CC BY
53
ТЕОР1Я I МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ПРИРОДНИЧО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛ1Н
Олег ДОВГИЙ, Свiтлана ДОВГА СКЛАДН1 АРИФМЕТИЧН1 ЗАДАЧ1 ПОЧАТКОВО1 ШКОЛИ
У статтi наведено причини потреби розв 'язування складних арифметичних задач в початкових класах i дано поради щодо Их складання та пояснення. Запропонована по^довтсть способiв розгляду типових арифметичних задач.
Актуальнють статп пов'язана з тим, що текстов складнi арифметичнi задачi, iнтегрованi рiзнорiдним цiкавим змiстом е дуже корисними для молодших школярiв. З одного боку, вони розвивають логiчне мислення учнiв, а з iншого — знайомлятъ !х з числовими характеристиками i взаемозв'язком навколишнъого системного свгту. Розв'язування таких задач вимагае неабияких зусиль школяра. Проте пiсля !х самостiйного розв'язування вiн може перевiрити виконання всiх умов задачi i зробити висновок про правилънiстъ результату. Це формуе в дiтей практичш вмшня.
Метою статтi е вияснення i усунення деяких причин неусшшносп з математики учнiв початкових та середшх класiв при розв'язуваннi задач.
Як свщчать результати наших дослщжень, у 5-му класi, коли змютовий матерiал задач вже не дае такого вщчутного ефекту i вони набагато складнiшi й розв'язуютъся за допомогою складання та розв'язку «голих» рiвнянъ, у дiтей зникае защкавленють i з'являаютъся проблеми. Причиною цъого е насамперед недостатня пщготовлешсть бшьшосп випускникiв початково! школи до розв'язування складних арифметичних задач початково! школи.
У методичнш лiтературi з математики в початкових класах придшяеться, на нашу думку, замало уваги матерiалу щодо складання i методики розв'язку з дгтьми складних арифметичних задач початково! школи.
Як свщчать результати наших дослщжень, проведених протягом останшх шести роюв зi студентами старших куршв спецiалъностi «Початкове навчання» i вчителями початкових класiв з великим стажем педагопчно! роботи, якi продовжували тсля закiнчення педучилищ вищу освгту за своею спецiалънiстю, майже вс вони (97%), маючи практику в школ^ не вмiютъ швидко складати i правильно пояснювати, а близько половини вчителiв (48%) — й лопчно розв'язувати арифметичним способом складш арифметичнi задачi початково! школи.
Стосовно студен™, то ця проблема в педагопчному iнститутi Прикарпатського нацiоналъного ушверситету iменi Василя Стефаника та його фшях вирiшена шляхом введення на V кура обов'язкового навчального спецсемшару з розв'язування арифметичним способом складних задач.
Крiм вищезгадано! причини, потреба в умшш розв'язувати складнi задачi молодшими школярами виникае i тд час пiдготовки до математичних олiмпiад, якi ще, на жаль, не набули популярносп в початкових класах, бо вчителям бракуе не лише вмшь складати i пояснювати складш задачу а й досвiду i часу.
Нерiдко серед молодших школярiв трапляються обдарованi дiти, яким матерiал, що розглядаеться на уроцi з бшьшютю учнiв, е надто простим i нецiкавим. Тут можуть стати в пригодi складнi задачi, подаш маленьким математикам на iндивiдуалъних картках тд час уроку, а також як домашне завдання.
Постае питання: що ж це за таю складш арифметичш задачi? По-перше, арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення певно! величини, якщо дано числовi значення iнших величин й юнуе залежнiстъ, яка пов'язуе щ величини мiж собою i з шуканою [1, 243]; по-друге, необхщно розрiзняти складенi i складнi арифметичш задачi початково! школи. До складених задач, як зрозумшо зi слова «складеш», належать задачi, що мютять
(складаються з) простi задачi, пов'язаш мiж собою так, що шукаш одних простих складових задач е даними iнших [2, 193]. Причому потрiбно, на нашу думку, щоб цi простi задачi були без лопчного навантаження, iнакше складена задача буде ще й складною. До складних задач, як зрозумшо зi слова «складш», вiдносять задачi, яю мiстять певне логiчне навантаження, через що !х часто-густо складно розв'язати. Складш задачi не обов'язково повинш бути складеними, тобто можуть бути задачами i на одну дш.
