CC BY
70
мирского регион. отд-я АИН РФ. Владимир, 2001. 2001. С. 114-128
2. Е.В. Александров. Стенд для проведения испытаний автоматизированных электроприводов // Системы автом. упр-я и их элем.: сб. науч. тр. Тула, Изд-во ТулПИ, 1994. С. 62-70.
Aleksandrov E. V.
ALGORITHMS FOR COMPREHENSIVE ANALYSIS OF THE INDUCTION ELECTRIC DRIVE CHARACTERISTICS ON AN ALL-PURPOSE TEST BENCH
Techniques and algorithms for the test bench software used for a test package, i.e. reading of operational mechanical and thermal characteristics of an electric drive, determination of the motor phase winding resistance, current and no-load loss as well as short circuit, are presented in this paper. The numerical values of test results are used in parameters of an IM model and for computation of IM and drive static and dynamic characteristics.
Key words: test bench, tests, algorithm, induction motor, statics, dynamics.
Получено 19.06.12
УДК 62-50: 621.13.22
Е.В. Александров, д-р. техн. наук, проф., 8-910-940-03-14, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ), С.А. Савичев, асп., 8-920-275-57-09,
andrey0931 @yandex.ru (Россия, Москва, ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН), А.А. Иванов, асп., 8-920-740-13-46,
8^гсу0931 @yandex.ru (Россия, Москва, ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН)
СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
Рассматриваются вопросы синтеза многомерных скользящих режимов в асинхронном трехфазном электроприводе. Процедура синтеза управления разработана и для случая, когда количество разрывных управлений превосходит размерность пространства управления.
Ключевые слова: скользящий режим, асинхронный двигатель, разрывное управление, электропривод, динамика, синтез.
Из всех типов электродвигателей асинхронный двигатель оказался самым простым, надежным, экономичным и находит широкое применение в электроприводах наведения пеленгаторов и вооружения различных комплексов. При этом с точки зрения управления АД является сложным объектом, так как описывается существенно нелинейной системой дифференциальных уравнений высокого порядка и для его нормального
функционирования необходимо управлять несколькими взаимосвязанными величинами, используя только канал по которому поступает энергия. Этими координатами могут быть, например, скорость вращения вала двигателя, момент (ток), мощность и др.
С практической точки зрения управление на скользящих режимах обеспечивает близкие к предельным динамические возможности электропривода, простоту реализации, понижение порядка рассматриваемой системы на единицу, нечувствительность к изменениям параметров электропривода, инвариантность к изменениям внешней нагрузки, апериодический переходный процесс [1].
1. Синтез скользящих режимов при управлении скоростью вращения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором
Ненасыщенный симметричный асинхронный двигатель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений пятого порядка относительно частоты вращения ротора и компонент потокосцеплений ротора , ^р и токов статора 'а, 'а в неподвижной ортогональной системе
координат (а, в)
Ж
а
1
1 -о
То оТг
1-о
'р Т-+ То Ур оТг + Уа • п
а 1 1
Ж Уа : = 'а Т ±г Уа у -
а 1 1
Ж Уа = 'р Т 1г Ур у - 1г
1 -о 1
-+ и а —
оа 1-о
+ и р
о
оЬ$ 1
оЬ*
Ур • п Уа •п
1
г
п = 7 ![кт (У а'р - Ур'а ) - Мс¥* 7 0
(1)
где о = 1
Ь
т
Ь$ЬГ
Т =
я.
Т
с
1
То
1 1 - о
+
кт = (2/3) РЪ
Ь
т
Ьг
Г ' $ ' ГТ1 ГТ1 ГТ1 ' т
1 о $ о 1. г
,Ь$ - активное сопротивление и индуктивность статорной цепи; Яг,Ьг -активное сопротивление и индуктивность ротора; Ьт - взаимоиндуктивность; п - частота вращения ротора.
