CC BY
70
А
нализ и синтез систем управления
УДК 681.51:621.3.002.5:621.039.6:533.95
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ, ФОРМОЙ И ТОКОМ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ Т-15
С.М. Зенков, Ю.В. Митришкин, Е.К. Фокина
Рассмотрены вопросы разработки и математического моделирования магнитных систем управления формой, током и вертикальным положением плазмы в токамаке Т-15. Проанализированы две системы магнитного управления плазмой: двухкаскадная система с развязкой каналов управления и многомерным Нш-регулятором при импульсной стабилизации вертикального положения плазмы посредством ШИМ-элемента и система управления на основе оценки вектора состояния в дискретном времени, использующая наблюдатель состояния в обратной связи.
Ключевые слова: плазма, токамак, обратная связь, развязка каналов управления, Ню-робастная система управления, наблюдатель состояния, размещение полюсов, линейно-квадратичная задача.
ВВЕДЕНИЕ
Тороидальные аксиально-симметричные магнитные конфигурации, окруженные магнитными катушками, называются токамаками (рис. 1, а) [1]. Они предназначены для удержания высокотемпературной плазмы с целью получения в будущем энергии от слияния ядер легких элементов. В современных токамаках плазма вытянута по вертикали, т. е. имеет ^-образное сечение с вытяну-тостью 1,5 и более (вытянутость — отношение большой полуоси к малой вертикального сечения плазмы). В такой конфигурации отношение давления плазмы к давлению внешнего магнитного поля более чем в два раза выше, чем в токамаках круглого сечения [2]. Вытянутость приводит к неустойчивости плазмы в вертикальном направлении, что является платой за улучшение параметров плазмы посредством ее вертикального вытягивания.
При проектировании современных токамаков необходима разработка систем управления для подавления вертикальной неустойчивости плазмы и стабилизации ее формы и тока. Управление формой и током плазмы в токамаках осуществляется с помощью полоидального магнитного поля, создаваемого магнитными обмотками центрального со-
леноида и дополнительными обмотками, расположенными вокруг камеры токамака. Для подавления вертикальной неустойчивости плазмы, как правило, применяются обмотки горизонтального поля. Без подобных систем магнитного управления плазмой вытянутые по вертикали токамаки неработоспособны.
В данной работе изучаются возможности управления плазмой в токамаке Т-15, проект которого был анонсирован в 2010 г. [3]. Токамак Т-15 будет создаваться в Институте физики токамаков (НИЦ «Курчатовский институт», г. Москва). Для проектирования систем управления плазмой используется линейная модель плазмы для этого токамака, полученная путем линеаризации на квазистационарной стадии плазменного разряда плазмо-фи-зического кода DINA, разработанного в Троицком институте инновационных и термоядерных исследований [4]. Разработка системы магнитного управления плазмой в токамаке Т-15 продолжает цикл работ по управлению плазмой, проводимых в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН для проекта ITER (www.iter.org) [5—15]. Это связано с тем, что полоидальная система токамака Т-15 подобна магнитной системе ITER, поскольку обмотки полоидального магнитного поля расположены аналогично вокруг ваку-
Рис. 1. Расположение обмоток горизонтального магнитного поля (обмотки 10 и 11) в токамаке Т-15: а, б — обмотки вне камеры токамака рядом с обмотками полоидального поля, в — обмотки между камерой токамака и обмотками тороидального поля. Обмотки 10, 11 включаются встречно-последовательно и образуют обмотку HFC
умной камеры токамака. Разработанные системы управления плазмой моделировались в программно-вычислительной среде MATLAB/Simulink.
1. ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ
Объектом управления в данной работе служит плазма в токамаке Т-15, имеющим следующие параметры: большой радиус 1,48 м, тороидальное поле с индукцией 2 Т, ток плазмы 2 МА, вытяну-тость 1,9, аспектное отношение 2,2, планируемая длительность импульса 10 с [3]. Магнитная система токамака Т-15 включает в себя обмотку тороидального поля, 3 обмотки центрального соленоида CS1-3 (Central Solenoid), 6 обмоток полоидального поля PF1-6 (Poloidal Field), и обмотку горизонтального поля HFC (Horizon Field Coil) (рис. 1, а). В начальном варианте проекта токамака Т-15 обмотка HFC располагалась рядом с обмотками полои-дального поля (рис. 1 а, б) [3]. В результате проведенного исследования управляемости вертикального положения плазмы при различном расположении обмотки HFC [16—19] было показано, что начальное расположение обмотки HFC вне тороидальной обмотки не эффективно. Поэтому было принято решение разместить обмотку HFC между камерой токамака и обмоткой тороидального поля (рис. 1, в).
2. ЛИНЕИНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ
Линейная модель плазмы, пассивных и управляющих структур в токамаке Т-15 имеет вид линейной стационарной системы уравнений в пространстве состояний
x 1 = A1x1 + B1u1 + Ew,
y1 = C1x1 + D1u1 + Fw, (1)
где A1 e [64x64, B1 e [64x10, C1 e H19x64, D1 e [19x10, E e [64s2, F e [19x2 — матрицы модели (D1 = 0),
y1 = [8Z 8gT 8Ip 8I^oils 8R]T — выходной вектор сигналов, где 8Z — вертикальное смещение магнитной оси плазмы, 8g — смещение шести зазоров между сепаратрисой плазмы и первой стенкой, 8Ip — вариация тока плазмы, 8Icoils — вариации токов в CS/PF/HFC обмотках, 8R — горизонтальное смещение магнитной оси плазмы.
T T T
Вектор входных воздействий u = [ UCS UPF UHFC] , где UCS — напряжения на секциях центрального соленоида, UPF — напряжения на обмотках PF,
UHFC — напряжение на обмотке HFC. Вектор
T
w = [8ВР 8/,] описывает возмущение, его компо-
p i
ненты состоят из сбросов относительного давления плазмы вр и внутренней индуктивности плазмы ¡1 [1, 2]. Компоненты вектора состояния мо-
дели х1 представляют собой вариации токов в пассивных структурах и активных (управляющих) обмотках. Эволюция возмущающих параметров задается выражениями 8рр = — tdis),
Ц = S/i.0h(t — tdist), где — единичная ступенчатая функция Хевисайда, tdisr — момент времени возникновения возмущения, 8рр0 = —0,01 и 8/0 = -0,035 — это значения сбросов рр и /. соответственно. Такой вид возмущения моделирует явление малого срыва в токамаке [1].
3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Основная задача данной работы состоит в разработке и анализе различных систем управления вертикальным положением, током и формой плазмы в токамаке Т-15. Каждая из систем должна обеспечивать устойчивость плазменных параметров при возмущении типа «малый срыв». Также системы должны отрабатывать уставку по вертикальному положению плазмы с приемлемым быстродействием.
Рассматриваются многосвязные системы, реализующие два подхода:
— развязка девяти каналов управления со стабилизацией вертикального положения плазмы и применение многомерного Ню-регулятора;
— стабилизация объекта и задание желаемой динамики замкнутой системы через оценку вектора состояния.
4. ДВУХКАСКАДНАЯ СИСТЕМА
Эта система управления положением, формой и током плазмы в токамаке Т-15 структурно включает в себя следующие составляющие [16]: скалярный контур импульсной стабилизации вертикального положения плазмы, многомерный каскад развязки каналов управления и каскад с многомерным Ню-регулятором (рис. 2).
Особенность линейных моделей вытянутой по вертикали плазмы заключается в наличии единственного неустойчивого полюса, определяющего неустойчивую моду вертикального движения плазмы. Перед последующей развязкой каналов управления целесообразно предварительно стабилизировать объект управления [16—19]. Скалярный контур стабилизации включает в себя скалярную модель плазмы с входом инрс и выходом 82, пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления К = 105 и модель исполнительного устройства — инвертора напряжения [20, 21], работающего в режиме широтно-импульсной модуляции (ШИМ) с частотой 200 Гц и амплитудой выходного сигнала 400 В. На вход регулятора подается сиг-
нал рассогласования по вертикальному положению плазмы 2, выходом исполнительного устройства служит напряжение на обмотке горизонтального поля инрс
4.1. Развязка каналов управления
Развязка каналов управления осуществляется с помощью матрицы прямой цепи Кр и матрицы обратной связи (рис. 2) [9] для девяти каналов управления с использованием напряжений и токов трех обмоток центрального соленоида С81-3 и шести обмоток полоидального поля РР1-6.