Так, наприклад, такi задачi:
1. Цеглина мае масу 1 кг та ще тв тако! ж цеглини. Яка маса цеглини?
Розв 'язок. Уже в третьому клас школярi знають, що цiле складаеться iз двох половинок, а, отже, 1 кг припадае на швцеглини. Тодi маса вше! цеглини складае 1 + 1 = 2 (кг). Вщповщь: 2 кг — маса вше! цегли.
2. За вс сво! копшки Василько ми- купити двi булочки або один батон. Скшьки коштуе булочка, якщо батон на 75 коп. дорожчий?
Розв'язок. Двi булочки коштують стшьки ж, скiльки один батон. Отже, двi булочки коштують на 75 коп. дорожче, шж одна булочка. Тому щна одше! булочки складае 75 коп. Вщповщь: 75 коп. — щна одше! булочки.
Якщо другу задачу перефразувати i поставити в нш меншi числа (мама дала ^ рiвно стiльки грошей, скшьки коштуе калач, i попросила купити в магазиш калач. Та в магазиш калача не було, а продавець сказала, що на вс щ грошi можна купити 2 хтбщ. Подумавши, 1ра купила 1 хлiбець i взяла 1 грн. здач^ Скiльки коштуе хлiбець?), то И можна розглядати навггь i в кiнцi 1 класу, використавши для покращання наочностi ситуащю «в магазиш».
Обидвi цi задачi е складними, бо мають певне лопчне навантаження, але не складеш, бо мiстять не бiльше одше! арифметично! ди.
Необхiдною умовою усшшного розв'язування складних задач арифметичним способом е вмшня розв'язувати складенi задача Зауважимо, що наголос ми ставимо на арифметичний спосiб розв'язування, тобто за допомогою певних окремих дш, до кожно! з яких мае бути повне пояснення.
Згiдно з тдручником iз методики викладання математики в початкових класах (автори — М. Бантова, Г. Бельтюкова, О. Полевщикова), у початковш школi способом складання рiвнянь розв'язують як просп, так i складнi задачi (хоча насправдi складнi задачi тут не розглянуп, а лише складенi, яю легко розв'язуються арифметичним способом) [2, 237], а зпдно з новим тдручником iз методики викладання математики в початкових класах (автори — М. Богданович, М. Козак, Я. Король) — лише просп задачi [1, 312].
З шшого боку, в 4 клас дгги за умовою задачi вже могли би складати рiвняння на одну чи двi ди, якщо це можливо вщповщно умови задачi (розв'язок рiвнянь на бiльшу кiлькiсть дiй ще буде надто складний для початювщв), i розв'язувати !х, використовуючи зв'язки мiж компонентами та результатами дш, тобто могли би розв'язувати складну задачу алгебра!чним способом. Проте алгебра!чний спосiб, на вiдмiну вiд арифметичного, ще не настшьки цiкавий для учшв початково! школи, бо не дае змоги побачити i зрозумгги тi теоретичнi логiчнi переходи, як приводять до розв'язку задачi. Вш лише розвивае здiбностi складання цих рiвнянь та !х розв'язку, що буде корисним шзшше, коли учш вже вмiтимуть, подетально мiркуючи, розв'язувати щ задачi арифметичним способом. Як зазначав М. Пирогов, «розвиток, якщо вш не пiдкрiплений позитивним знанням, переходить у фразу, у мильну бульбашку, яка гроша не вартуе: вш продукуе людей поверхових та зарозумшо-самовпевнених, людей хитких, як не мають жодно! особистою працею добуто! думки, фразерiв, мрiйникiв, дурних виконавщв... Але з усього сказаного мною не випливае, що я заперечую користь розвитку. Воно необхщне й ютотне вже тому, що формуе людину як особистють, тодi як знання дають лише кабшетного вченого. Я хочу сказати, що розвиток повинен спиратися на факт, на знання, бути кшцевим прямим висновком i тшьки тодi може одержати вартють» [3, 645].
