Система с повторными вызовами: оценивание вероятности блокировки вызова на конечном интервале Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2012. С. 68-77

УДК 519.872.1

СИСТЕМА С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ: ОЦЕНИВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ БЛОКИРОВКИ ВЫЗОВА НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

Е. В. Морозов, Р. С. Некрасова

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

В статье рассматривается регенеративное оценивание вероятности занятости односерверной системы с повторными вызовами в переходном режиме. Первичная заявка, заставшая сервер занятым, поступает на орбиту бесконечной емкости, образуя очередь для повторной попытки попасть на сервер. Обсуждаются условия стационарности такой системы. Оценивание применяется как в области стационарности, так и в области нестационарности. В последнем случае рассматриваемая оценка сходится к вероятности занятости сервера в некоторой вспомогательной системе с потерями. Основное внимание в статье уделено оцениванию вероятности блокировки заявки на конечном интервале, т. е. в переходном режиме системы. Проведено сравнение эффективности стандартной выборочной оценки и альтернативной оценки. Приведены результаты численного моделирования и сравнения эффективности этих оценок.

Ключевые слова: система с повторными вызовами, условие стационарности, вероятность занятости, оценивание на конечном интервале.

E. V. Morozov, R. S. Nekrasova. A RETRIAL QUEUEING SYSTEM: ESTIMATION OF THE BLOCKING PROBABILITY IN A FINITE TIME INTERVAL

The paper deals with regeneration estimation of busy probability in a single server retrial queueing system in transient regime. Primary customer who finds the server busy joins the infinite capacity orbit to wait as in a queue for retrial. Stability conditions of such a system are discussed. Estimation is applied both to the stability and the instability domains of this system. The focus in the paper is on estimation of the blocking probability over a finite interval, that is in transient regime. Standard sample mean estimate and the alternative estimate based on the knowledge of the stationary blocking probability were compared.

Key words: Retrial queuing system, stability condition, busy probability, estimation on finite interval.

Введение

Рассмотрим односерверную систему с повторными вызовами £ без буфера с пуассо-новским входным потоком с интенсивностью

Л и (произвольным) временем обслуживания Б со средним Е£ := 1/^. Заявки, поступающие в систему, когда сервер занят, уходят на орбиту бесконечного объема (блокируются),

образуя “очередь” в порядке поступления на орбиту. Первая заявка в этой очереди делает попытку попасть на сервер через экспоненциально распределенное время с интенсивностью ^о, ив случае неудачи (мгновенно) возвращается на орбиту. Заметим, что первая заявка может, в частности, снова возвращаться в начало очереди для следующей попытки. (Это не меняет распределения числа заявок на орбите и в системе в целом.) Тогда без ограничения общности можно считать, что неудачных попыток не существует и (первая) заявка на орбите делает попытку лишь при освобождении сервера. Однако ниже мы рассматриваем также и поток неудачных попыток. Рассматриваемая система с постоянной скоростью ухода заявок с орбиты радикально отличается от классических систем с повторными вызовами, где интенсивность орбитальных заявок растет с ростом их числа, поскольку заявки делают повторные попытки независимо. По этой причине и условия стационарности рассматриваемой и классической систем принципиально различаются. В частности, условие стационарности классической системы с повторными вызовами совпадает с условием стационарности стандартной системы с неограниченным буфером и (индивидуальная) интенсивность ухода заявки с орбиты не играет в нем никакой роли. Напротив, в системе с постоянной скоростью ухода с орбиты эта интенсивность существенным образом влияет на область стационарности.

Таким образом, в рассматриваемой системе сама орбита может рассматриваться как односерверная система обслуживания вида О/Ы/1, где в обозначении О входного потока на орбиту отражена его сложная структура, в частности, что он не является процессом восстановления. Этот поток является суперпозицией потока первичных блокируемых заявок и потока неудачных попыток орбитальных заявок попасть на сервер. Заметим, что источником нестационарности рассматриваемой системы может быть только неограниченно растущая орбита.

Отметим, что анализ таких нестандартных систем с повторными вызовами мотивирован поведением некоторых сетевых протоколов (подробнее см., например, [7-9]).

