Система связанных маятников с управлением вертикальными осцилляциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2019, 12(6), 694-707

yflK 517.9

Coupled Pendulums System Under Control by Vertical Oscillations

Mikhail E. Semenovab, Andrey E. Pigareva, Antonina A. Malininab and Mikhail A. Popov*b

aMilitary Education and Research Centre of Military-Air Forces

"Military-Air Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin" 54a Starykh Bolshevikov Str., Voronezh, 394064, Russia bVoronezh State Technical University 84 20 Let Oktyabrya Str., Voronezh, 394006, Russia

Received 18.01.2019, received in revised form 14.02.2019, accepted 24.03.2019

In this paper we propose a mathematical model consisting of two inverse pendulums with an elastic coupling (by spring). We propose a dynamic programmed control of the model motion, implemented through vertical oscillations of the common pendulums pivot point. We investigate dynamics of this mechanical system, and formulated a condition for identifying stability of the system. We constructed stability zones in the spaces of the original and dimensionless parameters. Also, we obtain evolution of stability zones depending on spring stiffness values. In conclusion, we presented results of numerical software experiments for various system configurations.

Keywords: inverted pendulum, linked oscillators, stabilization, controlling, stability zones.

Citation: Semenov M.E., Pigarev A.E., Malinina A.A., Popov M.A. Coupled pendulums system under control by vertical oscillations, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2019, 12(6), 694-707. DOI: 10.17516/1999-494X-0169.

© Siberian Federal University. All rights reserved

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0). Corresponding author E-mail address: soeltic@gmail.com

Система связанных маятников с управлением вертикальными осцилляциями

М.Е. Семенова б, А.Е. Пигарева, А.А. Малинина6, М.А. Попов6

аВоенный учебно-научный центр Военно-воздушных сил

«Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» Россия, 394064, Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а бВоронежский государственный технический университет Россия, 394006, Воронеж, ул. 20 лет Октября, 84

В статье рассматривается математическая модель системы, состоящей из двух обратных маятников с упругой связью (пружиной). Система управляется программно, посредством вертикальных осцилляций точки крепления одного из маятников. Проведено исследование динамики указанной механической системы, сформулированы условия, обеспечивающие ее стабилизацию. Построены зоны устойчивости в пространстве исходных параметров. Представлена эволюция зон устойчивости в зависимости от значений жесткости пружины. В работе также приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих динамику системы.

Ключевые слова: обратный маятник, связанные осцилляторы, стабилизация, управление, зоны устойчивости.

Введение

Теория колебаний нелинейных систем широко применяется при моделировании различных физических процессов и явлений [1], таких как колебания в электрических цепях, состоящих из нескольких взаимосвязанных контуров, молекул в жидкостях и твердых телах и т.д. В таких системах реализуются разнообразные дисперсионные зависимости, на основе которых исследуется распространение волн в нелинейных средах. Большинство таких моделей систем основывается на законах движения простейших связанных осцилляторов и их цепочек, динамика которых формализуется посредством линейных и нелинейных уравнений. Во множестве подобных задач рассматриваются колебания маятников с устойчивым нулевым положением [2-4]. Подробный обзор последних результатов в этой области приведен, например, в [5].

В то же время в ряде практически важных задач (например, колебания поддерживающих контуров в строительстве, проблема стабилизации плазмы, стабилизация синтезированных биологических цепочек и т.п.) нулевое положение является неустойчивым. В связи с этим отметим классическую задачу стабилизации верхнего положения обратного маятника [6]. При решении этой задачи основное внимание уделялось проблеме стабилизации неустойчивого положения равновесия маятника путем движений нижней точки крепления. Этой проблеме посвящено огромное количество публикаций, достаточно подробный обзор которых содержится в [7]. Отметим, что стабилизация верхнего положения может быть достигнута различными способами: периодическими вертикальными осцилляциями нижней точки крепления, с ис-

Рис. 1. Модель вертикальногомаятника сосциллирующим креплением Fig. 1. Model of a vertical pendulum with an oscillating mount

пользованием принципа обратной связи о др. Задача стабилизации маятника с помощью вертикальных осцилляций потки крепления хорошо рсуисиа (рис. б). Лаарнаичаское рблиснение этого явления было сделано Стефенсоном в 1908 г. [8]. Физическое же объяснение динамической стабилизации перевернутого маятника вертикальными осцилляциями точки крепления было предложено академиком П.Л. Капицей в 1951 г., ученый также дал оценку снизу частоты вибрации, при пото.нй сераля е попожание сзанонитсяустнрнивым [9].