АД питается от преобразователя частоты. Каждое из выходных напряжений иа иъ ис фаз статора А,В,С преобразователя, подаваемых на
соответствующие фазы двигателя, в любой момент времени может быть равным + и о или - и о, а компоненты напряжения и потока статора (ротора) АД связаны с фазными составляющими преобразователя частоты соотношениями
и, и>
а
= 2/3
-аа
-еа
-со.
р
га\3 еер еф
U
ие
иг
а
Va Yp
= 2/3
'<?a
-go.
"с a
eep еф
Ча Ve Vc
(2)
где еаа,еар, ева>ев$> еса>еср ' направляющие орты фаз С и если ось фазы А ориентирована по оси а, то
4 =(1,0), е[ =
Г 1 Щ J / 1 л/Л
2' 2 V / , ес = V 2' 2 J
(3)
Обмотки статора соединены в звезду, и фазные напряжения образуют трехфазную систему, т.е. сумма средних значений напряжений Ua Ufr Uc равняется нулю. Величина потокосцепления статора |\|/| поддерживается на уровне обычно близком к насыщенному состоянию магнитопровода.
Для синтеза скользящего режима с релейным управлением запишем поверхность разрыва в каноническом пространстве [2] на плоскости координат ошибки и ее производной, характеризующие отклонения системы от желаемого режима:
sl = cl(wl ~ ^г)+ —с\ "const5
dt
d
s2 +
dt
(4)
з3=\(иа+иь+ис)Ж. 0
Для решения задачи синтеза скользящего режима достаточно обеспечить равенство нулю функции (4) [3], так как уравнение ^ =0 можно рассматривать как уравнение на рассогласование фактической и заданной частоты вращения ротора, которое при с\)0 будет стремиться к нулю по
экспоненциальному закону с постоянной времени —. Равенство нулю
с\
¿3 = 0 обеспечивает условие трехфазности для средних по времени напряжений иа иъ ис преобразователя. Равенство нулю функций (4) обеспечивается за счет организации скользящего режима на пересечении поверх-
т
ностей ^ = 0,52 = 0, 53 = 0 с помощью управления и - (£/а,£/¿,[7^), компоненты которого являются разрывными функциями. Эта задача сводится к задаче обеспечения устойчивости проекции движения на подпреть
странство 5 = 5 = (5^, 52,53), описываемого дифференциальным уравнени-
¿ = ^ + (5)
170
где ^ - вектор, РТ = (/1,/2,0) и матрица В не зависят от управления, а вычисляются в результате дифференцирования функций $1, $2, $3. Компоненты /1, /2 являются параметрами двигателя, угловой скорости, ускорения, модуля потока двигателя и его производной по времени.
Матрица В определяется из соотношения
А
где D1 = rv
1 0
J
0 R. м
Мр
- мр
Ма
D
T
d
(6)
d = (1,1,1), k - const, v:
L
да
LsLr
L
m
Сходимость решений нелинейной системы (5) к началу координат обеспечивается с помощью матрицы специального вида. Для того чтобы задача устойчивости движения в подпространстве $ оказалась решенной, воспользуемся инвариантным преобразованием уравнений поверхностей разрыва. Выберем матрицу 2 в преобразовании 2 = 2 • $:
) Ц(еааУа - еарУр ) 1 ) Ц(еааУа - еарУр ) 1 У(есаУр - есрУа) Ц(еаа^а - еарУр ) 1
Z = D
-1
(7)
где у =
3J
3 1
2 т I |' z vLr М
Матрица 2 существует, так как det Ф 0 всюду, за исключением точки = 0 .
Уравнение движения на подпространстве s запишется в виде
•* , dZ Г7 —1 * , ТТ
s = ZF +--Z s + U,
dt
(8)
Пусть компоненты вектора управления U претерпевают разрывы на поверхности s*, s*, s*
U = U 0 signs*, (9)
При достаточно большом U 0 всегда найдется такая область в пространстве s* (включая начало координат), в которой для каждой компоненты вида
F0 = ZF + —Z "У 0 dt
выполнятся условие
U 0 >| F0i|, i = 1,2,3. 171
(10) (10)
2
'К
Соотношения (8) - (10) означают, что знаки функции $ и их ско-
'К
ростей противоположны и на каждой поверхности $' возникает скользя-
'К
щий режим. Таким образом, обеспечивается равенство нулю вектора $ и вследствие невырожденности матрицы Р - вектора $, т.е $ = 0.
