CC BY
2
https://doi.org/10.15350/17270529.2023.3.37
УДК 538.955+537.611.45
1.3.8 - Физика конденсированного состояния (технические, физико-математические науки)
Скошенное спиральное магнитное упорядочение в модели Хаббарда М. А. Тимиргазин, А. К. Аржников
Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Россия, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
Аннотация. В модели Хаббарда рассматривается скошенное спиральное магнитное упорядочение в простой кубической решетке. Для диагонализации гамильтониана используются приближения Хартри-Фока и вспомогательных бозонов. Получена самосогласованная система уравнений, решение которой позволяет определить основное состояние модели среди широкого спектра возможных магнитных структур, включающего в себя спиральный магнитный порядок с произвольным волновым вектором и межслойную скошенность на произвольный угол.
Ключевые слова: модель Хаббарда, приближение Хартри-Фока, спиральный магнетизм, антиферромагнетизм, сильно-коррелированные системы.
И Марат Тимиргазин, e-mail: timirgazin@gmail. com
Canted spiral magnetic order in Hubbard model
Marat A. Timirgazin, Anatoly K. Arzhnikov
Udmurt Federal Research Center UB RAS (34, T. Baramzina St., Izhevsk, 426067, Russian Federation)
Summary. The canted spiral magnetic order in a simple cubic lattice is considered within the Hubbard model. A review of materials in which such a magnetic structure can be detected was carried out. For diagonalization of the Hamiltonian the generalized noncorrelated mean-field (Hartree-Fock) approximation and generalized slave-boson approach by Kotliar and Ruckenstein were used. A self-consistent system of equations was obtained, the solution of which allowed us to determine the ground state of the model among the wide range of possible magnetic structures, including commensurate ferromagnetic, antiferromagnetic and incommensurate spiral magnetic phases with an arbitrary wave vector and interlayer canting at an arbitrary angle. Based on the data analysis, the range of model parameters that favor the formation of a canted structure was determined. In the Hartree-Fock approximation, the model parameters were found for which the canted spiral structure is the ground magnetic state. When taking into account the correlation effects in the slave boson approach, no region of a stable canted state was found. Possible reasons for the differences in the results obtained by different approximations are discussed. In future, the method can be generalized for the calculations of canted spiral states with and without taking into account strong electron correlations on any crystal lattice with a layered nature of interaction.
Keywords: Hubbard model, Hartree-Fock approximation, spiral magnetism, antiferromagnetism, strongly-correlated systems.
И Marat Timirgazin, e-mail: timirgazin@gmail. com
ВВЕДЕНИЕ
Магнитные свойства сильно-коррелированных соединений переходных металлов и их зависимость от кристаллической решетки, зонной структуры, допирования и параметров взаимодействия остаются актуальным объектом теоретических и экспериментальных исследований [1]. Интерес к данной теме возрос после обнаружения взаимосвязи высокотемпературной сверхпроводимости в квазидвумерных соединениях купратов и пниктидов с их магнитными характеристиками [2]. В связи с этим в фокусе внимания исследователей в последние десятилетия находились двумерные системы, а трехмерным структурам уделялось меньше внимания.
При изучении магнетизма в соединениях переходных металлов необходимо принимать во внимание возможность формирования спиральных магнитных состояний, фазового расслоения, корреляционных эффектов. Для учета перечисленных факторов хорошо подходит однозонная модель Хаббарда, которая включает в себя два слагаемых: первое
описывает кинетическую энергию межузельного электронного переноса, второе - энергию кулоновского отталкивания одноузельных электронов [3]. Известно, что основным состоянием такой модели для бипартитных решеток (разбиваются на две подрешетки так, что все ближайшие соседи узлов одной подрешетки принадлежат другой) при половинном заполнении зоны в пределе большого значения параметра кулоновского взаимодействия является неелевский антиферромагнитный (АФМ) диэлектрик. При допировании одним электроном (дыркой) диэлектрик, согласно теореме Нагаока, переходит в проводящее состояние насыщенного ферромагнетика [4]. В случае конечного взаимодействия и произвольного допирования точных результатов нет, и основное состояние может представлять собой антиферромагнетик, ненасыщенный ферромагнетик, несоизмеримую волну спиновой плотности либо неколлинеарную магнитную структуру. Кроме того, система может находиться в состоянии фазового расслоения между различными магнитными состояниями. Фазовая диаграмма модели Хаббарда на двумерной квадратной решетке была построена в рамках различных приближений и подходов: метод Хартри-Фока (ХФ) [5], приближение вспомогательных бозонов (ВБ) [6], вариационный метод Монте-Карло [7], метод функций Грина [8] и др. Обобщая результаты, можно отметить выраженную тенденцию к формированию спирального магнитного порядка при конечном допировании и умеренно высоких значениях параметра кулоновского отталкивания и к фазовому расслоению вблизи половинного заполнения. В работах [6,9] исследовались фазовые диаграммы модели Хаббарда для различных кубических решеток. В целом, для трехмерного случая оказались характерными те же закономерности, что и для квадратной решетки. Особняком стоит гранецентрированная кубическая решетка, которая не является бипартитной, что приводит к асимметрии фазовой диаграммы относительно линии половинного заполнения [10].
