CC BY
16Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies
2022; 2(4) eISSN: 2782-2818 https://www.oajmist.com
УДК: 677.057 EDN: WIMNWW
DOI: https://doi.org/10.47813/2782-2818-2022-2-4-0312-0323
Скорости фильтрации в области отжима материалов
Ш. Р. Хуррамов
Ташкентский архитектурно-строительный институт, Ташкент, Узбекистан
Аннотация. Определены аналитические зависимости, описывающие закономерности изменения скоростей фильтрации в области отжима. Установлено, что скорость фильтрации жидкости вдоль оси абсцисс на границах зоны сжатия равна нулю, а внутри зоны принимает отрицательные значения. Выявлено, что скорости фильтрации жидкости вдоль оси ординат и полярного угла равны нулю в начале зоны сжатия, возрастают до максимума в одной точке, лежащей на линии центров, а в зоне восстановления деформации зависят от угла, определяющего положение точки, где жидкость меняет направление.
Ключевые слова: валковый отжим, мокрый материал, гидравлические задачи, фильтрация, скорость фильтрации.
Для цитирования: Хуррамов, Ш. Р. (2022). Скорости фильтрации в области отжима материалов. Современные инновации, системы и технологии - Modern Innovations, Systems and Technologies, 2(4), 0501-0512. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2022-2-4-0312-0323
Filtration rates in the area of squeezing materials
Sh. R. Khurramov
Tashkent Institute of Architecture and Civil Engineering, Tashkent, Republic of Uzbekistan
Abstract. Analytical dependencies are determined that describe the patterns of change in filtration rates in the squeezing area. It was established that the fluid filtration rate along the abscissa axis at the boundaries of the compression zone is zero, and inside the zone, it takes negative values. It was found that the fluid filtration rates along the ordinate axis and the polar angle are zero at the beginning of the compression zone, they increase to a maximum at a point lying on the line of centers, and in the zone of strain restoration, they depend on the angle that determines the position of the point where the fluid changes direction.
Keywords: roll pressing, wet material, hydraulic tasks, filtration, filtration rate.
For citation: Khurramov Sh. R. (2022). Filtration rates in the area of squeezing materials. Modern Innovations, Systems and Technologies, 2(4), 0501-0512. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2022-2-4-0312-0323
© Ш. Р. Хуррамов, 2022
0312
Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies @ © 2022; 2(4) https://www.oajmist.com
ВВЕДЕНИЕ
В процессе валкового отжима мокрых материалов наблюдается одновременное происхождение двух явлений - контактное взаимодействие и фильтрация влаги. Это, в свою очередь, требует совместного решения при этом двух типов задач - контактных задач и гидравлических задач.
В работах [1-4] были решены основные контактные задачи валкового отжима мокрых материалов.
Основными гидравлическими задачами валкового отжима мокрых материалов являются задачи аналитического описания распределения гидравлического давления и математического моделирования остаточной влажности отжимаемого материала. Для решения этих задач необходимо знать закономерности изменения скоростей фильтрации в области отжима.
Анализ работ, посвященных исследованию гидравлических задач валкового отжима мокрых материалов [5-11], показал, что существующие закономерности изменения скоростей фильтрации в области отжима получены с введением моделей валкового оборудования и материалов, не отвечающих реальным физическим явлениям валкового отжима мокрых материалов. Поэтому они не дают возможности по решению задач, позволяющих полностью раскрыть гидравлические явления валкового отжима мокрых материалов.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
В работе [12] были определены аналитические зависимости, описывающие закономерности изменения скоростей фильтрации в области отжима для симметричного двухвалкового модуля. В целях дальнейшего развития теоретических представлений, как и в работах [1-4], объектом исследования служит обобщенный двухвалковый модуль, в котором валки расположены относительно вертикали с наклоном справа под углом /3, имеют неравные диаметры с эластичными покрытиями (^ ф 02), слой мокрого (обрабатываемого) материала имеет равномерную толщину 51 и подается наклоном вниз относительно линии центров под углом у1 (рисунок 1).
Рисунок 1. Схема двухвалкового модуля.
