Слабо регулярные унары со стандартной мальцевской операцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4 (2013)

УДК512.579

СЛАБО РЕГУЛЯРНЫЕ УНАРЫ СО СТАНДАРТНОЙ МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ

А. Н. Лата (г. Волгоград)

Аннотация

В работе дается полное описание слабо регулярных унаров со стандартной мальцевской операцией.

Ключевые слова: слабо регулярная алгебра, унар с мальцевской операцией, конгруэнц-регулярность, конгруэнц-однородность.

WEAKLY REGULAR UNARS WITH STANDARD MAL’TSEV OPERATION

A. N. Lata (c. Volgograd)

Abstract

In this work is given the complete description of weakly regular unars with standard Mal’tsev operation.

Keywords: weakly regular algebra, unar with Mal’tsev operation, regularity of congruences, uniformity of congruences.

Одной из важных задач универсальной алгебры является изучение свойств конгруэнций алгебр. Помимо свойств, относящихся к решеткам конгруэнций, к наиболее известным конгруэнц-свойствам алгебр можно отнести перестановочность, однородность, регулярность, слабую регулярность.

На необходимость изучения регулярных и слабо регулярных алгебр обращал внимание А. Тарский (см. [1]).

Обозначим класс конгруэнции в, порожденный элементом а, через [а\в.

Универсальная алгебра A называется конгруэнц-регулярной (регулярной), если любые конгруэнции в и ф алгебры A, имеющие общий класс [а\в = [а\ф для некоторого элемента а £ A, совпадают.

Свойство слабой регулярности имеет смысл для алгебр, сигнатура которых содержит нульарную операцию.

Универсальная алгебра A, имеющая нульарную операцию е, называется слабо регулярной (0-регулярной), если любые конгруэнции в и ф алгебры A, имеющие общий класс [е\в = [е\ф, порожденный элементом е £ A, совпадают.

Конгруэнц-регулярность тесно связана со свойством конгруэнц-однороднос-ти алгебр. Универсальная алгебра называется конгруэнц-однородной (однородной, равномерной, uniform) [2], если для любой ее конгруэнции в все классы конгруэнции в имеют одну и ту же мощность.

Известно [3], что каждая конечная однородная алгебра является регулярной, но для любого бесконечного кардинального числа существует однородная алгебра мощности, равной этому кардинальному числу, которая не является регулярной.

Перечисленным выше конгруэнц-свойствам посвящено значительное число работ (см., напр., [1-5]).

Важную роль в современной универсальной алгебре играют алгебры с маль-цевской операцией. Мальцевской называется тернарная операция d, удовлетворяющая тождествам

d(x,y,y) = d(y,y,x) = x■ (1)

Интерес к мальцевской операции обусловлен, в первую очередь, ее ролью в изучении связей между решетками конгруэнций алгебр данного многообразия и термальными операциями на этих алгебрах.

Мальцевские алгебры также находят приложения в современной теоретической информатике, в частности, в рамках алгебраического подхода к исследованиям вычислительной сложности ограничений задачи CSP (Constraint Satisfaction Problem)[6].

Унаром с .мальцевской операцией [7] называется алгебра (A, d, f) с унарной операцией f и тернарной операцией d, на которой истинны тождества Мальцева (1) и тождество перестановочности f (d(x,y,z)) = d(f (x),f (y),f (z)).

Заметим, что унар с мальцевской операцией является алгеброй с оператором (в смысле А.Г. Куроша).

В настоящей работе унары с мальцевской операцией изучаются в терминах их унарных редуктов. Если f — унарная операция из сигнатуры П, то унарным редуктом алгебры (A, П) называется унар (A, f).

В [7] показано, что на любом унаре (A, f) можно задать тернарную операцию р так, что алгебра (A,p,f) становится унаром с мальцевской операцией. Операция р, заданная этим способом, называется стандартной. Ее определение приведено ниже.

Пусть (A, f) — произвольный унар и x,y £ A. Для любого элемента x унара (A, f) через fn(x) обозначается результат n-кратного применения операции f к элементу x; при этом f°(x) = x. Положим Mx,y = {n £ N0 | fn(x) = fn(y)}, а также k(x,y) = min Mx,y, если Mx,y = 0 и k(x,y) = ж, если Mx,y = 0. Положим

далее

Р(х, V) г) == |

г, если к(х,у) ^ к(у, г)

х, если к(х,у) >к(у,г).

Конгруэнции унаров со стандартной мальцевской операцией изучались в [8, 9]. Там были найдены необходимые и достаточные условия конгруэнц-простоты, псевдопростоты и подпрямой неразложимости для алгебр из этого класса, а также получено полное описание унаров со стандартной мальцевской операцией, решетка конгруэнций которых будет цепью.

