CC BY
173
УДК 621.372
А.Н. Сычев, С.М. Стручков
Системы параметров одинаковых связанных линий с неуравновешенной электромагнитной связью
Представлены различные базисные наборы проектных параметров одинаковых связанных линий с неуравновешенной электромагнитной связью, позволяющие эффективно осуществлять моделирование, анализ и синтез связанных линий передачи, широко используемых в СВЧ-технике и высокоскоростных межсоединениях цифровых устройств.
Ключевые слова: связанные линии, чётная мода, нечётная мода, характеристический импеданс, собственный импеданс, коэффициент связи, эффективная диэлектрическая проницаемость.
Связанные линии передачи широко используются в СВЧ-технике в составе направленных от-ветвителей, фильтров, фазовращателей, а также в импульсной технике и высокоскоростных межсоединениях цифровых устройств.
Большое разнообразие конструкций связанных линий (СЛ) зачастую не позволяет разработчику сосредоточиться на ключевых электрических параметрах, позволяющих выявить их основные свойства и построить концептуальную классификацию СЛ по рабочим проектным параметрам. Многократный анализ конструкции (поперечного сечения) с сопутствующими процедурами оптимизации параметров является не всегда эффективным процессом, особенно на первых этапах. Ведь приходится выполнять полный цикл анализа [1]: «проектные параметры конструкции» ^ «электрические проектные параметры» ^ «частотный или временной отклик системы». Однако если весь процесс разбить на два этапа, выделив центральное связующее звено - «электрические проектные параметры», то задача намного упростится. Например, направленные ответвители на СЛ синтезируют по заданному коэффициенту связи, а это один из «электрических проектных параметров». Именно последним, характеризующим СЛ, и будет посвящена данная статья.
Постановка задачи. Рассмотрим в качестве примера одну из широко используемых конструкций СЛ - микрополосковые связанные линии, показанные на рис. 1, а. При этом заметим, что ком -мерчески доступные САПР СВЧ, например MW Office, имеют в своих библиотеках компонентов устройств модели СЛ (CLIN, CLINP, LGC_CTx). Для каждой такой модели пользователь должен задать соответствующий набор электрических проектных параметров, а в физических моделях ещё и геометрическую длину отрезка.
Магнитная стенка Электрическая стенка
" + +
! Плоскость симметрии
0
0
2
4
а б в
Рис. 1. Конструкция микрополосковых одинаковых связанных линий (а) и их декомпозиция на две полуструктуры в режимах чётного с магнитной (б)
и нечётного с электрической (в) стенками возбуждений с сетками силовых (-)
и эквипотенциальных (---) линий электрического поля
Компьютерное проектирование СВЧ-устройств, в том числе содержащих отрезки СЛ, с использованием иностранных САПР с англоязычным пользовательским интерфейсом уже давно не ред-
4
2
0
0
2
4
кость. К тому же, в условиях глобализации и международной интеграции, необходимость представления результатов на зарубежных научных конференциях требует придерживаться общепринятой англоязычной терминологии. Отсюда англоязычные термины должны однозначно переводиться на русский, и наоборот.
Однако в отечественных публикациях терминологическая неопределённость, к сожалению, до конца не преодолена. Ведь действующие ныне российские стандарты по терминологии в области СВЧ-устройств и полосковых линий, например ГОСТ 21702-76, впервые появились более 30 лет назад и не определяют некоторых новых важнейших понятий. Отсюда происходит сложность и при выборе того или иного термина в русскоязычной научной литературе и технической документации.
Что касается параметров связанных линий, то разнобой в обозначениях и до сих пор неустоявшаяся терминология порой вводят в заблуждение некоторых исследователей, например
В+Эфф = treffe = еeffe = sre I е+.-фф = sreffo = seffo = sro ; Z0e = ZC ; Z0o = . ПоЭТОму для сохранения преемственности, русскоязычные специалисты стараются придерживаться классических источников [2, 3, 6], за исключением случаев написания текстов на английском.
Авторы [2. С. 219] заявляют: «Многообразие различных систем параметров, описывающих связанные линии, не вызвано практической необходимостью; оно связано лишь с некоторыми исторически сложившимися традициями и школами». Это опять лишь объясняет ситуацию, однако не снимает проблемы. К тому же заметим, что в публикациях по связанным линиям, обычно приводятся не все интересующие читателя проектные параметры, например зачастую отсутствует коЭффициент неуравновешенности связи, который иногда даже неверно интерпретируется.
В связи с этим думается, что главными принципами при введении в научный оборот нового понятия и выборе известного или создании нового технического термина, должны стать - преемственность, понимаемость, адекватность, минимализм, желательно наличие общепринятого английского аналога.
Далее изложим в систематизированной форме практически все известные и некоторые новые соотношения для параметров одинаковых связанных линий, оптимальный выбор которых в ряде случаев позволит ускорить генерацию проектного решения.
