CC BY
35ГЕОЛОГИЯ
УДК 550.8.05
К.Е. Закревский1; Р.К. Газизов2; Е.Н. Каримова2; А.Е. Лепилин2, e-mail: LepilinAE@ufanipi.ru
1 ПАО «НК «Роснефть» (Москва, Россия).
2 ООО «РН-УфаНИПИнефть» (Уфа, Россия).
Система тестов для оценки качества пакетов геологического моделирования
Предложена система функциональных тестов для оценки качества программной реализации математических алгоритмов, используемых в программных пакетах геологического моделирования на основных этапах построения моделей нефтегазовых месторождений. К числу таких этапов, в частности, относятся автокорреляция разрезов скважин, построение поверхностей каркаса геологических моделей, оценка запасов углеводородов, ремасшта-бирование каротажных данных на расчетные сетки моделей, построение экспериментальных вариограмм при анализе пространственной автокорреляции различных данных, распространении литологических и фильтраци-онно-емкостных свойств пласта детерминированными и стохастическими методами. Отличительной чертой предлагаемой системы тестов является наличие точного решения рассматриваемых задач, что позволяет проводить оценку качества результатов их численных решений. Предложенные тесты были апробированы при тестировании вычислительных модулей программного комплекса «РН-Геосим», являющегося корпоративным симулятором в ПАО «НК «Роснефть», и сравнении полученных данных с результатами решения задач в современных пакетах геологического моделирования Petrel и RMS.
Ключевые слова: геологическое моделирование, функциональный тест, численный алгоритм, программный пакет для геологического моделирования.
K.E. Zakrevskiy1; R.K. Gazizov; E.N. Karimova2; A.E. Lepilin2, e-mail: LepilinAE@ufanipi.ru
1 Rosneft PJSC (Moscow, Russia).
2 RN-UfaNIPIneft LLC (Ufa, Russia).
The Test Case to Assess the Quality of Geological Simulation Packets
The system of functional tests has been proposed for quality assessment of program realization of mathematical algorithms used in software packages for geological simulation at principal modeling steps of oil and gas fields. These steps include, in particular, autocorrelation of logs, construction of surface frameworks for geological models, evaluation of hydrocarbon reserves, rescaling of log data to field-scale grids, construction of experimental variograms when analyzing spatial autocorrelation of various data, distribution of lithological, as well as porosity and permeability formation properties by deterministic and stochastic methods. The distinguishing feature of the test system proposed is availability of an exact solution for the problems under consideration which enables to assess the quality of their numerical solution results. The tests proposed have been proved in testing of computational modules of software complex "RN-Geosim" being a corporate simulator at Rosneft PJSC and in comparing of the data obtained with the problem solution results using the modern geological simulation packets Petrel and RMS.
Keywords: geological simulation, functional testing, numerical algorithm, software package for the geologic modeling.
36
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
GEOLOGY
Таблица 1. Задачи, решаемые на разных этапах построения геологических моделей
Table 1. Tasks solved at different stages of the geologic modeling
Объект тестирования Test object Тестовая задача для объекта исследования Testing task for the target of research
Автокорреляция разрезов скважин Autocorrelation of well logs Расстановка маркеров отбивок пластов на каротажных кривых Horizon picks tracing on weLL-Logging curves
Картопостроение Mapping Построение поверхностей кровли и подошвы пласта Mapping of the horizon superface and bottom interface
Оценка объемов запасов углеводородов Estimation of hydrocarbons stockpiles Построение расчетной сетки для трехмерной геологической модели Grid generation for the 3D geoLogicaL modeL
Апскейлинг UpscaLing Масштабирование скважинных данных на расчетную сетку модели ScaLing of weLL data up to the modeL grid
Вариограммы Variograms Анализ скважинных данных и нахождение корреляционной зависимости пространственно-распределенных значений литологических и фильтрационно-емкостных свойств пласта WeLL data evaLuation and finding of correLation dependence between apportioned vaLues of LithoLogicaL characteristics, porosity and permeabiLity of the reservoir
Распространение свойств -алгоритмы интерполяции литологических и фильтрационно-емкостных свойств пласта Distribution of properties -interpolation algorithms for LithoLogicaL characteristics, porosity and permeability of reservoirs Вычисление параметров литологических и фильтрационно-емкостных свойств пласта в ячейках сетки геологической модели в межскважинном пространстве моделируемого нефтегазового месторождения по заданным параметрам этих свойств на скважинах EvaLuation of LithoLogicaL characteristics, porosity and permeabiLity of the reservoir in the geoLogicaL modeL node in interweLL space of the simuLated oiL and gas fieLd according to aimed parameters at the weLLs
ВВЕДЕНИЕ
Функциональные возможности программных пакетов, используемых для создания геологических моделей нефтегазовых месторождений, определяются математическими методами и качеством их программной реализации, существенно влияющими на качество и достоверность полученных результатов. В настоящее время на российском рынке представлены как зарубежные (Petrel, RMS, GoCad и др.), так и отечественные (GeopLat Pro-G, «Сфера.Геоло-гия» и др.) разработки для построения геологических моделей. При этом если для оценки качества программных продуктов, применяющихся для гидродинамического моделирования,созданы функциональные тесты, набор тестов для оценки программ для геологического моделирования месторождений находится в стадии разработки. Оценка корректности работы различных модулей программных комплексов для геологического моделирования требует рассмотрения ряда формальных показателей. Требования к функциональным возможностям программных комплексов достаточно подробно изложены в нормативной документации, например в ГОСТ Р 56448-2015 [1]. Однако в стандартах не описаны подходы, позволяющие оценить вычислительную точность модулей программных продуктов и алгоритмов. Такая оценка может быть получена с помощью набора определенных тестов.
Целью исследования, результаты которого представлены в данной статье, является разработка системы тестов для функционального тестирования математических алгоритмов, используемых на разных стадиях построения геологической модели нефтегазового месторождения.
Основной особенностью тестов является наличие известного аналитического (точного) решения формулируемой задачи. При варьировании таких параметров, как плотность наблюдений (шаг расчетной сетки), «сложность» объекта
исследований (понятие будет определено далее) и степень зашумленности исходных данных, должна наблюдаться сходимость полученного в программном пакете численного решения и известного точного аналитического решения. Тестирование проводится по следующему алгоритму:
1) выбирается объект исследования, для которого формулируется тестовая задача, имеющая аналитическое (точное) решение;
2) осуществляется градация уровней «сложности» анализируемого объекта исследования и шага дискретизации численного решения;
3) определяется метрика, оценивающая близость результатов полученного приближенного решения тестовой задачи к точному;
4) оцениваются результаты тестирования.
