0; 1; 5; 7; 10. Б1 = 0 соответствует теплоизолированным границам, а Б1 = 10 можно считать достаточно большим, практически отвечающим идеально теплопроводным граничным условиям.

В табл. 2 представлены значения критических чисел Рэлея для каждого из рассмотренных чисел

*

Био. В работах [4,6] указываются Яа = 3400 , для случая теплоизолированных боковых границ (Б1 = 0 ) и Яа = 6710 для случая идеально теплопроводных боковых границ (Б1 ^ да ) [4].

Таблица 2. Значения числа Био и соответствующие им критические значения числа Рэлея

ВІ 0 1 5 7 10

>!< Яа 3395 3840 4995 5280 5570

Вопреки ожиданиям, по описанному выше методу для всех рассмотренных значений числа Био определить критическое значение числа Прандтля для структурного перехода в кубической полости не удалось - дискриминант полинома Е оказался отрицательным. Таким образом, можно сделать следующий вывод: в рамках слабонелинейного анализа в области малой надкритичности перехода от прямого к диагональному валу не наблюдается.

4. Решение полных уравнений

Система (2.1)-(2.3) с граничными условиями

(2.4) решается численно, методом конечных разностей в терминах компонент скорости, давления и температуры. Но расчеты производятся не при критическом значении числа Рэлея, а при слабой надкритичности.

При решении линеаризованной задачи для случая теплоизолированных боковых граней ВІ = 0 получено критическое число Рэлея Яа* = 3400 , что согласуется с результатами работ других исследователей [4,6]. Дальнейшие расчеты проводились в области малой надкритичности для числа Рэлея Яа = 3440 .

Структура в виде диагонального вала (рис. 3,б) была получена для варианта, когда в качестве на-

чальных возмущений был взят вал с осью, параллельной горизонтальной диагонали куба. Для других вариантов начальных возмущений реализуется структура в виде прямого вала (рис. 3,а). При внесении возмущений в уже сформировавшуюся структуру типа б, как правило, происходит перестройка структуры на прямой вал, что свидетельствует о малом запасе устойчивости диагонального вала.

Рис. 3. Изолинии 1-компоненты скорости в верхней части полости в случае Рг = 7,1 для а) структуры в виде вала с осью, параллельной грани куба и б) структуры в виде вала с осью, параллельной горизонтальной диагонали куба

В табл. 3 представлены характеристики полученных движений, такие как максимальная скорость в полости и поток тепла через нижнюю границу. Также показано, для каких значений числа Прандтля возможна реализация структуры в виде вала с осью, параллельной горизонтальной диагонали куба, а при каких реализуется только структура в виде вала, параллельного грани куба.

Таблица 3. Характеристики движений

Рг Режим Макси- мальная скорость Поток тепла через нижнюю границу

0,10 а 21,49 1,260

0,71 а 5,16 1,096

0,75 а 4,90 1,092

0,80 б 4,89 1,080

1,0 б 3,97 1,065

3,0 б 1,26 1,024

5,0 б 0,82 1,014

6,0 б 0,64 1,012

7,1 б 0,58 1,010

11,0 б 0,37 1,006

13,0 б 0,32 1,005

15,0 б 0,27 1,005

15,5 б 0,26 1,005

16,0 а 0,24 1,004

Таким образом, структура диагонального вала в области малой надкритичности появляется при числах Прандтля от 0,8 до 15,5. При других значениях Pr реализуется только структура прямого вала.

В случае смены тепловых условий на боковых

ВІ

Рис. 4. График зависимости

*

критического значения числа Ка от числа Ві

стенках кубической полости на теплопроводные вычисления проводились при том же уровне над-критичности, что и для варианта с теплоизолированными границами. Число Bi варьировалось от 0 до 10.

На рис. 4 представлена зависимость критического значения числа Яа* от числа ВІ. Для построения этого графика использовались данные табл. 2, а также полученные значения Яа* для ВІ = 0,1; 0,6; 2 (3415, 3600 и 4260 соответственно).

Вычисления для теплопроводных боковых границ проводились для Рг = 7,1, как для центрального значения из диапазона возможной реализации диагонального вала. Предполагалось, что при этом произойдет смена структуры надкритического движения. Но оказалось, что ранее сформировавшаяся диагональная структура после установления сохраняется. Вероятно, в области малой надкри-тичности начальное возмущение в виде горизонтального диагонального вала обладает долгим временем существования, однако, при внесении возмущений другой симметрии такая структура переходит к более устойчивому прямому валу.

5. Заключение

В рамках слабонелинейного анализа численно, с использованием метода конечных разностей, решена задача тепловой конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу. Получены критические значения числа Рэлея для разных случаев

теплопроводных боковых граней полости, а также для теплоизолированных боковых границ. Показано, что в области малой надкритичности устойчива структура в виде вала с осью, параллельной грани куба. Структуры в виде диагонального вала получено не было.

Полные уравнения тепловой конвекции решались численно в случае теплоизолированных и теплопроводных боковых границ. В области малой надкритичности получены структуры прямого и диагонального валов. Представлены изолинии 2-компоненты скорости в верхней части полости, показывающие структуру движения. Показано, что прямой вал обладает большей устойчивостью по отношению к вносимым возмущениям, чем диагональный вал. Получены характеристики надкритических движений, а также диапазон чисел Пран-дтля, в котором удается реализовать метастабиль-ную структуру в виде вала с осью, параллельной горизонтальной диагонали куба.

По результатам расчетов построен график зависимости критического значения числа Яа* от числа ВІ. Рассматривается влияние смены тепловых граничных условий с теплоизолированных на теплопроводные на сформировавшийся диагональный вал. При этом качественного изменения структуры движения в области малой надкритич-ности для разных уровней теплопроводности боковых границ кубической полости не наблюдается.

Список литературы

1. Зимин В. Д., Кетов А. И. Надкритические конвективные движения в кубической полости// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. Вып. 5. С. 110-114.

2. Любимов Д. В., Путин Г. Ф. Надкритические движения в кубической полости// Гидродинамика. Пермь. 1977. Вып. X. С. 15-26.

3. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

4. Буссе Ф., Любимов Д. В., Любимова Т. П., Седельников Г. А. Конвекция в кубической полости// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2008. Вып. 1. С. 3-11.

5. GelfgatA. Yu. Different modes of Rayleigh-Benard instability in two- and three-dimensional rectangular enclosures// Journal of computational Physics. 1999. Vol. 156. P. 300-324.

6. Puigjaner D., Herrero J., Giralt F., Simo C. Stability analysis of the flow in a cubical cavity heated from below// Physics of fluids. 2004. Vol. 16. №10. P. 3639-3655

Weakly supercritical three-dimensional convection in a cubic cavity

N. A. Zubovaa, D. V. Lyubimovb, T. P. Lyubimovaa

“Institute of Continuous Media Mechanics, Acad. Korolyov st., 1, 614013, Perm b Perm State University, Bukirev st., 15, 614990, Perm

In this paper the three-dimensional convection in a cubic cavity heated from below considered. Due to the high symmetry of the problem levels of instability are doubly degenerate. As a consequence, it becomes urgent problem of determining the structure of the convective motion at small supercritical. Experiments show that under change of Prandtl number, a transition from supercritical structure in the form of a shaft with an axis parallel to the cube, the structure of a shaft parallel to the horizontal diagonal observed, but the critical Prandtl number at which the transition occurs remains unknown.

To find it the numerical simulation in three-dimensional approach expected.

Keywords: weakly supercritical structure, weakly nonlinear analysis, finite difference method.