Исходная квазистатическая модель связанных линий. Предварительный анализ. Начнём с того, что минимальное количество проектных параметров для одинаковых связанных линий равно четырём, т.е. они образуют квартет. После чего встаёт вопрос, какой набор параметров взять в качестве основного, в качестве исходных данных? Предположив, что нам заранее известно волновое сопротивление подводящих линий (практически это всегда так), выбираем четвёрку параметров, содержащую нужное согласованное волновое сопротивление Z0. Отсюда базисный набор будет следующим: Z0, srejf, к, 8 (причём последний параметр может быть легко заменён на более удобное в ряде случаев отношение эффективных диэлектрических проницаемостей е^/е,^). Этим выбором, т.е. заданием известного ограничения Z0, снижаем порядок сложности задачи, понизив на единицу количество степеней свободы с четырёх до трёх. После чего ещё один параметр может быть исключён из разряда искомых, так как может быть произвольным еf, потому что он может быть легко нивелирован длиной отрезка связанных линий. Этот параметр определяет фазу синусоидального сигнала или время задержки для импульсного. В итоге осталось два независимых проектных параметра: коэффициент электромагнитной связи к и степень неоднородности диэлектрического заполнения 8 (или эквивалентное ему отношение е^/е,^). В случае однородной среды задача сводится лишь к одному варьируемому параметру - коэффициенту связи к. Однако существуют и другие проектные параметры, которые группируются в квартеты, об этом ниже.
В начале общего исследования ещё раз уточним, что рассматриваем случай одинаковых (т. е. с межлинейной симметрией) связанных линий без потерь в проводниках R = 0 и диэлектрике G = 0. Моделирование обычно начинают с анализа выбранной конструкции линий и их диэлектрического заполнения (рис. 2). На этом этапе поиск элементов матриц погонных емкостей является основной процедурой, всё остальное - производное.
Первичный квазистатический анализ направлен на определение емкостей линий передачи при чётном (even) Се(1) и нечетном (odd) С0(1) возбуждениях с воздушным диэлектриком (рис. 2, а, б), из которых выражаются собственная и взаимная частичные емкости:
Cii^Mhiei!); с,2^SoffizSefi), (,)
из которых в свою очередь формируется матрица погонных емкостей с воздушным диэлектрическим заполнением С(1)
" С11 (1) -С12 (1)" _-С12 (1) Сц (1)
С(1) =
(2)
Магнитная стенка
^ Се( 1)
- е=1
Электрическая стенка
^ С0( 1) .-. е=1
Магнитная стенка е*=1 рЛ
Электрическая стенка
а б в г
Рис. 2. Расчётные структуры для вычисления модальных частичных ёмкостей: а - чётная с воздушным диэлектриком Се(1); б - нечётная с воздушным диэлектриком Со(1); в - чётная с реальным диэлектрическим заполнением Се; г - нечётная с реальным диэлектрическим заполнением Со
Аналогично, рассматривая случай реального диэлектрического заполнения (рис. 2, в, г), отыскиваются емкости структуры при чётном Се и нечетном Со возбуждениях
С - С
С12 = (3)
QСo + Се 1 ="
2 2 и составляется матрица погонных емкостей с реальным диэлектрическим заполнением С:
С =
С11 -С12 -С12 С11
(4)
Решение обратной задачи - нахождение модальных ёмкостей по заданным собственным и взаимным частичным емкостям - состоит в следующих формулах:
Се = С11 -|С12| ; Со = С11 + \Сц\; (5)
Се (1) = Сц (1) - |С12 (1)1; Со (1) = С„(1) + |С12(1). (6)
Возвращаясь к матрице (2) погонных емкостей с воздушным заполнением С(1) и применяя к ней операцию обращения, получаем матрицу погонных индуктивностей Ь [6]
Ь = цо8оС(1)-1, (7)
где цо = 0,4п мкГн/м, ео = 8,854 пФ/м - магнитная и электрическая постоянные, соответственно. Элементы этой матрицы Ь можно также выразить аналитически [4]:
¿11 =
Со (1) + Се (1)
1
2с 2Со (1)Се (1) 2с2
1
1
Се (1) Со (1)
¿12 =
Со (1)- Се (1)
1
2с2Со (1)Се (1) 2с
1
1
Се (1) Со (1)
(8)
где с = 2,998-108 м/с - скорость света в свободном пространстве. Отсюда выражаем коэффициент индуктивной связи [4]
¿12 = Со (1)-Се (1)
кЬ ¿11 Со (1) + Се (1)' Также получаем коэффициент емкостной связи в случае одинаковых линий [4]
к с = С12 = Со - Се Сц Со + Се
(9)
. (10)
--о + Се
Знание модальных (чётной и нечётной) емкостей структуры с воздушным и реальным диэлектрическим заполнением позволяет найти эффективные диэлектрические проницаемости для чётного и нечетного возбуждений и модальные импедансы (волновые сопротивления):
С(е о
•е£Г (е
С
о)(1)
г
0(е
У8ге# (е
Ц0е0
У^р/ е0
#(е,о)С(е,о) сС(е,о) ^С(е,о)С(е,о) I1) \ С(е,о)С(е,о)(1) (е,о) [С(е,о) (0^0
(11)
, (12)
где Уе:д(е10) - скорость волны в структурах четного и нечётного возбуждений. Используя (12), получаем коэффициент электромагнитной связи линий или просто коэффициент связи [4]:
к = -2°0 . (13)
г0в + ¿0о
Базисные наборы проектных параметров. Представленный выше анализ связанных линий является предварительным, однако для выяснения глубинных закономерностей математической модели целесообразно последовательность аналитических преобразований и взаимосвязь между различными базисными наборами проектных параметров выстроить по развёрнутой схеме, показанной на рис. 3.