Анализ этапов построения геологических моделей позволяет выделить задачи тестирования, представленные в табл. 1.
Перечисленные объекты тестирования определяют базовые процессы построения геологических моделей нефтегазовых месторождений, поэтому для проверки корректности работы соответствующих вычислительных модулей необходим целевой набор функциональных тестов.
Предлагаемые тесты использовались при верификации соответствующих вычислительных модулей программного комплекса (ПК) «РН-Геосим», проведенной в ходе его разработки при участии авторов данной статьи. Кроме
Для цитирования (for citation):
Закревский К.Е., Газизов Р.К., Каримова Е.Н., Лепилин А.Е. Система тестов для оценки качества пакетов геологического моделирования // Территория «НЕФТЕГАЗ». 2018. № 9. С. 36-49.
Zakrevskiy K.E., Gazizov R.K., Karimova E.N., LepiLin A.E. The Test Case to Assess the Quality of Geological Simulation Packets. Territorija «NEFTEGAS» = Oil and Gas Territory, 2018, No. 9, P. 36-49. (In Russ.)
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 9 September 2018
37
ГЕОЛОГИЯ
а) a)
СКО 0 % Standard deviation 0 %
СКО 30 % Standard deviation 30 %
СКО 50 % Standard deviation 50 %
СКО 0 % Standard deviation 0 %
СКО 30 % Standard deviation 30 %
СКО 50 % Standard deviation 50 %
Условные обозначения Legend
- Расстановка маркеров кровли пласта экспертом
Tracing of the superface of stratum by the specialist
- Расстановка маркеров подошвы пласта экспертом
Tracing of the bottom interface of a bed by the specialist
---Расстановка маркеров кровли пласта алгоритмом вейвлет-разложения
Tracing of the superface of stratum with wavelet decomposition algorithm
---Расстановка маркеров подошвы пласта алгоритмом вейвлет-разложения
Tracing of the bottom interface of a bed with wavelet decomposition algorithm
Границы по глубинам каротажных кривых
Formation boundaries according to well-logging traces depths
---Границы по глубинам каротажных кривых
Formation boundaries according to well-logging traces depths
Рис. 1. Расстановка маркеров при различных значениях среднеквадратических отклонений шума: а) для ступенчатой каротажной кривой; б) для синусоидальной каротажной кривой Fig. 1. Placing of markers under different values of standard deviation of incoherent data: a) steplike well-logging trace; b) sinusoidal well-logging trace
того, предлагается использовать данные тесты для сравнения результатов моделирования месторождений в ПК «РН-Геосим» с результатами, полученными с помощью других ПК.
АЛГОРИТМЫ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ РАЗРЕЗОВ СКВАЖИН
Идентификация нефтеносных пластов является основой для геологического моделирования нефтегазового месторождения. На сегодняшний день надежных алгоритмов автоматизированной корреляции разрезов скважин не существует, зачастую определение маркеров отбивок пластов осуществляется специалистами вручную. Задача идентификации пластов является трудоемкой, сложной и плохо формализуемой. Ее решение требует значительных временных затрат и высокой квалификации исполнителя. Несмотря на многообразие различных подходов к решению задачи корреляции пластов и значительное количество публикаций на эту тему [2-4], такая задача, как правило, не имеет однозначного решения. Для первого теста была выбрана синтетическая ступенчатая каротажная кривая (рис. 1а), корреляция по которой очевидна. Второй тест сложнее -рассмотрена синтетическая синусоидальная каротажная кривая (рис. 1б), для которой решение задачи корреляции может быть неоднозначным. Корректность используемых методов и их программной реализации проверяется при решении задачи корреляции границ пластов (пропластков) при условии, что на части кривых заданы маркеры. Стоит отметить, что корректность подходов означает не только построение правильной корреляционной схемы разрезов скважин на «чистых» данных, но и их устойчивость при зашумлении сигналов.
Алгоритм тестирования следующий:
1) с применением выбранного алгоритма автокорреляции выставим маркеры на синтетических каротажных кривых, имитирующих определенное геофизическое свойство;
2) на синтетические каротажные кривые наложим случайный шум с определенным значением среднеквадратическо-го отклонения (СКО) и вновь выставим
маркеры, оценивая погрешность определения границ пласта;
3) на каждом последующем шаге будем увеличивать СКО шума;
4) корректность использованных алгоритмов и область их применимости оценим с помощью отношения характерной амплитуды шума к числу корректно определенных маркеров. Результаты теста представлены на рис. 1. Для тестирования были выбраны два реализованных в текущей версии ПК «РН-Геосим» алгоритма автокорреляции:
• на основе вейвлет-разложения рассматриваемых каротажных кривых [5];
• поточечного сопоставления каротажных кривых методами динамического программирования (DTW) [6]. На каротажные кривые был наложен шум со значением СКО 0-50%. Применительно к каждому значению СКО шума выбранных алгоритмов автокорреляции была оценена доля корректно распознанных границ пластов.
Проведенный тест распознавания маркеров границ пластов (рис. 2) показал, что:
38
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
GEOLOGY
• реализованный в «РН-Геосим» алгоритм автокорреляции разрезов скважин с использованием вейвлет-разложения каротажных кривых в приведенных примерах при уровне СКО шума менее 30 % способствует осуществлению корректной корреляции более 50 % пластов;
• необходимо проведение дальнейших исследований по изучению влияния шумов на возможность применения алгоритмов автокорреляции разрезов скважин, а также методов очистки сигналов от шумов для повышения эффективности алгоритмов автокорреляции.
