Скалярное описание трехмерных вихревых течений Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1283-1285

УДК 51.73;532.5;550.344.4;551.46

СКАЛЯРНОЕ ОПИСАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ © 2011 г. Е.И. Якубович1, Ю.А. Степанянц2

'Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород 2University of Southern Queensland, Toowoomba (Australia)

sevayak@gmail .com

Поступила в редакцию 15.06.2011

Предложен новый вариант описания трехмерных вихревых течений несжимаемой вязкой жидкости с помощью одной скалярной функции. Выведены уравнения для этой функции. Предлагаемый метод позволяет описывать течения с двухкомпонентным полем завихренности. Представлен пример, иллюстрирующие данный метод.

Ключевые слова: вязкая жидкость, вихревые течения, квазипотенциал, интеграл Бернулли, точные решения.

При исследовании течений несжимаемой жидкости наибольшего успеха удается достичь в тех случаях, когда векторные уравнения движения для поля течения V(x,у, z, t) сводятся к одному уравнению для некоторой скалярной функции. Соответствующая скалярная функция при этом может быть либо гидродинамическим потенциалом, либо функцией тока. В первом случае круг решаемых задач ограничен только потенциальными течениями, тогда как во втором случае течения могут быть и вихревыми, но при этом эффективно двумерными.

Предлагается третий вариант описания течений несжимаемой вязкой жидкости с помощью одной скалярной функции. Предлагаемый подход применим и к трехмерным течениям, не обладающим какими-либо симметриями и зависящим от всех трех пространственных ко -ординат. Единственное используемое здесь предположение — это равенство нулю одной из компонент завихренности. Данный подход не зависит от выбора системы координат, однако для простоты ниже используется декартова система координат.

Из уравнения непрерывности несжимаемой жидкости, div V = 0, непосредственно следует, что поле скорости можно представить через вектор-потенциал V = rot A. Из-за градиентной инвариантности вектор-потенциала без ограничения общности одну из его компонент можно сделать равной нулю. После этого введем существенное предположение о бездивергентности вектор-потенциала, div V = 0. Данное допущение, естественно, ограничивает класс рассматриваемых течений. Отсюда видно, что двухком-

понентныи вектор-потенциал выражается через одну скалярную функцию а(х, у, z, 0 следующим образом: А = (да/ду)1 - (да/дх)] Данное ограничение приводит к тому, что поле завихренности также является двухкомпонентным, при этом поле скорости остается трехмерным. Можно убедиться в том, что в выражения для полеИ скорости и завихренности функция а входит лишь в виде производноИ Эа/дz. Поэтому естественно ввести обозначение Ф = да/дz; функцию Ф будем называть квазипотенциалом. Тогда поля скорости и завихренности выражаются через квазипотенциал следующим образом:

„7 дФ. дФ .

V =-----1 +----1 +

дх ду

дФ

"дТ

+н

дФ

"дТ

k =

= УФ+ н

дФ

аГ

k,

дН . дН . . д

ю =-------1--------j = Н —

ду дх dz

дФ . дФ 1—

ду дх

j

(1)

(2)

где Н(х) есть произвольная функция своего аргумента. Из этих формул легко видеть, что в частном случае, когда И(Ф^ = 0, поле скорости является потенциальным, а завихренность тождественно обращается в нуль.

Подстановка поля скорости в уравнение непрерывности приводит к уравнению:

дН , д2Ф

ДФ = - или ДФ = -Н .

дz дz2

(3)

Подставляя затем поле скорости (1) в уравнение Навье - Стокса, получаем из первых двух его компонент интеграл движения (обобщенный интеграл Бернулли):

p +ф дФ ^Ф) p ct 2

+

И

dz

дФ ^Ф)2

dt

- +

2

+

= vЛЯ -

dR

'

(5)

дФ (VФ)2 я 2 —+-—-+-(Ф z )2 +

dz 2 2

+ vЯ

д2Ф

R( z, t)

+Q( x, y, t),

(6)

Ф (x, y, z, t) = exp

1+ Я

x

+ | И(Фz) dФz -vAФ= R(z, X), (4)

где ф есть потенциал внешней силы, а R(z, X) — произвольная функция своих аргументов, определяемая граничными условиями. Из третьей компоненты уравнения Навье - Стокса с учетом формулы (4) следует еще одно соотношение, которому должен удовлетворять квазипотенциал:

A exp

Г л

\лА+я/

sin kx + B exp

V J

Г - kz л

(7)

\

дД+я

sin ky

где A и B — произвольные константы. При этом функции Q(x, у, t) и R(z, t) имеют вид:

( я ^

Q( х, у, t )=- ABk2 sin kx sin ky exp - 2vk 2t-

1+я

R( z,t) = -

Яk2

2 Г 2kz

A exp

\

л/1+Я

+

Уравнение (4) естественным образом переходит в известное уравнение Бернулли для потенциальных течений, если положить И(Фг) = = 0 и пренебречь вязкостью (V = 0), а функцию R(t) считать зависящей только от времени. Таким образом, чтобы построить поле скорости течения и найти затем соответствующие ему поля завихренности и давления, необходимо решить уравнения (3) и (5) для квазипотенциала, а затем воспользоваться уравнениями (1), (2) и (4).