Если сравнивать результаты, полученные в приближении ХФ и результаты более сложных подходов, учитывающих электронные корреляции, то можно отметить, что корреляционные эффекты обычно не меняют качественно магнитные фазовые диаграммы, но заметно снижают разнообразие наблюдаемых спиральных структур и сдвигают области магнитных фаз в сторону более высоких значений параметра кулоновского отталкивания, увеличивая, таким образом, область парамагнитного состояния [6].
В эксперименте спиральные структуры наблюдаются как в двумерных, так и в трехмерных соединениях: в железосодержащих сверхпроводниках [11] и ГЦК фазе железа [12], системах MnSi [13], соединениях с зонным магнетизмом Y2Fel7 и Lu2Fel7 под давлением [14]. В допированных сверхпроводящих купратах, таких как La2.xSrxCuO4, спиральные состояния наблюдаются как динамический магнитный порядок [15]. Сверхпроводящие купраты представляют собой слоистые соединения, в которых магнитные и сверхпроводящие свойства определяются плоскостями СиО. При этом плоскости СиО слабо взаимодействуют друг с другом (межслойное взаимодействие оценивается как 10-5 от взаимодействия внутри плоскости [16]). Тем не менее это взаимодействие достаточно для формирования трехмерного дальнего АФМ порядка [15,17]. Спины при этом лежат в плоскости слоев СиО и лишь на 0.17° отклоняются от нее, благодаря межслойному взаимодействию [18]. Магнитная структура, таким образом, представляет собой комбинацию спирального порядка внутри плоскости со слабым АФМ порядком в перпендикулярном направлении. Другими словами, возникает скошенное спиральное упорядочение, которое схематически изображено на рис. 1. Послойная скошенность спинов, определяемая как поперечный слабый ферромагнетизм, характерна также для химически чистых антиферромагнетиков NiF2, MnCOз и СоСО3, а^^з, №СО3, FеВОз, ортоферритов RFeOз и ортохроматах RСrO3 ^ - трёхвалентный ион редкоземельного металла) и других соединений [19]. Большое значение скошенные структуры приобретают в связи с поисками в реальных материалах состояний «спиновой жидкости» (см. напр. [20]). Состояние «спиновой жидкости» является топологически нетривиальным состоянием, которое может быть использовано в современных технических устройствах.
Рис. 1. Скошенная спиральная магнитная структура
Fig. 1. Canted spiral magnetic structure
В работе [21] проведено исследование скошенного спирального упорядочения на квазидвумерной решетке со слабым взаимодействием между слоями в рамках приближения ХФ модели Хаббарда. Для параметров модели характерных для сверхпроводящего соединения La2-xSrxCuO4 получено, что скошенное состояние может быть энергетически выгодным при учете только однородных фаз, но является нестабильным по отношению к расслоению на ферромагнитную и АФМ фазы. Мы предлагаем новый метод рассмотрения скошенных спиральных состояний в трехмерных решетках с учетом электронных корреляций. Он использует формализм ВБ, предложенный Котляром и Рукенштайном [22] и обобщенный для спиральных состояний в работах [6,23]. Одним из преимуществ метода ВБ является возможность естественного перехода к приближению ХФ, что позволяет напрямую сравнивать результаты двух подходов и анализировать роль электронных корреляций.