Анализ (решение прямой задачи, обратное проектирование)
CD
О 1
Синтез (решение обратной задачи, проектирование, инжиниринг) Рис. 3. Взаимосвязь базисных наборов проектных параметров для одинаковых связанных линий с неуравновешенной электромагнитной связью (в неоднородной диэлектрической среде)
На схеме (рис. 3) представлены базисные наборы проектных параметров (квартеты) и связи между ними. Их названия и состав определяются следующим образом [2-8, 14]:
1) модальные (при четном и нечётном возбуждении) погонные ёмкости с воздушным и реальным диэлектрическим заполнением: Се(1), Со(1), Се, Со - чётная и нечётная ёмкости с воздушным диэлектриком; чётная и нечётная ёмкости с реальным диэлектрическим заполнением соответственно;
2) погонные ёмкости и индуктивности в телеграфных уравнениях (первичные погонные параметры, собственные и взаимные емкости и индуктивности): Сц, С12, L11, Ь12 ;
3) собственные параметры одной из линий и коэффициенты емкостной и индуктивной связи: Сц, Ьц, кС, kL. Этот набор является комбинированно-промежуточным, так как содержит два параметра Сц, Ьц из предыдущего 2-го и два параметра кС, кЬ из последующего 4-го наборов;
4) собственные волновое сопротивление и диэлектрическая проницаемость одной из линий, а также коэффициенты емкостной и индуктивной связи: Z1, 8rej1, кС, кЬ;
5) характеристические (согласованные) параметры: Z0, erej, к, 8 - характеристическое волновое сопротивление, характеристическая эффективная диэлектрическая проницаемость, коэффициент связи, коэффициент неуравновешенности связи (степень неоднородности диэлектрика) соответственно;
6) производно-комбинированные параметры равные отношениям и произведениям модальных параметров: ZoeZoo, ZoJZoo, srejjeSre#o, sreje/srej0;
7) модальные параметры: Z0e, Z0o, srejje, sreffo - четное и нечётное волновые сопротивления (им-педансы), четная и нечётная эффективные диэлектрические проницаемости;
8) собственное и взаимное волновые сопротивления (импедансы), четная и нечётная эффективные погонные задержки: Z1b Z12, Тф, tj .
Итак, при анализе конструкции связанных линий в случае без потерь вначале находим модальные погонные ёмкости, т.е. базисный набор параметров 1 (см. рис. 2 и 3), от которого переходим к исходному набору 2 (см. выше) - матрицам погонных индуктивностей L и емкостей С, являющихся первичными параметрами, входящими в телеграфные уравнения. Далее переходим к набору 3 простым обобщением - введением понятий коэффициентов связи емкостной и индуктивной получаем Сц Ьц кЬ кС. Переход к набору 4 осуществляется введением понятий собственных (self) параметров линии Zi, 8rej1. Базисные наборы 5-7 - это модальные и другие вторичные параметры связанных линий.
Теперь запишем некоторые предварительные соотношения. Прежде всего определим собственные параметры одной из связанных линий [3-6]
Z1 =лДЫ07 ; L11 = Z1yjSreff 1 /с ; (14)
sref i = с2 L11Cn; C11 =фгвлт 1/ (cZ1); (15)
sreff 1 = (CTef 1)2 = hveff 1)2; L12 = kLL11; (16)
Teff 1 = V Veff 1 = \]Sreff 1/с = 4 L11C11 ; C12 = kCC11. (17)
Пусть заданы 2-й и 7-й базисные наборы параметров (см. рис.3), требуется выразить их друг через друга. Решение этой задачи, как прямой, так и обратной, записывается [3-8]:
Zoe =V(11 + L12)/( -C12|) =4(L11 + L12)C0e ; L11 = (Z0e-\jtreffe + Z0ojSreffo )/А2с) ; (18)
Z0o ^(L11 - L12 V(C11 + |C121) = V(L11 - L12)C0o ; L12 = (Z0e^/Sreffe - Z0oy¡Sreffo )/(2с); (19) Sreffe = с2 (L11 + L12)(C11 -|C121) = с2 (L11 + L12)C0e ; C11 = (^reffe ¡Z0e + s¡Sreffo /Z0o)/(2с) ; (20)
Sreffo = с2 (L11 -L12)(C11 + |C121) = с2 (L11 -L12)C0o ; C12 =^SreJJe/Z0e -4Sreffo ¡Z0o)/(2с) , (21)
где с - скорость света в свободном пространстве.
Возьмём наиболее интересные соотношения между наборами 4 и 5 (см. рис. 3) и представим их взаимосвязь. Выполним процедуру анализа (решение прямой задачи) и выразим 5-й набор параметров через 4-й:
Z0 = Z1
1-k 2
1- k
C
Sreff = Sreff (1-kL)(1-kC) ;
k =
(1-kL )(1-kC f|f l(1-kL)(1-kC)
1-.
\ 1
1+.
