CC BY
12
В. С. ГОРБЕНКО
СИСТЕМАТИЧНА ПОХИБКА ПРИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМУ ВИЗНАЧЕНН1 ФУНКЦ1И РОЗПОД1ЛУ 1МОВ1РНОСТ1, ОБУМОВЛЕНА К1НЦЕВОЮ ТРИВАЛ1СТЮ ВИБ1РКОВИХ ДАНИХ
При експериментальному визначенш одновим1рних функцш розпод1лу 1мов1рностей стацюнарних випадкових процеспв часто використовуеться дискретна або перюдична виб1рка. Експеримен-тально визначаються величини [И
де N — загальне число виб1ркових значень реал1защ1 випадкового процесу е.(/) на штервал1 часу вим1рювання Г; п\ — число виб1ркових значень, як\ вщповщають вимоз1 е < х; п* — число виб1ркових значень, яю вщпов^дають вимоз1
Ах — штервал групування (ширина «вжна» вим1рювача).
Для стацюнарного випадкового процесу математичне сподь вання (1) 1 (2) (при Д* -> 0) вщповщно дор1внюють Г (х) \ Ш (х).
У б1льшосп юнуючих прилад1в дискретна або перюдична ви-б1рка виконуеться не у вигляд1 послщовноУ в час1 фжсаци значень реал1зацп випадкового процесу в момент часу И0 ((0 — пер ¡од виб1рки; I = 1,2, . . ., Л^), а у вигляд1 послщовноси прямокутних ¡мпульав тривалютю т0 з ампл1тудами, в першому наближенш р!вними значениям реал1заци в штервалах И0 < ^ < И0 + то.
В дшсноси вершина виб1ркового ¡мпульсу повторюе траекто-рш випадкового процесу на интервал! виб1рки. Внаопдок цього
(1)
(2)
Ах . Ад;
* — 2 < 8 < * + 2 '
при сортуванш та обчисленш виб1ркових ¡мпульав операцц (1) 1 (2) виконуються не точно, що викликае появу систематичних похибок.
Обмежимося розглядом такого випадку, коли гкшдна неперерв-но1 реал1зацп випадкового процесу на ¡нтервал1 виб1рки не змь нюе свш знак, що можна припустити при достатньо малих т0. На рис. 1 показаний такий випадок при визначенш ¡ькшрносп
Р* (е > *0) = Тут п* — число виб!ркових значень, що переви-
щують р1вень анал1зу хо. Р1вень хо перевищують ва позначен! на рис. 1 ¡мпульси, кр!м 1мпульсу шд номером 5. Щ ¡мпульси 1 будуть зараховаш л1чильною схемою. Припустимо, що ¡де-альний виб1р 1мпульав, що перевищують р1вень хо, повинен виконуватися по перед-шх фронтах ¡мпульав. Тод1 л1чильною схемою будуть правильно зареестроваш ¡м-пульси шд номерами 1, 2, 4, 6 1 7 1 неправильно буде зареестрований ¡мпульс шд номером 3. 1мпульс 3 по ам-шитуд1 перевищуе р1вень хо, але переднш фронт його
На основ1 тако1 моде л 1 правильного 1 помилкового рахунку ¡м-пульав обчислимо систематичну похибку при експериментальному визначенш функци Р (е >*0).
1мов1ршсть поди, що переднш фронт ¡мпульсу тривалктю т0 нижче, а заднш фронт вище р1вня х0,
Рис. 1.
нижче ршня х0.
Л0
р (х0, т0) = Р(х < х0, хХа > х0) = j J W (х, xj dx dxXo,
(3)
де W (x, xr) — двовим1рна густина ¡MoeipHocTi процесу. Спод1ване число правильно зарахованих ¡мпульав
n = P(B>x0)N = ( 1 -F(x0))N
i неправильно зарахованих ¡мпульав
л„ = Р(лг0, т0) Л^.
Загальне число зарахованих ¡мпульав
ns = n + пи.
(4)
(5)
(6)
7*
99
Tofli математичне стщвання емшрично1 функци Р* (е > л:0)
Ре (е > *„) = ^ - + Пми = Р(е > х0) + Р(х0, хй) =
= 1 ~F(x0) + P(x0,x0). (7)
Систематична похибка АР при визначент Р (е > х0)
АР = Ре (е > х0) _ Р (е > х0) = Р (х0, То); (8)
вщпсдадно систематична похибка AF при визначенш F (х)
AF ^-Р(х0,х0). (9)
Виходячи з допустимих значень АР або А/7, можна визначити максимально допустиме значения тривалосп виб^ркового ¡мпульсу, розв'язуючи (3) вщносно т0.
Розглянемо окремий випадок — нормальний випадковий прочее з середшм значениям нуль, нормований по а. Поставляемо вираз для двовим1рно1 густини ímobíphoctí такого процесу
1 ( х2 + xl — 2ххгг (т) )
W (х, хх) =-. ехр -—f-j-r-гт———| (10)
2nV\-r2(x) Ч 2(1—г2(т)) J v ;
y (3) i одержуемо, використовуючи розклад (10) в ряд по пол i номах Ермга,
О©
Р(х0, т0) = FW(1-F(х0)) - ¿ ё~х1 V Jñ=-^)rn{x0) (И)
п= 1
Де
х хг
■ —со
При хо = 0 вираз (11) записуеться в замкнутому вигляд1 Р (0, т0) = — aresi n г (т0) - arceos г (т0) = aresi n V1 — г2 (т0), (12)
що зб1гаеться з виразом, наведеним у [2, стр. 331].