В ряде предшествующих работ найдены условия стационарности некоторых из описанных систем с повторными вызовами. Впервые такая модель вида М/О/1/0 (без буфера) исследована в работе [11], где также получено необходимое и достаточное условие стационарности. Позднее в работе [3] была исследована

двухсерверная система вида M/M/2/O, а также получено необходимое и достаточное условие ее стационарности (условие эргодичности марковского процесса, описывающего ее динамику). В работе [13] рассмотрен стационарный режим системы с повторными вызовами вида M/M/m/n (с буфером размера n) и приведен критерий стационарности для системы M/M/l/l. Также условия эргодичности многосерверной системы вида M/M/m/O были получены в [4]. Наконец, в недавней работе [7] найдено достаточное условие стационарности немарковской m-серверной системы с повторными вызовами вида GI/G/m/n, у которой лишь интервалы между повторными попытками остаются показательными (с интенсивностью ^0).

Данная статья организована следующим образом. Вначале приведены условия стационарности некоторых из описанных систем с повторными вызовами, а также явное выражение для стационарной вероятности блокировки Pb в системе вида M/M/l/O. (По свойству PASTA эта вероятность совпадает также с вероятностью занятости системы.) Затем описана регенеративная структура, включая квази-регенерацию, используемую для оценки вероятности блокировки в нестационарном режиме. Далее рассмотрена стандартная оценка вероятности блокировки, а также альтернативная оценка этой вероятности на конечном интервале. В заключение приведены результаты численного моделирования и сравнение эффективности рассмотренных оценок для систем вида M/G/l/O. Отметим, что результаты моделирования показали преимущество альтернативной оценки.

Условия стационарности системы с повторными вызовами

Рассмотрим простейшую систему с повторными вызовами вида M/M/l/O без буфера. Состояние системы в момент t описывается двухмерным марковским процессом Y(t) = (N(t),v(t)), где N(t) - число заявок на орбите, а v(t) Є {O, l} - число заявок в системе. Легко увидеть, что марковский процесс {Y(t)}t^o - неприводимый со множеством состояний S = Z+ x {O, l}. Обозначим его предельное распределение

Pij = lim P{N(t) = i; v(t) = j}, (i,j) Є S, t——<^

когда оно существует. Заметим, что поток заявок, поступающих на сервер, складывается из двух (вообще говоря, зависимых) потоков:

потока первичных заявок (А-потока) и потока вторичных заявок с интенсивностью До. При этом интенсивность До в момент і определяется на событии (Ж(і) = і} как До = До(1 — &о), где 5і0 - символ Кронекера. (Очевидно, Д0 ^ До.) В работе [4] показано, что критерий стационарности имеет вид:

Л + Д0

Pi := P---------------- < l,

/o

(l)

где P := Л// , а стационарные вероятности состояний равны

P

Л

io =

Л + /t o

Pii = P(l - Pi)Pi, i ^ O.

(l - Pi)Pi, i ^ O, (2)

(З)

Очевидно, стационарная вероятность занятости сервера ввиду (З) равна

Еp

i=o

ii

P,

(4)

и, таким образом, критерий стационарности (l) принимает вид:

(Л + /o)Pb < /0.

(Б)

В работе [7] получено следующее достаточное условие стационарности (верное для широкого класса систем с повторными вызовами):

(Л + ^0)Ploss < /0,

(б)

где - стационарная вероятность потери

заявки в мажорирующей односерверной системе с потерями с пуассоновским входным потоком с параметром Л + ^0 и тем же распределением времени обслуживания, что и в исходной системе. При этом в системе М/С/1/0 вероятность определяется по формуле Эрланга

P

loss

Л + /0 Л + /0 + /

(7)

Легко проверить, что условия (5) и (6) эквивалентны. Заметим, что условие (1), которое можно записать в виде

P<

/o

Л + /o

< l,

(8

сводится к классическому условию р < 1 при До ^ то. Этот результат объясняется тем, что с ростом интенсивности До заявки все меньше времени проводят на орбите и рассматриваемая система сближается с классической системой с буфером неограниченного объема.