Для кращого розумшня всiх умов задачi i з'ясування зв'язкiв мiж вiдомими i шуканими елементами, потрiбно використовувати короткий запис задачi у виглядi схематичного малюнка, причому кожному етаповi задачi може вiдповiдати його окрема схема.
У процеш мiркувань, якi мають привести до арифметичного розв'язку задач^ а саме над тим, яю ди необхiдно виконати i як пояснювати кожну дiю, учнi не лише розширюють i збагачують сво! знання, залежно вщ змiсту завдань, а й удосконалюють шзнавальш ди, вчаться
помiчати i правильно використовувати тд час розв'язку всi деталi змюту задачi, що i чому вщбуваеться в цiй задачi. Пiдбирати задачi i сприяти роботi учнiв тд час розв'язку потрiбно так, щоб «дитина вiдчувала задоволення вiд процесу анатзу того, що вщбуваеться» [4, 112].
Для прикладу розглянемо таку задачу:
Знайти вщстань мiж пунктами А i В, якщо власна швидюсть човна 50 км/год, швидюсть течи рiчки — 15 км/год i на шлях з А до В човен витрачае на 6 годин бшьше, нiж на зворотнш.
Проаналiзуeмо алгебра1чний i арифметичний способи розв'язку.
Якщо повернутися до студенев та вчителiв початково! школи, то таку складну арифметичну задачу переважна бшьшють зможе розв'язати лише алгебра1чним способом, тобто за допомогою складання рiвняння, бо це той спошб, яким ще з середтх класiв вони звикли i вмдать розв'язувати подiбнi задачi. Проаналiзуемо i ми цей спосiб розв'язку. Пщ час розв'язування в початкових класах задач алгебрашним способом важливо, щоб, складаючи рiвняння, учнi пояснювали кожну операщю, тобто пiд час складання рiвняння спиралися на конкретний змют задачi, а не перетворювали ратше складене рiвняння.
Отож, повне пояснення розв'язку задачi таке. Оскiльки час руху з А до В бшьший, нiж зворотнiй, то з А до В човен рухався за течiею рiчки, а з В до А човен рухався проти течи рiчки (до цього часу дгги вже повиннi вмгги розв'язувати нескладнi задачi на рух за i проти течп рiчки i тому повиннi розумiти, чому саме так, а не шакше).
1) 50 - 15 = 35 (км/год) - швидюсть човна проти течи рiчки;
2) 50 + 15 = 65 (км/год) - швидюсть човна за течiею рiчки.
Позначимо шукану вiдстань через X .
Тодi х - час руху проти течи р1чки, х — час руху за теч1ею р1чки.
35 65
Осюльки, час руху проти течи р1чки на 6 год. бшьший, шж час руху за теч1ею р1чки, то складаемо р1вняння: X___X = 6.
35 65
Людина, яка хоча б трошки знае математику, склавши р1вняння х___х = 6 1
50 -15 50 +15
розв'язавши його, отримае розв'язок х = 455 км - вщстань м1ж пунктами А {В.
Вщповщь: 455 км - вщстань м1ж пунктами А {В.
Арифметичним способом розв'язати цю задачу зможе далеко не кожен учень, оскшьки вс1 мають необхщш насамперед через вщсутшсть навичок.
Початков1 м1ркування в процес1 розв'язування задач1 т1 ж, що 1 а допомогою алгебра!чного способу.
1) 50 - 15 = 35 (км/год) — швидюсть човна проти течи р1чки;
2) 50 + 15 = 65 (км/год) — швидюсть човна за теч1ею р1чки;
А дал1 треба м1ркувати дегальшше, а не як при алгебра!чному способ1, складаючи р1вняння, п1дставляючи вирази у формулу для стввщношення шляху, швидкосп 1 часу, не задумуючись над !х зм1стом.
За весь час руху, шлях, який проходить човен проти течи р1чки, такий же, як 1 шлях, який проходить човен за теч1ею р1чки, лише з р1зною швидк1стю, а саме — 35 км/год I 65 км/год вщповщно, а тому 1 з р1зницею в час1 6 год.