Визначення Р (хо, то) по формул! (3) трудом1стке. Тому розглянемо другий cnoci6 приблизного визначення AF.
Для деякого р!вня анал1зу х0 абсолютне значения р1знищ м1ж передшм i задшм фронтом виб^ркового ¡мпульсу при "достатньо малих То приблизно дор1внюе деякому випадковому значению (див. рис. 2)
de(t)
б* (х0) = т0
dt
(13)
ч
Де
йг (/) Л
абсолютне значения тшдшм випадкового процесу
на р!вн1 х0. Математичне спод!вання щеТ р1знищ
6(л:0) = М
(х0)} = т0Л*|
с1вУ)
Ш
(14)
Тепер можна визначити спод1ване число ¡мпульав, у яких переднш 4 заднш фронти знаходяться в штервал1 6 (*„). Для цього
Ф)
1
Рис. 2.
загальне число N виб1ркових ¡мпульав потр1бно помножити на ¡»«шршсть попадания вершини ¡мпульсу в штервал б (х0).
б(^)
по (хо) = N
р [Хо-
2
2
)Н I '
„ в(*о)
У (х) йх.
- 2 (15)
Для одержання разрахунково1 форму ли припустимо, що в штер-(*о) / „ / „ , б (*о)
вал1 х0--^ < х < х0 + 2
няти № {х) = № (хп) = сопэ^ Тод1
По (*0) = ЛГГ (х0) б (х0) = Ш (х0) хпМ
можна з невеликою помилкою принте (/)
Ш
(16)
Якщо випадковий процес та його шшдна по часу в зб1жш момента часу незалежш, то [2, стр. 343]
<и
= (х0) = 2\(х0),
(17)
де V,, (л:0) — спод1ване число перетишв р1вня х0 в одиницю часу;
" \
V (х0) — спод1ване число викид1в, що перевищують р1вень х0 в одиницю часу.
"о (*о) = (хо) = 2Л^т0у (х0). (18)
При допущенш, що середне значения похщно1 з позитивним знаком дор1внюе за абсолютною величиною середньому значению похщно! з негативним знаком
М
de (ty dt
М
deiff dt
спод1ване число неправильно зал1чених ¡мпульсш п0(х0) _ 1
«н
Nr0v0(x0) = Nx0v (х0).
(19)
Враховуючи р1вняння (7)— (10), визначимо спод1вану система-тичну похибку
Ян ТУ,, (х0) N 2
АР
AF
r0v(xa).
(20)
Таким чином, спод1вана систематична похибка при експери-ментальному визначенш F(x) або Р (е > х) пропорцюнальна три-валосп виб1ркового значения i спод1ваному числу викид1в, яю перевищують р1вень анал1зу в одиницю часу.
Якщо систематична похибка при експериментальному визна-ченн1 F (л:) не повинна перевищувати AFm, то допустима трива-лкть вибйркових значень визначиться з HepiBHocTi
A F„
<
(х)
(21)
Таким чином, задача визначення максимально допустимо!' тривалост1 виб1ркових значень зводиться до визначення максимального числа викид1в в одиницю часу в залежносп в1д параметра х.
Наведемо розрахунков1 вирази для визначення систематично! похибки при експериментальному визначенш густини 1мов1рносп № (х). За допомогою м1ркувань, як I для випадку вим1рювання ^ (х), можна показати, що математичне спод1вання емшрично1 густини ¡мов1рност1
м I г: (х0)} = Ге (Х0) = «7 (х0) + (хп) =
rw + TAf
Тут
de (t) dt
= W(x0)-
V (*o) T0 Ax
AW =
v(*o)t0
Ал:
W(xJ +AW.
(22)
(23)
\
— систематична похибка, обумовлена кшцевою тривалктю виб1р-кових даних.
Визначимо максимально допустиму тривалють виб1ркових даних при допустимому значенш максимально'1 похибки Д Wm
AWmAx
Х°т< Ут(х) • (24)
При використанш багатоканальних прилад1в для експеримен-тального визначення штегральних та диференщальних функщй розпод1лу 1мов1рностей потр1бно врахувати можливкть помилково'1 реестраци одного i того ж ¡мпульсу в юлькох сум1жних каналах. Для зменшення неправильних реестращй потр1бно виконати ви-могу б (х0) < Ах, а саме: спод1ване абсолютне значения pi3HHU,i М1Ж передн1м та задн1м фронтами виб1ркового ¡мпульсу повинно бути набагато менше ширини каналу Дд:, в якому виконуеться пщрахунок ¡мпульс^в.
Л1ТЕРАТУРА
1. Горбенко B.C. Приборы для определения интегральных и дифференциальных функций распределения вероятностей стационарных случайных процессов.— Известия вузов СССР — Радиотехника, 1962, № 3, 301.
2. Бунимович В. И. Флюктуационные процессы в радиоприемных устройствах. «Советское радио», 1951.
В. С. ГОРБЕНКО
СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ВЫБОРОЧНЫХ
ДАННЫХ
Краткое содержание
Получены выражения для определения систематической погрешности в зависимости от конечных длительностей выборочных данных при экспериментальном определении функций распределения вероятностей случайных процессов.
V. S. GORBENKO
SYSTEMATIC ERROR CAUSED BY THE PROLONGED DURATION OF THE SAMPLE FOR THE CASE OF THE EXPERIMENTAL PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Summary
Relations between the duration of the sample and the systematic error for the case of the experimental probability distributions of the stochastic processed are derived.