Редуцируем исходную систему (1) до девятого порядка [22]. На рис. 3 приведены ганкелевы сингулярные числа [22] исходной системы, показывающие возможность такой редукции. Видно, что наибольшее влияние на составляющие выходного вектора у1 в выражении (1) оказывают первые де-
Рис. 2. Двухкаскадная система управления формой и током плазмы в токамаке Т-15 с импульсным контуром стабилизации вертикального положения плазмы
Рис. 3. Ганкелевы сингулярные числа стабилизированной нередуцированной системы
Вертикальное смещение плазмы
Выходной сигнал регулятора
§
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Вертикальная скорость плазмы
5 0
-5
-10
15
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Управляющий сигнал (выход исполнительного устройства) 400
200 0 200 400
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Время, с
1500 1000 500 : 0 -500 -1000 -1500
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Ток в обмотке управления
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Мощность
н РР
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Время, с
Рис. 4. Иллюстрация работы скалярного контура подавления вертикальной неустойчивости плазмы в двух каскад ной системе управления положением, формой и током плазмы в токамаке Т-15 при возмущении типа «малый срыв»
вять составляющих вектора состояния х1 в сбалансированной реализации модели объекта управления. Это связано с особенностями модели объекта управления — каждую составляющую выходного вектора у1 можно приближенно представить в виде линейной комбинации токов в обмотках управления и пассивных контурах.
Рассмотрим подсистему, включающую в себя в качестве входов только девять напряжений исз и ир¥ и девять вариаций токов в обмотках центрального соленоида и обмотках полоидальных полей ЫсоШ. Поскольку матрица В1 нулевая, эту подсистему можно представить следующим образом:
+ , У2 ,
где А2 е х2 е К9Х1
х2
а9х9 ° - -9Х9, С2 е К9Х9, и2 е
В2 е
(2)
>9*1
. Зададим управление в виде: и2 = Крг —
К/ЪУ2, где К
»9x9
Бр
БР
— матрица прямой цепи,
К^ е Ш9*9 — матрица обратной связи, г е [&9х1 — векторный сигнал-уставка по токам в обмотках управления. Тогда система (2) преобразуется к виду х2 = Лх2 + В2Крг, у2 = С2х2, где Л = А2 — В2К^С2 — матрица замкнутой подсистемы, которая выбирается диагональной для развязки каналов управления с желаемыми значениями собственных чисел для обеспечения приемлемой динамики подсистемы с обратной связью. На основе этой матрицы, матрицы Кр и Къ вычисляются как
Уъ
Къ = В-1 (А2 - Л) С2-1, Кр = - В-1 Л С2-1.
4.2. Многомерный Н¥-регулятор
Многомерный Ню-регулятор входит во внешний каскад двухкаскадной системы управления (блок КМ1М0, см. рис. 2). На вход регулятора подаются сигналы вариаций шести зазоров 8£1-6 и тока
е
11556542
Рис. 5. Иллюстрация работы многомерного контура двухкаскадной системы управления положением, формой и током плазмы в токамаке Т-15 при подаче возмущения типа «малый срыв»
плазмы 8/, а выходами являются задающие воздействия по токам в обмотках управления, поступающие на матрицу Кр внутреннего каскада сис-
ьр
темы. Регулятор получен методом H^-синтеза (loop shaping) с применением нормализованной взаимно простой факторизации передаточной функции
модели объекта G = M-1N [23]. При этом достигнут запас робастной устойчивости cmax = 0,254, где с = ||An Am— H^-норма пары неопределенных устойчивых передаточных функций AN, AM в сомножителях факторизации возмущенной модели Gp = (M + Am)-1(N + AN).