АЛГОРИТМЫ КАРТОПОСТРОЕНИЯ
Простейшая задача картопостроения в геологическом моделировании нефтегазовых месторождений предполагает, что в некоторых произвольных точках (x, y) на плоскости OXY заданы значения z. = f(x ,y) и необходимо решить двумерную задачу интерполяции/ экстраполяции функции z = f(x, y), т. е. определить значения zk во всех узлах регулярной двумерной сетки размерности N.N на плоскости OXY. В современной математике количество методов интерполяции/экстраполяции данных постоянно увеличивается, соответственно, увеличивается и набор алгоритмов для численных реализаций методов картопостроений в различных коммерческих пакетах. Некоторые из этих методов разобраны в работах [7, 8]. В частности, в работе [8] приведены результаты тестирования скорости работы алгоритмов картопостроения на некоторых тестовых поверхностях, вид которых детально не обсуждался. В дополнение к проведенным тестам авторы данной статьи предлагают конкретизировать вид задаваемых поверхностей на примере поверхностей кровли пласта. Для корректного проведения тестирования выбираются поверхности, описываемые аналитическими выражениями. Примерами могут служить куполообразная поверхность или поверхность, представляющая сочетание нескольких куполов. Для данного теста вводится понятие «сложность поверхности», которая характеризуется средними значениями таких параметров, как:
Область приемлемых значений
Acceptable values area
— Вейвлет-разложение. Ступенчатый каротаж Wavelet analysis. Step logging
— Вейвлет-разложение. Синусоидальный каротаж Wavelet analysis. Sinusoidal logging
10 20 30 40 Уровень шума, % Noise level, %
Рис. 2. Сопоставление результатов автокорреляции разрезов скважин при росте среднеквад-ратических отклонений шума
Fig. 2. Comparison of results of well logs autocorrelation as standard deviation of incoherent data increased
Таблица 2. Характеристики сложности для заданных поверхностей Table 2. Complexity characteristics for engineered surfaces
Значения параметра,
имитирующего
сложность
поверхности
Parameter values
simulating surface
complexity
a = ^ a3 4
Аналитически заданная поверхность Analytical surface
Сложность полученной поверхности -
среднеквадратическая оценка Complexity of surface derived -mean square evaluation
Высота Height
1,7
1,9
2,3
Наклон Slope
3,3
3,7
4,6
a2 = n
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 9 September 2018
39
ГЕОЛОГИЯ
t>
М!
s
m
<и
X л
5
0,000006 0,000005 0,000004 0,000003 0,000002 0,000001 о
т=i -и*,у)у
5 10 20 40 80 160 Размерности сетки по X, Y X, / grid dimensions
Область приемлемых значений — ot = — — а2 = п — 0j - — Permissible value area ^ ^
_ значения заданной аналитической и построенной поверхностей в узлах сетки размерности N х /V, соответственно, i, j £ Л*,У>/„(*,У,) - values of analytical and built surfaces at nodes N x N, respectfully, i, j G 1.. .N
1...N
Рис. 3. Поведение функции невязки для тестовых поверхностей различной сложности Fig. 3. Discrepancy function behavior for testing surfaces of various complexity
а) a) б) b)
Рис. 4. Аналитически заданная объемная фигура при различных значениях параметров, имитирующих сложность: а) гладкий параболоид, б) «рельефный» параболоид Fig. 4. Analytically specified solid under different parameter values simulating complexity: a) plane paraboloid, b) "relief" paraboloid
• высота - абсолютная величина разницы в высоте данной точки по сравнению со средним арифметическим для поверхности;
• наклон - модуль градиента в точке поверхности.
Чем больше значения параметров, тем сложнее тестируемая поверхность. Качество работы алгоритма оценивается невязкой между построенной (дискретной) и заданной аналитически поверхностями. В соответствии с установленными условиями отклонение должно уменьшаться при уменьшении шага дискретизации сетки и зависеть от сложности поверхности. В данной статье в качестве тестового примера предложен набор поверхностей, заданных уравнением
г= [со5(х)-соб(у) *
«ИЛ-НйЧ]'
в области х е [-5; 5], у е [-5; 5] при значениях параметра а, равных, соответственно:
Зя 5л
определяющих сложность поверхности (табл. 2). В качестве тестируемого выбран метод конвергентной интерполяции [9], реализованный в ПК «РН-Геосим». Рассматриваемые поверхности построены для сеток с различной степенью детализации, что позволяет уточнять особенности формы поверхности при увеличении количества узлов сетки.
Проведенный тест показал следующие результаты (рис. 3):
• величина невязки возрастает с уменьшением шага дискретизации сетки (уменьшением размерности ячеек);
• величина невязки незначительно возрастает с увеличением сложности поверхности в сравнении с зависимостью от шага дискретизации сетки;
• необходимо проведение дальнейших исследований для выработки рекомендаций по выбору размеров ячеек в геологической модели в зависимости от сложности исходных данных и требований к точности построения поверхностей;
• на рисунке область приемлемых значений назначена экспертно. По-видимому, границы области приемлемых значений должны быть согласованы с размерами ячеек.
АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ОБЪЕМОВ ЗАПАСОВ УГЛЕВОДОРОДОВ
Предлагаемый набор тестов предназначен для оценки погрешности расчета объемов геометрических тел, возникающих при геологическом моделировании месторождений. За основу был взят тест, ранее предложенный в работе [10],
авторы которой тестировали программные пакеты Petrel, IRAP RMS и GoCad, а в качестве тестового примера использовались усеченная полусфера и объем между двумя усеченными полусферами. Исходя из проведенных тестов были сделаны выводы об удовлетворительном приближении рассмотренных тел параллелепипедами при достаточном уменьшении объемов ячеек сетки. Простейшая задача построения регулярной (равномерной)трехмерной расчетной сетки в геологическом моделировании предполагает задание двух
40
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
Анодные заземлители «Менделеевец» ®
Оборудование для систем ЭХЗ
Приборы для диагностики трубопроводов
Диагностика и сертификация систем ПКЗ
Различные виды рабочих электродов: ферросилид, магнетит, ММО
Обеспечивает надежный контакте малым
переходным сопротивлением
\лл/у\л/.ХИМСерВИС.сот
КАТОДНАЯ ЗАЩИТА
ОТ КОРРОЗИИ
ЗАЩИТА ОТ КОРРОЗИИ КАК ВИД ИСКУССТВА
Тел.: +7 (48762) 3-44-87 Е-таИ: op@ch-s.ru
ХИМСЕРВИС
Компания «Химсервис» - российское производственное предприятие, специализирующееся на разработке и выпуске оборудования для электрохимической защиты от коррозии подземных трубопроводов, емкостей и резервуаров.
Продукция «Химсервис» выпускается под торговой маркой Менделеевец®. Производство максимально ориентировано на использование российских материалов и комплектующих. На сегодняшний день предприятие производит более 50 наименований продукции для систем ЭХЗ и диагностики подземных трубопроводов.