Согласно [9, 10], цпa0нириeдинaмякирбрнбинaзыикнчызйраcзыимeeбвид

Ф -у (g + f (t ))sinp = О, (1)

где ф - угол отклонения маятника от вертикали; l - длина маятника; g - ускорение свободного падения; f(t) - закондвижениякрепления.

При движении нижней точки крепления по гармоническому закону уравнение (1) сводится к хорошо известному уравнению Матье [4]. Для адекватного описания динамики реальных физических и механических систем необходимо учитывать эффекты гистерезисной природы - люфты, упоры [11, 12]. Исследование устойчивости таких систем детально проведено в [13-17].

Отметим, что проблеме стабилизации систем связанных неустойчивых осцилляторов посвящено совсем немного работ. Исследование возможности стабилизации таких систем при помощи горизонтальных движений проведено в [18-20]. Также представляет интерес другая задача - возможность управления различными конфигурациями цепочек с помощью вертикальных осцилляций точки крепления.

В настоящей работе исследуется система, состоящая из двух перевернутых маятников, соединенных пружиной, с периодическим управляющим воздействием наодин изних.

1.Постановка задачи

Рассмотрим систему, где основание одного из маятников находится на подвижной планке, которая может перемещаться вдоль вертикальной оси, основание второго статически зафиксировано. Физическаямодельизучаемой системыприведена нарис. 2.

Fig. 2. Physical model of coupled pendulums

При этом отметим, что при жесткости пружины k = 0 получается система из двух одинаковых маятников с управлением одним из них. В таком случае движение маятника на планке описывается уравнением Матье, второй маятник описывается обычным уравнением гармонических колебаний. В случае k ^ да связь становится жесткой (пружину можно заменить нерастяжимым стержнем) и маятники движутся как один. Таким образом, в обоих случаях для стабилизации системы достаточно воспользоваться известными результатами [9, 10].

Ниже рассматривается случай, когда жесткость пружины k е (0; да). Будем считать, что планка осуществляет движение так, что ее ускорение изменяется периодически с частотой т, а амплитуда колебаний равна Ат2. Это соответствует тому, что линеаризованное уравнение движения описанной выше системы будет иметь такой вид:

0 ^(g + ^VO) EE + OOy( ft - ft),

> 1 J

шр1 к12 / ч

(Р2 =—Г ^--г( ^ - Я\),

J J (2) м>() =-sign(sm(a

= Рп 01(0) = <Ри, О2(0) = 1 ^Са)^^

где м>(() - ускорение основания маятников; 3 - момент инерции маятника; k - жесткость пружины.

Такимобразом, задачазаключается в средуыицем:

Выб ор такого режимауправления,который быобеспечивалстабилизациюсистемы. Определнниа зон усанйадвостисалосаазнстве паанметровДамплиууда-частота), обеспечивающих стабилизацию.

2. Основныеуравнениядинамики

Перыйдам и беоразмедоым ^д^пикан], сделал п (2) следую^ю замену:

г = ®е ,« = ^—,7 = —. (3)

I I Р

- 697 -

Витоге имеем следуюецую систему:

( =(а+в sig (mT^Vi+rWi-Vi ( р2=а<р2-у{=2-pl ) = 0,

Pi ( 0) = V= pP= = Vn, V((0) = =21 )&2 (0) = =22-Пврепишем (4-) в виде системы дифференциальных уравненийпервогопорядка:

'¿! p Z2

¿2 pP{T)zi+rY

¿3 = Z4

A p(а-г)z-i + Y^, ( <С0> = y^-i 1 О = «си

0 = < <Pi{p = < где р(т) — с— f3sign (sin т) - ;л.Матрицаполученнойсистемы1имеетсеедующий вид:

( о i о oY

р(т) 0 ¡с 0 0 0 0 1

Y 0 (oC + Y)

(4)

(5)

Р(т ) =

13 силу сделанныхпредположенийматрицаР(т) является пе риодическай фундц ией времени с периодом 271,так что для любого момента времени п сщэавмдливо раоенгтво Р(п + 2п) = Р(г).