Регенеративная структура системы с повторными вызовами

Одно из основных преимуществ регенеративного метода состоит в том, что он применим к широкому классу немарковских процессов. Это, в частности, позволяет уменьшить размерность основного процесса, описывающего динамику системы. Например, состояние введенной выше системы с повторными вызовами (и даже более общей системы вида GI/G/m/n) в момент t может быть также описано с помощью скалярного (непрерывного справа) немарковского процесса {X (t) := N(t) + v(t), t ^ O}, где v(t) Є {O, n + m}. Пусть Л-заявки поступают в моменты {tn}, и пусть X(t-) := Xn. Очевидно, система (процесс X := {X(t)}) регенерирует каждый раз, когда Л-заявка поступает в пустую систему (пустой сервер и пустая орбита). Положим To := O и определим моменты регенерации процесса X (и других процессов в системе) следующим образом:

Tk+i = inf(ti > Tk : Xi = O), k ^ O. i

Пусть T =st Tk — Tk-i, k ^ l - типичный период регенерации (=st означает стохастическое равенство). Обозначим ,0k = A(T—) и заметим, что моменты {Д.} удовлетворяют рекурсии

ek+i = inf{i > ek : Xi = O} (eo = O) (9) i

и являются моментами регенерации (в дискретном времени), причем Tk = . Ниже мы

будем рассматривать более специальную систему с повторными вызовами вида M/G/l/O. Стационарный режим. Предположим, что выполнено условие стационарности системы. Иными словами, процесс X - положительновозвратный, т. е. ET < те. Пусть A(t) и H(t) - число первичных Л-заявок, поступивших в систему и блокированных за время [O, t], соответственно, а A и H - число приходов и блокировок, соответственно, на (типичном) цикле регенерации, так что A =st ^k — /0k-1, k ^ l. Пусть Ik есть индикатор блокировки k-й первичной заявки, тогда, в

частности, H(t) = Ik. Процесс {Ik}k^o

регенерирует в моменты {^k}k^o, и является положительно-возвратным, т. е. EA < те. Ввиду свойства (пуассоновского) входного потока существует слабый предел Ik ^ I, при k ^ те, и более того P(Ik = l) = EIk ^ EI, где, ввиду свойства PASTA, стационарная вероятность блокировки заявки EI совпадает с вероятностью занятости сервера. Суммируя ска-

P

b

занное и используя теорию регенерации, получаем с вероятностью l (с в. l)

lim

H(t)

EH

EA

P

b = P.

(lO)

t——^ A(t)

Заметим, что равенство Pb = P (см. (4)) верно не только для системы вида M/M/l/O, но и для более общей системы с повторными вызовами вида M/G/l/O. Доказательство этого результата дано ниже, см. (22). (Это равенство также имеет место в классической системе M/G/l без орбиты и с неограниченным буфером [2].)

Нестационарный режим. В этом случае число заявок на орбите неограниченно растет и применение классической регенерации становится невозможным. В таком случае можно использовать квази-регенерации, когда поступающая в систему заявка (первичная или вторичная) встречает пустой сервер, а орбита может быть не пустой. Определение квазирегенераций см. в [1, б, Т]. Поток повторных заявок сближается с пуассоновским потоком с интенсивностью /0, и со временем исходная система начинает вести себя как система Эрланга с потерями с пуассоновским потоком с параметром Л + /o и стационарной вероятностью потери Ploss, удовлетворяющей (Т). Другими словами, квази-регенерации становятся классическими регенерациями, но для процесса очереди, рассматриваемого изолированно. Заметим, что по свойству PASTA вероятность Ploss совпадает со стационарной занятостью сервера (в системе с потерями).

Оценки среднего на конечном интервале

Выборочная оценка, как правило, хорошо аппроксимирует оцениваемый параметр лишь при большом числе наблюдений (большом t). В то же время процесс моделирования часто весьма затратен и поэтому ограничивается некоторым фиксированным интервалом [O, t].

Рассмотрим общий случай оценивания предельного среднего по времени от (измеримой) функции f [X(t)] регенерирующего процесса {X(t) } на основе оценки

l Ґ

r(t) = t J0 f[X(u)]du (ll)

(В дискретном времени интеграл заменяется на сумму.) Предположим, что с в. 1 существует предел r(t) ^ г, при t ^ те и требуется построить оценку нестационарного среднего E[r(t)] при моделировании на конечном интервале [O,t]. Заметим, что такое оценивание

допредельной характеристики Е[г(і)] в переходном режиме можно формально проводить и в условиях нестационарности. Предположим также, что Е[г(і)] ^ г, для чего достаточно, например, равномерной интегрируемости семейства (г(і), і ^ 0}. В частности, последнее имеет место при оценивании вероятности занятости сервера Рь с использованием оценки

"(V (

о

где, напомним, V(і) есть суммарное число заявок на сервере и в буфере (если он существует) в момент і, а г (і) ^ 1.