(1 + kL)(1 + kC)ll V (1 + kL)(1 + kC)
8 =
kL - kC
(22)
(23)
(24)
(25)
1-кькс
Здесь 8 - коэффициент неуравновешенности связи, используемый, например, в [4]. Теперь выполним процедуру синтеза (решение обратной задачи) и выразим 4-й набор параметров через 5-й (см. рис. 3). При этом запишем дополнительные соотношения, представляющие интерес при исследовании предельных случаев.
Z1 = Z0J 1+
1+k 1+8
rv
1-kV 1-8
1+k 1+8 1-k V1-8
1
= Z0,
(1+k)\/1+8+ (1 -k)>/1-8
^(1+k^V1Z8 + (1-k^V1+8 '
Z1 =
Z 0e = Z 0y¡ (1 + k )(1- k), если 8 = 1;
Z 0, если 8 = 0;_
Z0o = Z0yl (1-k)(1 + k), если 8 = -1.
Sreff 1 :
Sreff
1 + k2 1 + -
1-k2
Sreff 1
= J Sreff
/(1-k2 \
если 8 = 0;
k 1+k 1-8 |i1+k + M
L '1 - k V1+8Ä1 - k V1+8
ж , если 8 = ±1. -1
kC =|1±k_ M M, M C '1 -k V1 -8 Jl1 -k \1 -8
-1
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
44 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
Выберем в качестве целевого набора базисный набор 6 (см. рис. 3), а в качестве независимых переменных - наборы 4 и 5 и решим прямую задачу анализа. Попутно решим и обратную задачу, найдя связь наборов 7, 6 и 5. Заметим, что часть из этих выражений доступна из литературы, например [3-8]:
20е20о = ¿о2 = (1-кь)/(1-кС) ; ¿0 =л/г0ег0о ; (31)
^ге//е^ге//о (1-кХ)(1-кС) ; &гв// =ффёф ; (32)
Zoe_1+k (i+kL)(i+kc). k _ z0e -Zq0 _ Z0e/zOo -1. (33)
Z0o 1-k v(1 - kL 2(1-kc) Z0e + Z0o Z0elZ0o +1 '
treffe _ 1 + 8 (1 + kL)(l-kc) . g _ вreffe -Breffo _ в reffe jвreffo -1 _ (Treffe/Treffo) -1 (34) Bref0 1 -8 (1-kL )(1 + kC У Breffe +Breffo Breffe ¡Breffo +1 (xre#e/xref0 )2 +1 Запишем прямую связь наборов 4, 5 и 7 (см. рис. 3)
Z0e = ^ (35)
Z-=4T+rWT+| ; <36>
Breffe = вreff ^Y+r = вreff 1 (1 + kL)(1-kC) ; (37)
Breffo = BreffijT+^ = Breff 1 (T -kL)(T + kC) • (38)
Обратная связь базисных наборов 7 и 4 (см. рис. 3) записывается
Zi =
\jBreffe Z0e + \JBreffo Z0o
(39)
\sJBreffe /Z0e + \JBreffo /Z0o
Breff1 = (\JBreffeZ0e + s]BreffoZ0o)(yjBreffe /Z0e + ^Breffo/Z0o)/4 ; (40)
-\JBreffe Z0e — \JB reffo Z0o = Z0e!Z0o ~4Beffo/Beffe *\Breffe Z0e +yJBreJfoZ0o Z0elZ0o +\JBeffo/Beffe
= \jBreffe '/Z0e reffo ¡Z0o = Z0elZ0o ~yjBeffe /Beffo (42)
7Breffe ¡Z0e +^¡Breffo /Z0o Z0elZ0o +<\BeffejBeffo Некоторые важные дополнительные соотношения к (37) - (38) и (41)-(42):
Breffe = Breff
(1 + kL)(1 -kCК kL = Z0elZ0o -T effojTeffe . (43)
V(1- kL )(T + kC ) Z0elZ0o +Teffo / Teffe
(1- kL )(1 + kC) Z0e lZ0o -Teffe I Teffo ....