ФОРМАЛИЗМ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Гамильтониан модели Хаббарда включает в себя два слагаемых: первое определяет кинетическую энергию перескоков электронов с узла на узел, а второе - кулоновское отталкивание электронов, находящихся на соседних узлах:
w = £ tA*cf* + U£nJ, j ' (1)
jj',^ j
где c+ja и cja - операторы рождения и уничтожения электронов на узле j со спином а,
nja = cfaCja - оператор числа электронов на узле j со спином а, tjj, - интеграл
электронного переноса с узла j на узел j', U - параметр кулоновского отталкивания
электронов на узле. Мы ограничиваемся переносом электронов между ближайшими соседями, то есть tjj, = —t.
Скошенная спиральная магнитная структура, изображенная на рис. 1, может быть описана следующим вектором намагниченности:
m = m ^cos QRR cos щ, sin QRR cos щ, (—l)n sin щ), (2)
где m- амплитуда намагниченности, Q = (Q, Q ,ж) - волновой вектор, описывающий спиральное упорядочение, R . - радиус-вектор узла j, щ - угол скошенности ( щ = 0 соответствует нескошенной структуре), nz - номер слоя вдоль направления z .
Для применения модели к скошенной спиральной магнитной структуре, изображенной на рис. 1, необходимо разделить решётку на две подрешётки, соответствующие слоям с разным направлением скошенности:
^ = — I , (3)
],]',а,а],а
где подрешетка а = 1 соответствует слоям с четным п2, а подрешетка а = 2 - с нечетным. Локальным спиновым поворотом вокруг оси г на угол в = можно перевести все спины в плоскость хг . Матрицу преобразования можно записать в виде 8и(2) поворота:
Uz = €es- =
Г в • • в^
cos — -1 sin —
2 2
. . в в
-1 sin — cos —
V 2 2 J
(4)
В общепринятых обозначениях такая матрица описывает поворот на угол —в вокруг оси х , но мы без потери общности переобозначили матрицу поворота для удобства дальнейших вычислений и соответствия введенной на рис. 1 системе координат. Дальнейший поворот вокруг оси у на угол у в первой подрешетке и угол —у во второй подрешетке совмещает все спины с осью х . Матрица поворота:
cos-
Uy = е
iWaSy
Wa 2
- sin Wa
v 2
sin
cos
Wa 2
Wa
2 J
(5)
где мы ввели уа = (—1)а+1 у .
Полный оператор преобразования:
а
и
■■UvUz.
(6)
Можно убедиться, что операция и 8"£/ , действуя на спинор 8", будет давать вектор т (2). Таким образом, двумя последовательными поворотами можно свести скошенную спиральную структуру к эффективному ферромагнитному состоянию. При этом операторы рождения и уничтожения преобразуются по закону:
К) с+„.. (7)
jay
Гамильтониан приобретает следующий вид:
^ = I ^Ц'аа' С+ааС] 'а'а' + и I
Н М ,
ja I ja\ 5
(8)
j,j ,a,a y,y'
j ,a
где хаббардовское слагаемое остается неизменным, а кинетическое слагаемое становится недиагональным по спиновым переменным:
tyy , = -t
jj aa
СОБ
Q (R, - R1) Q (R, - R1)
^ ¡) 88 + i sin ^ ¡) Sin¥aa +
(Rr- Rj )
+1 БШ
где а =
Г0 -i > 2 Г1 0 ^
, y =
v1 0 J V0 -1J
cos w 8aa8 - + cos wS -Saa, - sin w yyrta,yyy,
T aa yy r aa yy r aa yy
- матрицы Паули.
(9)
и
2
Для рассмотрения электронных корреляций воспользуемся методом ВБ, хорошо апробированным в применении к системам со спиральным магнитным порядком [6]. Введем
вспомогательные бозонные операторы ej(ej), pja(pja), dj(dj), описывающие пустые узлы,
узлы, занятые одним электроном со спином а и узлы, занятые двумя электронами, соответственно. Для таких операторов может быть сформулирован непротиворечивый формализм межузельных переходов альтернативный традиционному слэтеровскому формализму с операторами рождения и уничтожения. Концептуально подход ВБ близок к формализму хаббардовских Х-операторов [3]. В бозонных операторах член гамильтониана, отвечающий за кулоновское взаимодействие, становится диагональным:
^ = £ ^а'аа'CjaaCj'а'а'ZjaaZj'a'a'j U£ d'jadja , (10)
j ,j',a,a j,a
a,a
где
za= (1 - d+d - pjpa ym(e+paj píd )(1 - e+e - pjps )-1/2. (11)
Уравнение (10) эквивалентно уравнению (3) при условии выполнения ограничений на нефизичные состояния:
ejaeaa j £ PjaaPaaa j djadja = 1 (12)
a
Электронная и бозонная подсистемы при этом имеют строго однозначное соответствие:
djadja j PjaaPjaa C jaaCjaa' (13)
Учесть данные ограничения в формализме континуального интегрирования можно через введение в действие S множителей Лагранжа (r¡ja для уравнения (12) и Xjaa для уравнения(13)).