ПКВ «МЕНДЕЛЕЕВЕЦ»
прибор для припайки катодных выводов
«МЕНДЕЛЕЕВЕЦ»
анодные заземлители для систем ЭХЗ
КИП ХС «МЕНДЕЛЕЕВЕЦ»
со встроенным блоком совместной защиты
БСЗ обладает широким диапазоном регулировки защитного тока
ГЕОЛОГИЯ
а) a) б) b)
Рис. 5. Результаты 3D «геометрического теста»:
а) имитация массивной залежи, б) имитация пластовой залежи (на примере программного комплекса «РН-Геосим») Fig. 5. 3D data of "geometric test":
а) simulating of massive deposit, б) simulating of bedded deposit (by the example of RN-Geosim software package)
Таблица 3. Характеристики сложности для заданных объемных тел Table 3. Complexity characteristics for specified solids
Вид объекта Unit profile Сложность полученной поверхности (база сигнала спектра) Complexity of surface derived (bandwidth-duration product) Сложность полученной поверхности - среднеквадратическая оценка Complexity of surface derived - mean-square estimate
Наклон Slope Кривизна Curvature
Гладкий параболоид Plane paraboloid 14,0 0,41 0,007
«Рельефный» параболоид "Relief" paraboloid 19,9 0,48 0,017
Шаг ячейки Mesh increment
Область приемлемых значений Acceptable values area
■ Гладкая массивная залежь Plane massive deposit
■ Рельефная массивная залежь Relief massive deposit
Шаг ячейки Mesh increment
Область приемлемых значений Acceptable values area Гладкая пластовая залежь Plane bedding deposit - Рельефная пластовая залежь Relief bedding deposit
известных поверхностей (кровли и подошвы пласта), размера типовой ячейки в латеральном направлении, числа слоев расчетной сетки в вертикальном направлении. Поверхности для теста заданы аналитически. Объем полученного тела в трехмерном пространстве вычисляется как двойной интеграл по соответствующей области. Тестирование включает оценку таких параметров, как размеры ячеек трехмерной сетки и сложность рассматриваемой поверхности. В данном тесте характеристиками сложности поверхности являются база сигнала спектра поверхности (произведение ширины полосы спектра на длительность сигнала) и среднеква-дратическая оценка высоты и наклона. Корректность примененных алгоритмов определяется точностью вычисления объемов сложных тел при дискретизации области.
В качестве тестового примера рассматривалась куполообразная область (массивная залежь), ограниченная поверхностью кровли - параболической поверхностью - и поверхностью подошвы - плоскостью (поверхностью флюидного контакта). Полученное геометрическое тело (усеченный параболоид) описывается уравнением параболоида х2 + у2 + zR = R2I R = 500, х е [-500; 500], у е [-500; 500] и уравнением плоскости I=0. Аналогичным образом был построен «рельефный» усеченный параболоид по формуле
(табл. 3, рис. 4).
Наряду с данными геометрическими телами в тест были включены еще два геометрических тела, подошва которых ограничена поверхностью параболоида
меньшего размера с радиусом R = 300 (пластовая залежь). Качество алгоритма построения имитации массивной и пластовой залежи оценивается среднеквадратическим отклонением объема аппроксимирующей дискретной области от объема, вычисленного как интеграл от соответствующей аналитической функции. Очевидно, что такое отклонение должно уменьшаться при уменьшении шага дискретизации сетки и зависеть от сложности. Дискретизация объемного тела выполнялась на ячейках расчетной сетки с размерами от 20 * 20 * 50 до 500 * 500 * 50 в ПК «РН-Геосим».
Расчет невязки при сравнении объемных тел выполнялся по формуле
42
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
GEOLOGY
Таблица 4. Характеристики сложности для заданных модельных кривых Table 4. Characteristics of complexity for specified model curves
Уровень сложности сигнала Signal complexity level Сложность (база сигнала спектра) Complexity (bandwidth-duration product) Сложность полученной поверхности - среднеквадратическая оценка Complexity of surface derived - mean-square estimate
Высота Height Наклон Slope Кривизна Curvature
а = 1 12,6 0,7 0,7 0,7
а = 2 25,1 1,4 2,8 5,6
а = 3 37,7 2,1 6,3 18,9
ЗА A A A A A A 1AJ\fi\ AJ\n\ ft РШ M fW M л
\ К\/ \ \ а г i 1 I \ |' г \ \ /г* \ ' /I ч ' \ 1 st* IАТчл Uinw : V v v U v V V/
Рис. 6. Набор аналитически заданных кривых разной сложности для тестирования апскейлинга скважинных данных
Fig. 6. Analytical curves of various complexity to test borehole data upscaling
где V - известное точное значение
"ид
объема тела; VN - значение объема на расчетной сетке с N ячейками по ла-терали.
Проведенный тест показал следующие результаты (рис. 5):
• величина невязки, определяемой разностью между объемом геометрического тела, вычисленным аналитически, и объемом, полученным при дискретизации области, уменьшается при увеличении числа узлов сетки (при уменьшении размера ячеек);
• с ростом сложности поверхностей увеличивается невязка между объемами геометрических тел, построенных на дискретной сетке, и объемом, вычисленным аналитически;
• при построении геологических моделей месторождений размер ячеек сетки должен зависеть от параметров, определяющих сложность поверхностей, ограничивающих рассматриваемые тела; построение соответствующих рекомендаций - направление дальнейших исследований.
АПСКЕЙЛИНГ ДАННЫХ СКВАЖИН
Процедура апскейлинга(ремасштаби-рования) представляет собой осреднение (перенос) скважинных данных на расчетную сетку и зависит от построенного трехмерного каркаса геологической модели.
Также значение осреднения зависит от метода подсчета среднего значения (среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического, наиболее часто встречающегося дискретного и др.) рассматриваемого набора скважинных данных в конкретной ячейке расчетной сетки и способа учета влияния значений скважинных данных в соседних ячейках. Стоит отметить, что при решении задачи осредне-
ния необходимо решать задачу поиска пересечений траектории скважины с гранями ячеек рассматриваемой расчетной сетки.
Процедура апскейлинга может существенно повлиять на адекватность геологической модели, так как именно она определяет набор исходных данных для этапа пространственного моделирования фильтрационно-емкостных свойств коллектора.