Breffo =Breff --9-f ; kC =---JJ ' JJ • (44)
^(1 + kL )(1-kC ) Z0e/Z0o +T effe I f
В заключение запишем выражения для элементов матрицы волновых сопротивлений (импедан-сов) через модальные (характеристические) сопротивления и наоборот, т.е. связь наборов 7 и 8, а также некоторые дополнительные соотношения:
Zii =(Z0e + Z0o )/2; Z0e = Zu + Z12 = Zu (1+k); (45)
Z12 = (Z0e - Z0o )/2; Z0o = Z11 - Z12 = Z11 (1- k) ; (46)
Teff (e,o) = TVeff (e,o) =<JBreff(e,o) /c k = Z12¡Z11 =(Z0e -Z0o)/(Z0e + Z0o) - (47)
Физические ограничения на проектные параметры. Заметим, что условиями физической реализуемости, априорно налагаемыми на погонные и модальные параметры, являются следующие:
L12 < L11; |СЫ < С11; 0 < k(L, с) < k < k(c, L) < 1; Z12 < Z11; Z0o < Z0 < Z0e; 1 < sref(e,o) < sre# < sref(o,e);
-1 < 8 < 1. Опираясь на эти основные неравенства, введём ещё дополнительную систему ограничивающих (критических, предельных, min, max) параметров, которые позволяют обозначить (конкре -тизировать) границы основных параметров и записать уточняющие ограничения в виде следующих неравенств:
1) естественно положить, что srejj min < srejj, где минимально допустимая характеристическая диэлектрическая проницаемость при заданном коэффициенте неуравновешенности определяется формулой
s reff min :
V
1+8
(48)
1-И
и не зависит от коэффициента связи к. Если характеристическую диэлектрическую проницаемость егеф задать меньше минимально допустимой, то одна из модальных диэлектрических проницаемо-стей опустится ниже единицы, что равносильно превышению скорости света данной модой;
2) соотношение егеф <8геф1 между характеристической егеф и собственной егеф диэлектрическими проницаемостями базируется на определении значения нижней границы диапазона собственной диэлектрической проницаемости
_srejfmin _ |1+8
sreff 1min
(^ V1-k 2у
2 \И "с. - ' (49)
1-к2 \1-
зависящем, в том числе и от коэффициента связи, при этом егеф 1тщ <егеф 1. Если собственную диэлектрическую проницаемость егф задать меньше нижней границы, то одна из модальных диэлектрических проницаемостей опустится ниже единицы;
3) максимально возможный коэффициент неуравновешенности при заданном коэффициенте связи равен
8тах = 2к/(1 + к2) , (50)
при этом И < 8тах. Если модуль коэффициента неуравновешенности задать больше максимально
возможного, то один из коэффициентов связи (емкостной или индуктивной) станет отрицательным;
4) минимально допустимый коэффициент электромагнитной связи при заданном коэффициенте неуравновешенности записывается
ктт =1/ И—1/ И2-1, (51)
откуда границы диапазонов различных коэффициентов связи запишутся так: тт(кх_с)) < (ктт < к) < тах(к(С,ц) < 8тах. Если коэффициент электромагнитной связи к задать меньше минимально допустимого, то один из коэффициентов емкостной или индуктивной связи станет отрицательным;
5) влияние коэффициента неуравновешенности И на соотношение коэффициентов связи и модальных диэлектрических проницаемостей следующее: если 8 = 0, то к = кь = кс и егеф = егефе = егефъ; если 8 > 0, то кь > кс и егф > егефъ; если 8 < 0, то кь < кс и егфе < егефъ. В этом аспекте интересен случай каскадного соединения регулярных отрезков линий с неоднородным диэлектрическим заполнением, имеющих все характеристические параметры, одинаковые по модулю, но с коэффициентами неуравновешенности, различающимися по знаку 81 = -82. Такое каскадирование позволяет из двух регулярных неуравновешенных секций 8^ Ф 0 получать единую ступенчато-нерегулярную уравновешенную структуру 8 = 0 связанных линий с выровненными модальными задержками;
6) максимально достижимые отношения эффективных диэлектрических проницаемостей, модальных скоростей и погонных задержек мод в зависимости от коэффициента связи и отношений модальных импедансов могут быть записаны так:
( -Л Л, _ Л Л, _ Л
max
rreff (e,o) I Sreff (o,e)
_ max
Teff (e,o) Teff (o,e)
_ max
veff (o,e) veff (e,o)
_ ^. (52)
1-k Z
Üo
Нарушение соотношений (52) приводит к отрицательному значению одного из коэффициентов связи (индуктивной или емкостной). Также эти соотношения для одинаковых линий позволяют ут-
верждать, что только при увеличении коэффициента электромагнитной связи к ^ 1, эквивалентном росту отношения модальных импедансов, можно получить максимальное отношение фазовых скоростей (погонных задержек, эффективных диэлектрических проницаемостей) нормальных волн (мод), т.е. |S| ^ 1. В противном случае - существенного ослабления связи - приходим к усреднённым значениям всех параметров, равным таковым для одиночной линии, а при нулевой связи к = 0 вообще исчезает само понятие неуравновешенности связи ввиду её полного отсутствия, т.е. 8 = 0.
Как видим, представленные выше ограничения в виде неравенств, использующие предельные значения параметров, имеют фундаментальную физическую основу и практическую интерпретацию.
Графические зависимости. Теперь представим графические зависимости (рис. 4-8) для визуализации математических соотношений между базисными параметрами, а также для иллюстрации особенностей вышеприведённых ограничений.
Иллюстрация важнейших соотношений (29) и (30) между наборами 4 и 5, которые выделены штриховой линией на схеме параметров (см. рис. 3), а также ограничений (50) и (51) приводится на рис. 4.
Семейство кривых на рис. 4 приведено для одного случая неуравновешенности 0 < 8 < 1, т.е. когда кь > кс, однако для второго случая -1 < 8 < 0, т.е. когда кь < кс, надо наименования кь и кс двух вертикальных осей ординат просто поменять местами. При заданной величине электромагнитной связи к = const рост коэффициента неуравновешенности 8 ведёт к расхождению значений коэффициентов емкостной кс и индуктивной кь связи, вплоть до достижения одним из них нулевого уровня, а другим своего максимального значения 8max. Однако, при заданной неуравновешенности 8 = const рост коэффициента электромагнитной связи к линий ведёт к сближению значений коэффициентов емкостной кс и индуктивной кь связи и в предельном случае достигает единицы: к = кс = кь = 1.