Складемо допом1жну схему (будемо розглядати рух човна за 1 проти течи р1чки в р1зних напрямках так, н1би це був рух у стоячш вод1 двох р1зних човн1в з р1зними швидкостями, але вздовж одн1е! вщсташ):
Схема, що в1дпов1дае моменту початку руху в кожному напрямку, буде такою:
^ 35 км/год
65 км/год
3) 65 - 35 = 30 (км/год) — р1зниця швидкостей човна за 1 проти течи, тобто незаперечний факт того, на скшьки бшьше км за 1 год пропливе човен за теч1ею р1чки, шж проти течи р1чки.
Отже, схема, що вщповщае моменту через одну годину тсля початку руху в кожному напрямку, матиме такий вигляд:
35 км/год
За той час, за який човен, рухаючись за теч1ею р1чки, подолае всю вщстань, човен, рухаючись проти течи р1чки, подолае меншу вщстань.
4) 35 • 6 = 210 (км) — на скшьки бшьше пропливе за час руху з В до А човен за теч1ею, шж за той же час човен проти течи р1чки.
Отже, через декшька годин, а саме на момент заюнчення руху за теч1ею, схема матиме такий вигляд:
I ^ —г
210 км
Оскшьки за кожну годину, човен, рухаючись за теч1ею р1чки пропливав на 30 км бшьше, шж проти течи, то на 210 км бшьше за теч1ею, шж проти течи, вш пропливе за:
5) 210 : 30 = 7 (год) — час руху з В до А, тобто за теч1ею р1чки.
Тепер можна легко знайти вщстань м1ж пунктами, тобто той шлях, який проплив човен, рухаючись 7 год. за теч1ею р1чки:
6) 65 • 7 = 455 (км).
Ввдповвдь: 455 км — вщстань м1ж пунктами А {В.
Отже, з прикладу видно, що тд час розв'язування задач1 арифметичним способом необхщно задумуватися над кожним переходом ввд бшьш до менш складено! задач1, тод1 як за алгебра!чного способу розв'язування задач1 виконують звичайн1, як ми знаемо, р1вносильш перетворення р1вняння.
Таких приклад1в можна навести чимало, причому р1зноман1тних, адже е багато р1зновид1в складних задач, 1 перш, шж д1ти навчаться !х розв'язувати в наступних тсля початкових класах за допомогою складання р1внянь, необх1дно в початков1й школ1 навчити !х розв'язувати задач1 арифметичним способом.
Наведемо ще один приклад типово! задач1, яка зустр1чаеться в стар1ших тдручниках за початкову школу част1ше, шж у чинних.
У Василя в п'ятнадцять раз1в б1льше марок, шж у Петра. Ск1льки марок у Василя, а скшьки у двох хлопщв разом, якщо у Петра на 1694 марки менше, шж у Василя?
Ця задача на кратне та р1зницеве пор1вняння двох.
К дуже легко розв'язати алгебра!чним способом. Молодший школяр, який до цього устшно розв'язував под1бн1 задач1 за допомогою введення частин, а також навчився складати р1вняння 1 розв'язувати !х за допомогою зв'язюв м1ж компонентами 1 результатами дш, зможе розв'язати цю задачу арифметичним й алгебра!чним способами
Покажемо на приклад1 ц1е! задач1, як варто вчити учшв арифметичному та алгебра!чному способам И розв'язування.
У дгтей початково! школи переважае конкретно-образне мислення, тому початок роботи над розв'язуваннями под1бного виду задач з введенням неввдомого «х» буде неправильним. Ця неввдома «х» буде замшою «частини» певних одиниць у подальшому навчанш. А на початках доцшьно навчити дгтей розв'язувати такого типу задач! за допомогою цих ж частин певних одиниць (предмепв) за д1ями ¿з детальним поясненням кожно! ди.
Розглядати так задач можна вже в 3 клаа. Насамперед необх1дно слвд розглядати арифметичний споаб розв'язування цього типу задач!, який можна, попередньо шдготувавши наочшсть, продемонсгрувати учням. Його, як розв'язок 1 будь-яко! складено! задач!, варто починати теля повторення учнями повно! умови задач та запису скорочено! умови у вигляд граф1чно! схеми.
