CC BY
217
Тихоненко А.В.
ИАТЭ НИЯУ МИФИ, г. Обнинск, профессор
alextikh@gmail.com
Системы символьной математики как технологические и математические инструменты инновационного
учебного процесса
Аннотация
Предлагается концепция современного инновационного учебного процесса на базе использования систем символьной математики как технологических и математических инструментов. Обсуждаются роль этих систем в физико-математическом образовательном процессе. Описываются особенности основных систем символьной математики применительно к проблемам учебного процесса в курсах физики.
1. Системы символьной математики и их роль в учебном процессе.
Современные науку и образование уже невозможно представить без повсеместного использования компьютерных технологий, вычислительной техники и различного математического обеспечения. Однако важным остается вопрос, как и в каком качестве их использовать при решении основной задачи высшей школы - подготовке высококвалифицированных научных и инженерных кадров, способных решать современные научные и практические проблемы.
Компьютерные ресурсы необходимые для успешного решения такой образовательной задачи должны удовлетворять определенным требованиям: обеспечивать преемственность и фундаментальность физико-математического и инженерного научного образования, не замыкаться на трудоемкое общения с компьютером и обладать самыми мощными и адекватными математическими возможностями.
Такими инструментами являются системы символьной математики -интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого интеллектуального уровня, сочетающие простоту использования с мощью самых современных математических инструментов. Их справочные материалы [3-8], содержат не только сведения по работе, но и развернутые современные учебники математики, справочники по физике и другим дисциплинам. Поэтому системы символьной математики являются интерактивной учебно-исследовательской виртуальной средой.
Работа в такой среде предполагает невольное «подтягивание» пользователя до необходимого уровня, что является своеобразной дополнительной образовательной технологией. Такие системы получили всемирное признание в научных и академических кругах как инструменты
научных исследований и прикладных инженерных расчетов; но они только начинают использоваться в образовании. При этом системы символьной математики обладают большой образовательной эффективностью, и опыт их развития указывает на перспективы их применения в учебном процессе.
Несмотря на «математическое происхождение» систем, они адекватны потребностям физико-математического и инженерного образования, как средства, содержащие самые разнообразные математические инструменты, необходимые для физических и прикладных исследований: от обработки массивов данных до квантовых систем и космологии.
Сами по себе системы символьной математики не являются средствами, «автоматически» поднимающими математический уровень пользователей: они могут служить полезными инструментами как при компьютерном решении задач, так и в самом процессе изучения физико-математических дисциплин (причем, эти стороны использования систем символьной математики, конечно же, взаимно обусловлены).
Не заменяя преподавателя и не подменяя стандартный учебный процесс, но требуя от пользователя необходимого уровня математической подготовки для общения на входных языках и составления аналитико-численных алгоритмов решения задач, системы символьной математики (имеющие встроенные инструменты верификации, в том числе и пошаговой, и обладающие обратными связями в виде интерактивных комментариев и подсказок), могут служить, с одной стороны, своеобразными контролерами качества математических выкладок, а с другой - обеспечивать учебный процесс информационного типа.
Соответствие задач физико-математического и инженерного образования и возможностей систем символьной математики делает последние естественной компьютерной средой обучения и учебно-исследовательской деятельности. Действительно, учебный процесс требует таких компьютерных средств, которые обеспечивали бы адекватный уровень математических вычислений и не требовали бы специальной программистской подготовки и трудоемкого освоения математического обеспечения.
В справочных материалах систем символьной математики имеются, помимо прочего, имеются развернутые современные учебники по математике, справочники по математике, физике и другим дисциплинам: их можно рассматривать как учебно-исследовательские среды.
Использование системы символьной математики в образовании:
- создает особую информационную среду обучения, основанную на современных компьютерных технологиях;
- позволяет органично сочетать фундаментальность образования с интерактивными и дистанционными формами обучения;
- обеспечивает профессиональную преемственность обучения, основанную на академической и научной практике работы с ССМ.