В работе [10] автора были полностью описаны конгруэнц-однородные унары со стандартной мальцевской операцией.

Теорема 1. [10]. Пусть {Л, /,р) — унар со стандартной мальцевской операцией. Алгебра {Л, /,р) является конгруэнц-однородной тогда и только тогда, когда унар {Л, f) удовлетворяет одному из следующих условий:

1) операция f на Л является инъективной;

2) унар {Л, f) содержит такой элемент а, что f (х) = а для любого х Є Л.

Также было получено полное описание конгруэнц-регулярных алгебр из рассматриваемого класса:

Теорема 2. [11]. Унар со стандартной мальцевской операцией является регулярным тогда и только тогда, когда он однороден.

В теории унаров наиболее часто рассматривается нульарная операция е на унаре {Л, f), заданная условием f (е) = е. В этом случае алгебру {Л, f, е) называют унаром с нулем.

В настоящей работе дается описание слабо регулярных унаров {Л,р, е, f) со стандартной мальцевской операцией р и нульарной операцией е, для которой

Приведем некоторые определения и обозначения, которые потребуются для дальнейшего изложения.

Неодноэлементная алгебра называется простой, если она имеет в точности две конгруэнции (наибольшую V и наименьшую Д). Через СопА обозначается решетка конгруэнций алгебры А.

Через С^,Н> 0, Ь ^ 0 обозначается унар {а\1 г(а) = fн+г(а)). Унар СП называется циклом длины п.

Элемент а унара называется периодическим, если f *(а) = f г+п(а) для некоторых Ь ^ 0 и п ^ 1. Через Т(А) обозначается множество периодических элементов унара А. Если а — периодический элемент, то наименьшее из чисел Ь, для которых f г(а) = f г+п(а) при некоторых п ^ 1, называется глубиной элемента а и обозначается через Ь(а). Глубиной Ь(А) унара А называются наибольшая из глубин его периодических элементов, если Т(А) = 0, и нуль, если Т(А) = 0. Если множество {Ь(а) \ а £ Т(А)} не ограничено, глубина унара считается бесконечной.

f(е) = е.

Объединение двух непересекающихся унаров В и С называется их суммой и обозначается через В + С. Унар {А, f) называется связным, если для любых х,у £ А выполняется условие ^(х) = ^(у) для некоторых п,т ^ 0. Максимальный по включению связный подунар унара А называется компонентой связности унара А.

Элемент а унара называется узловым, если найдутся такие различные элементы Ь и с, отличные от а, что f (Ь) = а = f (с). Элемент а унара {А, f) называется неподвижным, если f (а) = а. Связный унар с неподвижным элементом называется корнем.

Пусть В — подунар произвольного унара {А, f). Через 9в обозначается конгруэнция унара {А, f), определенная по правилу [12]: условие х9ву для х,у £ А выполняется тогда и только тогда, когда либо х = у, либо х,у £ В.

Пусть V - узловой элемент унара {А, f). Через 9У обозначается конгруэнция унара {А, f) , определенная по правилу [9]: х9ьу для любых х,у £ А верно тогда и только тогда, если либо х = у, либо х,у £ f-1^).

Пусть п £ N. В [8] на унаре {А, f) определяется бинарное отношение ап, по следующему правилу: хапу для х,у £ А выполнено тогда и только тогда, когда fп(х) = fп(у); при этом полагаем = Д.

Далее везде через {А,р^) обозначается унар со стандартной мальцевской операцией р, а через е обозначается нульарная операция на А.

Следующее замечание очевидно.

Замечание 1. Каждая конгруэнция алгебры {А,р^) является конгруэнцией алгебры {А,р,е^).

Из замечания 1 и [9, лемма 1] вытекает

Лемма 1. Пусть V - узловой элемент унара {А, f). Конгруэнция 9У алгебры {А,р^) является конгруэнцией алгебры {А,р,е^).

Теорема 3. Пусть {А,р,е^) — унар со стандартной мальцевской операцией р и нульарной операцией е, для которой f (е) = е. Алгебра {А,р,е^) является слабо регулярной тогда и только тогда, когда унар {А, f) изоморфен одному из следующих унаров:

1) С*;

2) сумме компоненты вида С* и произвольного унара с инъективной операцией;

3) корню, либо не имеющему узловых элементов, либо такому, в котором единственным узловым элементом является неподвижный элемент;

4) сумме компоненты связности из пункта 3) и произвольного унара с инъективной операцией.