Для дальнейшего рассмотрения воспользуемся приближением седловой точки для бозонных полей и множителей Лагранжа, то есть в выражении для действия S гамильтониана (10) заменим операторы вещественными не зависящими от времени и узла числами, обеспечивающими экстремум действия:
eja > e ja ^ e; Pjaa, Pjaa ^ Pa; j dja ^ d i Л ja ^ Л j ^ Ла .
В таком статическом приближении числа e, pa, d приобретают простой физический
смысл: они определяют вероятности нахождения узлов в соответствующем многоэлектронном состоянии.
Фермионная часть действия определяется квадратичной формой по операторам рождения и уничтожения:
^ f = £ iZaZa tjf'aa^djj '4a'aa'4 ¥ja*Cj'aW • (14)
j,a,a a,a
Переходя через Фурье-преобразование в к -пространство, имеем:
^ f _ £ (ZctZct'^каа' + ^аа'^аа'^а)CkaaCka'a' • (15)
к,а,а' а,а'
Фермионную часть гамильтониана можно представить в матричной форме:
"kit
^f=£(CklT'Ckll'Ck2T'Ck2l) ^
Ck 2t
V Ck 2iJ
£Ck/?/,kCk, (i6)
где:
k
^ (е^ + sin^j + Л + А z^z^ ea cos у
h Лк=
COS у
zt zi£k Siny
zz ea cos у z^ (eS - e a sin у) + X -А - z^z^ s* sin у z2 cos у
2 (e£ - ea sin у) + Х + А ztz;ea cos у
zfezcos у
~zt z^sk SinУ
z
zt zSk SinУ
zK COSУ
ztz^ea cos у
Здесь введены обозначения:
^ = Xt+Xj
А =
Xt-Xi.
sxy +sxy
s _ Sk+Q/2 + sk-Q/2 e к =
c-xy _ c-xy а _ sk+Q/2 sk-Q/2 e к =
zl{ek + ea sin у) + Х-А^ (17)
(18)
2 K 2 Законы дисперсии для простой кубической решетки в плоскости xy и в направлении z:
sxy = -2t (cos kx + cos ky ), (19)
sz =-2t cos kz. (20)
z -факторы определяют сужение подзон, вызванное корреляционными эффектами, и принимают значение от 0 до 1:
i = (1 - d2 - pi)-\epa + p&df(1 - e2 - ply1. (21)
Матрица (17) не может быть диагонализована в аналитическом виде, поэтому при суммировании (15) в каждой точке ^-пространства необходимо решать задачу на собственные значения численно. В диагональном виде:
п f=XclflEuhck=(к)Т!Г (k )Cki„ (22)
k ,ll'
где E (к) - энергетический спектр, Гг (к) - матрица собственных векторов. Теперь можно записать систему уравнений на параметры порядка:
X = v
Ф„
n=-1 Z clki>> N ki
^=-1 ckicki>, N ki
' pi e + d / Д Л
У
e + pi pi+d
где v = ed - p^p^ , N - количество узлов. Мы ввели:
epi+ pid
+ Ф1 /(epi)
Ф =
(е2+р1)(р1+^)
где f (E) = (ехр((Е — /)/ Т) +1)—1 - функция Ферми, / - химический потенциал. Система уравнений на бозонные переменные:
2ё2 + р2 + р\ = п,
р2 — р;2 = щ в2 + р! + р2 + ё2 = 1,
(23)
(24)
(25)
(26)
vZ
i
■pt+ pi
1 1
- + -
V epi pid
Ф = U.
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
\
Одним из преимуществ метода ВБ является естественный переход к приближению ХФ, который позволяет напрямую анализировать эффект электронных корреляций [6].
В приближении ХФ d2 ^{щ ){щ ) . Тогда уравнение (31) заменяется на:
d— 1 Pt Р ±
2 2 Л
12 2 " Pt " Pi
2
pt.pt . (32)
Это уравнение приводит автоматически к z^ — z^ — 1. Множители Ла ^ Un /2 — Umi / 2.