4.3. Численный эксперимент
Работа системы тестировалась путем моделирования возмущения типа «малый срыв» (см. § 2). Результаты моделирования приведены на рис. 4 и 5.
Система обеспечивает устойчивость всех управляемых плазменных параметров (вертикального
положения, зазоров и тока плазмы) при возмущении типа «малый срыв», время переходного процесса составляет около 0,1 с, а статическая ошибка по всем трем параметрам близка к нулю.
5. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПО ОЦЕНКЕ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
Вторая из рассматриваемых в данной статье систем — это система управления положением, током и формой плазмы по оценке вектора состояния с помощью наблюдателя. Она включает в себя наблюдатель вектора состояния и матрицу регулятора обратной связи, задающую размещение полюсов для получения желаемой динамики замкнутой системы. В отличие от двухкаскадной системы управления, разработка и тестирование данной системы проводились в дискретном времени с учетом транспортного запаздывания в моделях исполнительных устройств. Исследовалась возможность стабилизации плазмы по вертикали, исполь-
зуя только девять управляющих CS/PF обмоток, без обмотки горизонтального поля HFC.
5.1. Стабилизация объекта управления по оценке вектора состояния
Система управления плазмой в токамаке Т-15 будет работать в дискретном времени с тактом в 1,1 мс, поэтому модель (1) в непрерывном времени была дискретизирована с периодом дискретизации в 1,1 мс и приведена к системе разностных уравнений:
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n), y(n) = Cx(n), (3) где n e N+ — номер шага моделирования, A e [64s64,
ту ПЪ 64x10 ^ rro 19x64
B e [ , C e [ — матрицы дискретной линейной модели.
Также на каждом входе модели объекта (3) была добавлена модель исполнительного устройства (многофазного тиристорного управляемого выпрямителя) с транспортным запаздыванием в 3,3 мс. Добавление моделей выпрямителя по каждому из девяти входов привело к повышению общего порядка системы до 91. Это связано с тем, что задержка в выпрямителях моделируется в виде трех последовательных звеньев однотактовой задержки, поэтому каждый добавленный блок, моделирующий запаздывание в исполнительном устройстве по одному каналу, добавляет три состояния к общему числу состояний дискретной системы.
Если система (3) управляемая [24—27], то обратная связь по состоянию, стабилизирующая систему, задается в виде u(n) = — Kx (n), где x — оценка вектора состояния x. Оценка состояния при наблюдаемости системы (3) получается с помощью наблюдателя состояния x (n + 1) = Ax (n) +
+ Bu(n) - L(y (n) - y(n)), y (n) = Cx (n), где y — оценка вектора выходных сигналов y, а матрица
91 s 18
обратной связи наблюдателя L e [ при невязке y (n) — y(n) выбирается таким образом, чтобы полная матрица наблюдателя A - LC как замкну-
той системы была устойчива. Уравнения закона управления и оценки состояния можно свести к общей системе регулятора с наблюдателем в пространстве состояний
x(n + 1) = (A - LC - BK)x(n) + Ly(n),
u(n) = -Kx (n). (4)
Полюса замкнутой системы размещаются в соответствии с минимизацией квадратичного критерия качества по матрице обратной связи K (решение линейно-квадратичной задачи оптимизации):
го
J = £ [xT(n)XQx(n) +
n = 0
T к
+ u (n)(1 — X)Ru(n)] ^ min, (5)
где матрицы Q l 0, R > 0, а X — настраиваемый параметр, позволяющий задать желаемое качество управления. Если решается линейно-квадратичная задача оптимизации для управляемой модели объекта (3), то матрица K дает заведомо устойчивую замкнутую систему [27].