Системы символьной математики дают возможность проводить обучение деятельностного типа, изменить общение студентов с преподавателем и студентов между собой, использовать новые формы выполнение практических и домашних заданий. Они дают возможность преемственного подхода к традиционным практическим занятиям: с одной стороны на компьютере можно решать традиционные задачи, а с другой решение таких задач может быть существенно расширено за счет возможностей компьютера (подробный анализ полученного решения: наглядное представление результатов в аналитической и графической формах).
Рабочие листы систем представляют собой так называемые «живые электронные книги»: вычисления, преобразования, построения графиков и т.п. происходит интерактивно, а пользователь имеет возможность вносить свои поправки в значения параметров, изменять функции и делать дополнения (все это сразу или по команде отражается на рабочем листе). Все это делает системы символьной математики настоящим интерактивным учебным пособием.
Использование систем символьной математики в учебном процессе обеспечивает также дополнительные возможности в:
- применении индивидуальных и групповых формах выполнение заданий;
- организации выполнения заданий в очной и дистанционной формах;
- формулировке систем персональных заданий для каждого студента различных степеней сложности, учитывающих его образовательный уровень и скорость усвоения материала;
- расширении круг решаемых задач: от коротких типовых примеров до комплексных исследовательских заданий;
- развитии индивидуальных возможностей студентов.
Интегрирование систем символьной математики с системами
администрирования и контроля может обеспечить все потребности современного учебного процесса.
2. Особенности основных систем символьной математики
Для обеспечения учебного процесса можно рекомендовать системы MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA, что связано с простотой их использования и нацеленностью не только на научные исследования, но и учебный процесс. Поскольку принципы работы с системами символьной математики методически проработаны, возможно их постепенное освоение в ходе самого учебного процесса. Рекомендации по выбору MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA для обеспечения учебного процесса связан с простотой их использования и их нацеленностью не только на научные исследования, но и на учебный процесс.
MATHCAD наиболее прост в освоении и использовании; обладает наиболее дружественным интерфейсом и требует самых минимальных
инструкций, необходимых для того, чтобы уже первом занятии начать решать конкретные задачи: MATHCAD можно рекомендовать для использования на начальных этапах учебного процесса - для студентов младших курсов (в том числе и не обладающих навыками работы в сложных компьютерных системах).
MAPLE и MATHEMATICA более сложные системы, обладающие самыми мощными вычислительными ресурсами, способными обеспечить любой математический уровень современного учебного процесса. Освоение и использование MAPLE и MATHEMATICA требует более основательной математической и программистской подготовки: их можно рекомендовать для использования на последующих этапах обучения - студентам средних и старших курсов и аспирантов (при этом навыки работы в MATHCAD оказываются полезными для освоение MAPLE и MATHEMATICA в виду общего подхода к работе в системах символьной математики -использования входных языков и программирование хода решения задач с использованием символьных процессоров).
Системы символьной математики способны обеспечить весь спектр математических операций, необходимых при изучении физико-математических дисциплин: алгебраические и символьные преобразования, дифференцирование и интегрирование, решение уравнений и систем уравнений, разложение функции в ряд, работа с векторами и матрицами, операции с комплексными функциями, использование булевых операций, построение двумерных и трехмерных графиков и др. По сравнению с MATHCAD системы MAPLE и MATHEMATICA обладают расширенными возможностями и, помимо указанных операций, способны символьно решать обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных; в них реализованы возможности тензорного анализа, работы со специальными функциями и многие другие средства. Это означает, что в тех случаях, когда для решения задач теоретической физики возможностей MATHCAD не хватает, можно использовать системы MAPLE и MATHEMATICA.
При этом профессиональный подход к вычислительным задачам, особенно при получении новых результатов, предполагает (когда это возможно) использование разных систем символьной математики и проверку результатов с помощью разных систем и подходов. Современный учебный процесс для широкого круга будущих научных работников и инженеров должен обеспечивать овладение практическими навыками проведения как натурного, так и вычислительного эксперимента с высокотехнологичными методами получения, обработки и анализа экспериментальных и теоретических данных. Это, в свою очередь, предполагает использование современного программного обеспечения, умения осуществлять как численные, так и аналитические вычисления, анализ и визуализацию результатов.