Будем го влротв, чме (4) устойчиво или нмустолешво по Лагранжу, если устой-

иива или, сооевеечтвенно, нвмеетоитита оитасаа (5). "Во есль все решения г(т) ограничены на [0, ®е Гй еилргериаиичности матрицы системы из результатов Флоке [13] следует, что задача исследования устойчивости сводится к нахождению фундаментальной матрицы решений в мо-менс 2и - матрицы монедромии воцесие ее свбелвенне1х значенмл(оультипликаторов). Для °етдуймвдсти оистемы необходимеидосталойно, еесйы знечевд^в: мсех мультипликаторов на-ходилвеьонвдуй единичного тпугл:

|Х| < 1.

(6)

В силу того, что матрица Р(т) кусочно-постоянная, фундаментальная система решений и, следовательно,матрицамонодромии могут быть представлены в явном виде. Для этого рассмотрим поведение твсочнтыссвяоонной фднкини r (т) = sign (sinp с периодом 2п и соответственно р(т) (рис. 3).

На рис.3 видно, что система (4)на офомео^тке (0,271)можетбытьописана оаумя линейны-миоитоемамис постояннымикоэффициенаами:

•1 = z

=(

¿3 = z

=(

а -

т е

M

(7)

Г(Г>

-Г

7Г !

Рис. 3. Графикифункций г(т)и р(т) Fig. 3. Function graphs: r(x)andр(т)

¿Л

z=z

&2 =(a-ß-r) z +Y1 Z = z1 = (a-r) 4 +Yz1

: [n,2n]

(8)

Taic так фундаментальная маьрицадалжнабыаь непрерывна, торешения систем (7)-(8) должные оваааать вмлалат времени п:

Z1 (0) = E, Z1 (в) = Z2 (в),

где IS - единичнаяматрица.Найдем,последовательноинтегрируя системы, (7)-(8):

^ cli(то1 )a3 + ch(ra2 )a4 sh(rü)j )a7 + sh(ra2 )a6 (cl(т )-ch(та2 ))a5 sh(a1 )a9 - sh(та2 )a8

sli(rOj )a3 + sh(ra2 )a12 cC^a^a + ch(ra2 )a4 sh(ra^ai^ + sh(тa2)ajj (ch(тa1 )- ch(ra2 ))a5

(ch(a)-ch(ra2))a5 sh(rûi1 )a9 -sh(ra2)a8 ch(ra)a4 + ch(тa2)a3 sh(ra1 )a15 + sh(ra2)ai14

sIi (тaJ )a10 - sh(ra2 )a11 (ch(ra1 )-ch(ra2))a5 sh (ra1)a17 + sh (т a2)a16 ch (т a12 a4 + ch (za2 )a3

Z\t (

Z'(r) = Z1 (п)

ch((т-п)cj)a3 + ch((î"-n)aj)a4 sh((т-п) )a14 + sh((т-п) )a15 (ch((т-п))-ch((т-п))) a5 sh((т-п)iij)c4-sh((т-п))a8

sh ((т-п )a1 )c5 + sh ((т-п)с1 )c6 ch ((т- п) c1 )a3 + ch ((т-п) )a4 sh ((т-п) ) + sh ((т-п ) )c3 (ch ((т-п )a1 )- ch ((т-п)с1 )) a5

(ch ((т- тт) a1 )- ch ((т -па) ))a5 sh ((т-тг^)^ - sh ((т-п) ) ch ((т-п) ) + ch ((т-п )c1)a4 sh ((т-гг ) ) + sh ((т-aa))

sh((^-7r)aj )c2 + —.((т-п) )c3 ^((т-п))-ch((т-п) ))a5 ^1((т^п)т)г1 ) + 51с((т-п)c1 ) ch— п-п)) + ch((т-п)c1 )a4