Входными данными для тестовой задачи являются модельные каротажные кривые, имеющие форму синусоиды с различными частотами и амплитудами, отражающими сложность сигнала. Аналитически они представляются функцией у = а^1'п(а*), где параметр а принимает значения 1,2, 3 и определяет сложность тестируемого сигнала (рис. 6, табл. 4). Здесь и далее сложность сигнала определяется по аналогии с разделом «Алгоритмы оценки объемов запасов углеводородов». Предполагается, что в данном тесте рассматривается структурный каркас с прямоугольными ячейками, скважины пересекают ячейки под прямым углом по центру ячеек. Для каждой скважины сравниваются значения каротажа в центрах ячеек, полученные по ана-
литическим формулам, со значениями, полученными осреднением в точках замера каротажа.
Тест апскейлинга выполнен в ПК «РН-Геосим» для различного числа ячеек расчетной сетки по вертикали. Точность алгоритма (невязка) определяется наименьшим среднеквадра-тическим расхождением (евклидова норма) аналитического и усредненного тестовых сигналов для расчетной сетки размерностью К.
Проведенный тест апскейлинга позволяет сделать следующие выводы (рис. 7):
• величина невязки уменьшается с уменьшением размеров ячеек;
• параметры, отвечающие за сложность кривой, влияют на скорость сходимости: наибольшая скорость сходимости наблюдается у сигнала с наименьшей сложностью и наоборот;
• при построении геологических моделей размер ячеек сетки должен зависеть от сложности рассматриваемых сигналов.
АЛГОРИТМЫ ВАРИОГРАММНОГО АНАЛИЗА
Задачей вариограммного анализа пространственно распределенных значений литологических и/или фильт-
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 9 September 2018
43
ГЕОЛОГИЯ
рационно-емкостных свойств пласта является построение вариограммы у(Ь) случайной величины z(x), определяющей вариацию (дисперсию) разницы значений z(x) и z(x + Ь) как функцию, зависящую только от расстояния Ь. Предполагается, что для случайной величины выполняется условие слабой стационарности.
При геологическом моделировании нефтегазовых месторождений оценка вариограммы у(Ь) осуществляется исходя из экспериментальной вариограммы, строящейся как среднее значение квадрата разностей известных значений г^) и z(xj + Ь) для каждого фиксированного промежутка Ь между точками. Предлагаемый тест предназначен для оценки погрешности расчета экспериментальной вариограммы по отношению к вариограмме, вычисленной аналитически. За основу был взят тест из работы [11], где приведены результаты исследования вариограмм для различных расположений простых геометрических тел в пространстве. В частности, рассмотрен куб с ребром А = 1000 ед. (рис. 8), внутри которого расположены 1000 мелких кубов с расстоянием между центрами, равным L = 100 ед. по всем направлениям: X, Y,Z. Длина ребер мелких кубов а варьирует и равна а = 10; 20; 30; 40; 50 м для разных случаев. Геологическим аналогом такого геометрического объекта является распределение ограниченных зон коллектора (мелкие кубы, в которых z(x) = 1) в области неколлектора (оставшиеся ячейки основного куба, где z(x) = 0). С увеличением длины стороны а наблюдается рост средней величины г^) (т. е. изменение песчани-стости NTG) и дисперсии в рассматриваемом распределении величины г^). Отметим,величина дисперсии является показателем сложности для данного теста (табл. 5).
В данном примере вариограммы одинаковы по направлениям X, Y, Z, периодические с периодом L и аналитически представляются формулой:
гУ(Л) =
|Л|
М, при 0 <h<a,
М, при a<h<L-a, - ^Af, при L-a<h<L,
Область приемлемых значений
Acceptable values area
— y = sin(;f) y=2sin(2x)
— y=3sin(3x)
5 10 50 75 100 Число слоев сетки по оси К К number of grid layers
f,[z),ff(z) - значения аналитического и усредненного сигнала для расчетной сетки размерностью K,N - число сравниваемых отсчетов, / £ 1...N f,{z)>f?{z) ~ values of analytical and averaged signal for computation grid of K, N dimension - the number of comparing griddings i E 1...N
Рис. 7. Результаты апскейлинга синусоидального сигнала (на примере программного комплекса «РН-Геосим»)
Fig. 7. Sinusoidal signal upscaling data (by the example of RN-Geosim software package)
Рис. 8. Пример оценки точности расчета вариограммы для распределения кубов коллектора с длиной ребра a = 30. Желтым цветом показаны ячейки коллектора (ячейки со значением 1), коричневым - неколлектора (ячейки со значением 0)
Fig. 8. The example of evaluation for computation accuracy of variograms to distribute reservoir cubes with edge length a = 30. Yellow color is to show reservoir meshes (those with value 1), brown -non-reservoir meshes (those with value 0)
Таблица 5. Характеристики сложности для заданных кубов Table 5. Characteristics of complexity for specified cubes
Длина ребра куба, м Cube edge lenght, m Среднее значение Mean value Сложность (дисперсия) Complexity (variance)
а = 10 0,001 0,000999
а = 20 0,008 0,0079
а = 30 0,027 0,0262
а = 40 0,064 0,0599
а = 50 0,125 0,109
44
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
тмс
ГРУПП
М ETA Л Л О П Л АСТМ АССО ВЫЕ ТРУБЫ И ПАТРУБКИ
Метал л о гт астма его вые трубы И патрубки диаметром до 325 мм с максимальной толщиной стенки 20 мм, представляют собой стальную трубу, патрубок с наружным полиэтиленовым (для подземной прокладки)илилакокрасочным покрытием, футерованную внутри полиэтиленовой трубой (оболочкой) и закрепленную наконечниками из:
- конструкционной углеродистой стали (МПТ)
■ коррозионностойкой стали (МПТК)
• конструкционной легированной стали (МПТК1)
МПТ, МПТК и МПТК(1) могут быть выполнены в 2-х исполнениях:
- нормальное - температура эксплуатации До +60 "С.
■ теплостойкое - температура эксплуатации выше +4-0°С, но не более+30°С.