0.6 кь
0.6
кс
о^-^-^-^-^-'О
О 0.2 0.4 к 0 6 0-8 1
Рис. 4. Зависимости коэффициентов индуктивной кь и ёмкостной связи кс от коэффициентов электромагнитной связи к и неуравновешенности 5
Иллюстрация ограничений (50) и (52) в явном виде приводится на рис. 5.
max
20
^ zreff (e,o) ^
sref (o,e)
Рис. 5. Зависимости максимально возможного модуля коэффициента
неуравновешенности 5тах (-)
и отношения модальных диэлектрических проницаемостей
тах(&гг$>(г,о)1вгг$(о,е)) (---) от коэффициента связи к
Из рис. 5 видно, что с ростом коэффициента связи к растёт максимально возможное значение коэффициента неуравновешенности 8max, а при заданном коэффициенте связи к текущее значение модуля коэффициента неуравновешенности 8 не может превышать предела 8max. Например, при к = 0,5 получаем 8max = 0,8, т.е. max (s reff (e,o)/ Sreff (o,e)) =9.
8
к
Интересные соотношения (28) и несколько неожиданное ограничение (49) иллюстрируется рис. 6.
Рис. 6. Семейство кривых зависимости собственной эффективной диэлектрической проницаемости от коэффициентов связи к и неуравновешенности
5 = (0; ±0,8; ±0,9; ±0,95) при ег = еге# = 1
к
Из рис. 6 видно, что даже в случае воздушного однородного диэлектрического заполнения &г = = 1 и уравновешенной связи 5 = 0 (т.е. к = кЬ = кс) собственная диэлектрическая проницаемость еге_^1 всегда будет превышать единицу: е^ > 1. Этот вывод выглядит несколько парадоксальным - при отсутствии замедляющей диэлектрической среды наблюдаем замедление волны. Однако объяснение кроется в наличии электромагнитной связи к > 0, являющейся фактором эквивалентного
замедления. Например, если ег = = 1, 5 = 0 и к = л/27з = 0,816, то согласно формулам (28) и графику (см. рис. 6) получаем егф = 3. Также важно заметить, что изменение знака коэффициента неуравновешенности 5 никак не влияет на величину собственной диэлектрической проницаемости
е^Д.
Схемы измерений собственной погонной ёмкости Сц и индуктивности Ьц одной из связанных линий показаны на рис. 7. Они важны для непосредственной экспериментальной экстракции двух проектных параметров из 2-го и 3-го базисных наборов (см. рис. 3), позволяющей верифицировать результаты численного компьютерного моделирования СЛ.
Рис. 7. Схемы измерений собственной погонной ёмкости С11 (а) и индуктивности Ь11 (б) одной из связанных линий
4 ?Ьп Л
о-1 ' 1—
1
о-1 1 1—
¿1 \
1.
б
Отрезок связанных линий в схеме измерения собственной ёмкости Сц (рис. 7, а) на дальнем конце имеет обрыв (режим холостого хода). На ближнем конце одна из линий соединяется с «землёй» (режим короткого замыкания), а другая подключается к измерителю ёмкости. Измеренная величина ёмкости делится на длину отрезка и получается значение собственной погонной ёмкости Сц.
В схеме измерения собственной индуктивности Ьц (рис. 7, б) на дальнем конце обе связанные линии соединяются с «землёй» (режим короткого замыкания). На ближнем конце одна из линий имеет обрыв (режим холостого хода), а другая подключается к измерителю индуктивности. Измеренная величина индуктивности делится на длину отрезка и получается значение собственной погонной индуктивности Ьц.
Семейство кривых зависимости собственного импеданса от коэффициентов связи к и неуравновешенности 5, описываемых формулами (26) и (27), приводится на рис. 8.
Из рис. 8 видно, что при нулевой связи значения всех импедансов совпадают: = Х0е = Х0о = Х0 = 50 Ом. Однако при увеличении коэффициента связи к наблюдаем отклонение значения собственного импеданса от характеристического Х0 (здесь Х0 = 50 Ом), нарастающее как в сторону малых при 5 < 0, так и в сторону больших при 5 > 0 значений импедансов. Например, при к = 0,5 и 5 = ±0,9 получаем = 36,2 Ом и = 69,2 Ом соответственно. Заметим, что в случае уравновешенной связи 5 = 0 получаем = Х0 = 50 Ом независимо от величины связи, а в двух других
а
предельных случаях неуравновешенной связи 8 = ±1 величины собственных импедансов 2] совпадают с модальными импедансами 2Се и 2Со соответственно [см. формулу (27)].
125
100
75
О
N
50
25
1 1 1 1 / 1
0,9
0,6
8 = 0
-0,6
-___-0,9
1 1 1 1 I >
Рис. 8. Семейство кривых зависимости собственного импеданса 21 от коэффициентов связи к и неуравновешенности 8 = (0; ±0,6; ±0,9; ±1) при 20 =50 Ом
0.2
0.4
к
0.6
0.8
Примеры моделирования. Представим примеры базисных наборов проектных параметров для различных структур СЛ. Первая тестовая структура СЛ - микрополосковые связанные линии [9] со следующими параметрами конструкции (см. рис. 1): м> = 0,9 мм; X = 0,05 мм; 5 = 0,8 мм; к = 1 мм; ег1 = 10; ег2=1. Здесь исходными данными являются модальные параметры, которые вместе с остальными рассчитанными параметрами СЛ представлены в таблице.