Тогдв,полосеяв22ат) z = 27t, получип мянрыцу сисысмы (4Л л следующем

виде:

H = Z(2k) = Z\T) =

С ch (ж a. )a3 + ch (+ пгт1л ) аг4 4h ( п. ) а7 + 4h ( ;та( ) а2 (ch ( яс^) a ch ( жаг ))а5 sh (сс ( )а9—sh(ir ал)а2 ^

sh (п a1 )a13 + 4h (жал(ап ch ( жа1 ( а3 + ch ( na( ) а2 sh ( жа( ) а10 + sh ( псал ) an (ch (с () — ch(ir ал) ) а5

(ch((T ) — ch ( пта!л )) sh ( nrhj ) а9 - sh ( жа( ) а2 ch ( жа^ ) а2 + ch ( псал )а3 sh (с ( )ii15+-sh(^ ал ).я1

sh (ж ат 0 — s 7:i (жал')а11 ^ch (я'а1) — c h (;г^а( )) ог5 sh ( ) а17 + sh ( ;!ал ) а>1) ch (it ( )i12 + ch(^ ал) а3

С ch (.^Ci^ + cIi (пго11 )ог2 sh ( ;тс1 ) ог12 + ;1h ( ;та1 ) а15 5ch ( ) — ch ( яс^ )) а5 sh (пс( ^ с2 — sh ( ( )

sh(^ а1 ) с5 sh ( птс1 )с2 c;h ( ;тс1 ) ог) + cch ( ;та1 ) а2 sh ( ^а1 ) a,1 + sh ( жс^ ) с3 (ch (сс ( )^ch(^ ( ))а5

(h (( ah(;rc1 sh ( ;та1 ) с2 — sh ( nrq ) а2 ch (я■a1)a- + chi ( ) а2 sh (пс ( )í-2-^sh (^ а1 )а7

sh (^ а1 )сл-ъ sh(;rc1 )с) ( ch ( я'с1 ) —— ( ;тс1 )) а5 sh (^a1)a)1 + sh(;ii;1)c2 ch (icat^ )i1)--ch(^( )a,

(9)

к

Ъ+=4р1+вГг, +г=_а + р~2у, Ъъ=\+р, ЪА=Ъ=-р, ) = i()/2(( +0), По—г^-Ь,- ai=a;

7 b

3 2b'

2¡}l ■

5 " У "6' bs

.2= У

10 2b,2'

_ d( 2a-2y-b4) _Ъва + р-у)-2уг _b+(a + ¡B - y)+2 y2 _hL _ _ Ьъ{а-у)-2у2

ail = 1а12 ~ , 4 _63 , Ра14 _ , 1а15 = , ,a 16 ,

o= ——00——, в =a-4y, d2 =в - y 2 a = \\а-у--—, c2 =

__ 2-l2y _ b4d2 +2\Í2y2 _bdd2-2y2 _ bYdl+2j2y2 _0Ydl-2y2

a 4 , ' C5 ~ , > C6 + , c C7 ~ 2 а У - ,

в - ъ6 b5 _

Характеристичесрое уравнекие для матрицы Z(2x) инЕ^ц^иц^ет вид

Y _22/2y2a-y + -j2b4) _ 22(=-a + 2b3)

y-et (H - ZE) =2

h - Z h h h

11 12 13 14

h h - Z h h

21 22 23 24

h h h - Z h

h h h h - Z

41 42 43 44

Z + qZ + q2Z + q^Z + qt = 0, (До)

dT

где H = (-1[V =1 [В4].