Во многих случаях это способны обеспечить системы символьной
математики, с помощью которых возможно осуществить в процессе обучения:
1) цифровой метод получения и компьютерная обработка данных разного типа;
2) аналитические вычисления и преобразования;
3) математическое компьютерное моделирование (от использования шаблонов моделей до модельных построений разного уровня);
4) вычислительный эксперимент (изучение процессов для разных условий и параметров);
5) интерактивная визуализация явлений и процессов (в том числе тех, которые недоступны для традиционного форм обучения).
Таким образом, системы символьной математики являются естественными современными программными ресурсами для обеспечения учебного процесса информационно-инновационного типа. Они способны обеспечить преемственность и фундаментальность образования на базе современного программного обеспечения.
Практическое применение систем символьной математики в учебном процессе можно осуществить на базе комплексов программ, использующих, с одной стороны широкие возможности самих систем, а с другой -программно реализующих общие и специальные методы физико-математических дисциплин, их содержательную часть и аналитико-теоретические подходы.
Заметим, что возможности систем символьной математики позволяют (что, собственно, отражает методологические основы теоретической и математической физики, и что возможно реализовать в системах) построить ход решения (или их отдельные этапы) физических и математических задач в виде программных блоков и комплексов, которые можно трактовать как универсальные реализации решений общих теоретических и учебных проблем, так и рассматривать как составные части для создания комплексов для решения крупных прикладных проблем.
В связи с этим разрабатываемые программные комплексы можно использовать на лекциях, практических и лабораторных занятиях (в виде компьютерного практикума моделирующего типа с использование систем символьной математики) в курсах элементарной, общей, теоретической и математической физики; они могут стать универсальными учебно-исследовательскими ресурсами, применяемыми студентами и аспирантами при выполнении учебно-исследовательских курсовых и дипломных работ и диссертаций.
В настоящее время большое число вузов России используют в учебном процессе ССМ (включая, MATHCAD, MAPLE и MATHEMATICA MATHLAB). Среди университетов, строящих подготовку кадров на основе ССМ - самые престижные вузы мира, например, Princeton University; California Institute of Technology; University of Oxford и т.п.)
Технологиями, основанными на использовании в образовании систем символьной математики, охватывается практически весь спектр академических дисциплин в области точных наук, а также ряд гуманитарных наук.
Системы символьной математики используются:
- при проведении практических занятий и лабораторных работ;
- в виде «живых» электронных справочников и книг
- как рабочие материалы для банка задач и выполнения домашних и дистанционных заданий;
- как универсальные средства для создания учебных пособий и наглядных визуализаций.
Тем не менее, существует большой ресурс для использования ССМ в образовании, связанный:
- с универсализацией учебных материалов (и доведения их до уровня, соответствующего фундаментальным педагогическим принципам);
- с разработкой технологических основ многоцелевого и многовариантного учебного процесса, сочетающего очные и дистанционные формы обучения и обеспечивающие индивидуальность «траектории обучения» для каждого студента;
- с расширением области применения ССМ для дисциплин, использующих сложный математический аппарат;
- с развитием подходов, обеспечивающих естественную связь учебно-научной деятельности и исследовательской работы;
- с обеспечением преемственного поступательного процесса подготовки кадров, включающего профориентацию школьников, реализацию мотивационных потребностей студентов и развитие профессиональных компетенций молодых специалистов и ученых.
3. Компьютерный практикум с использованием систем символьной математики
Требования, предъявляемые к современным специалистам, и развитие компьютерные технологии обосновывают необходимость внедрения в учебный процесс новых типов занятий. Одним из них являются практические занятия в форме компьютерного практикума по физике. Современный ученый или инженер должен обладать не только навыками экспериментальной деятельности, но и методиками моделирования и теоретического анализа.
В науке и промышленности реализуются подходы, когда строительство дорогостоящего, например энергетического, объекта, не начинается без построения многочисленных моделей и проведения виртуальных экспериментов по изучению свойств объекта и его поведения в экстремальных ситуациях, а все современные научные данные получают на установках, которые интегрированы в компьютерную среду.