Термодинамический потенциал для скошенных спиральных магнитных состояний принимает вид:
Q(l, Q,^) — Ud2 —£Ла (pi + d2) + Qf(^, zi,4), (33)
a
где Qf(¡,zl,ka) - стандартный потенциал для невзаимодействующей системы электронов.
QAf (i А) = —(T / Nj£ log (1 + exp(—(E, (k) — ¡)/ T). (34)
kl
Минимизируя Q по всем возможным волновым векторам Q и углам щ, можно определить основное состояние при фиксированном ¡1 в пределе T ^ 0. Численная минимизация при различных значениях U и ¡1 позволяет построить магнитную фазовую диаграмму модели. Без учета скошенности такая процедура была проведена в работе [6], где в приближениях ХФ и ВБ были получены следующие фазовые диаграммы для простой кубической решетки (рис. 2).
Расчет скошенной структуры более трудоемкий из-за численной диагонализации гамильтониана (22). Концентрация электронов (23) и намагниченность (24) тоже не могут быть выражены аналитически и вычисляются через собственные вектора:
n = ^ Ж + T2), (35)
k ,l
т = Тг Ж -Т2). (36)
™ к,/
При вычислении функций ф^ (27) необходимо производить численное дифференцирование спектра по z2a .
Для сужения круга поиска необходимо выбрать область параметров модели, при которых скошенность с наибольшей вероятностью приведет к уменьшению энергии основного состояния. Из общих соображений понятно, что это должно происходить при таких условиях, при которых с одной стороны по оси z АФМ порядок (= ж ), а с другой -по осям х и (или) у порядок должен быть близок к ферромагнитному. Если бы второе условие не выполнялось, то скошенность всех спинов в одном направлении в каждом из слоёв приводила бы к сильному увеличению энергии. Поэтому мы провели расчеты скошенной структуры для параметров 8 < и /1 < 15 и 0.6 < п < 0.8, при которых в приближении ХФ выгодны состояния (0, Q,n) и (0,0,^) (область, выделенная зеленым прямоугольником на рис. 2, а). При и / X = 10 и п = 0.7 было найдено, что скошенная структура с О = (^,ж,ж) и щ = 0.25^ является более энергетически выгодной, чем состояние О = (0.3ж,0.3ж,ж), обеспечивавшее минимум энергии без учета скошенности. Аналогичные поиски были произведены для метода ВБ, но область (0,0,ж) фазы в этом случае очень узкая (рис. 2, Ь), и условий для стабилизации скошенной структуры обнаружено не было.
Hartree-Fock Slave boson
0 0.5 « 1 0,5 0
Рис. 2. Магнитная фазовая диаграмма модели Хаббарда для простой кубической решетки при n < 1 в приближения (а) ХФ и (b) ВБ [6]. Обозначения спиральных фаз соответствуют направлению волнового вектора. Заштрихованные области обозначают фазовое расслоение. Жирные (синие) линии соответствуют фазовым переходам 2 рода, а тонкие (красные) линии - фазовым переходам 1 рода. Зеленым прямоугольником отмечена область поиска скошенных состояний
Fig. 2. Ground state magnetic phase diagram of the Hubbard model for the square lattice at n < 1 within (a) HFA and
(b) SBA [6]. The spiral phases are denoted according to the form of their wave vector. Filling shows the phase separation regions. Bold (blue) lines denote the second-order phase transitions. Solid (red) lines denote the first-order phase transitions. The green rectangle marks the search area for canted states
Таким образом, разработан формализм и схема расчета скошенной спиральной структуры в модели Хаббарда, который может применяться как для некоррелированных, так и для сильно коррелированных систем. Для простой кубической решетки обнаружены параметры модели, при которых скошенная спиральная структура является основным магнитным состоянием. В дальнейшем метод может быть использован для других типов кристаллической решетки с более сложным характером закона дисперсии внутри плоскости. Для этого достаточно соответствующим образом изменить sX в уравнении (19).
Работа поддержана Министерством науки и высшего образования РФ (№ темы 121030100005-1).