Вторая структура - СЛ с сильной лицевой связью на вертикальной подложке [10] с параметрами конструкции: ^ = 2,5 мм; к = 1 мм; к2 = 0,5 мм; ег1 = 7,15; ег2 = 2,82; ег3=1. Здесь исходными данными являются погонные емкости и индуктивности (второй базисный набор), которые вместе с остальными параметрами СЛ также представлены в таблице.
Числовые значения проектных параметров из базисных наборов для различных структур
Номер базисного набора по рис. 3 Проектный параметр Источник
[9] [10] [11, 12] [13] [14]
1 С,(1)/ес 2,40 1,95 1,21 5,14 0,837
С0(1)/бс 3,89 13,17 12 7,20 2,51
Се/&с 15,7 4,81 1,58 10,7 7,91
С0/ео 20,4 34,72 15,6 15,1 14,68
2 С1Ь пФ/м 160,0 175,0 76 113,9 100
С12, пФ/м 21,0 132,4 62,1 19,48 30
Ьц, мкГн/м 0,422 0,369 0,57 0,2093 1
Ь12, мкГн/м 0,100 0,274 0,465 0,0349 0,5
4 2Ь Ом 51,4 45,9 86,6 42,9 100
8ге//1 6,08 5,81 3,9 2,15 9
кс 0,131 0,757 0,816 0,171 0,3
кь 0,237 0,742 0,816 0,167 0,5
5 20, Ом 50,9 46,5 86,6 42,9 95,3
Ъге/ 5,86 2,55 1,3 2,08 7,44
к 0,185 0,749 0,816 0,169 0,405
8 0,109 -0,034 0 -0,004 0,235
7 2се, Ом 61,3 122,8 272,47 50,9 146,4
2со, Ом 42,2 17,6 27,52 36,2 62,0
^ге/е 6,54 2,46 1,3 2,08 9,45
&ге//о 5,25 2,63 1,3 2,09 5,85
Третья структура - импульсный расщепитель на связанных линиях с сильной и уравновешенной связью, выполненный на витой паре [11, 12]. Оптимальные параметры СЛ имеют следующие расчётные значения: согласованный характеристический импеданс Z0 = 50^3 = 86,6 Ом; коэффициент связи k = V(2/3) = 0,816 = 1,76 дБ; 8 = 0, кроме того, sreJj = 1,3. Эти и другие проектные параметры представлены в таблице.
Четвёртая структура - тоже экранированная витая пара [13], у которой в качестве исходных данных взят второй базисный набор, т.е. собственные и взаимные погонные ёмкости и индуктивности. Исходные данные и результаты расчета остальных параметров представлены в таблице.
В последнем тестовом примере [14], положив геометрическую длину отрезка СЛ - 3 м, при абсолютной задержке 30 нс нашли погонную задержку Tj = 10 нс/м, откуда с учётом формулы (47) получили eref! = 9. Оставшиеся исходные параметры следующие: Z1 = 100 Ом; kL = 0,5; kC = 0,3. Исходные данные и результаты расчета остальных параметров представлены в таблице.
Таким образом, беря в качестве исходных данных один из базисных наборов (квартетов), получаем по вышеприведенным формулам любой из других оставшихся. Интерпретация и оценка вновь полученных параметров позволяют выявить характерные особенности связанных линий, а также сопоставить различные конструкции линий по единым критериям.
Заключение. На основе изложенного можно сделать следующие выводы:
1. Взаимосвязь базисных наборов проектных параметров для одинаковых связанных линий с неуравновешенной электромагнитной связью (т.е. с неравными фазовыми скоростями или в неоднородной диэлектрической среде) наглядно представляется схемой, показанной на рис. 3.
2. Для одинаковых связанных линий с неуравновешенной связью минимальное количество параметров в базисном наборе равно четырём.
3. Исследованы ограничения на величины проектных параметров, обусловленные возможностями физической реализуемости. Введена система ограничивающих (предельных) параметров, позволившая обозначить границы задаваемых проектных параметров и сформулировать новые соотношения в виде неравенств. Выявлены закономерности поведения ряда основных проектных параметров СЛ; предельное значение одного параметра может быть «плавающим» и зависеть от заданной величины другого параметра из единого базисного набора.
4. Рассмотрена схема измерения собственных погонных параметров СЛ, позволяющая экспериментально верифицировать численные результаты компьютерного моделирования.
5. Представленные различные базисные наборы проектных параметров и аналитические соотношения между ними позволяют эффективно осуществлять моделирование, анализ и синтез связанных линий передачи. При решении задачи анализа СЛ первичный базисный набор включает модальные ёмкости при воздушном Се(1), Со(1) и реальном диэлектрическом заполнении Се, Со.