Доказательство. Необходимость. Пусть унар {А, f) не удовлетворяет условиям 1) - 4) теоремы.

Допустим, что унар {А, f) связный. Тогда, по условию, унар {А, f) содержит узловой элемент 1 = е глубины Ь(1) ^ 1. Следовательно, найдутся такие различные элементы а,Ь £ А, что f (а) = 1 = f (Ь). По лемме 1, бинарное отношение 9а на унаре {А, f) является конгруэнцией алгебры {А,р,е^). Поскольку Ь(1) ^ 1, то имеем [е]9а = {е}. При этом, класс [е]Д также равен {е}. Но конгруэнции Д и 9а не равны, поскольку класс [а]9а содержит, как минимум, элементы а и Ь. Отсюда, алгебра {А,р,е, f) не является слабо регулярной.

Пусть теперь унар {А, f) несвязный. Обозначим через В компоненту связности унара А, содержащую элемент е (таким образом, подунар В является корнем), а через С — подунар А\В. При этом возможны два случая.

Случай 1: Операция f на С инъективна.

По условию, унар {А, f) не удовлетворяет условиям 2) и 4) теоремы. Тогда найдется узловой элемент 1 £ В глубины Ь(1) ^ 1, а следовательно и такие различные элементы а,Ь £ В, что f (а) = 1 = f(Ь). Как и выше, бинарное отношение 9а, является конгруэнцией алгебры {А,р,е^), для которой [е]9а = {е} = [е]Д, но Д = 9а.

Случай 2: Операция f на С не инъективна.

Тогда найдутся такие различные элементы с,1 £ С, что f (с) = f (1).

Если \{f (с), с,1}\ = 3, то f (с) — узловой элемент подунара С. Так как е £ С, то [e]9f(с) = {е}. Дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным выше в случае 1.

Пусть теперь f (с) совпадает с одним из элементов с, 1. Без ограничения общности положим f (с) = с. Тогда с - неподвижный элемент унара С, а следовательно, компонента связности О, содержащая элемент с, является корнем. Если с — узловой элемент унара О, то используя конгруэнцию 9С унара О, аналогично случаю 1, получаем, что {А,р,е^) не является слабо регулярной.

Если же с не является узловым, то элемент 1 — единственный предшествующий для элемента с (то есть, такой, что f (1) = с и 1 = с). Отсюда, {с, 1} — это подунар компоненты О, изоморфный С1 Тогда, по следствию из [9, лемма 8], с учетом замечания 1, бинарное отношение 9{с,а} является конгруэнцией алгебры {А,р,е^). Поскольку е £ С, то [е]9{са} = {е} = [е]Д. Но 9{с,а} = Д, так как

(с,1) £ 9{с,а}. Отсюда, {А,р,е^) не является слабо регулярной.

Достаточность. В случае, когда {А, f) = С*, утверждение очевидно.

Пусть унар {А, f) удовлетворяет условию 2) теоремы. Тогда по [8, теорема 2] и замечанию 1, алгебра {А,р, е, f) является простой, то есть, имеет только тривиальные конгруэнции. Поскольку Д = V, и у нулевой и единичной конгруэнций нет совпадающих классов, то алгебра {А,р,е, f) слабо регулярна.

Пусть теперь унар {А, f) удовлетворяет условию 3) теоремы. По [8, лемма 12] и замечанию 1, любая неединичная конгруэнция алгебры {А,р,е^) имеет вид ап для некоторого п ^ 0. Пусть 0 ^ п ^ Ь(А), 0 ^ т ^ Ь(А) и п < т. Тогда ап и от — несовпадающие конгруэнции алгебры {А,р, е, f). Так как 0 ^ п ^ t(A), 0 ^ т ^ t(A), то найдутся такие элементы а,Ь £ А, для которых Ь(а) = п и Ь(Ь) = т, причем, а = Ь, поскольку п < т. Предположим, что [е]оп 3 [е]ат.

Так как t(b) = m, то fm(b) = e. Учитывая, что fm(e) = e, имеем fm(b) = fm(e), откуда b Є [e]om. Тогда b Є [e]on. Следовательно, fn(b) = e, и значит, t(b) ^ n, что противоречит условию n < m. Окончательно, [e]on = [e\om для любых n < m. Таким образом, алгебра {A, p, e, f) слабо регулярна.