Следовательно, современный физический практикум уже сейчас должен сочетать овладение практическими навыками проведение
эксперимента с высокотехнологичными методами получения, обработки и анализа экспериментальных данных.
Поэтому компьютерный практикум по общей физике создан не как альтернатива традиционному физическому практикуму, а как новая технология обучения. Он является инновационной аналитической частью общего физического практикума, интегрированной с практическими занятиями и другими видами учебной деятельности.
Основные идеи, положенные в основу проведения компьютерного практикума:
1. Компьютерный метод получения и обработки экспериментальных данных.
2. Компьютерное моделирование физических явлений разного типа.
3. Численный эксперимент для физических процессов.
4. Визуализация физических явлений и процессов.
Компьютерный практикум выполняется студентами первого, второго
и третьего курсов, изучающих общую физику.
В зависимости от специальности и количества времени, отводимого на изучение физики, могут отличаться количество тем и объем заданий практикума.
Методическим обеспечением компьютерного практикума по общей физике является:
- учебные пособия по практикуму (изданные в традиционном виде)
[1, 2];
- электронные материалы: программы и комплексы программ в виде рабочих листов систем.
Учебные пособия и электронные материалы содержат:
- теоретическое введение по изучаемой теме, содержащее основные законы и формулы;
- задания компьютерного практикума с указанием последовательности и методов выполнении;
- формулировки методов исследования изучаемых явлений;
- примеры выполнения заданий и отчетов;
- вычислительные примеры и шаблоны.
Для сопровождения компьютерного практикума необходимо учебное пособие [1] по использования специализированных систем символьной математики для решения физических задач. Оно содержит необходимые для физики приемы работы с системами символьной математики, математические примеры вычислительных операций, основные сведения и примеры обработки экспериментальных данных.
Необходимым техническим обеспечением компьютерного практикума является:
- персональные компьютеры, компьютерные классы, дополнительное цифровое оборудование;
- системы символьной математики и вспомогательные
компьютерные программы.
Компьютерный практикум по общей физике можно реализовать в системах MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA. Основной математической системой практикума является MATHCAD: он наиболее прост в освоении и обладает всеми необходимыми для задач общей физики инструментами. MATHCAD можно рекомендовать для студентов с двухгодичным курсом общей физики и небольшим количеством учебных часов. Для студентов физических и физико-технических специальностей можно рекомендовать использование более сложных систем MAPLE и MATHEMATICA. Практически использование ССМ можно начать с MATHCAD для всех студентов первых курсов с постепенным подключением систем MAPLE и MATHEMATICA на втором и третьем курсах.
Структура компьютерного практикума должна соответствовать учебным планам курсов общей физики и охватывать все основные разделы программы: классическая механика; механические колебания и волны; термодинамика и молекулярная физика; электричество и магнетизм; оптика; квантовая физика.
В рамках компьютерного практикума может естественным образом проводиться обработка экспериментальных данных, включающая: вычисления доверительного интервала; вычисление косвенных погрешностей; построение графиков (с использованием полиномиальной регрессии и других методов).
Использование компьютерных методик обработки
экспериментальных данных означает не только упрощение работы при сложных и громоздких вычислениях, но и возможность дополнительного анализа данных, следствием которого могут быть дополнительные измерения или необходимость более тщательного выполнения работы. Использование ССМ дает возможность представлять отчеты не только с полными аналитическими выкладками и численными расчетами, но и проконтролировать все шаги выполняемой работы.
4. Концепция инновационного учебного процесса на базе систем символьной математики
В физико-математических и инженерных дисциплинах основные законы, теоремы, зависимости параметров и т. д. представляются в виде функциональных аналитических соотношений - символьных формул. И именно символьные вычисления и преобразования составляют наиболее существенную содержательную часть всей вычислительной работы в этих дисциплинах [3-7].