Назначение
МПТ, МПТК и МПТК(1) предназначены для сооружения трубопроводов, транспортирующих:
■ пластовую, сточную и пресную воду а системе поддержания пластового давления;
■ агрессивных сред химической, нефтехимической, нефтеперерабатывающей отраслей промышленности, к которым полиэтилен химически стоек
Преимущества:
срок эксплуатации трубы увеличивается в несколько раз. Срок службы не менее 30 лет;
повышенная надежность трубопровода, сооруженного из металл опластмассовых труб, позволяет значительно уменьшить аварийность трубопровода;
пропускная способность трубопроводов с годами эксплуатации не изменяется;
упрощается эксплуатация: в случае перекачивания нефти значительно уменьшается отложение парафинов;
трубы защищены от коррозионного воздействия атмосферы на стадиях транспортировки, хранения и монтажа без каких-либо дополнительных мероприятий.
О
8-800-250-79-39
tmcg@tnncg.ru
www.TMc-групп.рф
ГЕОЛОГИЯ
Сторона маленького куба а, ед. Small cube side a, unit
Область приемлемых значений - Вычисленная невязка — Дисперсия выборки Acceptable values area Computed discrepancy Sampling variance
y.(h) - значения аналитически полученной вариограммы, у °(Л) - значения экспериментальной вариограммы для зон коллектора со стороной о, N - число сравниваемых отсчетов для y°(h)
у¡(h) - values of analytically derived variogram, y°(h) -values of experimental variogram for reservoir zones with a side, N - the number of comparing griddings for y°(h)
Рис. 9. Сравнение экспериментальной вариограммы с аналитическим решением в ПК «РН-Геосим» Fig. 9. Comparison of experimental variogram with analytical solution in RN-Geosim software package
где М - среднее значение величины z(x) в кубе (значение NTG). Качество алгоритма оценивается сред-неквадратическим отклонением аппроксимирующей экспериментальной вариограммы, построенной в области |Л| « а, от значений аналитического представления для этой же области. Данный тест для оценки качества построения экспериментальной вариограммы проведен в ПК «РН-Геосим» для кубов с длиной стороны а = 10...50 м. Проведенный тест показал (рис. 9):
• в случае одинаковых размеров тел коллектора и одинаковых расстояний между телами экспериментальные вариограммы показывают достаточно хорошую сходимость с теоретической, вне зависимости от размеров тел коллектора в области неколлектора;
• если размеры тел и расстояния между телами являются случайными величинами, то корректное использование экспериментальной вариограммы при геологическом моделировании требует дополнительных исследований.
ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВОЙСТВ
Важной задачей, которую необходимо решить в процессе геологического моделирования, является задача построения пространственного распределения свойств моделируемой среды. В предлагаемых тестах задача пространственного распределения свойств формулируется следующим образом: область моделирования О рассматривается в виде прямоугольного параллелепипеда, в котором задана регулярная пространственная сетка размерностью I * J * К. Некоторое физическое свойство f (например, значение гамма-каротажа) задано в точках х1, ..., хк е П. Необходимо получить оценку значений / в произвольном узле сетки в О, т. е. решить задачу пространственной интерполяции.
Известны [12] два основных и широко применяемых на практике класса геостатистических методов для решения такой задачи: детерминированные методы (например, различные модификации алгоритмов кригинга) и стохастические методы (алгоритмы последовательного гауссова моделирования
и алгоритмы спектрального моделирования случайных полей). Некоторые подходы к проверке качества геостатистических алгоритмов рассмотрены в работе [13], где предложены критерии оценки адекватности соответствующего программного обеспечения и приведен ряд тестов. Эффективность предложенных тестов пространственного распределения свойств проверялась на алгоритмах стохастического моделирования, реализованных в программных комплексах Petrel, RMS и TimeZYX (ныне «Сфера. Геология»).
Авторы данной статьи предлагают три тестовых примера, имеющих точное решение и позволяющих оценить корректность и сравнить качество геостатистических алгоритмов, представленных в различных программных комплексах.
Тест для детерминированных методов (кригинга)
Рассматривается область с заданной регулярной сеткой 9 * 9 * 100, где 9 * 9 -сетка по латерали, 100 - число ячеек вдоль вертикальной оси Z. Пусть величина f(M) равна 1 в угловых столбцах прямоугольника (т. е. в ячейках с координа-
тами (1, 1, k), (1, 9, k), (9, 1, k) и (9, 9, k), где k = 1, ..., 100) и 0 - в центральном столбце с координатами (5, 5, k). Тогда точное решение задачи интерполяции этой величины на остальные точки области методом простого кригинга (т. е. методом кригинга с заданным средним значением моделируемой величины в области) с использованием всех данных (глобальный кригинг) получается простыми вычислениями [14]. На рис. 10 представлены результаты вычислений в случае рассмотрения экспоненциальной вариограммы с нулевым наггетом (nugget), единичным порогом (sill) и радиусом, равным 500 ед. по направлениям X и Y и 10 ед. - в направлении Z, а также со средним значением f(M), равным 0,8.
Предложенный тест может использоваться для анализа влияния количества «соседей» (соседних точек, которые используются при построении аппроксимации значения f(M) в данной точке) на точность аппроксимации (в сравнении с глобальным кригингом). Очевидно, что мера ошибки должна стремиться к нулю при увеличении числа «соседей». Результаты такого тестирования в программных комплексах Petrel, RMS, «РН-Геосим» представлены на рис. 11.
46
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
GEOLOGY
а) a) б) b)
Рис. 10. Модель для тестирования алгоритмов кригинга (а) и результат моделирования методом глобального кригинга (б)
Fig. 10. The model for testing creeging algorithms (a) and modeling result by global creeging (b)
0,0018
Область приемлемых значений Acceptable values area
- Petrel RMS
— «РН-Геосим» (RN-Geosim)
10 15 20 40
Число «соседей», M Number of "neighbors", M
fgrfij" - реализации глобальным кригингом и кригингом с числом «соседей»,М, соответственно, N = I-J-K, /€Е l..J,j£ 1...J, кв. 1...К fijffij" ~ realization by global creeging and creeging with the number of "neighbors" M, respectfully, N = I-J-K, ;Gl..Jj'Gl...J,<rGl.../C
Рис. 11. Сходимость реализаций «локального» к «глобальному» кригингу в зависимости от числа «соседей»
Fig. 11. Convergence of realizations by "local" to "global" creeging depending on the number of "neigbors"
Тестирование стохастических методов
Предлагается два теста. Первый является аналогом соответствующего теста из [13] и оценивает скорость сходимости усредненных по реализациям стохастических кубов к кубу кригинга при увеличении числа реализаций.Второй оценивает влияние погрешности в исходных данных на скорость сходимости усредненных стохастических кубов к кубу кригинга.