2. Синтез скользящих режимов при избыточной размерности вектора управления
На практике встречается случай, когда размерность вектора управления больше числа поверхностей разрыва, в частности многофазные системы электропривода переменного тока, в которых необходимо управлять двухмерным вектором состояния электрической машины за счет выбора т - мерного (т -число фаз, т > 3) вектора управляющих воздействий -фазных напряжений преобразователя [4].
Рассмотрим линейную по управлению динамическую систему
х = / (х, г) + в(х, г) • и (11)
где /(х,г), х - п -мерные столбцы; В(х,г) - матрица размерности п х т; и -т -мерный вектор управления.
В классе систем с разрывным управлением выбор компонент иI вектора управления и определяется значением функций переключения $' , причем для решения задачи управления достаточно обеспечить скользящее
движение вдоль многообразия $ = |$1,...,$п|Т = 0, представляющего собой
пересечение независимых поверхностей разрыва размерности вектора управления.
Рассмотрим случай, когда число функций переключения не равно размерности вектора управления. В этом случае гапкВ(х,г)<шт(п,т) или
несмотря на максимальный ранг матрицы в(х,г) число функций переключения меньше размерности вектора управляющих воздействий. Появляющиеся степени свободы будем использовать для рациональной организации переключений компонент управления.
Пусть размерность вектора $ равна т - 1 и проекции движения на подпространство $( х) описываются уравнением
$ = О/ + ОВы (12)
где О - матрица размерности т -1 х п, стоки которой являются векторами-градиентами функций $(х); ОВ - матрица размерности т -1 х т и гапкОВ = т -1. Функции /(х, г) и В(х, г) на поверхности разрыва удовлетворяют условию Липшица - решение разрывной динамической системы х = / (х, г) существует и единственно если для правой части найдется константа Липшица Ь такая, что для любых двух векторов х1 и х2
I/(х1(г) - /(х2,г)| £ Ь|х1 - х21.
Для определения параметров скользящего режима введем новую переменную хд и воздействие V. Движение системы в расширенном про-
странстве описывается уравнением
* I \гТ1 7—г*
где = №,...,8т_1,^Т , Ь =
8* = Ь* + Вп, Т
(13)
(ОЬ )Т, V
В =
(14)
ОБ
^т1( х, х),..., ^тт ( х, х ) Величины dml,...,dmm выбираются таким образом, чтобы матрица В имела максимальный ранг, т.е. гапкВ = т . Тогда вследствие невырожденности матрицы В можно использовать один из известных методов синтеза скользящих движений []. Воспользуемся методом диагонализации,
согласно которому компоненты вектора управляющих воздействий П вы-
_ ** . ^ ^ **
бираются в зависимости от знака компонент 8г (г = 1,...,т) вектора 8г
Пг (х, X) при 8** <0 П^ (х, X) при 8** >0
Векторы 8] и 8^ связаны преобразованием
8**= 28*. (16)
Матрица 2(х, X) выбирается таким образом, чтобы скорость изме-
**
нения каждой из компонент вектора 81 , вычисляемая дифференцированием (16), в силу (13) зависела лишь от компоненты П вектора управления. такая зависимость обеспечивается, если
2В = diagql( х, X),..., дт (х, X )|, (17)
где qi Ф 0 (г = 1,...,т). Предполагается , что для матрицы 21 (х,X) выпол-
V (х, X):
(15)
**
2
-1
, обуславливающее
няется требование ограниченности функций 2 и
инвариантность скользящих движений к линейному преобразованию поверхностей разрыва.