Figure 1. Scheme of a two-roll module.
Кривая контакта нижнего валка (кривая A1A2) состоит из двух зон A A и A A. В зоне A A происходит сжатие слоя мокрого материала и покрытия валка, а A A -
восстановление деформации.
Сначала рассмотрим процесс фильтрации жидкости в зоне A A. В этой зоне обрабатываемый материал сжимается, поэтому жидкость переходит из нее в покрытие валка вдоль полярного угла [5].
Скорость мокрого материала в области контакта величина постоянная и равна
Скорость жидкости в области контакта величина переменная и равна сумме двух составляющих [12]:
ЗДъкх = 81?т + и11х, ^11жу = ЫИу, (1)
где г1Ькх, г1Ьку - абсолютная скорость жидкости в зоне АА вдоль оси Ох и Оу, соответственно; , уПу — относительная скорость жидкости в зоне А А вдоль оси Ох и Оу, соответственно; и11х, ыПу — скорость фильтрации жидкости в зоне АА вдоль
v .
m
Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies
2022; 2(4) https://www.oajmist.com
оси Ох и Оу, соответственно; £п— относительная деформация мокрого материала в зоне АА •
В процессе фильтрации для скоростей у11жх и у11жу должно выполняться уравнение неразрывности [12]:
д(еиут + иПх) д(иПу)
- + -
Отсюда находим
дхп дуп
dsu , диих , duiiy
= 0.
. + —^ + .
= 0.
m r\ r\ r\
дхп дхп дУп Переходим к дифференцированию по одной переменной вп + у:
dsu d(ви + у) duUx d(в„ + у) , du и и y d(ви + у)
- + -
- + -
d (ви + у) dxu d (ви+у) dxu d (ви + у) dyu После преобразования получим
= 0.
du
1 1 у
■ = —v„
dy и и
dsn d (ви+у)
dy и и
duи иx d{ви и+у)
d (в и+у) md (в и+у) dx и и d (в и+у)
Заметим, что
= 0.
d (в и+у) d (в и+у)
ии иу = ии 1xCtg(в и+у) .
(2)
(3)
(4)
Проведем дифференцирование
du
и и У
dux
d (в и+у) d (в и+у)
Учитывая это, из равенства (3) получим у)
— Ctg (в и+у) — u 1x . 2
sin^ и+у)
- cos^! + у) + ——— sin(^ + у)
(5)
dx,
d (в и + у)
и + у)
1
dy и и
dsn d (вп + у)
du и 1x_______
d (ви и + у) sin2^ и + у)u 1x = Vm d (ви и+у) dXl и
d (ви 1 + у)
. (6)
d (ви 1 + у) Из рисунка 1 следует, что
x и = r1 и sm(61 и+Уи и = r и cos(6,1 и+у).
Отсюда находим
1
Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies
2022; 2(4) https://www.oajmist.com
dx-y i
■ = rú sin( eu + у) + ru cosi^ 1 + у),
dy и
,ío л i i ^ i ,, i i . i i ,fa л= ri'iC0S(6> ! +y)- r! sin(0 ! +y).
d (0 i+y) d (0 i + y)
Подставляя эти производные в равенства (6) и считая r'n sin2 (0п + y) « 0, после
несложных преобразований находим
1
dun
Щи_= у 008(0 1+у)— ^Ц0 1+у) йеп
008(0 +^т(0„ +у) й(011 +у) 8т2(0„ +у) тг>т(0п +у) + гпС0$(ви +у) й(вп +у) .
Уравнение кривой контакта нижнего валка в зоне сжатия для рассматриваемого двухвалкового модуля имеет вид [2]:
R
1 + kii\i
1+kiAi
cos(ffii+/i) cos(0n +r).
, -(p„ + у)<0 + у<0,
(8)
где
_CTn^1Sin(^11 + ^1) 0 _Anmn(A/n) ср - (An(1 - m11) - 4*1(1 - mn)K k11 = * o • / \ ' Л11 =
m* ^1sin(^21 -7i)
0 sin(^21 ~Г1) .