Из сказанного выше следует, что важно иметь оценки среднего Ег(і), эффективные при больших і.

Стандартная оценка для Е[г(і)] является выборочным средним из т независимых траекторий г/(і) процесса на интервале [0,і], именно

l Ґ

r(t) = - I (v (u) = O)du,

to

fm(t) := m Е rj(t). j=1

(l2)

По усиленному закону больших чисел (УЗБЧ), при каждом £ с в. 1

^т(£) ^ Ег(£), т ^ то.

Регенеративная структура процесса {/[X(£)]} позволяет получить следующий асимптотический результат для дисперсии оценки гт(£) при £ ^ то и фиксированном т [12].

Теорема 1. Для любого фиксированного т,

—

Ш[гт(£)] ^ ^ то, (13)

где —1 - явно заданная константа.

Таким образом, дисперсия стандартной оценки среднего Ег(£) убывает со скоростью 1/£ с ростом £.

В работе [12] также предложена альтернативная оценка Ег(£), построенная по остаточной длине цикла регенерации в момент £ в предположении, что предельное значение г известно. Ситуация, когда г известно, а вычисление среднего на конечном интервале Ег(£) вызывает большие сложности, встречается при моделировании довольно часто. Типичными примерами являются формулы Литтла, Поллачека-Хинчина, стационарное среднее незавершенное время восстановления и т. д. Как показывает дальнейший анализ, альтернативная оценка вероятности блокировки имеет существенно меньшую дисперсию чем стандартное выборочное среднее. Сохраним обозначение {Тга}га^о моментов регенерации рассматриваемого процесса

0

{X(і)}^0 и определим незавершенное время регенерации в момент і как

Т(і) (*)+1 — ^

(14)

где N (£) - число регенераций в интервале (0, £], а также “перескок” процесса накопления на текущем в момент £ цикле регенерации как:

/т^(*)+1

/ [X (и)]^и. (15)

(Типичный процесс накопления имеет вид интеграла от регенерирующего процесса [14].)

В [12] предложена следующая взвешенная оценка (статистика) величины г

Е(і) :— г + г

Т(і) І(і)

і

і

(16)

которая имеет прозрачную физическую интерпретацию. Тогда выборочная оценка величины Ег(£) по остаточной длине цикла принимает вид:

(17)

где Л,-(і) - ^’-я (независимая) реализация статистики Д(і). Как показано в [12], оценка

-йт(і) при всех і, т является несмещенной, т. е. ЕЕт(і) — Ег(і). При исследовании эффективности, необходимо учитывать, что оценка по остаточной длине цикла требует дополнительных вычислений после момента і до окончания текущего цикла. Однако величины Т(і) и I(і) (при определенных моментных требованиях, см. Теорема 2 ниже) асимптотически ведут себя как о(і) при больших і и мало влияют на объем вычислений. Из теории процессов накопления следует, что если ЕТ < то, то ЕТ (і) — о(і), а если Е|У | < то, где У — /0Т /[X(и)]^и, то I(і) — о(і) с в. 1 [14]. Имеет место следующий результат [12].

Теорема 2. Если Е[Т3] < то и Е[ТУ2] < то, то для любого фиксированного т

где С2 - явно заданная константа.

Таким образом, дисперсия оценки Ет(£) сходится к нулю в £ раз быстрее, чем дисперсия стандартной оценки гт(£). Следовательно, оценка Лт(£) может существенно повысить эффективность регенеративного моделирования. (Дополнительные аргументы в пользу этой оценки можно найти в [12].) Ниже

этот результат установлен при оценивании вероятности блокировки в рассмотренной выше системе с повторными вызовами в интервале [0, £] при фиксированном £. Для оценивания в стационарном режиме рассмотрим соответствующий аналог величины г(£) выше:

:— 0[к(і)Ь

(19)

А(£) к(£)

где / есть индикатор блокировки г-й заявки, а к(£) = тах{г : £г ^ £} есть число первич-

г

ных заявок, поступивших в интервале [0, £]. Несмещенной и сильно состоятельной оценкой Е0[к(£)] является выборочное среднее

М'О :— % [кі (і)К

т

(20)