Вычисляя производные 8i на траектории системы (13), получим,
что
' 2Ь* + 28*
qiU+ > _
ЧгП_ >
**
2Ь * + ¿8**
. **
(18) (19)
Функции 8г и производные 8г имеют разные знаки, т.е. на каждой из поверхностей 8** (х,X) = 0, а, следовательно, и на их пересечении
выполняется условие существования скользящего режима. Это означает одновременное равенство 8** и вследствие невырожденности преобразования (16) ^ нулю.
Используя выражения (16) - (17), можно определить число переключений N в системе (13), когда элементы, реализующие переключение (15) управления и, имеют гистерезисную характеристику с шириной петли А!. Ширина петли гистерезиса релейных элементов выбирается из
условия обеспечения точности регулирования по каждой координате . Как правило, требования точности отработки формулируются в задании
«трубки» 5г- изменения величины 8. Используя (6), можно вычислить значения величины Аг-, обеспечивающей движение изображающей точки вдоль каждой из поверхностей разрыва внутри соответствующей «трубки» 5г-. Величина А^ представляет максимальный диаметр проекции области
Z на i-ю ось области s*
(5*. Уравнение проекции на подпространство
**
si в соответствии с (16),(17) имеет вид
s** = F** + Z2v + diag\qi,...,qm\U*, (20)
где F** = ZS*+Z iGf; Zi - матрица размерности m x m -1, составленная из первых m -1 столбцов матрицы Z; Z2 - матрица m x 1 с элементами ®im (x, t), представляющими последний столбец матрицы Z.
С учетом симметричности управления U* =-U*signSj*, U*}0,
U* = const и малости величины А компоненты вектора F** + Z2v за время периода коммутации T* можно считать постоянными, а число коммутаций в единицу времени определится выражением
и2
m 1 1 m
N = I - = — I k*q*
f \ ф* + mimv
v q* q* у
2
(21)
i=T 2А *t1 iU Uf
где k* = А / А* - масштабный коэффициент; ф* - элементы вектора столбца
F* *
Список литературы
1. Уткин В. А. Задачи управления асинхронным электроприводом // Автоматика и телемеханика. 1994. № 12. С. 53-65.
2. Теория систем с переменной структурой / С.В. Емельянов [и
174
др.], М.: Наука, 1970. 592 с.
3. Использование скользящих режимов в задачах управления электрическими машинами / Д.Б. Изосимов [и др.] // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241. №4. С. 768-772.
E. V. Aleksandrov
SLIDING MODES IN THE INDUCTION MOTOR CONTROL TASKS Problems of synthesis of multi-dimensional sliding modes in a three-phase induction electric drive are considered in this paper. The control synthesis procedure has been also developed for the case, when the number of discontinuous controls exceeds the dimension of control space.
Key words: sliding mode, induction motor, discontinuous control, induction electric drive, dynamics, synthesis.
Получено 19.06.12
УДК 621.9.06-8
Е.В. Александров, д-р.ехн. наук, проф., 8-910-940-03-14, а1еквапёгоу[email protected], (Россия, Тула, ТулГУ),
B. М. Степанов, д-р техн. наук, проф. (4872) 35-54-50, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
C.А. Савичев, асп., 8-920-275-57-09, andrey0931 @yandex.ru (Россия, Москва, ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН),
А.А. Иванов, асп., 8-920-740-13-46, andrey0931 @yandex.ru (Россия, Москва, ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН)
СИСТЕМА ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИЕЙ
Приведены результаты теоретического и экспериментального исследования систем векторного управления скоростью асинхронного электродвигателя, ориентированных по вектору потокосцеплению ротора. Показано, что использование контура автоподстройки синхронной частоты позволяет обеспечить параметрическую инвариантность характеристик системы регулирования от параметров роторной цепи.
Ключевые слова: асинхронный электропривод, векторное управление, адаптация, инвариантность, система регулирования.
Построение управления асинхронным короткозамкнутым двигателем с ориентацией по полю используется для получения высококачественных характеристик в статических и динамических режимах работы электропривода.