"11 °1
A 1 m 11 (A/11 )ср + (A„(1 - mn) - A* ( 1 - m*))H 1
(A/11) ср = R
\ sin2(^11 + Г1) Л 2(^11 + Г1)
¡5т(^и + 0>21)
здесь шп — коэффициент упрочнения точек эластичного покрытия нижнего валка при сжатии, т* — коэффициент упрочнения точек волокнистого материла при сжатии.
Откуда
кцАА cos(^n + Г1)
'i i
1 + k Al cos (,р(0и + у)
tg (011 + у).
(9)
Используя выражение (8) и (9), имеем
R k1A 1cos(^ 1+у) + cos3(0 1 + у)
rú sin(0 1 + У) + Г1 cos(0 1 + У) =
1+k1 Л 1
cos2 (01 1 + у)
R
r\ cos(01 1 + у) - r1 1 sin(01 1 + у) = - ' sin(01 1 + у) .
1+к1 Л 1
(10)
После подстановки этих выражений и некоторых преобразований уравнение (7) принимает вид
1
duu
*11x
■ = - v„
sin(011 + у) cos2 (01 1 + у)
de.
cos(01 1 + у)sin(01 1 + у) d(01 1 + у) sin (01 1 + у) (kЛ ^os^ 1+у) + cos (01 1 + у)) d(01 1 + у)
Из рисунка 1 следует, что
. (11)
r11 =
Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies
2022; 2(4) https://www.oajmist.com
r _R cos(lU +уи)
* _ 11 1 cos(вll + у) пол
s11 = ,0 . (12)
hi Откуда
dsu _ R cos(^ + ^ ^т(вп + у) d(вп + у) = — hUi(1 + k Д и ) cos2 (ви и + у)
Подставим это выражение в равенство (11):
(13)
duiix cos(вl и+у) VmR cosOi и+у) sin3(вl и + у)cos(6'i 1+у)
"ui lx = , 0 ,, . , л ч ' л ^ . ч . 3 ^ . чч . (14)
¿(в 1+у) sin(вl 1+у) hi (1 + kiД 1 ) (kiЛicos(^i 1+у) + cos (в i+у))
Дифференциальное уравнение (14) является линейным. Его однородная часть имеет решение
uiix = с11(в11 + у)зт(вп + у), (15)
откуда
dui1x - dCi1 -sinC^ + r) + C„ cosC^+r).
d (в„ + у) d (в„ + у)
Подставив —duuu— и „ в уравнение (14), имеем d (в„ + у) x
dC1ix _ VmR1 c°sOl 1 + уи ) sin 2 (в11 + у) + у)
(16)
где
d(ви +у) h„(1 + kii^i) (kiiДicos(^ii + уи) + cos (в„ +у)) Введем допущения sin(в11+у)&ви+у , ^(вП+у) ~ 1 — (ви + у) . После этого равенство (16) принимает вид
dCii = д (ви +у)2 (17)
d^i +у) 11 m2 — (в„ +у)2 , ( )
aii = +Ги)' m2 = 2(1 + kiAicosfai + у)) . (18)
3hii (1 + kiД 0 3
Интегрируем равенство (21)
mi i+ (в1 1+у)
Ci i gi i
m
—(в 1+р)+m1 in
+C * .
т1 1- (в1 1+у>
Раскладывая логарифмическую функцию в ряд и ограничиваясь членами до
третьей степени относительно (0п + у), имеем Си = а" (ви + у)3 + С *.
3т и
Подставим это выражение в уравнение (15):
'it
3m n
(0ii + r)3 + С*
sin(0ii +y).
После определения Cu по начальному условию и11х (-(pn + r)) = 0, имеем
где bii =
Ux = bn((pn + ri)3 + (О +r)3)sin(^u + r), - (p + ri) <0n + r< 0,
VmRiCOS(^ii _
(19)
3^i ( i + ki Л i )(i + ki Л i COs(P i + r))
Из равенства (6) с учетом равенства (19) находим
uUy = -bn((pn + ri)3 + (О + Г)3)cos(^n + r), -(pu + ri) < О + r< 0,
(20)
При известных значениях слагаемых иПх и ип , скорость фильтрации жидкости
вдоль полярного угла определяется по формуле и 1г = ^и^ + и.