где ^ [к(£)] есть ]-я (независимая) реализация 0[к(£)] в интервале [0, £] (которая включает случайное число наблюдений к(£).) Отметим, что число регенераций в интервале [0, £], содержащем к(£) первичных заявок, равно N(£) := тах{г : вг ^ к(£)}. Введем следую-

г

щие аналоги величин Т(£), I(£), соответственно, для оценки вероятности блокировки

(*)+1

Тк(*) := вМ(*)+1 — к(£) 1к(*) := /г. (21)

г=&(4) + 1

Напомним, что Рь = р есть стационарная вероятность занятости системы с повторными вызовами вида М/М/1/0, см. (4). Используя иной подход, покажем, что и в системе с повторными вызовами вида М/С/1/0 с произвольным временем обслуживания 5 стационарная вероятность занятости

Рь = АЕ5 := р. (22)

Именно, пусть V(£) - поступившая, а ^(£) -обслуженная нагрузка в системе в интервале [0, £], и пусть Ш(£) - незавершенная в момент £ работа в системе (в сервере и на орбите). Имеет место следующее уравнение баланса

V(£) = Ш(£) + £(£),£ ^ 0. (23)

Если система стационарна, то с в. 1 Ш(£) = о(£), £ ^ то [14]. Поскольку

V(0 . , ОД . Р

Т ^р- т ^ Рь

с в. 1, то из (23) следует соотношение (22). (Более детальный анализ см. в [2].) С учетом этих замечаний рассмотрим статистику

в[к(і)] — Рь +

рьТк(^)____________

к(і) к(і) ,

(24)

которая приводит к такой (альтернативной) оценке величины E0[k(t)]:

em(t) := m Е ej [kj(t)],

(25)

j=1

m

E[0m,k] = -£ E[%(k)] = E[0(k)]. (26) m j=1

Рассмотрим величину

k ^n(fc)+1 ^n(fc)+i

ад = Е і. = Е і. — Е і.

i=1 i=1 i=k+1

n(k)+1 n(k)+1

£

i=1

Hi k

Hi (27)

i=1

n(k)+1

Pb ^ Ai + Pbe«(k) + 1 ^k,

где п(к) - число регенераций при к наблюдениях, Н. - число блокировок заявок на і-м цикле регенерации, а А. — в. — в.—1. Напомним, что Рь — ЕН/ЕА, см. (10). Тогда, по тождеству Вальда:

где к(£)] есть ^-я (независимая) реали-

зация ©[к(£)]. (Отметим, что несмещенность оценки ©т(£) не удается доказать по аналогии с Лт(£) (см. [12]), поскольку к(£) является случайной величиной.)

Подчеркнем, что оценки ©т(£) и 0т(£) строятся методом регенеративного моделирования, в котором удобнее использовать фиксированное число приходов к, чем фиксированный интервал [0, £]. Этот подход и реализован при численном моделировании в данной работе. Именно, (в очевидных обозначениях) каждая из т траекторий процессов {0(к)} и {©(к)} строится для фиксированного числа наблюдений к. Такая аппроксимация величины Ег(£) вполне приемлема, если значения к и £ достаточно велики. Имеет место следующий результат, доказываемый аналогично равенству ЕЯт(£) = Ег(£) в [12]. Обозначим 0(к) = /г/к, см. (19).

Теорема 3. Оценки вероятности блокировки

Л т Л т

От* := - £ ^(к) и ©т,к := т £ ©,■ (к),

n(k)+1 n(k)+1

e[ Е Hi — Pb Е Ai

i=1 i=1

О.

построенные по к наблюдениям (в каждой из т независимых траекторий {О,-(к)} и {©^-(к)}) являются несмещенными,

Е[(9т,к] = Е[©т,к ] = Е[0(к)],

при всех к и т.

Доказательство. Из определения 0т,д. очевидным образом следует

Таким образом, взяв математическое ожидание в (27), получаем

kE[0(k)] = E[Pb(k + Tk) —Ik ]

= kE[Pb + Pb Tk — Ik ]. (28)

Поэтому E[0(k)] = E[e(k)], и кроме того, очевидно, E[em,k ] = E[e(k)]. □

Рассмотрим нестационарный режим той же системы с повторными вызовами. Пусть {z., i ^ О} есть моменты обращения заявок (как первичных, так и вторичных) к серверу. Обозначим v. = v(z-) и определим рекурсивно моменты квази-регенерации таким образом

ak+1 = inf(i > ak : v. = О), k ^ О, (ao = О).

i

Теперь оценка для вероятности блокировки в переходном режиме имеет тот же вид, что и (l9)

v^k(t) I

e[k(t)] :^i1k?t1r^ •

где, однако, I. есть индикатор неудачной попытки обращения к серверу, а k(t) - общее число попыток в [О, t].