В работе синтезирована стабилизирующая
матрица обратной связи по состоянию K е [R9*91 для девяти входов модели объекта и 91-го состояния, минимизирующая критерий качества (5). Матрицы Q и R выбраны единичными, а параметр X = 0,9. Полюса наблюдателя были заданы пос-
91x18
редством матрицы L е [R9 в отрицательной обратной связи наблюдателя на отрезке действительной оси единичного круга [—0,05; +0,05]. Порядок полученного регулятора (4) при необходимости можно снизить, применяя методы редукции [22]. Структурная схема системы управления с регулятором по оценке состояния и наблюдателем показана на рис. 6.
Введение нормирующего коэффициента m, а далее и q, обусловлено тем, что метод управления по состоянию решает задачу стабилизации, а не слежения [24, 25, 27]. Для того, чтобы выходной
Рис. 6. Структурная схема системы управления по оценке вектора состояния: 5 2 — вертикальное смещение магнитной оси плазмы; 5£1-6 — вариации зазоров между сепаратрисой плазмы и первой стенкой; 5/ — вариация тока плазмы; 51со/м_9 — токи в обмотках управления С8 и РБ, 5Я — горизонтальное смещение плазмы; 1/т — нормирующий коэффициент, где т — коэффициент усиления замкнутой системы на нулевой частоте
15 * 10
^ 5
ю 5 ^ 0 -5
I
0,02
<10
Вертикальное смещение и уставка по Z, м
Токи, А
---- — II! ---rZ
ik Z -
...........У' ■' X' ■ ■ j \
i- 1 1 i i i
* 0
ю -0,02
-0,04
-0,06
2 1
< ^ 0
ю 0 -1
~I-Г"
_|_I_
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Вариации зазоров, м
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 :104 Вариация тока плазмы Ы A
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Время, с
6 4
ftf 2
ю
0 -2
4 2
Ю L
<10 3 Горизонтальное смещение 5R, м
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 <104 Напряжения, В
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Время, с
Рис. 7. Результаты моделирования системы с регулятором по оценке вектора состояния при подаче ступенчатой уставки по координате Z
Рис. 8. Структурная схема системы управления с регулятором и наблюдателем по состоянию и дополнительным контуром стабилизации вертикального положения плазмы: К — пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления 7500; — нормирующий коэффициент, где q — коэффициент усиления замкнутой системы от входа — напряжения на 10-й обмотке инрс — до вертикального смещения плазмы 5 2
сигнал системы был равен входному воздействию в установившемся режиме, необходимо вводить в прямой цепи нормирующий коэффициент, обратный коэффициенту усиления на нулевой частоте замкнутой системы управления.
Качество работы системы оценивалось по отработке уставки в 1 см по вертикальному положению плазмы Z Результаты приведены на рис. 7.
Система показала устойчивый переходный процесс по переменной Z со временем 0,1 с, несмотря на то, что 10-я обмотка (обмотка HFC) не участвует в процессе управления. Таким образом, можно сделать вывод, что стабилизировать вертикальное положение плазмы Z можно посредством управления по оценке состояния без дополнительного контура по вертикальному положению плазмы при
0
15 * 10
^ 5
ю 5 0 5
<10
Вертикальное смещение и уставка по Z, м
0,02 S 0
2 1
< ^ 0
ю 0 -1
:104
2000 < 0 ,-2000
Токи, А
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Вариации зазоров, м
4000
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Вариация тока плазмы 5/, A
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Время, с
а 2 af
ю
0
1
0,5
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
<10 3 Горизонтальное смещение 5R, м
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 <104 Напряжения, В
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Время, с
0
4
0
0
Рис. 9. Результаты моделирования системы с регулятором по оценке вектора состояния и дополнительным скалярным контуром стабилизации вертикального положения плазмы при подаче уставки по координате Z
наличии транспортного запаздывания в моделях выпрямителей в 3,3 мс.
5.2. Дополнительный контур стабилизации плазмы по вертикали
На рис. 8 приведена структурная схема системы управления с дополнительным контуром стабилизации Z по 10-й обмотке. Ко входу 10-й обмотки также подсоединена модель выпрямителя с транспортным запаздыванием в 3,3 с, а не модель ШИМ-элемента, т. е. инвертора напряжения.