Тогда имеем
ипв=-Ьп((фп + п)3 + (0п + у)3), - ( + ух) <0п + у< 0. (21)
Знак (-) в формулах (20) и (21) означает, что жидкость переходит из волокнистого материала вниз в покрытие нижнего валка.
Формула (21) определяет изменение скорости фильтрации жидкости, протекшей из мокрого материала в покрытия нижнего валка в зоне сжатия.
В зоне А А обрабатываемый материал, восстанавливая деформацию, может впитывать жидкость из покрытия валка. В этом случае, жидкость, слева от некоторой точки А зоны АА, движется из мокрого материала в покрытие валка, справа - в обрабатываемый материал. В зависимости от конструкции валка отжимной машины и его покрытия, точка А может совпадать с любой точкой зоны восстановления деформации [5-7].
Пусть точка А определяется углом (р14 + у4 =дх ((12+у2), 0 < ^ < 1 . Точка А делит зоны восстановления деформации на два участка: первый А А, где 0 <012+у <(14+у4 и второй АА, где (ри + у4<0п + у<(и + у2. В точке А скорости фильтрации равны нулю, то есть и12х (14 + у4 ) = 0 и и12 (( + у4 ) = 0.
Аналогично формулам (19) - (21) определяем изменения скоростей фильтрации жидкости, протекшей из мокрого материала в покрытия нижнего валка на первом участке А А зоны восстановления деформации.
ui ix =
Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies
2022; 2(4) https://www.oajmist.com
Выражения имеют вид:
ui2x = b12((Pl4 + ^4)3 — (в12 + У»3 ^^ +Г), 0 < ви2 + у < P14 + у4 , ui2y = —Ь12 ((Pl4 + у 4 )3 — (в12 + у)3 ) C°s(в1 2 + УХ 0 < ви2 + у < P14 + у4 ,
П2в
—b12((Pl4 + у4)3 — (в12 + У)3). 0 < ви2 + у < <Pi4 +у4 ,
(22)
(23)
(24)
где bU2 = ■
VmRicos(^12 +у2)
3к0 2(1 + к^ 2112 )(1 + Ы12 со$(ф12 + у 2)) Авторы работ [8, 9], считают, что на втором участке А4А2 зоны восстановления деформации скорость фильтрации вдоль оси Ох равна нулю, то есть и12х (в12 + у) = 0, где ф14 + у4<0и+у <фи+у2. В этом случае, из равенства, соответствующего (3) следует, что
ёи.
dy 12
12y
d (вп + у)
= —V„
dsi2 d (в12 + у)
d (вп + у) dxi2
d в + у)
или с учетом аналогичных выражений (9) и (17)
du
12y
VmRicos(^12 +у2)
sin2(вl2 +у)
d (в1 2 +у) hi2(1 + k1 2Д 2 ) (k12Д 2cos(^1 2 + у2 ) + ^^12 + у))
Преобразуем с учетом аналогичного выражения (18)
dui 2y (в 2 +у)2
y = д
d (в 2 + у) 1 2 m\2 — (в 2 + у)
Решение этого уравнения будет u12 =
^(в 2 +у)3 + C*
V 3m 12
По условию и12у (ф4 + у4) = 0 определяем, С* =--\ (ф 4 + у4)3.