Отже, запишемо в колонку (стовпчик) ¿мена дгтей, як1 ф1гурують у задача Оскшьки нам неввдоме число марок ш в одного з хлопчиюв, а ввдомо, що у Василя в 15 раз1в бшьше марок шж, у Петра (кратне пор1вняння к1лькостей марок, як е в кожного з дгтей), то дана задача розв'язуеться за допомогою частин. Так, як у Петра менше марок, то ця марки позначимо за одну частину марок, а у Василя у 15 раз1в бшьше марок, шж у Петра, тому у Василя 15 таких же частин марок, як у Петра лише одна.
Схему для запису скорочено! умови можна подавати як 1 з використанням вщр!зюв, так 1 з використанням юл чи шших спещальних позначок частин одиниць, про яю вдеться в умов! задача
15 частин марок
Василь — ^^ Петро — ^^
оооооооооооооо
1694 марки
Оскшьки з умови задач! вщомо, що у Петра на 1694 марки менше, шж у Василя, то знайдемо, наск1льки у першого менше частин марок, шж у другого. При цьому отримаемо, 15 — 1 = 14 частин марок, на яю припадае число р1знищ марок, тобто 1694 марки.
У результат!, подшивши, знайдемо 1694 : 15 = 121 (м.) — складае одну частину марок, тобто е в Петра.
Кшьюсть марок у Василя можна знайти двома способами:
121 + 1694 = 1815 або 121 • 15 = 1815 (м.) — у Василя.
Отже, у Василя 1 в Петра разом е 121 + 1815 = 1936 (м.).
Ствпадання результапв зроблено! двома способами передостанньо! ди ще! задач1 доводить правильшсть результату.
Ввдповвдь: 1815 марок у Василя, 1936 марок разом в обох хлопщв.
Для переходу ввд арифметичного до алгебра!чного способу розв'язку ц1е! задач1 ус1 повинн1 вм1ти розв'язувати р1вняння на дв1 дИ за допомогою зв'язюв м1ж компонентами 1 результатами дш. Оск1льки р1вняння на дв1 дИ 1 !х розв'язування школяр1 проходять у 4 (3) клаа [2, 234], то лише тод1 можна розглядати з ними 1 цей споаб, повторивши перед тим розв'язування частинами.
Алгебра!чний спос1б. Оскшьки нам нев1доме число марок ш в одного з хлопчик1в, а вщомо, що в Василя в 15 раз1в б1льше марок, шж у Петра, то Петров! марки позначимо через неввдоме число х марок, тобто за одну частину марок, в яюй е х марок, а, оскшьки у Василя у 15 раз!в бшьше марок, шж у Петра, то у Василя кшьюсть марок — 15 • х .
(15 • х - х) — це р!зниця юлькостей марок у Василя ! Петра. Оскшьки з умови задач! ввдомо, що у Петра на 1694 марки менше, шж у Василя, то складаемо р!вняння 15 • х — х = 1694. У л1вш частин! цього р1вняння, тобто перед знаком «дор!внюе», е р1зниця 15 частин ! 1 тако! ж частини. Результатом ц1е! р!знищ е 14 таких частин, тобто вираз 14 • х. Отже, наше р1вняння спроститься ! набуде вигляду 14 • х = 1694. Щоб знайти неввдомий множник, потр1бно добуток подшити на в1домий множник. Виконаемо ! отримаемо: х = 1694 :14 = 121 (м.) — складае одну частину марок, тобто е у Петра. Тод1 15 • 121 = 1815
(м.) — у Василя, а 121 +1815 = 1936 (м.) — разом.
Ввдповвдь: 1815 марок у Василя, 1936 марок разом в обох хлопщв.
Для ще кращого розумшня розв'язку таких складних задач на початку розгляду кожного типу задач треба ставити таю мал! числов1 величини, щоб учн могли легко пщбрати 1 перев1рити правильну вщповщь. Учителев1 ж разом з дгтьми треба проанал1зувати дан в умов! й отримаш тдбором числов1 величини (посшввщносити числа). В результат цього легше буде перейти до розв'язку частинами.
П1сля цього ж можна запропонувати учням самим розв'язати арифметичним способом задачу цього ж типу, але спочатку з малими, а поим 1 бшьшими числами в умов!.