Для идендификсции зон устойчивости íes пространстве параметров межно воспользоваться критерием ^ува-Гуртица. УД,в1я эосго неоьоадиыо сделать дсменц 00 м —— (это ото-

1- —

бражение сопоставляре кругу левую часть комплексной плоскости), получив

р]ьавнаоие о кившалксными коэффициеттами влдм и0—4 + ы1/иъ о u2)u2 + иъ/и + иА = о дл= того втобы норнн аистмьвлтвтювцоео уравнания всжлли в левоа части лкмплексноо амосгосто, а, как следствие, корни уравнения (10) лежали внутри единичного круга, достаточно, чтобы ащзеделители гыявных минвров неирицы Гурвица, воставленнвр из 4сэффидд4нтвв и0...и4, были положительными. 1Нворяй с;]П01;эИ> сеязев с прямым вычеылсооет кортей сараинесисти-мьстооа ия (10).

Решлнио крвлмснив у10) имвюн слсвующий оидв

К = =2 = =3 =

к =-

- тк >э к У5 к 1

4 2

- f-- ^

2-4 - ys к A-, 4л/у 4к J—5

2.—4 - У5 к А- 4у/з—4 К 5

2-4 - У5 Уъ 4у/У4 К

(ii)

Уз 1—4 К У 5

где у =12 + q22 - 3ад3,у = 27 q^ - 7 2q2 +2 q23 -9^q3 +27q32, J3 = -q^3 + 4qq -8^3,

- 700-

У = У5 =■

q/2

y

3 У2 +J-4y¡

3 + у2

3 У2 ^ V—4У3

3 + У2

+32

С учетом (6) и (11) для устойчивости системы необходимо выполнение неравенства max. < k. Имея в виду функциональную зависимость параметров характеристического уравнения от амплитуды, частоты и жесткости пружины, построим зоны устойчивости в про-странствепараметров.

3. Построение зонустойчивости и анализрезультатов

Границами зоны устойчивости являются линии в пространстве параметров, соответствующие значениям максимального собственного числа, равного единице. Для построения этих

15 20

15 20

Рис. 4. Графики областей устойчивостиприразличных жесткостях пружины к Fig. 4. Plots of stabil ityzones with di fferent springstiffness к

- roy -

Рис. 5. Верхняя и нижняя границы областей устойчивости при различных k Fig. 5. The upper and lower bounds of the stability regions for different k values

областей последовательно зафиксируем значения жесткости пружины на уровнях k = 20, 35, 50, 70, 85, 100. Результаты получены численно, с помощью пакета Wolfram Mathematica.

На рис. 4 видно, что геометрия зон устойчивости претерпевает изменения, соответствующие увеличению площади второй зоны. Заметим также, что полученные результаты схожи с графиками в [16, 21, 22].

ЧтоРыпроисхпострировать адолюцию изменения зон устойчивости в зависимости от жесткости пружины,приведем сдвиг левой границы правой зопыустойчивости (рис. 5).

Параметрам, удовлетворяющим неравенству (6), соответствуют почти периодические колебания [23] маятников относительно верхнего положения. Для иллюстрации динамики систеу мы приведем фазовые портреты и зависимости фазовых. координат (.азмерных) от времени для значений параметров системы: l = 1м, k = 95 Н/м, A = 10 м, со = 20 Гц, р[(О) = 0.01, ф1 (0) = -0.01, <2 = -0.03, <р2 = 0.02 (рис. 6).

В заключение отметим, что полученные движения соответствуют почти периодическим функциям: спектры решений имеют две ярко выраженные идвепобочные гармоники (ряс. 7).

4. Периодические режимы

Рассмотрим поведение движения маятника при параметрах, лежащих на границах области устойчивости, что, возвращаясь к характеристичесчому уравнению матрицы монодромии (9), относится к трем случаям: когда q1 = -4, q1 = 0, q1 = 4. Тогда мультипликаторы будут принимать следующие значения: ^ = Х2 = ^з = = 1, ^ = = -1; ^з = = 1 и ^ = Х2 = ^з = = -1 соответственно.

Если = Х2 = Х3 = Х4 = 1, то соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству Z(t + 2п) = Z(t), следовательно, уравнение (2) имеет периодическое решение, период

2п

которого совпадает с периодом его коэффициентов T1 л —.