Переходные процессы при подаче задающего воздействия в дополнительный скалярный контур по Z в 1 см показаны на рис. 9.
Применение пропорционального регулятора в контуре обратной связи с коэффициентом усиления, равным 7500, позволило сократить время переходного процесса до 0,05 сек. Таким образом, введение дополнительного контура по управлению вертикальным положением плазмы с обмоткой горизонтального поля HFC, питающейся от выпрямителя напряжения, позволяет оказывать влияние на качество переходных процессов при ста-
билизации вертикального положения плазмы и улучшать его.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье рассмотрены две системы управления положением, формой и током плазмы в тока-маке Т-15. Одна из них включает в себя многомерный контур развязки каналов управления, многомерный контур с H^-регулятором и импульсный одномерный контур ШИМ-стабилизации положения плазмы по вертикали с пропорциональным регулятором. Эта система обеспечивает устойчивость плазмы в токамаке при подаче возмущения типа «малый срыв» и обладает хорошим быстродействием.
Во второй системе используется алгоритм размещения полюсов замкнутой системы. В ее состав входят наблюдатель для оценки вектора состояния и регулятор по оценке состояния. Показано, что с помощью данной системы можно стабилизировать вертикальное положение плазмы, не используя обмотку горизонтального магнитного поля HFC. Однако, введение дополнительного контура стаби-
лизации, использующего эту обмотку с многофазным выпрямителем, улучшает качество переходного процесса в системе.
Следующий шаг в разработке систем магнитного управления плазмой в токамаке Т-15 состоит в уточнении (идентификации) моделей исполнительных устройств и учете этих моделей при синтезе алгоритмов управления, а также в применении полученных регуляторов на плазмо-физичес-ком коде DINA.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wesson J.A. Tokamaks. — Oxford: Clarendon Press, 1997. — 832 p.
2. Кадомцев Б.Б., Шафранов В.Д. Магнитное удержание плазмы // Успехи физических наук. — 1983. — Т. 139, вып. 3. — С. 399—434.
3. Azizov E. A., Belyakov V.A., Filatov O.G., Velikhov E.P., and T-15MD Team. Status of project of engineering-physical toka-mak // 23rd International Atomic Energy Agency (IAEA) Fusion Energy Conf., Daejon , South Korea, 2010, FTP/P6-01.
4. Лукаш В.Э., Докука В.Н., Хайрутдинов Р.Р. Программно-вычислительный комплекс DINA в системе MATLAB для решения задач управления плазмой токамака // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Термоядерный синтез. — 2004. — № 4. — С. 40—49.
5. Докука В.Н., Кадурин А.В., Митришкин Ю.В., Хайрутдинов Р.Р. Синтез и моделирование Ню-системы магнитного управления плазмой в токамаке-реакторе // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 8. — C. 126—145.
6. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я. Система с прогнозирующей моделью для управления формой и током плазмы в токамаке // Проблемы управления. — 2008. — № 5. — C. 19—25.
7. Mitrishkin Y.V., Korostelev A.Y., Sushin I.S., Khayrutdinov R.R., Dokuka V.N. Plasma Shape and Current Tracking Control System for Tokamak // Proceedings of The 13th IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing / V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences. — Moscow, June 3—5, 2009. — Fr-C7.1. — P. 2133—2138.
8. Mitrishkin Y.V, Korostelev A.Y., Dokuka V.N, Khayrutdinov R.R. Design and Modeling of ITER Plasma Magnetic Control System in Plasma Current Ramp-Up Phase on DINA Code // Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control. — Shanghai, China, December 16 — 18, 2009. — P. 1354—1359.
9. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я. Каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления // Вестник МГТУ. Сер.: Приборостроение. — 2010. — T. 79, № 2. — С. 21—38.
10. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я, Докука В.Н., Хайрутди-нов Р.Р. Синтез и моделирование двухуровневой системы магнитного управления плазмой токамака-реактора // Физика плазмы. — 2011. — Т. 37, № 4. — С. 307—349.
