Скалярная кривизна касательного расслоения со специальной метрикой почти произведения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 4

Физико-математические пауки

2009

УДК 514.76

СКАЛЯРНАЯ КРИВИЗНА КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ СО СПЕЦИАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ ПОЧТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

О. В. Сухова

Аннотация

Изучается класс римановых метрик д на касательном расслоении ТМ римаиова многообразия (М,д), содержащий, в частности, метрики Сасаки и Чигера-Громола. В случае, когда (М, д) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, найдены условия, при которых скалярная кривизна Я касательного расслоения (ТМ, д) является постоянной.

Ключевые слова: (структура почти произведения, касательное расслоение, римаиова метрика, секционная кривизна, скалярная кривизна.)

1. Пусть М - гладкое п-мерное многообразие, д - риманова метрика на М,

V — связность Леви - Чивита, п : ТМ ^ М - касательное расслоение над М. Связность V определяет горизонтальное распределение Н : у е ТМ ^ Ну с Ту (ТМ) и, следовательно, структуру почти произведения на ТМ: Ту(ТМ) = Ну © Уу, где

V : у е ТМ ^ Уу с Ту(ТМ) - вертикальное распределение, касающееся слоев. Определим па ТМ риманову метрику д следующим образом. Достаточно определить значения метрики д от векторных пол ей па ТМ, являющихся вертикальными

М

Ну(ху\уу) = дп{у)(хп(у),Уп(у)], д(ху,уу) = д(ху,уу) = О,

9у(х1 ,уу) = ¥(г)дп(у)(хп(у),уп(у)) + 'Ф(г)дп(у)(х,у)дп(у)(У,у),

где и ф — некоторые вещественные функции аргумента г = ^||у||2 = ^дп{у)(у,у)

такие, что ср(г) > 0 и (р(г) + 2ггф(г) > 0; Xн, Ун и Xу, Уу - соответственно горизонтальные и вертикальные лифты векторных полей Х,У с базы па касательное расслоение в связности V. Очевидно, что метрика д является римановой метрикой структуры почти произведения.

Далее для отличия объектов, заданных на базе, от объектов, заданных на касательном расслоении, будем использовать для последних символ « ~ ». Будем также обозначать символом (,) метрику д или метрику д в зависимости от того, векторные поля базы или касательного расслоения указаны в качестве аргументов.

ТМ дд

хд Уд

вычисляется по известной формуле:

к (X у )= Щ 'У )У ,х),

(д(х ,у)

(и

где Д - тензор кривизны пространства (ТМ,д), <5(Х,у) = {X, X){у,У) — — {X ,У)2 - определитель Грама.

Вычисляя связность Леви-Чивита и тензор кривизны метрики д, из (1) находим:

К (X *,У *) = К (X, У)« — . \\*(Х>У )У»2, (2)

^ ' ' у ' ' 4 Q(X,У У ' 1 ;

К(X* у^) = _\\д(У,у)Х\2__(з)

1 ' } 4 \\2(у\\У\\2 + ф{У,у)2)' {)

' 2 !! ' ' ' К(XV ) = 3у — 2уу _ (2у ф — уф )(у + ¿у ) + ( ' ) 4у2ф 2у2ф(у + 2гф) +

// / 2 / / / / 2 , 2уу — Зу у(2ф2 — уф — гу ф )+ ¿у ф

+ ( 4ф + 2ф(у + 2гф) )Х

х _Q(X,УУ_

у2Q(X, У)* + уф(\\X\\2{У, у)2 — 2^, У) {X, у) {У, у) + \\У\\2 {X, у)2

-• (4)

3. Построим в точке y G TM ортонормированный относительно метрики д репер (е/} = {gi; gj*}, состоящий го лифтов векторов репера \e\ = -у^-, e2, • • •, en

заданного в точке х = п(у) € М и ортонормированного относительно метрики д. Положим

У = е*, д1* = , /0 , , др* = —=, Р = 2, ...,п. л/у + 2гф л/у

Используя полученные равенства (2)—(4), вычислим секционные кривизны К и вдоль 2-мерных направлений, определяемых парами векторов репера {У/}. Имеем:

Кц = К, — Зу\\Д(е^ )у\\2, г = (5)

-г1* =0, Кгр* = у\Д(у,ер)е4\2, (6)

а// 2 / /

- = _ у г + у + гу (у + гф) + гуф (у + гу ) + у2ф , .