Если унар {A, f) удовлетворяет условию 4) теоремы, то по [9, лемма 15], решетка Con{A,p, f) изоморфна решетке Con{B,p, f) с присоединенной внешней единицей, где B — компонента связности унара {A, f), содержащая нульарную операцию. Тогда, учитывая замечание 1 и доказанное в предыдущем абзаце, получаем, что алгебра {A,p,e,f) слабо регулярна. □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gratzer G. Two Mal’cev-Type Theorems in Universal Algebra // J. of Combinatorial Theory. 1970. Vol. 8. P. 334-342.

2. Taylor W. Uniformity of conrguences // Algebra Universalis. 1974. Vol. 4. P. 342-360.

3. Chajda I., Langer H. A note on congruence uniformity for single algebras // Dem. Math. 2004. Vol. 37. P. 9-11.

4. Thurston H. A. Derived operations and congruences // Proc. London Math. Soc. (3). 1958. Vol. 8. P. 127-134.

5. Chajda I. Algebras with restricted cardinalities of congruence classes // Novi Sad J. Math. 2007. Vol. 37, No. 1. P. 49-51.

6. Булатов А.А. Полиномиальность мальцевских задач CSP // Алгебра и логика. 2006. Т.45. №6. С. 655-686.

7. Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Унив. алгебра и ее приложения: тез. докл. междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 1999. С.31-32.

8. Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фун-дам. и прикл. математика. 2008. Т. 14, вып. 7. С. 189-207.

9. Усольцев В. Л. О подпрямо неразложимых унарах с мальцевской операцией // Известия ВГПУ. Сер. Естеств. и физ.-мат. науки. 2005. № 4(13). С.17-24.

10. Лата А. Н. Конгруэнц-однородные унары со стандартной мальцевской операцией // Вестник СНО. 2012. Вып. 28. С. 227-231.

11. Лата А. Н. Конгруэнц-регулярные унары со стандартной мальцевской операцией // Студент и научно-технический прогресс. Математика.: материалы 51-й междунар. науч. студ. конф. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2013. С. 12.

12. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras {A; f) // Arch. Math. (Basel) 21. 1970. P. 256-264.

REFERENCES

1. Gratzer G. Two Mal’cev-Type Theorems in Universal Algebra. // J. of Combinatorial Theory, 1970. Vol. 8, pp. 334-342.

2. Taylor W. Uniformity of conrguences. // Algebra Universalis, 1974. Vol. 4, pp. 342-360.

3. Chajda I., Langer H. A note on congruence uniformity for single algebras. // Dem. Mathem., 2004. Vol. 37, pp. 9-11.

4. Thurston H. A. Derived operations and congruences. // Proc. London Math. Soc. (3), 1958. Vol. 8. pp. 127-134.

5. Chajda I. Algebras with restricted cardinalities of congruence classes. // Novi Sad J. Math., 2007. Vol. 37, no. 1, pp. 49-51.

6. Bulatov A. A. The property of being polynomial for Mal’tsev constraint satisfaction problems. // Algebra and Logic [Algebra i Logica], 2006. Vol.45, no 6, pp. 371-388. DOI: 10.1007/S1046900600352.

7. Kartashov V. K. Ob unarakh s mal’tsevskoi operatsiei [About unars with Mal’tsev operation]. // Universal’naia algebra i ee prilozheniia: Tez. dokl. mezhdunar. sem. Volgograd, 1999. pp. 31-32 (in Russian).

8. Usol’tsev V.L. Simple and pseudosimple algebras with operators. // J. of Mathematical Sciences [Fund. i Prikl. Matem.], 2010. Vol. 164, no. 2, pp. 281293. DOI: 10.1007/S1095800997306.

9. Usol’tsev V.L. O podpriamo nerazlozhimykh unarakh s mal’tsevskoi operatsiei [About subdirect irreducible unars with Mal’tsev operation]. // Izvestiia VGPU, ser. "Estestv. i fiz.-mat. nauki 2005. №. 4(13), pp. 17-24 (in Russian).

10. Lata A. N. Kongruents-odnorodnye unary so standartnoi mal’tsevskoi operatsiei [Uniform unars with standard Mal’tsev operation]. Vestnik SNO, 2012, iss. 28, pp. 227-231 (in Russian).

11. Lata A. N. Kongruents-reguliarnye unary so standartnoi mal’tsevskoi operatsiei [Regular unars with standard Mal’tsev operation]. // Mat. 51-i mezhdunar. nauch. stud. konf. "Student i nauchno-tekhnicheskii progress": Matematika. Novosibirsk, 2013. pp. 12 (in Russian).

12. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras {A; f). // Arch. Math. (Basel), 1970, №. 21, pp. 256-264.

Волгоградский государственный социально-педагогический университет Поступило 14.09.2013