До сих пор учебный процесс, обеспечивающий изучение таких дисциплин, в основном, обходится без использования компьютерных технологий в части использования символьных вычислений: существующие учебные материалы либо являются оцифрованными учебниками традиционного типа (различного программного воплощения), либо представляют собой отдельные программные ресурсы для численных
вычислений, построения графиков и т.п. При этом системы компьютерного тестирования в области точных наук основаны на контроле «текстовых выражений» или численных значений и на выборке правильного результата из нескольких формул-картинок.
Это означает существенное ограничение образовательного потенциала компьютерных технологий в области точных наук и приводит, в свою очередь, к подходу типа «делаем как допускает система, а не как того требует содержание дисциплины», что особенно наглядно в попытках компьютерной проверки знаний, представленной естественными символьными соотношениями, в виде не всегда корректных их текстовых описаний или представлений и зачастую проверяющих не сами знания, а лишь демонстрирующих несовершенство компьютерной системы или программы, неспособной адекватно представить и проверить материал точных наук.
Другая проблема, которая имеет место в учебном процессе в области преподавания точных наук, - обеспечение интерактивности учебных материалов (что совершенно естественно для таких предметов) и организация дистанционного учебного процесса. Знание основных законов в виде формул и соотношений требует выполнения многочисленных выкладок и преобразований, умения выводить формулы и применять их для разных ситуаций, «традиционные компьютерные технологии» способны обеспечить лишь «традиционные формы» представления знаний.
С другой стороны «несовершенство» таких подходов ограничивает дистанционной учебный процесс в части обмена информацией (огромные по размеру файлы, невозможность проверки заданий в автоматическом режиме и т.п.) между учащимся, учебным заведением и преподавателем: существенная часть учебных материалов (задания, контрольные и т.п.) существует в бумажном виде и пересылается обычной почтой или по электронной почте в виде отсканированных страниц и/или материалов, выполненных в текстовых редакторах.
Эти проблемы естественным образом могут быть решены использованием в учебном процессе систем символьной математики, которые в состоянии полностью обеспечить сопровождение преподавания точных наук: интерактивный тип материалов, малый объем пересылаемых электронных файлов-рабочих листов, электронный банк заданий и типовых задач, процесс обучения с представлением материала в аналитическом виде (с учетом других обширных возможностей систем символьной математики), реальное дистанционное взаимодействие студент - преподаватель, а также контроль знаний в естественном математическом символьно-формульном виде.
Именно такой подход, основанный на использовании современных систем символьной математики и который, с одной стороны, реализует все базовые фундаментальные принципы образования физико-математических и инженерных курсов, а с другой - обеспечивает учащихся
и преподавателей самыми современными математическим и технологическими компьютерными средствами, сочетающими аналитические вычисления, численный анализ и качественную визуализацию данных и результатов, составляет содержание инновационного учебного процесса.
Отметим, что компьютерные технологии в образовании могут быть эффективными только при соответствии программных возможностей математического обеспечения, качества электронных учебных материалов и профессионального уровня преподавателей (как в предметной области, так и в области использования компьютерных технологий).
Реализация такого инновационного учебного процесса может быть осуществлена посредством разработки и внедрения программных комплексов на основе систем символьной математики, их интеграцией в систему преподавания, администрирования и контроля, а также с адаптацией этих комплексов с другими компьютерными технологиями, сопровождающими современный учебный процесс [1-7].
Литература
1. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе общей физики. Обнинск: ИАТЭ, 2003. 84 с.
2. Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Части 1 - 5. Обнинск: ИАТЭ, 2003-2004.
3. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Части 1 и 2. Обнинск: ИАТЭ, 2005.
4. Тихоненко А.В. Решение краевых задач для двумерного уравнения Лапласа методом разделения переменных в MAPLE. Обнинск: ИАТЭ, 2005. 80 с.
5. Тихоненко А.В. Векторный анализ в прикладных математических пакетах. Обнинск: ИАТЭ, 2006. - 80 с.
6. Тихоненко А.В. Решение уравнения Шредингера для одномерного рассеяния в MAPLE и MATHEMATICA. Обнинск: ИАТЭ, 2005. 80 с.
7. Тихоненко А.В. Компьютерные аналитические методы решения задач электростатики и магнитостатики. Обнинск: ИАТЭ, 2008. 48 с.