Наиболее простой вид система уравнений (3), (5) принимает в случае, когда функция И(Фг) линейно зависит от своего аргумента: И(Фг) = =

ЯФz ; тогда имеем два следующих уравнения:

2 Г - 2kz + B exp

VT+я

у Г

exp

J_ V

Г- 2vЯk 2t л 1+я

Поля скорости и завихренности легко находятся по функции (7) с помощью формул (1) и (2):

U = k exp

- vЯk 2t ^

1 + я

A expl 1-^^=] coskx1 + bI^L I cos kyj

л/ЇГя

+

+

A exp

sin kx -B

ю=-

д/1+я

яk2 Г-vЯk 2t л

-^1+я

exp

1+я

Г - kz л

ч%Д+яу

Г

B exp

sin ky

л

- kz

>д+я

+ A exp

&2 Я

где <2(х, У, X) — произвольная функция.

Легко проверить, что простым частным решением уравнений (6) является следующая функция:

г _k^ л

-^1+я

cos kxJ

кj, (8) cos kyi+ (9)

На рис. 1 показаны две компоненты поля скорости (а) и поле завихренности (б) в плоскости г = 0, рассчитанные по формулам (8) и (9) соответственно в заданный момент времени Ґ.

V

Ч \\ \ / if if 4WW//

S ^ s* t Ч Чч Ч

/ / /f \ ч ///f \ ч

Ч. -ч V У л' ^ /

Ч X Ч W ^ ^ /

■ч ^ Ч W ж- /

/ / /^ЧЧЧ Ч Ч

///^ччч ч

у* ^ f

S' S' f

J* S

'Л 'ж

ччч

■ч Ч

S s' S /! /Г f

S S

s у! f ~ ^ jf *f~ * if if ~ і і і ' \ \ \ x x x x Ч X ч \ ч * і і s ts f " if if *

-r-j—J—

4 \ 4 X X X X -V* X 4 \ \ і і і ■ s '

jf if~ f / f “

^ X X ^ ^ X X X X чч

ч \ \ ^

^ / f . _ ^ /Г .

^ S' /f . . ^ f f , У \ * *

-.4 4^. ^ X X

. t t >

f f — if jf if if if ~~ і і t ' " \ \ \ '

x 4 ^ '

“*■ x x x ‘

' 4 \ 4 '

t і і • ^ if ~~ JS if ^ ^ ^ iS ~

1 J"

'4^4

x x -*■ x 4 ^

" \ \ 4 і і * -tf jS *

if АҐ *-f ^ f *

.44^

* * \ у

J* f P A

^ S* /f ,

^ s' s*.

s f f , it * < . X 4 . X X ^ .44^ >. 4 1 1

' f / f ' jf jf ■ if if *

* * і *

" 4 4

x 4 ^ x 4

- 4 \ 4 * і і *

' f / S

Jf if

' f f jS

ТП—

■* 4 \ 4

-*■ X 4 X

x 4 ^

“ 4 \ 4

' Ф і * if ^

‘ *f if ^ f / ^

X ^4. 'fc i. S if

4"X4^/^^ /

4 44 w ^ ^ ✓

5 ^ /f t \ 4

///MW 4

^ S* і 4

-л. --к

4 ХЧ 4 X 4

Vx

s f t .

^ S' J* . ^ S> j* . * t f . к \ \ ^

. X 4 ^

,xx^

. 4 X ^

, ^ / / *

S' S' .

^ ^ S' S' ,

У / f ,

. ^ \ \ ^

. ^ X X ^

. X X ^

. ^ X X ^

Ю*

а)

б)

X

2

X

X

Рис. 1

SCALAR DESCRIPTION OF THREE-DIMENSIONAL VORTEX FLOW E.I. Yakubovich, Yu. A. Stepanyants

A new approach is proposed for the description of three-dimensional vortex flows of incompressible viscous fluid with a singular scalar function. The equations for this function were derived. The proposed method allows describing the flows with two-component vorticity field. The example illustrating the method are presented in this article.

Keywords: viscous fluid, vortex flows, quasi-potential, Bernoulli integral, exact solutions.