Как показано в [1], Pb в данном случае совпадает со стационарной вероятностью потери Pioss в системе с потерями M/G/l/О с интенсивностью входного потока Л+/ o, см. (7). Ввиду свойства PASTA P^oss также равна предельной вероятности блокировки заявки. Интересно отметить, что это происходит в условиях неограниченного роста орбиты. Такую систему можно назвать частично устойчивой.

Теорема 4. В системе с повторными вызовами вида M/M/l/О в стационарном режиме интенсивность потока попыток с орбиты на сервер равна

jlo = p2( j + Л + /o).

(29)

i=1

Доказательство. Определим (потенциальное) общее число Ло(і) попыток попасть на сервер, порожденных блокированными заявками, поступившими в интервале [0, і], и пусть

73

7п есть число неудачных попыток п-й повторной заявки. Напомним, что общее число таких заявок в интервале [0, і] есть Н(і). Для определенности будем считать, что блокируемая первичная заявка присоединяется к концу очереди заявок, находящихся на орбите. Заметим, что величины {7п} - н.о.р. и что

р :—

Л

есть вероятность того, что повторная заявка не попадет на освободившийся после обслуживания сервер, который в этом случае будет занят первичной заявкой. Поскольку вероятность не менее і таких неудачных попыток равна рг, а среднее число неудачных попыток в течение (экспоненциального) времени обслуживания равно ^о/^, то нетрудно видеть, что

г- ^0 і

— 7^ р

г і=0

Л + ^0 ^ ‘

(30)

В соответствии с общим принципом получения критерия стационарности, левая часть неравенства (31) должна быть равна предельной доле времени (вероятности) того, что система не пуста. Отсюда легко следует, что величина рА/^о должна быть равна стационарной вероятности простоя сервера при непустой орбите. Иными словами, это доля мощности, потерянной сервером из-за простоев при непустой орбите. Поскольку эта вероятность положительна, то дисциплина в данной системе не является консервативной. Этот результат подтверждается в системе с повторными вызовами вида М/М//1/0, поскольку (см. (2))

Р(^ = 0, N > 0)

= Р(^ = 0) - Р(^ = 0, N = 0)

— 1 — Р — ^ Р.0 і>0

Р-

Результаты численного моделирования

В области стационарности Н(і)/і ^ ЛРь — Лр. Кроме того, все повторные заявки в конце концов попадают на сервер, и поэтому общее число попыток у п-й повторной заявки равно + 1. Таким образом, стационарная интенсивность потока повторных попыток Д0 определяется как предел

^0 : —

ііш

І—<Х>

ііш

І—<Х>

Л0(і)

ііш

І—<Х>

Е"(0І)(1 + 7і)

і і——<^ і

ЕН(0)(1 + 7.) н(і) Н (і) і

— лрь[1 + Л±^ ],

где 70 :— 0. Альтернативный вывод (29) опирается на равенство Д0 — ^0д, где д — Р (орбита не пуста)=Х}.>0(Р0і + Ріі), и явный вид вероятностей (2), (3). □

Напомним доказанный выше результат (22) о том, что в системе вида М/С/1/0 стационарная вероятность простоя сервера

Р0 :— 1 — Рь — 1 — Р

и что условие (5) является критерием стационарности такой системы, см. [7]. Обозначим через (V, N) основной стационарной процесс, т. е. (V (і), N (і)) ^ (V, N). Перепишем условие (5) в виде

Л

р + р— < 1. №

(31)

В данном разделе представлены результаты имитационного моделирования и оценивания вероятности блокировки Рь в системах М/М/1/0 и М/Рагеіо/1/0 в стационарном и нестационарном режимах. Эти (точечные) оценки дают очень хорошее согласие с полученными выше теоретическими результатами (см. близость величин Рь, ^т(і) и 0т(і) в таблицах 1, 2).