^р* у (у + 2гф)+ у2 (у + 2гф)2 '

/ / 2

- 2уф — 2уу — гу , , .

КР*"* = 2у2(у + 2гф) , Р = (8)

где Кц - секционная кривизна базы (М, д) вдоль 2-мерного направления, определяемого векторами ег, е, ортонормированного базиса {ег} касательного пространства ТХМ. Анализируя полученные равенства (5)-(8), приходим к следующему-результату:

Теорема 1. Среди пространств (ТМ, д) нет пространств постоянной ненулевой секционной кривизны.

Скалярная кривизна Б многообразия ТМ в точке у € ТМ может быть вычислена как сумма секционных кривизн К и:

Б = 2 ^ ^ + ^ ^ К^,* + 2 ^ ^ Кг*,*.

г,,* г* <,*

180

О.В. СУХОВА

В соответствии с (5) (8) находим:

S(y) = S(n(y)) - Ц £ \\Е(ег, ej)y\\2 + f £ \\R(y, ep)ei\\2+ i<j i,p

{// / / 2 / / f z + f + zf (f + гф) + г<рф (f + zf ) + <р2ф +

f(f + 2z^)+ f2(f + 2zф)2 +

, , 2 \ + (n - ^ff -f \ (»)

где S - скалярная кривизна риманова многообразия (M,g).

4. Пусть риманово многообразие (M, g) имеет постоянную секционную кривизну к. Тогда

R(X, Y )Z = к ((У, Z)X - {X, Z)Y), S = к ■ n(n - 1).

Вычисляя в этом случае все суммы правой части равенства (9). получаем форму-

SS

gS к n f ф

S(y) = n(n - 1)k - fz(n - 1) ■ k2 +

' 2 ' ' rr '

+ 2(n - 1){ Zf (f + Z')++ ZfФ (f + Zf ^ f2ф - f Z + f }+ f2(f + 2z')2 f(f + 2zф)

/ / 2

, < л\< n\2f' - 2ff - zf + (n - 1)(n - 2) 2f2(f + 2zф) . (10)

Выясним, в каком случае S = const. Из (10) следует, что для того чтобы скаляр-

gS

достаточно выполнения условий:

f(z) ■ Z = Cl, (11)

/ 2 / / // / Zf (f + z') + Zfф (f + Zf )+ f2ф f Z + f =

/ / 2

2^ф - 2ff - zf =

2f2(f + 2zф) C3

где ci, C2, C3 - некоторые постоянные, ci = 0. Из требования (11), учитывая, что f > 0, находим: f(z) = a2/z, где a = const = 0. Нетрудно проверить, что условия (12), (13) в этом случае также выполняются, поэтому имеет место

(M, g)

стоянной секционной кривизны к, а функции f и ф таковы, что f(z) = a2/z (a = const = 0ф f(z) + 2zф(z) > 0, то касательное расслоение TM с метрикой g ■имеет постоянную скалярную кривизну

3 =(n - -a2k2 + nk + 2^(n - 2^ .

5. Пусть (M, д) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны к. Рассмотрим промежутки знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения S для некоторых частных случаев метрик д исследуемого класса. Пусть д - метрика Сасаки (у =1, ф = 0) [1].

Согласно (10) скалярная кривизна д пространства (TM, д) определяется равенством

S = n(n — 1)k — z(n — 1)k2.

Исследуя знак скалярной кривизны S как функции аргументов (z, к) G D = = (0, +те) х R, приходим к следующему результату.

Если (M, д) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, д — метрика Сасаки, то скалярная кривизна S касательного расслоения (TM, д) отрицательна при к < 0, равна нулю при к = 0 и знакопеременна при к > 0.

При y(z) = ф(г) = - получаем метрику Чигера-Громола. Кривизны ка-

1 + 2z

сательного расслоения с данной метрикой исследовались в работах [2. 3]. Скалярная кривизна S отрицательна при к G (—те, — 3], положительна при к G (n — — %/n2 + 2n — 4, n + %/n2 + 2n — 4) и знакопеременна в остальных случаях.