6. Наиболее подходящим для решения задачи синтеза СЛ является базисный набор проектных параметров, включающий: характеристический импеданс Z0, эффективную диэлектрическую проницаемость sreff, коэффициенты связи k и неуравновешенности 8.
Авторы выражают благодарность Н.Д. Малютину, проф. ТУСУРа и Т.Р. Газизову, проф. каф. ТУ ТУСУРа за полезные дискуссии по тематике связанных линий, а В.М. Зюзькову, проф. каф. КСУП ТУСУРа, - за полезное обсуждение терминологических вопросов.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерством образования и науки Российской Федерации по контакту № 02.G25.31.0091.
Литература
1. Сычев А.Н. Общие подходы к оптимальному проектированию интегральных СВЧ-устройств // Доклады ТУСУРа. - 2010. - 2 (22), Ч. 1. - С. 76-80.
2. Фельдштейн А.Л. Синтез четырёхполюсников и восьмиполюсников на СВЧ / А.Л. Фельд-штейн, Л.Р. Явич. - 2-е изд. - М.: Связь, 1971. - 388 с.
3. Влостовский Э.Г. К теории связанных линий передачи // Радиотехника. - 1967. - Т. 22, № 4. -С. 28-35.
4. Krage M.K. Characteristics of coupled microstrip transmission lines-I: Coupled-mode formulation of inhomogeneous lines / M.K. Krage, G.I. Haddad // IEEE Trans. - 1970. - Vol. MTT-18, № 4. - P. 217-222.
5. Krage M.K. Characteristics of coupled microstrip transmission lines-II: Evaluation of coupled-line parameters / M.K. Krage, G.I. Haddad // IEEE Trans. - 1970. - Vol. MTT-18, № 4. - P. 222-228.
6. Справочник по элементам полосковой техники / Под ред. А. Л. Фельдштейна. - М.: Радио и связь, 1979. - 336 с.
7. Аристархов Г.М. Анализ фильтров на связанных линиях с неравными фазовыми скоростями / Г.М. Аристархов, Ю.П. Вершинин // Радиотехника и электроника. 1983. - № 9. - C. 1714-1724.
8. Беляев Б.А. Особенности коэффициентов связи регулярных микрополосковых резонаторов / Б. А. Беляев, Н.В. Лалетин, А. А. Лексиков, А.М. Сержантов // Радиотехника и электроника. - 2003. Т. 48, №1. - C. 39-46.
9. Sychev A.N. Modeling of the coupled microstrip lines with using numerical conformal transformations / A.N. Sychev, M.A. Chekalin, V.A. Shestakov, S.M. Struchkov // European Microwave Week 2013 Conf. Proc. - Eur. MC 2013. - 6-11 Oct. 2013, Nuremberg, Germany. - P. 1107-1110.
10. Sychev A.N. Analysis of the broad-side coupled lines on the vertical substrate using the numerical conformal transformations / A.N. Sychev, M.E. Dolgushin // 20-th Int. Crimean Conf. «Microwave & Telecommunication Technology» (CriMiCo'2010). - 13-17 Sept. 2010, Sevastopol, Ukraine, 2010. - P. 636-638.
11. Sychev A.N. A new pulse splitter based on coupled lines / A.N. Sychev, V.A. Shestakov, M.A. Chekalin et al. // 22nd Int. Crimean Conf. «Microwave & Telecom-munication Technology» (CriMiCo'2012), Sevastopol, Ukraine. - P. 520-521.
12. Пат. 2501159 РФ, МПК H03K 5/156. Импульсный расщепитель на связанных линиях / А.Н. Сычев, Шестаков В.А., М.А. Чекалин и др. / Патентооблад. ТУСУР. - заявка № 2012 111828/07, заявл. 27.03.2012, опубл. 10.12.2013. - Бюл. № 34. - 7 с.
13. Малютин Н.Д. Метод и алгоритмы экстракции эквивалентных первичных параметров связанных линий с потерями и дисперсией / Н.Д. Малютин, Т.Х. Бибиков, И.В. Большанин и др. // Доклады ТУСУРа. - 2011. - № 2 (24), Ч. 1. - С. 295-301.
14. Sakagami I. On analysis of pulse signal propagation based on transfer function of lumped distributed multi-branch coupled line networks // Asia-Pacific Microwave Conf. Proc. - 1997. - Vol. 3. - P. 1125-1128.
Сычев Александр Николаевич
Д-р техн. наук, профессор каф. компьютерных систем в управлении и проектировании (КСУП) ТУСУРа Тел.: 8 (382-2) 41-44-68 Эл. почта: ans@main.tusur.ru
Стручков Сергей Михайлович
Аспирант каф. КСУП ТУСУРа Эл. почта: struchkov.sm@gmail.com
Sychev A.N., Struchkov S.M.
Parameter sets of the uniform coupled transmission lines with unbalanced electromagnetic coupling
Various basis sets of the design parameters for uniform coupled lines with unbalanced electromagnetic coupling are presented. They allow effectively to carry out modeling and designing, analysis and synthesis of coupled transmission lines, which are widely used in microwave circuits and high-speed interconnects of digital devices. Keywords: coupled lines, even mode, odd mode, characteristic impedance, self impedance, coupling factor, effective dielectric permittivity.