В качестве исходных характеристик системы задаются величины Л, ^0, ^. На основе условия (5) в работе [1] введена мера стационарности

/ Л 2 \ / Л 2 \

Г :— 1/Е5 — (— + Л) = ^ — ( — + Л),

^0 / ^0 /

значение которой положительно в области ста-

ционарности (и растет по мере “углубления” в область стационарности). Заметим, что при больших Г > 0 реальная интенсивность орбитальных заявок Д0 ^ ^0, и заданный параметр ^0 не является показателем качества обслуживания. Ниже рассматривается следующая оценка интенсивности Д0 потока заявок с орбиты на сервер

Мі) —

и

і

где индикатор 1. — 1, если і-я попытка обращения к серверу неудачна, а к (і) - общее число попыток за время наблюдения [0, і]. При этом, в стационарном режиме с в. 1, /л0(і) ^ Д0 при і ^ то. Можно также показать (см. [1]), что в нестационарном режиме (т. е. при Г < 0)

До До (і) Д р(і) Г Рь ^т(і) 0 т(і) „ад

4,00 14,000 0,600 0,050 0,200 0,100 0,150 0,590 0,510 0,050 0,200 0,100 10,000 6,000 3.00 20,000 1.000 0,100 0,120 0,270 0,500 0,050 1,200 11,010 8,750 4,930 0,330 -1,000 -5,000 -10,900 0,100 0,167 0,333 0,050 0,545 0,917 0,101 0,167 0,333 0,051 0,546 0,917 0,100 0,167 0,331 0,050 0,545 0,917 0,003 0,001 0,221 0,001 0,001 0,004

Таблица 2. Оценивание Рь в системе вида М/Рагеіо/1/0, Л = 0, 5, т = 50

До До (і) а р(і) Г Рь М^) 0 т(і) „ад

10,000 5,000 0,200 0,100 2,810 2,140 0,200 0,100 10,000 5.000 40.00 2,100 3,680 3,300 0,720 1,150 0,370 0,250 -0,780 -2,480 0,556 0,625 0,418 0,534 0,565 0,629 0,417 0,532 0,552 0,620 0,418 0,534 0,011 0,025 0,000 0,002

До(і) ^ До с в. 1. Кроме того, используя аргументы теории регенерации, можно показать, что ЕДо(і) ^ до на границе области стационарности, т. е. при Г = 0. В целом, коэффициент

р(і) = (Л + До(і))Е£

выражает загрузку сервера (в числе попыток в единицу времени) на конечном интервале [0, і]. Эффективность оценок 0т(і) и 0т(і) выражается величиной отношения их дисперсий

„ад := 30тШ, в[Мі)І

где

1 т 2

^[®т(і)] = т-Г Е ^(^)] - 0т(і) ,

І=1

1 т 2

^[Мі)] = т^Г Е [^'[к(І)] - ^(і) . І=1

Подчеркнем, что в области стационарности

оценки строились на конечном интервале [0, і]

по числу к (і) = шах{і : ^ ^ і} приходов перІ

вичных заявок, а в области нестационарности

по числу к(і) = шах{і : гІ ^ і} попыток обІ

ращения к серверу. Ниже приведены оценки вероятности занятости 0т (і) и 0т (і) на основе фиксированного числа реализаций т = 50.

(Эксперименты при значениях т = 25, т = 100 также дали аналогичные результаты.)

В табл. 1 представлены результаты для системы вида М/М/1 /0 при значении параметра потока первичных заявок Л = 1.

В глубине области стационарности (строки 1-2 табл. 1) дисперсия альтернативной оценки существенно меньше, чем дисперсия стандартной оценки, „Е(й) ^ 1. Внутри области стационарности вблизи ее границы (строка, соответствующая Г = 0,330) наблюдается снижение эффективности альтернативной оценки, однако ее дисперсия не превосходит дисперсию стандартной оценки. Внутри области нестационарности (Г < 0) альтернативная оценка также эффективнее стандартной и близка к точному значению.

Результаты табл. 2 показывают, что в системе с повторными вызовами типа М/Раге£о/1/0 эффективность альтернативной оценки вероятности Рь также превышает эффективность стандартной оценки.

Как легко проверить, оценки До (3 первые строки в столбце 2 табл. 1) очень близки к значениям интенсивности До из формулы (29), равным 0,15; 0,58 и 0,50, соответственно.

На рис. 1 представлена зависимость величин Ш[0т(£)] и £21?[<Эт(£)] от времени наблюдения £ для системы вида М/Раге£о/1/0.