При складанн задач на р1зницеве 1 кратне пор1вняння двох учитель повинен чггко розумгти, що число, яке е р1зницею кшькостей певних одиниць, повинно бути числом кратним до числа, що е на одиницю меншим, шж число кратного пор1вняння цих вщповщних одиниць.
Отож, вчител1 початково! школи, як 1 старшокурсники, котр1 навчаються на спещальносп «Початкове навчання», повинт навчитися складати 1 пояснювати складт арифметичт задача Школяр1в потр1бно вчити розв'язувати кожен тип складних арифметичних задач спочатку тдбором, надал1 арифметичним способом 1 вже поим — алгебра!чним. У результат! в учшв не буде великих проблем з математикою в середшх класах.
Л1ТЕРАТУРА
1. Богданович М. В., Козак М. В., Король Я. А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. поабник. — Тернопшь: Навчальна книга — Богдан, 2001. — 368 с.
2. Бантова М. О., Бельтюкова Г. В., Полевщикова О. М. Методика викладання математики в початкових класах. — К.: Вища школа, 1982. — 288 с.
3. Пирогов Н. И. Избранные педагогические сочинения. — М., 1952. — 688 с.
4. Возрастная и педагогическая психология: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по специальности »Педагогика и методика начального обучения» / М. В. Матюхина, Т. С. Михальчик, Н. Ф. Прокина и др.; Под ред. М. В. Гамезо. — М.: Просвещение, 1984. — 256 с.
Наталя ПУСТОВ1Т
КРИТЕРИ I ПОКАЗНИКИ ЕКОЛОГ1ЧНО1 КОМПЕТЕНТНОСТ1 ШКОЛЯР1В
У статтi висвiтлюються критерп та показники експериментально'1' роботи, проведено1 автором щодо формування екологiчноi компетентностi учнiв 8-11 клаав загальноосвiтньоi школи. Проаналiзованi кшьюсно та яюсно результати вказано'1'роботи.
У попередшх публжащях автора обгрунтовано сутшсш характеристики, принципи формування еколопчно! компетентносп, теоретичш шдходи до розробки оцшних параметр1в еколопчно! компетентносп школяр1в, яю штегрували м1жнародний досв1д оц1нки ключових компетентностей, методи досл1дження сформованост1 еколопчно! культури особистост1, представлен1 у впчизняних науково-педагог1чних досл1дженнях, 1 враховували тенденци та вимоги осв1ти в штересах сталого розвитку, в контекст1 яко! розглядаеться нин1 еколог1чна осв1та 1 виховання [3; 4; 5].
Метою статп е вироблення конкретних критернв 1 показник1в, к1льк1сний та яюсний анал1з результат1в експериментально! роботи з формування еколопчно! компетентносп учн1в 8-11 клаав.
Для розробки конкретних показниюв р1вня еколог1чно! компетентност1 школяр1в мае певне значення робота Й. Велека [1]. Автор детально описуе знання 1 природоохоронш вмшня, яких мають набувати школяр1 9-12 1 12-15 роюв, розробляе конкретн1 практичн1 завдання. За зм1стом вони мають краезнавче 1 природничо-наукове спрямування, стосуються безпосередньо! взаемодИ з природою. Поза увагою залишаються ситуацИ морального вибору, опосередковано! взаемодИ через повсякденно-побутове використання природних ресурс1в.
П1дгрунтя для розробки оцшних параметр1в 1 показник1в сформованост1 еколопчно! компетентноси становлять також критер!! оцшювання навчальних досягнень учн!в з екологи, розроблен! на п!дстав! листа Мшстерства осв!ти ! науки Укра!ни № 2/3-6-165 вщ 12 грудня 2000 р. [2]. У цш розробщ до навчальних досягнень учн!в з екологи вщнесено не т!льки еколопчш знання, а й в!дпов!дн! умшня та навички взаемод!! з природою, вчинки, досв!д, мотиви повед!нки, критичш оц!нки, ставлення, ц!нн!сн! ор!ентац!!, що разом характеризують еколог!чну компетентн!сть особистосп.