The research was carried out with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (No 121030100005-1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
REFERENCES
1. Imada M., Fujimori A., Tokura Y. Metal-insulator transitions // Reviews of Modern Physics, 1998, vol. 70, 1039. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.70.1039
2. Изюмов Ю. А. Спин-флуктуационный механизм высокотемпературной сверхпроводимости и симметрия параметра порядка // Успехи физических наук. 1999. Т. 169, № 3. С. 225-254.
https://doi.org/10.3367/UFNr.0169.199903a.0225
1. Imada M., Fujimori A., Tokura Y. Metal-insulator transitions. Reviews of Modern Physics, 1998, vol. 70, 1039. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.70.1039
2. Izyumov Yu A. Spin-fluctuation mechanism of high-Tc superconductivity and order-parameter symmetry. Physics-Uspekhi, 1999, vol. 42, pp. 215-243. https://doi.org/10.1070/pu1999v042n03abeh000473
3. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands // Proceedings of the Royal Society A, 1963, vol. 276, pp. 238-257. https://doi.org/10.1098/rspa.1963.0204
4. Nagaoka Y. Ferromagnetism in a Narrow, Almost Half-Filled s Band // Physical Review, 1966, vol. 147, pp. 392-405. https://doi.org/10.1103/PhysRev.147.392
5. Igoshev P. A., Timirgazin M. A., Katanin A. A., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu. Incommensurate magnetic order and phase separation in the two-dimensional Hubbard model with nearest- and next-nearest-neighbor hopping // Physical Review B, 2010, vol. 81, 094407. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.094407
6. Igoshev P. A., Timirgazin M. A., Gilmutdinov V. F., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu.. Correlation effects and non-collinear magnetism in the doped Hubbard model // Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2015, vol. 383, pp. 2-7 https://doi.org/10.1016/j.jmmm.2014.10.031
7. Tocchio L. F., Becca F., Sorella S. Hidden Mott transition and large-U superconductivity in the two-dimensional Hubbard model // Physical Review B, 2016, vol. 94, 195126. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.94.195126
8. Simkovic F., Deng Y., Prokofev N. V., Svistunov B. V., Tupitsyn I. S., Kozik E. Magnetic correlations in the two-dimensional repulsive Fermi-Hubbard model // Physical Review B, 2017, vol. 96, 081117(R). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.96.081117
9. Тимиргазин М. А., Гильмутдинов В. Ф. Спиральное магнитное упорядочение в модели Хаббарда для ОЦК решетки // Химическая физика и мезоскопия. 2012. Т. 14, № 1. С. 121-125.
10. Timirgazin M. A., Igoshev P. A., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu. Magnetic States, Correlation Effects and Metal-Insulator Transition in FCC Lattice // Journal of Physics: Condensed Matter. 2016. Т. 28. 505601. https://doi.org/10.1088/0953-8984/28/50/505601
11. Bao W., Qiu Y., Huang Q., Green M. A., Zajdel P., Fitzsimmons M. R., Zhernenkov M., Chang S., Fang M., Qian B., Vehstedt E. K., Yang J., Pham H. M., Spinu L.,
Mao Z. Q. Tunable (Sn, Sn)-Type Antiferromagnetic Order in a-Fe(Te,Se) Superconductors // Physical Review Letters, 2009, vol. 102, 247001.
