CC BY
56
УДК 537.876; 531.01; 519.62
Система уравнений Гамильтона для мод электромагнитного поля в стратифицированной изотропной среде
Л. А. Севастьянов
Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
В работе продемонстрирована Гамильтонова природа обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию монохроматических линейно поляризованных плоских электромагнитных волн в стратифицированной среде. Установлена возможность и необходимость использования симплектических численных методов интегрирования полученной системы уравнений Гамильтона.
Ключевые слова: стратифицированная изотропная среда, ТЕ-моды, ТМ-моды, уравнения Гамильтона, симплектические численные методы интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Хорошо известно, что для плоских линейно поляризованных монохроматических волн, распространяющихся в стратифицированной среде, система уравнений Максвелла редуцируется к двум независимым подсистемам обыкновенных дифференциальных уравнений для ТЕ- и ТМ- мод. Однако менее широко известно, что эти подсистемы образуют пары уравнений Гамильтона, так что вся система является системой уравнений Гамильтона с двумя степенями свободы. Наличие гамильтоновой структуры диктует выбор такого численного метода решения системы ОДУ, который сохраняет гамильтонову структуру для получающихся при численном решении сеточных функций и обычно называется гамильтоновым (симплектическим) интегратором.
Напомним выбор системы координат и обозначения. Среда стратифицирована вдоль оси Oz: е = е (z), ^ = ^ (z), так что тангенциальными являются векторы, лежащие в плоскости хОу. Волновой вектор к падающей монохроматической плоской однородной линейно поляризованной волны лежит в плоскости zOx, следовательно, в этой же плоскости лежат волновые векторы электромагнитной волны,
распространяющейся в стратифицированной среде: кх = ko\Jе (z) ц, (z) sin a (z), ку = 0.
Система уравнений Максвелла в диэлектрической среде в отсутствие сторонних токов и зарядов имеет вид
-,=: д дН е дЕ ,
rotЕ = -, rotн = -с-т . (1)
с
Для полей вида
Е = Ёое*^*-^, Н = к = з (2)
в выбранной системе координат выполняются соотношения:
дЕ/ду = 0, дН/ду = 0, дЁ/дх = -гкхЁ, дН/дх = -гкхН. (3)
Статья поступила в редакцию 30 декабря 2010 г.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-01-00467-а.
170 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2011. С. 169-171
С учётом (2) и (3) из уравнений (1) получается следующая система уравнений:
9Еу - -iko^Hx, - ^^ = ikoeEx,
дг ~ дг
+ гкхЕг = -гко^Ну, + гкхНг = гк0е Еу, (4)
—кхЕу = —гкоуНг, —iкxHy = гко£ Ех.
Система (4) распадается на две независимые системы уравнений для тангенциальных компонент [1]: для ТЕ-моды
ЧГ = 1 ко11Н*, ^ = гко(£- ¿1) Е, (5)
и для ТМ-моды
IT = -k0£Е, IT = -iко(» - щ) H■ (6)
Известно, что существуют две инвариантные комбинации из компонент электромагнитного поля. Через напряжённости полей они выражаются следующим образом [2]:
Ь = £ (Е, Е) -у (Н, Н) и Ь = ец (Е, Н) ,
причём 1\ — скалярный, а 12 — псевдоскалярный инварианты. Функция Лагранжа Ь = 1\/2 в записи через декартовы компоненты напряжённостей поля имеет вид:
Ь = 2 (Еж +Еу + Е1) - 2 +НУ + Н^ =
= 2 (еЕ?2 - УН1 - УН1) - 2 {УНУ - еЕ1 - еЕ1). (7)
С учётом алгебраических уравнений системы (4) выражение (7) переписывается в виде:
Введём обозначения
д1 = —Еу, д2 = гНу, рх = дЬх/д (<1д1/<1г), р2 = дЬ2/д (^/¿г),
после чего проделаем преобразование Лежандра относительно введённых переменных:
Н = (р 1 (¿дг/&х) -Ьг) + (р2 (¿д2/¿х) - = Н + Щ,
так что
Н = ^ ((е- q¡ + , Н2 = - q¡ + (ekg) . (9)
Тогда системы уравнений (5) и (6) примут вид:
dqi 2 dpi f 1 kl \ dqi , dp2 f 1 kl \
^ = »k2pu ¿j = -[e--щ) QÍ, ¿j = £koP", = - 1Ц) ^
(10)
Севастьянов Л. А. Система уравнений Гамильтона для мод электромаг . . .
171
Уравнения (10) имеют канонический вид уравнений Гамильтона:
d</i дН1 dpi дН1 dq2 дН2 dp2 дН2
(11)
dz др1 ' dz dq1 ' dz др2 ' dz dq2
Уравнения можно также переписать в виде:
d g1 дН dp1 дН dq2 дН dp2 дН dz др1' dz д q^ dz др2' dz д q2
(12)
Системы уравнений (11) являются системами уравнений Гамильтона для двух систем с одной степенью свободы, а именно для ТЕ- моды и ТМ- моды. Система уравнений (12) является системой уравнений Гамильтона для одной системы с двумя степенями свободы, а именно для монохроматической плоской однородной линейно поляризованной волны, состоящей из ТЕ- моды и ТМ- моды. Функции Н\, Н2, Н при этом являются функциями Гамильтона соответствующих физических систем.
В последние годы для систем уравнений Гамильтона разработаны эффективные численные алгоритмы решения, приводящие к сеточным функциям q]^f, р1^ и , Р2 размерности N, образующим попарно дискретные переменные, канонически сопряжённые относительно дискретных функций Гамильтона HN = Н? + Н? .В частности, вследствие представления функций Гамильтона (9) для ТЕ- и ТМ- мод в виде Н (д,р) = Н (д) + Н (р), существует семейство симплектиче-ских методов Рунге-Кутта различного порядка точности [3,4] решения систем (11)
1. Born M., Wolf E. Principles of Optics. — Pergamon Press, 1968.
2. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. — М.: Высшая школа, 1980. [Terleckiyj Ya. P., Rihbakov Yu. P. Ehlektrodinamika. — M.: Vihsshaya shkola, 1980.]
3. Forest E., Ruth R. D. Forth-Order Symplectic Integration // Physica D. — 1990. — Vol. 43. — Pp. 105-117.
4. Candy J., Rozmus W. A Symplectic Integration Algorithm for Separable Hamil-tonian Functions // J. Comp. Phys. — 1991. — Vol. 92. — Pp. 230-256.
UDC 537.876; 531.01; 519.62
The System of Hamilton Equations for the Modes of the Electromagnetic Field in a Stratified Isotropic Medium
L. A. Sevastianov
Telecommunication Systems Department Peoples Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, 117198, Russia
The paper demonstrates the Hamiltonian nature of ordinary differential equations describing the evolution of monochromatic linearly polarized plane electromagnetic waves in a stratified medium. The possibility and necessity of using symplectic numerical methods for integrating the resulting system of Hamilton equations is established.
Key words and phrases: stratified isotropic medium, TE-modes, TM-modes, Hamiltonian equations, symplectic integrators.
и (12).
Литература