а

Рис. 6. Графики характеристик движения первого маятника (а); графики характеристик движения второго маятника (б); фазовые плоскости (в)

Fig. 6. Graphs of the motion characteristics for the first pendulum (a); graphs ofthe motion characteristics for the second pendulum (b); phase planes (c)

ал as

2Д 2i

Рис. 7. Спектры решений: слева zb справа z3 Fig. 7. Spectra of solutions: z1 (left) and z3 (right)

Если = = -1; = = 1 или = = = = -1, то соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству + 2п) = --ф, а еще через один период —($ + 4л) = -2($ + п) = —(О,

4)

следовательно, уравнение (2) имеет периодические решения, период которых Т2 = = — [24].

а

где коэффициентыимеютсЛедуЮщие значения:

K1 = hP1 (d - h44 ) + h24h41 K1 = h23 (d - h44 )+ h24h43

11 (d - hPP )(d - h44 )- hP4 h4s' 12 (d - hPP )( - h44 )- hP4 h4P (17)

K1 = h41 (1 - h22 )+ h42 h21 K1 = h43 (1 - h22 )+ h42 h23

21 (1 - h44 )(1 - h22 )- h42h2/ 22 (1 - h44 )( - h22 )- h42h24

Если для начальных условий (ф10, ф20, ф30, ф40) можно найти пару параметров A и ю, лежащих на границе области устойчивости, удовлетворяющей равенству (17), то эта пара единственна. Обратное также верно.

Аналогично определяется плоскость, соответствующая начальным условиям, отвечающим периодическим решениям с периодом T2.

Заключение

В работе рассматривалась динамика системы, состоящей из неустойчивых связанных маятников, находящихся под воздействием сил инерции, обусловленных вертикальными осцил-ляциями нижней точки крепления одного из них. Было показано, что наличие жесткой упругой связи между маятниками коренным образом меняет динамику системы. Были построены зоны устойчивости в пространстве естественных параметров, а также исследована эволюция зон устойчивости в зависимости от жесткости пружины. Установлено наличие неустойчивых периодических режимов на границах зон устойчивости.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 17-01-00251, 19-08-00158.

Список литературы

[1] Андронов А.А. Витт А.А. Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с. [Andronov A.A. Witt A.A. Khaikin S.E. Theory of oscillations. Moscow, Nauka, 1981. 568 p. (in Russian)]

[2] Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра, Математический сборник, 1952, 30(72), 181-196 [Bautin N.N. On the number of limit cycles appearing when the coefficients change from an equilibrium state of the focus or center type, Matematicheskii sbornik, 1952, 30 (72), 181-196 (in Russian)]

[3] Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Изд-во физико-математической литературы, 2001. 416 с. [Trubetskov D.I., Rozhnev A.G. Linear oscillations and waves. Moscow, Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 2001. 416 p. (in Russian)]

[4] Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. Пер. с нем. М.: Мир, 1982. 304 с. [Magnus K. Oscillations: Introduction to research of oscillatory systems. Translation from German. Moscow, Mir, 1982. 304 p. (in Russian)]

[5] Осипов Г.В. Синхронизация в неоднородных сетях осцилляторов. Нижний Новгород, 2014. 135 с. [Osipov G.V. Synchronization in heterogeneous networks of oscillators. Nizhny Novgorod, 2014. 135 p. (in Russian)]

[6] Колмогоров А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, Доклады АН СССР, 1954, 98(4), 527530 [Kolmogorov A.N. On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in the Hamiltonian function, DokladyAkad. Nauk USSR, 1954, .98 (4), 527-530 (in Russian)]

[7] Бутиков Е.И. Стабилизация перевернутого маятника (60 лет маятнику Капицы), Компьютерные инструменты в образовании, 2010, 5, 3951 [Butikov E.I. Stabilization of the inverted pendulum (60 years of Kapitza's pendulum), Computer tools in education, 2010, 5, 39-51 (in Russian)]

[8] Stephenson А. On an induced stability, Phil. Mag, 1908, 15(233)

[9] Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом, УФН, 1951, 44, 720 [Kapitsa P.L. A pendulum with a vibrating suspension, UFN, 1951, 44, 7-20 (in Russian)]