■©

Рис. 1. Дисперсии оценок в системе Ы/РатеЬо/1/0 при Л = 0, 5, р0 = 0, 2, а = 40

Визуальный анализ рис. 1 показывает, что

г £)[ет(г)] ~ г2 £>[©т(г)} ■ с,

для некоторой постоянной С, что соответствует утверждениям Теорем 1,2. Заметим также, что полученные выводы хорошо согласуются с результатами из [12] для систем с потерями.

Заключение

Численные результаты имитационного моделирования показали, что при оценивании вероятности занятости сервера на конечном интервале альтернативная оценка по остаточной длине цикла существенно эффективнее, чем стандартная, что согласуется с результатами из работы [12]. Эта эффективность выражается в уменьшении дисперсии оценки и проявляется как в области стационарности, так и в области нестационарности систем с повторными вызовами вида М/М/1/0 и М/РагеЬо/1/0. Однако необходимо учитывать, что альтернативная оценка строится на основе известного точного значения, которое не всегда известно.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 10-07-00017 и при поддержке Программы стратегического развития на 20122016 гг. «Университетский комплекс ПетрГУ в научно-образовательном пространстве Европейского Севера: стратегия инновационного развития».

Литература

1. Морозов Е. В., Некрасова Р. С. Оценивание вероятности блокировки в системе с повторными вызовами и постоянной скоростью возвращения заявок с орбиты // Труды Карельского научного

центра РАН. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. Вып. 2. 2011. № 5. С. 63-74.

2. Морозов Е. В., Некрасова Р. С. Об оценивании вероятности переполнения конечного буфера в регенеративных системах обслуживания // Информатика и ее применения. 2012. T. 6, № 3. С. 90-98.

3. Artalejo J. R. Stationary analysis of the characteristics of the M/M/2 queue with constant repeated attempts // Operation search. 1996. Vol. 33. P. 83-95.

4. Artalejo J. R., Gomez-Corral A., Neuts M. F. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate // European Journal of Operational Research. 2001. Vol. 135. P. 569-581.

5. Asmussen S. Applied Probability and Queues. Springer, 2002. P. 476.

6. Avrachenkov K., Goricheva R. S., Morozov E. V. Verification of stability region of a retrial queuing system by regenerative method // Proceedings of the Intenational Conference “Modern Probabilistic Methods for Analysis and optimization of Information and Telecommunication Networks”. Minsk, 2011. P. 2228.

7. Avrachenkov K., Morozov E. V. Stability analysis of GI/G/c/K Retrial Queue with Constant Retrial Rate // INRIA (Sophia Antipolis), Research Report. 2010. N 7335. Available online at http://hal.inria.fr/inria-00499261/en/

8. Avrachenkov K., Yechiali U. Retrial networks with finite buffers and their application to Internet data traffic // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2008. Vol. 22. P. 519-536.

9. Avrachenkov, K., Yechiali U. On tandem blocking queues with a common retrial queue // Computers and Operations Research. 2010. N 37(7). P. 1174-1180.

10. Billingsley P. Convergence of probability measures 2nd edt. New-York: John Wiley, 1999. P. 296.

11. Fayolle G. A simple telephone exchange with delayed feedback/ In O. J. Boxma, J. W. Cohen and H. C. Tijms (eds.) // Teletraffic Analysis and Computer Performance Evaluation. 1986. Vol. 7. P. 245-253.

12. Kang W, Whitt W, Shahabuddin P. Exploting Regenerative Structure to estimate finite time averages via simulation // ACM. 2006. P. 138.

13. Ramalhoto M. F., Gomez-Corral A. Some decomposition formulae for M/M/r/r+d queues with constant retrial rate // Stochastic Models. 1998. Vol. 14. P. 123-145.

14. Smith W. L. Regenerative stochastic processes // Proc. Royal Soc. Ser. A. 1955. Vol. 232. P. 6-31.

0

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Морозов Евсей Викторович

ведущий научный сотрудник, д. ф.-м. н.

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185610, эл. почта: emorozov@karelia.ru тел.: (8142) 763370

Некрасова Руслана Сергеевна

аспирантка

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185610, эл. почта: ruslana.nekrasova@mail.ru тел.: (8142) 763370

Morozov, Evsey

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185610 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: emorozov@karelia.ru tel.: (8142) 763370

Nekrasova, Ruslana

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185610 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: ruslana.nekrasova@mail.ru tel.: (8142) 763370