При y(z) = 1, ф^) = a2/2z (a = const = 0) получаем метрику типа Чиге-

n=2

кривизна касательного расслоения S отрицательна при к < 0, равна нулю при к = 0 и знакопеременн а при к > 0. Есл и n > 3, то скалярная кри визпа S поло-к=0

Пусть y(z) = a2/z, ф^) = c2/z2, где a, c — отличные от нуля константы. В этом случае, как было показано в п. 4, касательное расслоение с метрикой д имеет постоянную скалярную кривизну. Из (10) находим:

S = (n — 1) ( —а2к2 + ^ + (n — 2)

2a2

Исследуя знак скалярной кривизны S как функции аргумента к G R, приходим к следующему результату.

Теорема 3. Пусть (M, д) - риманово многообразие размерности n > 2, имеющее постоянную секционную кривизну к. Если функции у и ф таковы, что y(z) = a2/z, (a = const = 0), y(z) + 2zф(z) > 0, mo для скалярной кривизны S пространства (TM, д) справедливы следующие утверждения:

— y/n2 + 2(n — 2) n + -/n2 + 2(n — 2) \

1) S > 0 при к G

2a2 2a2

s ~ n ± л/n2 + 2(n - 2)

2) S = 0 при k = -V „ . V-;

2a2

s ~ ( n - Jn2 + 2(n - 2)\ , , / n + л/n2 + 2(n - 2) \

3) g < 0 при k g I —^- ) U I v 2a2 -¿, ■

Пусть у = 1, ф = c^e c = const > 0. В этом случае, согласно (10), скалярная кривизна S пространства (TM, д) определяется равенством

g = n(n - 1)k - z(n - 1)k2 + 2(n - 1)(1+ c2zc)2 + (n - 1)(n - 2)r^2zc.

Для n > 2 исследуем знак скалярной кривизны S как функции аргументов (z, k) G D = (0, +те) x Д. График уравнения S(z, k) = 0 определяется в плоскости

182

О.В. СУХОВА

(г, к) уравнением второго порядка относительно к:

, о , с(п + 2пгс — 4гс)

-к2 г + кп + ---= 0,

(1 + 2гс)2 '

к

дим:

п(1 + 2гс) ± у/п2(1 + 2гс)2 + 4гс(п + 2пгс - 4гс)

ki,2 =

2z(1 + 2zc)

Анализируя поведение решений ki(z) и k2(z), заключаем, что S < 0 при k € (-<х>, —c] и знакопеременна при других значениях k. Таким образом, справедлива

( M, g)

кривизны k, f = 1, ф = c, где c = const > Тогда скалярная кривизна S касательного расслоения (TM,g) отрицательна при k € (-<х>, -c\, положительна k=0

Summary

О. V. Sukhuva. The Scalar Curvature of the Tangent. Bundle with Special Almost Product Metric.

We study a class of Riemannian metrics g от the tangent bundle TM of a Riemannian manifold (M, g) which contains, in particular, the Sasaki and the Cheeger - Gromoll metrics. In the case when (M, g) is a space of constant section curvature k, we find conditions under which the scalar curvature S of (TM, g) is constant.

Key words: almost product structure, tangent bundle, Riemannian metric, sectional curvature, scalar curvature.

Литература

1. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tolioku Math. J. 1958. V. 10, No 3. P. 338 354.

2. Sekizawa M. Curvatures of Tangent Bundle with the Cheeger Gromoll Metric // Tokyo J. Math. 1991. V. 14, No 2. P. 407 417.

3. Gudmundsson S., Kappus E. On the geometry of the Tangent Bundle with the Cheeger Gromoll Metric // Tokyo J. Math. 2002. V.25, No 1. P. 75-83.

4. Ширяев К.Б. Связность и кривизна метрики типа Чигера Громола па касательном расслоении гладкого многообразия // Движения в обобщенных пространствах: межвуз. сб. пауч. тр. Пенза: Пепз. гос. пед. уп-т, 2000. С. 182 186.

Поступила в редакцию 28.08.09

Сухова Ольга Владимировна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Велипского.

Е-шаП: Бикта и Qlist.ru