[10] Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса, ЖЭТФ, 1951, 21, 588-597 [Kapitsa P.L. Dynamic stability of a pendulum with an oscillating point of suspension, JETP, 1951, 21, 588-597 (in Russian)]

[11] Нелепин Р.А. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1979. 447 с. [Nelepin R.A. Research methods for nonlinear automatic control systems. Moscow, Nauka, 1979. 447 p. (in Russian)]

[12] Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 271 с. [Krasnoselsky M.A., Pokrovsky A.V. Systems with hysteresis. Moscow, Nauka, 1983. 271 p. (in Russian)]

[13] Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. 367 с. [Pliss V.A. Nonlocal problems of the theory of oscillations. Moscow, Nauka, 1964. 367 p. (in Russian)]

[14] Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987. 304 с. [Merkin D.R. Introduction to the theory of stability of motion. Moscow, Nauka, 1987. 304 p. (in Russian)]

[15] Матвеев М.Г., Семенов М.Е., Шевлякова Д.В., Канищева О.И. Зоны устойчивости и периодические решения перевернутого маятника с гистерезисным управлением, Мехатрони-ка, Автоматизация, Управление, 2012, 11, 8-14 [Matveev M.G., Semenov M.E., Shevlyakova D.V., Kanishcheva O.I. Zone of Stability and Periodic Solutions of the Inverted Pendulum with Hysteretic Control, Mechatronics, Automation, Control, 2012, 11, 8-14 (in Russian)]

[16] Семенов М.Е., Хатиф З., Решетова О.О., Демчук А.А., Мелешенко П.А. Модель динамики обратного маятника с гистерезисным управлением, Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, 2016, 4, 165-177 [Semenov M.E., Hatif Z., Reshetova O.O., Demchuk A.A., Meleshenko P.A. The model of the dynamics with the inverted pendulum hysteretic control, Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2016, 4, 165-177 (in Russian)]

[17] Семенов М.Е., Матвеев М.Г., Лебедев Г.Н., Соловьев А.М. Стабилизация обратного гибкого маятника с гистерезисными свойствами, Мехатроника, Автоматизация, Управление, 2017, 8, 516-525. [Semenov M.E., Matveev M.G., Lebedev G.N., Solovyev A.M. Stabilization of a Flexible Inverted Pendulum with the Hysteretic Properties, Mechatronics, Automation, Control, 2017, 8, 516-525 (in Russian)]

[18] Семенов М.Е., Соловьев А.М., Попов М.А. Стабилизация неустойчивых объектов: связанные осцилляторы, Труды МАИ, 2017, 93 [Semenov M.E., Solovyov A.M., Popov M.A. Stabilization of unstable objects: coupled oscillators, Trudy MAI, 2017, 93 (in Russian)]

[19] Solovyov A.M., Semenov M.E., Meleshenko P. A., Reshetova O.O., Popov M.A., Kabulova E.G. Hysteretic nonlinearity and unbounded solutions in oscillating systems, Procedia Engineering, 2017, 201, 549-555.

[20] Semenov M.E., Solovev A.M., Popov M.A, Meleshenko P.A. Coupled inverted pendulums: stabilization problem, Archive Of Applied Mechanics, 2018, 88, 517-524.

[21] Семенов М.Е., Попов М.А., Канищева О.И. Управление системой нелинейно связанных перевернутых маятников, Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Техника И Технологии, 2018, 11(3), 280-290 [Semenov M.E., Popov M.A., Kanishcheva O.I. Nonlinear Related System of Inverted Pentulums Control. Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2018, 11(3), 280-290 (in Russian)]

[22] Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. М.: Наука, 1985. 400 с. [Neimark Yu.I., Kogan N.Ya., Savelyev V.P. Dynamic models of control theory. Moscow, Nauka, 1985. 400 p. (in Russian)]

[23] Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 304с. [Krasnoselsky M.A. Nonlinear almost periodic oscillations. Moscow, Nauka, 1970. 304 p. (in Russian)]

[24] Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006. 272 с. [Miroshnik I.V. Theory of automatic control. Nonlinear and optimal systems. St. Petersburg, Piter, 2006. 272 p. (in Russian)]