11. Mitrishkin Y.V, Kadurin A.V, Korostelev A.Y. Tokamak Plasma Shape and Current HController Design in Multivariable Cascade System // Proc. 18th IFAC World Congress. — Milan, Italy, 2011.— TuA16.3. — P. 3722—3727.
12. Mitrishkin Y. V., Efremov A.A., Zenkov S.M., Sushin I.S., Dokuka V.N, Khayrutdinov R.R. Hardware-in-the-loop Simulation as a stage of Plasma Control System Model-Based Design in Tokamaks: a Test Case // Proc. IEEE Multi-conference on Systems and Control. — Denver, USA, 28 — 30 September, 2011. — WeB03.6.
13. Кадурин А.В., Митришкин Ю.В. Многомерная система каскадного управления формой и током плазмы в токамаке
со встроенным H -регулятором // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 10. — С. 52—71.
14. Mitrishkin Y. V., Kartsev N.M. Hierarchical Plasma Shape, Position, and Current Control System for ITER // Proc. the 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. — Orlando, FL, USA, 12-15 December, 2011. — TuA13.2. — P. 2620—2625.
15. Mitrishkin Y.V., Efremov A.A., Zenkov S.M. Experimental Test Bed for Real Time Simulations of Tokamak Plasma Control Systems // Journal of Control Engineering and Technology, ht-tp://www.ijcet.org/ (in press).
16. Митришкин Ю.В., Зенков С.М. Каскадная система управления положением, формой и током плазмы в тока-маке Т-15 // Материалы конф. «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭ0СС-2012). — СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012. — С. 179—182.
17. Митришкин Ю.В., Зенков С.М, Карцев Н.М, Ефремов А.А. Сравнительный анализ систем управления неустойчивым вертикальным положением плазмы в токамаке // Тр. XII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» / Институт проблем управления. — М., 2012. — С. 243—244.
18. Mitrishkin Y.V, Zenckov S.M., Kartsev N.M, Efremov A.A, Dokuka V.N, Khayrutdinov R.R. Linear and impulse control systems for plasma unstable vertical position in elongated toka-mak // Proc. The 51st IEEE Conference on Decision and Control. — Maui, Hawaii, USA, December 10—13, 2012. — P. 1697—1702.
19. Митришкин Ю.В., Карцев Н.С., Зенков С.М. Стабилизация неустойчивого вертикального положения плазмы в тока-маке Т-15 // Автоматика и телемеханика (в печати).
20. Бортников А.В, Герасимов С.Н., Митришкин Ю.В, Цыпа-кин И.А. Инвертор напряжения автоматической системы управления положением плазменного шнура в токамаке ТВД // Препринт ИАЭ — 5068/7. — М.: 1990. — 36 с.
21. Моин В. С. Стабилизированные транзисторные преобразователи. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 376 с.
22. Green M., Limebeer D.J.N. Linear Robust Control. — Prentice Hall Inc.: A Paramount Communications Company / Engle-wood Cliffs, New Jersey 07632, 1995. — 538 p.
23. McFarlane D., Glover K. A Loop Shaping Design Procedure Using H Synthesis // IEEE Trans. Automatic Control. — 1992. — Vol. 37, N 6. — P. 759—768.
24. Williams II R. L., Lawrence D. A. Linear state space control systems. — Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 978-0-471-73555-7, 2007. — 464 p.
25. Hespanha J.P. Linear systems theory. — Princeton, N.J.: Princeton University Press. Princeton and Oxford, 2009. — 263 p.
26. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Пер с англ. — М.: Машиностроение, 1986. — 448 c.
27. Ogata K. Designing Linear Control Systems with MATLAB. — Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, International, Inc., 1994. — 226 p.
Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Ю. Рутковским.
Семен Михайлович Зенков — мл. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, S (495) 334-87-71, И szenckov@gmail.com,
Юрий Владимирович Митришкин — д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, ® (495) 334-90-41, И yvm@mail.ru,
Екатерина Константиновна Фокина — ассистент, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, И ekaterinafokina@gmail.com.