3т12
После этого получаем
и12у = Ь12 ((Ф14 + У4 )3 - (^12 + У)3 Ф14 +У4 <в12 + У < Ф>12 + У2 •
Отсюда, имеем
и12в =-Ь12((Ф14 + У4 )3 - (в12 +У)3), Ф14 +У4 <^12 + У < Ф12 +У2^
Обобщая формулы (21), (24) и (27), получаем
Чв = —bii((<Pii + у)3 + (вии + у)3), —(рп + уи) < вии +у< 0,
ui2B = —b12((Pl4 + у 4 )3 — (в12 +У)3), 0 <в12 + у < Pl2 + у2 ,
(25)
(26)
(27)
(28)
где (14 +у4 = ^1(12 + у2 )' 0 <$1 < 1
Скорости фильтрации жидкости, протекшей через кривую контакта верхнего валка, определяем аналогично. Они имеют вид:
U2W = b2i((P2i -ri)3 + (02i -r)3), -p2i -ri) <02i -r< 0,
U220 = Ь22 (p24 - r4 )3 - (О22 - r)3 ), 0 < О22 - r < P22 - r2 ,
(29)
где
b„ =■
P24 -r4 =$2(Pl2 -r2), 0 <^2 < 1,
VmR2 C0S(P 22 r2)
b2i =
VmR2C0s(P2i -ri)
3h21 (i + k21Л21 )(i + k21Л21 C0s(P2i - ri ))
3^22 (1 + к22^22 )(1 + к22^22 - у2 ))
На рисунках 2 и 3 приведены графики изменения скоростей фильтрации, интерпретирующие формулы (11) и (12).
Рисунок 2. График изменения скорости фильтрации и :
.
Рисунок 3. График изменения скорости фильтрации и1: нижнего валка:
.
Figure 2. Graph of the change in speed filtration ux:
i-g = 0,33; 2-g = 0,67; 3-g = i.
Figure 3. Graph of the change in speed bottom roll filtration: 1 -g = 0,33; 2-g = 0,67; 3-g = 1
РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Определены аналитические зависимости, описывающие закономерности изменения скоростей фильтрации в области отжима.
2. Установлено, что скорость фильтрации жидкости вдоль оси абсцисс на границах зоны сжатия равна нулю, а внутри зоны принимает отрицательные значения.
3. Выявлено, что скорости фильтрации жидкости вдоль оси ординат и полярного угла равны нулю в начале зоны сжатия, возрастают до максимума в особой точке, лежащей на линии центров, а в зоне восстановления деформации зависят от угла, определяющего положение точки, где жидкость меняет направление.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ
Из анализа расчетных данных и графиков (рисунки 2 и 3) следует:
• скорость фильтрации жидкости вдоль оси Ox на границах зоны сжатия равна нулю, а внутри зоны принимает отрицательные значения. Она имеет минимум в точке, определяемой углом р = 0,63р (р — угол захвата валка);
• закономерности изменения скоростей фильтрации вдоль осей Ox , Oy и угла
в в зоне восстановления зависят от числа ^, определяющего положение точки, где
жидкость меняет направление. Чем ближе ^ к нулю, тем длиннее часть зоны
восстановления деформации, где жидкость перемещается из покрытия валка обратно в мокрый материал. По мере увеличения числа ^ от нуля до единицы, протяженность
изменения скорости фильтрации вдоль оси Ox увеличивается. При ^ = 1, скорость фильтрации u внутри зоны восстановления положительна, имеет максимум в точке, определяемой углом р = 0,63р (р2 — угол выхода). При этом она в начале и конце зоны восстановления деформации равна нулю.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Khurramov Sh. R. Modeling of friction stress in twin roll modules. Journal of Physics: Conference Series. 2021; 1789: 012004.
[2] Khurramov Sh. R. On the issues modeling the roll contact curves. Journal of Physics: Conference Series. 2021; 1889: 042036.
[3] Khurramov Sh. R., Abdukarimov A., Khalturayev F.S., Kurbanova F.Z. Modeling of friction forces in an asymmetric two-roll module. IOP Conf. Series. 2020; 916: 012051.
[4] Khurramov Sh. R., Abdukarimov A., Khalturayev F.S., Kurbanova F.Z. Modeling of friction stress in twin roll modules. Journal of Physics: Conference Series. 2021; 1789: 012008.
@ ©
[5] Коновалов А.Б. Имитационные моделирование рабочего процесса в прессах продольной фильтрацией. Технико-технологические проблемы сервиса. 2012; 2(20): 4047.
[6] Новиков Н. Е. Прессование бумажного полотно. Москва. Лесная промышленность; 1992. 242.
[7] Bezanovic D., Duin C. J., Kaasschieter E.F. Analysis of wet pressing of paper: The three phase model, Part II: Compressible air case. Transport in Porous Media. 2007; 67: 171-187.