В первом тесте величина f(M) задана так же, как в тесте для детерминированных методов (кригинга) (рис. 10). Значения глобального кригинга сравниваются со значениями, полученными при осреднении N стохастических реализаций, где N принимает значения 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100. Для распространения величины f(M) была взята экспоненциальная вариограмма с нулевым нагге-том, единичным порогом и радиусом, равным 500 ед. по направлениям X и Y и 10 ед. - в направлении Z, а также средним значением f(M), равным 0,8. Теоретическая скорость сходимости усредненных стохастических реализаций к кригингу имеет порядок N_1/2, где N - число реализаций (неравенство Берри - Эссеена) [15]. Данный тест использовался для тестирования метода последовательного гауссовского стохастического моделирования (ПГСМ) в программных комплексах Petrel, RMS, «РН-Геосим» и показал, что среднее по множеству стохастических реализаций стремится к среднему по кригингу при увеличении числа реализаций (рис. 12). Во втором тесте рассматривается область с заданной регулярной сеткой 25 * 25 * 100, где 25 * 25 - сетка по ла-терали, 100 - число ячеек вдоль вертикальной оси Z. В области выбраны пять вертикальных столбцов, значения функции f(M) в которых были получены случайным образом согласно закону распределения N(0,a), где о = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0 (рис. 13). Для данного теста была выбрана экспоненциальная вариограмма с наггетом, равным 0,1, единичным порогом и радиусом, равным 800 ед. по направлениям X и Y и 25 ед. - в направлении Z, а также средним значением f(M), равным 0. Как
и в предыдущем тесте, значения глобального кригинга для данной модели сравниваются со значениями, полученными при осреднении N стохастических реализаций для разной величины дисперсии. Максимальное число усредняемых стохастических реализаций N было расширено до 1000. Результаты теста, а именно влияние дисперсии исходных данных на скорость сходимости осреднения стохастических реализаций к глобальному кригингу, приведены на рис. 14. Видно, что чем больше погрешности в исходных данных, тем больше
реализаций требуется для приближения среднего к глобальному кригингу. Проведенные тесты алгоритмов распространения свойств показали следующие результаты: • с увеличением числа соседей уменьшается невязка между приближенным решением кригинга и глобальным кригингом, однако при этом существенно возрастают потребности в вычислительных ресурсах, поэтому необходимо продолжить исследование вопросов выбора числа соседей в зависимости от изменчивости входных данных;
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 9 September 2018
47
ГЕОЛОГИЯ
0,006
к m
tu
- Petrel RMS
— «РН-Геосим» (RN-Geosim)
Число реализаций, N Number of realizations, N X"(rm) - значение осредненной стохастической реализации (N реализаций) в ячейке ijk; Х(г.]к) - значение реализации глобальным кригингом в ячейке ijk,M = I-J-K Х"(г~к) - value of averaged stochastic realization (N realizations) in mesh ijk; X(r.Jk) - value of realization with global creeging in mesh ijk, M = I-J-K
а) a)
Рис. 12. Пример тестирования стохастических методов пространственной интерполяции: а) усредненный результат для 10 кубов, б) сходимость для различного числа реализаций Fig. 12. The testing example of spatial interpolation stochastic methods: a) averaged data for 10 cubes, b) convergence for different number of realizations
б) b)
ь
t>
к a-
Я -
80 60 40 20 0
- (T = 0,5 a = 1,0
- a = 1,5
- a = 2,0
- CT = 4,0
5 10 20 30 50 100 200 300 5001000
Число реализаций, № Number of realizations, N
Рис. 13. Сходимость реализаций к кригингу в зависимости от числа реализаций при изменении дисперсии (на примере ПК «РН-Геосим»)
Fig. 13. Convergence of realizations by creeging depending on the number of realizations under changed variance (by the example of RN-Geosim software
package)
• при увеличении количества реализаций в усреднении уменьшается невязка между усредненным кубом стохастических реализаций и кубом кригинга (рис. 11);
• усредненные стохастические реализации в программных комплексах Petrel, RMS и «РН-Геосим» сходятся к кригингу практически с одинаковой скоростью (рис. 12);
• при увеличении дисперсии исходных данных (погрешности) схождение среднего по реализациям к кригингу замедляется (рис. 13);
• большая дисперсия в исходных данных приводит к необходимости увели-
чения вычислительных ресурсов для исследования сходимости усреднения к глобальному кригингу.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представлены тесты и продемонстрированы результаты опробования разработанных функциональных тестов, позволяющих оценить качество программной реализации математических алгоритмов, применяемых при геологическом моделировании нефтегазовых месторождений. Предлагаемые тесты предназначены для оценки результатов автокорреляции разрезов скважин, построения дву-
мерных поверхностей каркаса геологической модели,оценки объемов углеводородов, вариограммного анализа и пространственной интерполяции пространственно распределенных значений литологических и/или фильт-рационно-емкостных свойств пласта, апскейлинга скважинных данных на расчетную сетку.
В результате проведенного функционального тестирования оценена точность расчетов в пакетах геологического моделирования и проведена оценка их качества, сравнительный анализ качества результатов вычислений.
48
№ 9 сентябрь 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
GEOLOGY
Основные выводы следующие:
1. Создание тестов возможно для всех этапов построения геологической модели.
2. Тестирование распространенных пакетов геологического моделирования показало удовлетворительную точность их работы и сходимость результатов.
3. Тесты просты и понятны, могут быть повторены.
В ближайшей перспективе в продолжение исследований в данном направлении планируется разработка тестов других видов (нагрузочных, стресс-тестов, стабильности), а также расширение набора функциональных тестов. Предполагается создание удобной общедоступной библиотеки тестов.
Еще одним направлением исследований, инициированным проведенным тестированием,является выработка рекомендаций по выбору геометрических параметров геологической модели (размерности сеток) в зависимости от сложности входных данных (в первую очередь от их дисперсии).