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.247001
12. Tsunoda Y., Kunitomi N., Nicklow R. M. Magnetic structure of y-Fe precipitates in a Cu matrix // Journal of Physics F: Metal Physics, 1987, vol. 17, 2447. https://doi.org/10.1088/0305-4608/17/12/018
13. Muhlbauer S., Binz B., Jonietz F., Pfleiderer C., Rosch A., Neubauer A., Georgii R., Boni P. Skyrmion lattice in a chiral magnet // Science, 2009, vol. 323, pp. 915-919. https://doi.org/10.1126/science. 1166767
14. Kamarad J., Prokhnenko O., Prokes K., Arnold Z., Andreev A. V. Pressure induced helimagnetism in Fe-based (Y2Fe17, Lu2Fe17) intermetallic compounds // Journal Magnetism and Magnetic Materials, 2007, vol. 310, pp. 1801-1803. http://dx.doi.org/10.1016/jjmmm.2006.10.714
15. Kastner M. A., Birgeneau R. J., Shirane G. and Endoh Y. Magnetic, transport, and optical properties of monolayer copper oxides // Reviews of Modern Physics, 1998, vol. 70, pp. 897928. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.70.897
3. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands. Proceedings of the Royal Society A, 1963, vol. 276, pp. 238-257. https://doi.org/10.1098/rspa.1963.0204
4. Nagaoka Y. Ferromagnetism in a Narrow, Almost Half-Filled s Band. Physical Review, 1966, vol. 147, pp. 392-405. https://doi.org/10.1103/PhysRev.147.392
5. Igoshev P. A., Timirgazin M. A., Katanin A. A., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu. Incommensurate magnetic order and phase separation in the two-dimensional Hubbard model with nearest- and next-nearest-neighbor hopping. Physical Review B, 2010, vol. 81, 094407. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.094407
6. Igoshev P. A., Timirgazin M. A., Gilmutdinov V. F., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu.. Correlation effects and non-collinear magnetism in the doped Hubbard model. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2015, vol. 383, pp. 2-7 https://doi.org/10.1016/jjmmm.2014.10.031
7. Tocchio L. F., Becca F., Sorella S. Hidden Mott transition and large-U superconductivity in the two-dimensional Hubbard model. Physical Review B, 2016, vol. 94, 195126. https://doi.org/10. 1103/PhysRevB.94.195126
8. Simkovic F., Deng Y., Prokofev N. V., Svistunov B. V., Tupitsyn I. S., Kozik E. Magnetic correlations in the two-dimensional repulsive Fermi-Hubbard model. Physical Review B, 2017, vol. 96, 081117(R). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.96.081117
9. Timirgazin M. A., Gil'mutdinov V. F. Spiral'noe magnitnoe uporyadochenie v modeli Khabbarda dlya OTsK reshetki [Spiral magnetic order in the Hubbard model for bcc lattice]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2012, vol. 14, no. 1, pp. 121-125. (In Russian).
10. Timirgazin M. A., Igoshev P. A., Arzhnikov A. K., Irkhin V. Yu. Magnetic States, Correlation Effects and Metal-Insulator Transition in FCC Lattice. Journal of Physics: Condensed Matter. 2016. Т. 28. 505601. https://doi.org/10.1088/0953-8984/28/50/505601
11. Bao W., Qiu Y., Huang Q., Green M. A., Zajdel P., Fitzsimmons M. R., Zhernenkov M., Chang S., Fang M., Qian B., Vehstedt E. K., Yang J., Pham H. M., Spinu L.,
Mao Z. Q. Tunable (Sn, Sn)-Type Antiferromagnetic Order in a-Fe(Te,Se) Superconductors. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, 247001.
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.247001
12. Tsunoda Y., Kunitomi N., Nicklow R. M. Magnetic structure of y-Fe precipitates in a Cu matrix. Journal of Physics F: Metal Physics, 1987, vol. 17, 2447. https://doi.org/10.1088/0305-4608/17/12/018
13. Muhlbauer S., Binz B., Jonietz F., Pfleiderer C., Rosch A., Neubauer A., Georgii R., Boni P. Skyrmion lattice in a chiral magnet. Science, 2009, vol. 323, pp. 915-919. https://doi.org/10.1126/science. 1166767
14. Kamarad J., Prokhnenko O., Prokes K., Arnold Z., Andreev A. V. Pressure induced helimagnetism in Fe-based (Y2Fe17, Lu2Fe17) intermetallic compounds. Journal Magnetism and Magnetic Materials, 2007, vol. 310, pp. 1801-1803. http://dx.doi.org/10.1016/jjmmm.2006.10.714
15. Kastner M. A., Birgeneau R. J., Shirane G. and Endoh Y. Magnetic, transport, and optical properties of monolayer copper oxides. Reviews of Modern Physics, 1998, vol. 70, pp. 897-928. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.70.897
16. Cheong S.-W., Fisk Z., Willis J. O., Brown S. E., Thompson J. D., Remeika J. P., Cooper A. S., Aikin R. M., Schiferl D., Gruner G. Novel phase transition in non-antiferromagnetically ordered crystals of La2CuO4 // Solid State Communication, 1988, vol. 65, pp. 111-114. https://doi.org/10.1016/0038-1098(88)90669-2
17. Keimer B., Belk N., Birgeneau R. J., Cassanho A.,