[8] Кузнецов В.А., Петров Н.А., Кортовенко В.М. Физическая модель процесса отжима ткани. Известия вузов. Технология текстильной промышленности. 1984; 3: 102-105.
[9] Паршуков В.Е., Маринин А.Н., Константинова Е.Р., Петрова И.В., Фомин Ю.Г. Влияние технологических факторов на степень отжима влаги из ткани. Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. 2011; 4 (333): 124-127.
[10] McDonald D.J., Kerekes R. J., Zhao R.J. Perspectives on deriving mathematical models in pulp and paper science. J BioResources. 2020; 15: 7319-7329.
[11] Iliev O., Printsypar G., Rief S. On mathematical modeling and simulation of the pressing section of a paper machine including dynamic capillary effects: One-dimensional model. Transport in Porous Media. 2012; 92: 41-59.
[12] Khurramov Sh. R. Filtration rates in roller pressing of fibrous materials. AIP Conference Proceedings. 2021; 2402: 030042.
REFERENCES
[1] Khurramov Sh. R. Modeling of friction stress in twin roll modules. Journal of Physics: Conference Series. 2021; 1789: 012004.
[2] Khurramov Sh. R. On the issues modeling the roll contact curves. Journal of Physics: Conference Series. 2021; 1889: 042036.
[3] Khurramov Sh. R., Abdukarimov A., Khalturayev F.S., Kurbanova F.Z. Modeling of friction forces in an asymmetric two-roll module. IOP Conf. Series. 2020; 916: 012051.
[4] Khurramov Sh. R., Abdukarimov A., Khalturayev F.S., Kurbanova F.Z. Modeling of friction stress in twin roll modules. Journal of Physics: Conference Series. 2021; 1789: 012008.
[5] Konovalov A.B. Imitacionnye modelirovanie rabochego processa v pressah prodol'noj fil'traciej. Tekhniko-tekhnologicheskie problemy servisa. 2012; 2(20): 40-47.
[6] Novikov N. E. Pressovanie bumazhnogo polotno. Moskva. Lesnaya promyshlennost'; 1992. 242.
@ ©
[7] Bezanovic D., Duin C. J., Kaasschieter E.F. Analysis of wet pressing of paper: The three phase model, Part II: Compressible air case. Transport in Porous Media. 2007; 67: 171-187.
[8] Kuznecov V.A., Petrov N.A., Kortovenko V.M. Fizicheskaya model' processa otzhima tkani. Izvestiya vuzov. Tekhnologiya tekstil'noj promyshlennosti. 1984; 3: 102-105.
[9] Parshukov V.E., Marinin A.N., Konstantinova E.R., Petrova I.V., Fomin YU.G. Vliyanie tekhnologicheskih faktorov na stepen' otzhima vlagi iz tkani. Izvestiya VUZov. Tekhnologiya tekstil'noj promyshlennosti. 2011; 4 (333): 124-127.
[10] McDonald D.J., Kerekes R. J., Zhao R.J. Perspectives on deriving mathematical models in pulp and paper science. J BioResources. 2020; 15: 7319-7329.
[11] Iliev O., Printsypar G., Rief S. On mathematical modeling and simulation of the pressing section of a paper machine including dynamic capillary effects: One-dimensional model. Transport in Porous Media. 2012; 92: 41-59.
[12] Khurramov Sh. R. Filtration rates in roller pressing of fibrous materials. AIP Conference Proceedings. 2021; 2402: 030042.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Хуррамов Шавкат Рахматуллаевич,
доктор технических наук, профессор, Ташкентский архитектурно-строительный институт, Ташкент, Республика Узбекистан e-mail: shavkat-xurramov59@mail.ru
Shavkat R. Khurramov, Doctor of Technical Sciences, Professor, Tashkent Institute of Architecture and Civil Engineering, Tashkent, Republic of Uzbekistan e-mail: shavkat-xurramov59@mail.ru
Статья поступила в редакцию 06.10.2022; одобрена после рецензирования 05.11.2022;
принята к публикации 07.11.2022. The article was submitted 06.10.2022; approved after reviewing 05.10.2022; accepted for
publication 07.11.2022