References:
1. GOST R (National Standard) 56448-2015. Gas, Gas Condensate, Oil And Gas, Oil, Gas And Gas Condensate Fields. Software for Geological Simulation of Fields. Basic Functional and Technical Requirements [Electronic source]. Access mode: http://docs.cntd.ru/document/1200121469 (access date - August 7, 2018). (In Russian)
2. Gutman I.S., Balaban I. Yu., Postnova O.V., et al. ACDV for Explore the Geological Structure of Complex Hydro-Carbon Deposits. Geofizika = Russian Geophysics, 2010, No. 4, P. 17-25. (In Russian)
3. Software Geoplat Pro-G [Electronic source]. Access mode: http://geoplat.pro/ru/?id=29 (access date - August 7, 2018). (In Russian)
4. Shaybakov R.A., Mukhamadeev D.S., Sultanov Sh.H. Development of a Well Sections detailed Autocorrelation Integrated Method. Elektronnyi nauchnyi zhurnal «Neftegazovoe delo» = Electronic scientific journal Oil and Gas Business, 2013, No. 5, P. 131-151. (In Russian)
5. Usakova A., Vargic R., Kotuliak I. Statistical Signal Analysis using Wavelet Transform [Electronic source]. Access mode: https://www.researchgate. net/publication/268408018_Statistical_signal_analysis_using_wavelet_transform (access date - August 7, 2018).
6. Ghazi Al-Naymat, Chawala S., Taheri J. Sparse DTW: a Novel Approach to Speed up Dynamic Time Warping [Electronic source]. Access mode: https://arxiv.org/pdf/1201.2969.pdf (access date - August 7, 2018).
7. Ababkov K.V. Mapping of Geological and Geophysical Parameters and Geometrizing of Oil and Gas Deposits. Manual. Ufa, Ufa State Petroleum Technological University, 2008, 289 p. (In Russian)
8. Hultgren T., Andersen 0. New methods of Surface Interpolation for Geological Simulation. Neftyanoye khozyaistvo = Oil Industry, 2004, No. 10, P. 20-25. (In Russian)
9. Haecker M.A. Convergent Gridding: a New Approach to Surface Reconstruction. Geobyte, 1992, Vol. 7, No. 3, P. 48- 53.
10. Zakrevskiy K.Ye., Ananiev S.A Evaluation of Computational Accuracy of Rock Holding Space in Geological Simulation Packets of Oil and Gas Fields. Gazovaya promyshlennost' = Gas Industry, 2009, No. 11, P. 32-34. (In Russian)
11. Zakrevskiy K.E., Popov V.L. Variogram Analysis of Geological Bodies. Ekspozitsiya Neft' Gaz = Exposition Oil & Gas, 2018, No. 1, P. 27-31. (In Russian)
12. Baikov V.A., Bakirov N.K., Yakovlev L.A. Mathematical Geology. Book 1. Introduction into Geostatistics. Moscow-Izhevsk, Institute of Computer Researches, 2012, 228 p. (In Russian)
13. Pergament A.Kh., Minniakhmetov I.R., Akhmetsafina A.R., Balashov A.D. Test System for the Geologic Simulation Algorithms. Vestnik TsKR Rosnedra = Herald of the Central Development Committee of the Federal Agency for Mineral Resources, 2009, No. 5, P. 16-24. (In Russian)
14. Demianov V.V., Savelieva Ye.A. Geostatistics: Theory and Practice. Edited by R. Arutyunian Moscow, Nauka, 2010, 327 p. (In Russian)
15. Petrov V.V. Sums of Independent Random Variables. Moscow, FIZMATLIT, 1972, 416 p. (In Russian)
Литература:
1. ГОСТ Р 56448-2015. Месторождения газовые, газоконденсатные, нефтегазовые и нефтегазоконденсатные. Программное обеспечение для геологического моделирования месторождений. Основные функциональные и технические требования [Электронный источник]. Режим доступа: http://docs.cntd.ru/document/1200121469 (дата обращения: 07.08.2018).
2. Гутман И.С., Балабан И.Ю., Постнова О.В. и др. Программный комплекс ACDV для изучения осадконакопления в залежах углеводородов сложного геологического строения // Геофизика. 2010. № 4. С. 17-25.
3. Программный комплекс Geoplat Pro-G [Электронный источник]. Режим доступа: http://geoplat.pro/ru/?id=29 (дата обращения: 07.08.2018).
4. Шайбаков Р.А., Мухамадеев Д.С., Султанов Ш.Х. Разработка комплексного метода детальной автокорреляции разрезов скважин // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». 2013. № 5. С. 131-151.
5. Usakovi A., Vargic R., KotuLiak I. Statistical Signal Analysis using Wavelet Transform [Электронный источник]. Режим доступа: https://www.researchgate.net/ publication/268408018_Statistical_signal_analysis_using_wavelet_transform (дата обращения: 07.08.2018).
6. Ghazi Al-Naymat, Chawala S., Taheri J. Sparse DTW: a Novel Approach to Speed up Dynamic Time Warping [Электронный источник]. Режим доступа: https://arxiv.org/pdf/1201.2969.pdf (дата обращения: 07.08.2018).
7. Абабков К.В. Построение карт геолого-геофизических параметров и геометризация залежей нефти и газа: учеб. пособие. Уфа, изд-во УГНТУ, 2008. 289 с.
8. Халтгрин Т., Андерсен О. Новые методы интерполяции поверхностей для геологического моделирования // Нефтяное хозяйство. 2004. № 10. С. 20-25.
9. Haecker M.A. Convergent Gridding: a New Approach to Surface Reconstruction // Geobyte. 1992. Vol. 7. No. 3. P. 48- 53.
10. Закревский К.Е., Ананьев С.А. Оценка точности расчетов объемов пород в пакетах геологического моделирования месторождений нефти и газа // Газовая промышленность. 2009. № 11. С. 32-34.
11. Закревский К.Е., Попов В.Л. Вариограммный анализ геологических тел // Экспозиция Нефть Газ. 2018. № 1. С. 27-31.
12. Байков В.А., Бакиров Н.К., Яковлев Л.А. Математическая геология. Т. I. Введение в геостатистику. М.-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2012. 228 с.
13. Пергамент А.Х., Минниахметов И.Р., Ахметсафина А.Р., Балашов А.Д. Система тестов для алгоритмов геологического моделирования // Вестник ЦКР Роснедра. 2009. № 5. С.16-24.
14. Демьянов В.В., Савельева Е.А. Геостатистика: теория и практика / Под ред. Р.В. Арутюняна. М.: Наука, 2010. 327 с.
15. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1972. 416 с.
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 9 September 2018
49