Chen C. Y., Greven M., Kastner M. A., Aharony A., Endoh Y., Erwin R. W., Shirane G. Magnetic excitations in pure, lightly doped, and weakly metallic La2CuO4 // Physical Review B, 1992, vol. 46, pp. 14034-14053. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14034
18. Thio T., Thurston T. R., Preyer N. W., Picone P. J., Kastner M. A., Jenssen H. P., Gabbe D. R., Chen C. Y., Birgeneau R. J., Aharony A. Antisymmetric exchange and its influence on the magnetic structure and conductivity of La2CuO4 // Physical Review B, 1988, vol. 38, pp. 905-908. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.38.905
19. Moriya T. Spin fluctuations in itinerant electron magnetism. Berlin: Springer, 1985. https://doi.org/10.1007/978-3-642-82499-9
20. Zeng B., Chen X., Zhou D.-L., Wen X.-G. Quantum Information Meets Quantum Matter (From Quantum Entanglement to Topological Phases of Many-Body Systems). Springer International Publishing, 2018. 364 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.1508.02595
21. Timirgazin M. A., Gilmutdinov V. F., Arzhnikov A. K. Canted spiral magnetic order in layered systems // Solid State Phenomena, 2015, vol. 233-234, pp. 68-72. http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.233-234.68
22. Kotliar G., Ruckenstein A. E. New Functional Integral Approach to Strongly Correlated Fermi Systems: The Gutzwiller Approximation as a Saddle Point // Physical Review Letters, 1986, vol. 57, pp. 1362-1365.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.57.1362
23. Fresard R., Dzierzawa M., Wolfle P. Slave-Boson Approach to Spiral Magnetic Order in the Hubbard Model // Europhysics Letters, 1991, vol. 15, pp. 325-330. http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/15/3/016
16. Cheong S.-W., Fisk Z., Willis J. O., Brown S. E., Thompson J. D., Remeika J. P., Cooper A. S., Aikin R. M., Schiferl D., Gruner G. Novel phase transition in non-antiferromagnetically ordered crystals of La2CuO4. Solid State Communication, 1988, vol. 65, pp. 111-114. https://doi.org/10.1016/0038-1098(88)90669-2
17. Keimer B., Belk N., Birgeneau R. J., Cassanho A.,
Chen C. Y., Greven M., Kastner M. A., Aharony A., Endoh Y., Erwin R. W., Shirane G. Magnetic excitations in pure, lightly doped, and weakly metallic La2CuO4. Physical Review B, 1992, vol. 46, pp, 14034-14053. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14034
18. Thio T., Thurston T. R., Preyer N. W., Picone P. J., Kastner M. A., Jenssen H. P., Gabbe D. R., Chen C. Y., Birgeneau R. J., Aharony A. Antisymmetric exchange and its influence on the magnetic structure and conductivity of La2CuO4. Physical Review B, 1988, vol. 38, pp. 905-908. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.38.905
19. Moriya T. Spin fluctuations in itinerant electron magnetism. Berlin: Springer, 1985. https://doi.org/10.1007/978-3-642-82499-9
20. Zeng B., Chen X., Zhou D.-L., Wen X.-G. Quantum Information Meets Quantum Matter (From Quantum Entanglement to Topological Phases of Many-Body Systems). Springer International Publishing, 2018. 364 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.1508.02595
21. Timirgazin M. A., Gilmutdinov V. F., Arzhnikov A. K. Canted spiral magnetic order in layered systems. Solid State Phenomena, 2015, vol. 233-234, pp. 68-72. http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/SSP.233-234.68
22. Kotliar G., Ruckenstein A. E. New Functional Integral Approach to Strongly Correlated Fermi Systems: The Gutzwiller Approximation as a Saddle Point. Physical Review Letters, 1986, vol. 57, pp. 1362-1365.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.57.1362
23. Fresard R., Dzierzawa M., Wolfle P. Slave-Boson Approach to Spiral Magnetic Order in the Hubbard Model. Europhysics Letters, 1991, vol. 15, pp. 325-330. http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/15/3A316
Поступила 11.09.2023; принята к опубликованию 16.10.2023 Received September 11, 2023; accepted October 16, 2023
Информация об авторах
Тимиргазин Марат Аликович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ОТФ ФТИ УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация, e-mail: timirgazin@gmail. com
Аржников Анатолий Константинович, доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник ОТФ ФТИ УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация
Information about the authors
Marat A. Timirgazin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Senior Researcher, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation, e-mail: timirgazin@gmail. com
Anatoly K. Arzhnikov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor, Chief Researcher, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation
