Синтез вейвлет-нейро-нечетких моделей для диагностики деталей авиадвигателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.93

С. А. Субботин

СИНТЕЗ ВЕЙВЛЕТ-НЕЙРО-НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ ДЕТАЛЕЙ АВИАДВИГАТЕЛЕЙ

Предложены метод вейвлет-аппроксимации дискретизированного диагностического сигнала и метод синтеза редуцированных диагностических нейро-нечетких моделей по вейвлет-аппроксимации сигнала. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные методы. Экспериментальное исследование предложенных методов при решении задачи диагностики деталей авиадвигателей подтвердило их практическую применимость.

Введение

Для обеспечения длительной, безопасной и надежной эксплуатации авиадвигателей и их деталей необходимо регулярно выполнять диагностические мероприятия по выявлению потенциально ненадежных деталей и своевременно их заменять. Процесс диагностики таких сложных и наукоемких изделий как авиадвигатели представляется весьма трудоемким. Поэтому актуальной является автоматизация процесса диагностики авиадвигателей.

При разработке автоматизированных диагностических систем реального времени возникает необходимость отбора наиболее информативных признаков, отражающих состояние объекта диагностики, и построения диагностической модели, обладающей требуемым уровнем точности, хорошими аппроксимационными свойствами, а также высоким уровнем логической прозрачности.

Известно достаточно много различных методов, позволяющих решать задачу отбора информативных признаков [1-3]. Однако ни один из известных методов не обеспечивает исчерпывающего решения задачи сокращения описания. Кроме того, в задачах диагностики объектов, характеризуемых набором однотипных признаков, представляющих собой временные отсчеты сигналов, целесообразным представляется выделять не отдельные признаки, а группы смежных признаков-отсчетов как информативные показатели и объединять их с помощью некоторых сверток [4, 5]. Поэтому для подобных задач весьма эффективным может быть разложение исходного сигнала на составляющие с помощью Фурье- или вейвлет- преобразований [6].

Задача построения диагностических моделей также может решаться на основе различных подходов [1-3, 7-9], среди которых наиболее оптимальным средством для обеспечения высокой точности, хороших аппроксимационных свойств и логической прозрачности представляются нейро-нечет-кие сети [8].

Целью данной работы было создание метода, позволяющего синтезировать диагностические

модели деталей авиадвигателей на основе нейро-нечетких сетей, построенных по вейвлет-аппрокси-мации диагностического сигнала.

Вейвлет-аппроксимация дискретизированного сигнала

Вейвлет-аппроксимация дискретизированного сигнала х, представленного упорядоченным во

времени набором отсчетов {^}, ] = 1, 2,......, Ы, где

N - количество отсчетов, представляет собой разложение сигнала в системе базисных вейвлет-фун-кций:

= Zа g v g

g

(j,ag,bg ),

j = 1, 2,......, N,

где д - номер базисной вейвлет-функции Vg, аg -масштабирующий коэффициент для д-й базисной функции, ад и Ьд - параметры, определяющие смещение и растяжение по временной оси для д-ой базисной функции (как правило, ад и Ьд задают границы интервала для базисной вейвлет-функции V g) [6].

Задачей построения вейвлет-аппроксимации является нахождение значений коэффициентов а g, ад и Ьд. для функции V g заданного вида.

Коэффициенты для вейвлет-функций , ад и Ьд. можно определить одним из следующих способов.

1. На основе многомерной нелинейной минимизации функционала

N

E =1 j=i

xj -Zаgvg(vbg)

в (ЗО)-мерном пространстве, образуемом О парами управляемых переменных < аg , ад, Ьд>, где О

- заданное количество базисных функций. Для осуществления поиска значений управляемых переменных целесообразно применять градиентные методы: Левенберга-Марквардта, Ньютона, наискорейшего спуска [9].

© С. А. Субботин 2006 г.

2

g

Достоинством градиентных методов оптимизации является универсальность процедур поиска относительно возможности использования различных базовых вейвлет-функций.

К недостаткам данного способа следует отнести то, что результаты поиска на основе градиентных методов сильно зависят от выбора начальной точки поиска, процесс поиска является высоко итеративным и медленным по времени, требует больших затрат вычислительных ресурсов ЭВМ и не гарантирует получение оптимального решения, поскольку основан на методах локального поиска, а также требует вычисления производных оптимизируемого функционала.

2. На основе эволюционного поиска [10] путем максимизации фитнесс-функции

Г = -

1

1 + Е

-> тах

= е

^тт

х„ = —1-, э = 1, 2,.

х тах — х г

,,Б, ] = 1, 2, ..., N.

4тт

Шаг 4. Определить параметры базисных вейв-лет-функций для каждого экземпляра обучающей выборки:

х„ = Е а 8 V 8 ('С8'Г8 )+ е ' ,

в (2°+1О)- мерном пространстве бинарных управляемых переменных, где й - количество интервалов, на которые разбиваются диапазоны значений параметров вейвлета.

К преимуществам данного способа можно отнести то, что эволюционный поиск является глобальным и теоретически способен получить наилучшее решение, а также не требует вычисления производных оптимизируемого функционала.

К недостаткам данного способа следует отнести то, что он является высоко итеративным, требует больших затрат памяти и вычислительных ресурсов ЭВМ, требует дискретизации значений управляемых переменных, что может привести к потере точности и существенному увеличению размерности пространства поиска.

3. Путем последовательной аппроксимации остатков сигнала на основе предлагаемого метода, заключающегося в выполнении шагов 1-5.

Шаг 1. Задать максимально допустимое количество базисных вейвлет-функций О (О << а также максимально допустимую погрешность е >0. В качестве базисной вейвлет функции задать:

8=1

э = 1, 2,......,Б, ] = 1, 2,......, N

где е„ - погрешность аппроксимации, допускаемая для э-го экземпляра после суммирования не

более О базисных функций, е„ - погрешность аппроксимации, допускаемая для ]-го отсчета э-го сигнала после суммирования не более О базисных функций.

Шаг 4.1. Установить э = 1. Шаг 4.2. Если э > Б, тогда перейти на шаг 5, в противном случае - перейти на шаг 4.3. Шаг 4.3. Установить: д = 1. Шаг 4.4. Выполнить проверку на окончание процесса разложения сигнала.

Шаг 4.4.1. Определить погрешности для отсчетов сигнала:

е ' = х' — Е а 8' V 8'('С8''Г8'). 8' =1

Шаг 4.4.2. Определить общую погрешность вей-

влет-аппроксимации сигнала

N | |

=Е е„ 1=1

или

2 Е („)2

21=1

N

или е„ = — Е

ЛГ ¿—I

N

}=1

или е = пах }=1,2,..^

где сд - центр, а Гд - радиус вейвлет-функции.

Шаг 2. Среди всех экземпляров обучающей выборки найти минимальное и максимальное зна-

Шаг 4.4.3. Если д > О или ея < е , тогда перейти на шаг 4.9.

„тах

Шаг 4.5. Найти х - максимальное значе-

J

ние для сигнала хэ и его номер ^

„тах „

х ■ = тах х ■ 1 1 м 1

хтт = тт х ■ , „=1,2,...,8 1 1=1,2,...^

= тах х ■ „=1,2,...,8 1 1=1,2,...,К

Шаг 3. Пронормировать признаки экземпляров обучающей выборки по формуле:

Шаг 4.6. Установить: а8 = х„ , сд = ^

Шаг 4.7. Найти расстояние Гд. Шаг 4.7.1. Установить: Гд=1. Шаг 4.7.2. Если г<т1п(Од, N-cg) и

д

„

е

е' =

е

2

Г

чения сигналов хт^ и хтах:

х

тах

хч <Xj <хр,я = j-^р = j + тогда: принять: гд

= Гд + 1, перейти на шаг 4.7.2; в противном случае - принять: гд = гд - 1.

1

Шаг 4.7.3. Если Гд = 0, тогда принять: Гд = ^ .

Шаг 4.8. Принять: х- = х- - а g V g (, cg, rg ),д =

д+1. Перейти на шаг 4.4.

Шаг 4.9. Установить: э = э +1.

Шаг 4.10. Если погрешность ея достигнет значения в при д<О, тогда для всех д' = д+1,......,О,

принять: а ё. = 0, сд, = 0, гд, = 1.

Шаг 4.11. Перейти на шаг 4.2.

Шаг 5. Останов.

В результате выполнения шагов 1-4 для каждого пронормированного сигнала хэ получим его разложение в системе базисных функций. По найденным значениям параметров базисных функций Сд

и Гд можно определить значения границ интервалов ад и Ьд: ад = Сд - гд, Ьд=Сд+Гд.

Синтез нейро-нечеткой модели

Пусть мы имеем обучающую выборку х, состоящую из Б экземпляров хэ, где э - номер экземпляра, э = 1,2,...,Б. Каждый э-й экземпляр будем характеризовать набором значений N признаков х^, где ] - номер признака э-го экземпляра, ] = 1, 2, ..., N. Кроме того, каждому экземпляру хэ сопоставим целевой признак уэ* - номер класса э-го экземпляра.

Разобьем интервал значений каждого признака экземпляров обучающей выборки на интервалы, в которых номер класса остается неизменным. Это даст нам возможность определить, с одной стороны, сколько потребуется разделяющих плоскостей, перпендикулярных оси каждого признака, а с другой стороны, позволит определить левую и правую границы интервалов для классов по оси каждого признака. Количество интервалов, а также значения границ и номера классов интервалов для каждого признака можно найти с помощью метода [1].

В результате выполнения применения метода [1] для обучающей пары {х, у} мы получим массив {й^}, содержащий для каждого признака количество интервалов, на которые он разбивается, а также массивы {Д(1,к)}, {Б(1,к)} и {К(1,к)}, содержащие информацию о границах интервалов и номерах классов, сопоставленных им для всех признаков. На основе этих массивов сформируем массив {К^)}, содержащий номера классов для интервалов признаков, упорядоченных в порядке возрастания номеров признаков и номеров интервалов значений признака.

Метод [1] наряду с определением границ интервалов значений признаков позволяет опреде-

лить оценки информативности признаков. В качестве меры информативности признака по отношению к выходному параметру (меры влияния признака на выходной параметр) будем использовать количество интервалов, на которые разбивается диапазон значений признака, таких, что экземпляры, со значением признака, попавшие в один интервал, относятся к одному и тому же классу, а экземпляры смежных интервалов относятся к разным классам (чем меньше количество интервалов, тем больше информативность признака и наоборот). Таким образом, показатели информативности признаков I: будем определять по формуле:

^ = )|D ■j , ] = 1, 2, ..., N.

Перед синтезом нейро-нечеткой модели для обеспечения ее простоты и высоких обобщающих и аппроксимационных свойств произведем удаление избыточных блоков определения принадлежности к интервалам значений признаков.

Примем следующее допущение. Интервалы значений признаков хк и хч [Д(1 ,к); Б(1,к)] и [Д0,Ч); Б(^)] эквивалентны тем сильнее, чем больше экземпляров, попавших в к-ый интервал значений ¡-го признака, попадет в q-й интервал значений ]-го признака и будут иметь при этом одинаковые номера классов.

Коэффициент эквивалентности между к-м интервалом значений ¡-го признака для э-го экземпляра и q-м интервалом значений ]-го признака для д-го экземпляра определим по формуле:

0,если К(1,к) Ф К(],я),

0,если В(1,к) < х- или х- < А(1,к),

0,если В(],ф < х? или х? < А(],ф,

1, если К(1,к) = К(],я), А(1,к) < х- < В(1,к), А(],я) < х? < В(],я),

п(х-,х?,к,я) =

э = 1, 2, ..., Б; д = 1, 2, ..., Б; i = 1, 2, ..., N ] = 1, 2, ..., N к = 1, 2, ..., к^ q = 1, 2, ..., к:

Здесь ки к^ - количество интервалов для ¡-го и : го признаков, соответственно.

Количество экземпляров с одинаковыми номерами классов, попавших одновременно в к-й интервал значений ¡-го признака и в q-й интервал значений ]-го признака, определим по формуле:

N(1,^,4) = ХЕ п(х?,х?,к,я),

8=1?=1,

I = 1, 2, ..., N1 ] = 1, 2, ..., N1 к = 1, 2, ..., к|; я = 1, 2, ..., к^

Пусть N1 к - количество экземпляров обучающей выборки, попавших в к-й интервал значений I-го признака, тогда в| к] я - коэффициент взаимной эквивалентности между к-м интервалом значений 1-го признака и я-м интервалом значений ]-го признака определим по формуле:

ei,k,j,q = т1П

[N(i,k,j,q) N(i,k,j,q)] N(i,k,j,q) .

I Ni,k Nj,q I min

I = 1,2,...,N; ] = 1, 2, ..., N к = 1, 2, ..., к|; я = 1, 2, ..., к;. Коэффициент взаимной эквивалентности между 1-м и ]-м признаками для всех экземпляров выборки определим по формуле:

ei,j =

ki kj

SSei,k,j,q

k=1q=1

max{ki,kj}

i = 1,2.....N; j = 1, 2, ..., N.

N -1j

C = ZZei,k,j,q,ei,k,j,q

j=i q=i

= 1

6.2.

Шаг 7. Останов.

После сокращения количества признаков и блоков определения принадлежности значений признаков к интервалам сформируем набор правил вида:

Если А(1,к) < хэ| < В(1,к), то уэ| = К(1,к), где э = 1, 2, ..., Б; |< 1, 2, к = 1, 2, ..., к|, уэ| -номер класса, к которому принадлежит э-й экземпляр по |-му признаку.

Зададим функции принадлежности для интервалов значений признаков ц^(хО , где | - номер

признака, к-номер интервала значений |-го признака. В качестве функций принадлежности предлагается использовать трапециевидные функции:

0, если xi < 0,5(A(i,k) + B(i,k -1)), xi - 0,5(A(i,k) + B(i,k -1))

^i,k(xi) =

Редукцию количества признаков и блоков определения принадлежности значений признаков к интервалам для нейро-нечеткой модели будем осуществлять путем выполнения последовательности шагов 1-7.

Шаг 1. Инициализация. Задать х = {хэ|} и у={уэ}, э = 1, 2, ..., Б; | = 1, 2, ...Я

Шаг 2. Вычислить характеристики обучающей выборки.

Шаг 2.1. Найти: А(|,к), В(|,к), К(|,к), 1|, ^,к, к|.

Шаг 2.2. Определить: в| к j д, е^.

Шаг 3. Ранжировать признаки в порядке' убывания 1|. Установить: | = N.

Шаг 4. Если | > 1, тогда выполнять шаги 4.1 и 4.2.

Шаг 4.1. Для уу ф 1,1 = 1,2,...,(1 — 1): если е^ = 1, тогда: удалить х|, установить N=N-1.

Шаг 4.2. Установить: | = |+1. Перейти на шаг 4.

Шаг 5. Установить: | = N.

Шаг 6. Если | > 1, тогда выполнить шаги 6.1 и 6.2.

Шаг 6.1. Установить: к = к|.

Шаг 6.2. Если к > 1, тогда выполнить шаги 6.2.16.2.3.

Шаг 6.2.1. Рассчитать:

0,5(A(i,k) - B(i,k -1)) если 0,5(A(i,k) + B(i,k -1)) < xi < A(i,k),

1, A(i,k) < xi < B(i,k), 0,5(A(i,k +1) + B(i,k)) - xi

Шаг 6.2.2. Если с > 1, тогда: удалить к-й интервал |-го признака, установить: к| = к|-1.

Шаг 6.2.3. Установить: к = к - 1. Перейти на шаг

0,5(A(i,k + 1) - B(i,k)) если B(i,k) < xi < 0,5(B(i,k) + A(i,k +1)), 0, если 0,5(B(i,k) + A(i,k +1)) < xi.

Далее зададим способ нахождения принадлежностей ^0 (xs) и (xs) распознаваемого экземпляра xs к классам 0 и 1, соответственно:

¡i0 (xs )= max ¡i i,k(xi),K(i,k) = 0; I1 (xs )= max ¡i ik(xi),K(i,k) = 1,

i = 1, 2, ...,N; k = 1, 2, ...,ki.

Определим способ дефаззификации:

s [1,если ¡¡4xs) > 10(xs),

y =1

I0,если ¡X(xs) < 10(xs).

Предложенный метод позволит синтезировать распознающие модели на основе трехслойной ней-ро-нечеткой сети.

На входы сети поступают значения признаков распознаваемого экземпляра. Узлы первого слоя сети определяют принадлежности распознаваемого экземпляра к интервалам значений признаков. Узлы второго слоя сети определяют принадлежности распознаваемого экземпляра к классам. Единственный узел третьего слоя осуществляет дефаз-зификацию.

Нейроны нейро-нечеткой сети, синтезированной

на основе предложенного метода, будут иметь функции постсинаптического потенциала и функции активации, задаваемые формулами:

ф(зд)( (з,1),х (34))=^ (з,1)х Н + „(М) ■=1 ■ ■

0, если x < 0,

1, если x > 0,

(W (;2,1'

J

V M(x ) =

ф(2,1 )(w (2,i),x (2,1))

= min(w(2,1 ),x(2,l)) j = 1 2 у(2,l)(x) = maxф(2,l)(wH,xИ), j = ^ 2,

где у M(x) - функция активации j-го нейрона n -

го слоя сети, ф((1,1 ^(w (ll,l),x(l1,1)) - функция постси-наптического потенциала j-го входа j-го нейрона n -го слоя сети, w(n,l),xfaO - наборы весовых коэффициентов и входных значений j-го нейрона n -го слоя сети, соответственно.

Весовые коэффициенты нейронов w(l1,l), где j -

номер входа, j - номер нейрона, n - номер слоя, будут определяться по формуле:

0, если п = 2, 1 = 1,К(р,я) = 0, ■ = /(р,я), р = 1, 2, я = 1, 2, ..., кр,

0, если п = 2, 1 = 2, К(р,я) = 1, ■ = /(р,с|), р = 1, 2, ...,Н я = 1, 2, ..., кр,

1, если п = 2, 1 = 1, К(р,я) = 1, ■ = /(р,ф, р = 1, 2, ...,Н я = 1, 2, ..., кр,

1, если п = 2, 1 = 2, К(р,я) = 0, ■ = /(р,с|), р = 1, 2, ...,Н я = 1, 2, ..., кр,

0, если п = 2, 1 = 1, 2, ■ = 0,

0, если п = з, 1 = 1, ■ = 0,

1, если п = з, 1 = 1, ■ = 1,

-1, если п = з, 1 = 1, ■ = 2,

р-1

где г(р,я) = я +Х ^ .

У=1

Предложенный метод синтеза нейро-нечетких моделей настраивает параметры функций принадлежности неитеративно в процессе синтеза нейро-нечеткой модели на основе предварительно определенных параметров интервалов значений признаков, в отличие от традиционного подхода [8], когда параметры функций принадлежности настраиваются путем итеративной оптимизации.

Синтез вейвлет-нейро-нечеткой диагностической модели

Объединяя предложенные выше методы представим процесс синтеза вейвлет-нейро-нечеткой диагностической модели как последовательность шагов 1-4.

Шаг 1. Инициализация. Задать обучающую выборку <х = {хэ},у = {уэ}>, где хэ={х^} - э-й сигнал, представленный набором упорядоченных во времени отсчетов хэ: уэ - фактический номер класса для э-го экземпляра.

Шаг 2. Построить вейвлет-аппроксимацию для сигнала каждого экземпляра хэ. в системе не более О базисных функций.

Шаг 3. На основе параметров базисных функций вейвлет-аппроксимации сигналов сформировать новую обучающую выборку: <х = {хэ}, у =

{уэ}>, где хэ = {<ае , Сд, Гд>}, д = 1, 2, ..., О.

Шаг 4. Для новой обучающей выборки построить нейро-нечеткую модель зависимости у(х).

Процесс диагностики с использованием построенной вейвлет-нейро-нечеткой модели будет заключаться в выполнении шагов 1-3.

Шаг 1. Задать распознаваемый экземпляр х*, а также модель зависимости у(х).

Шаг 2. Построить вейвлет аппроксимацию сигнала распознаваемого экземпляра на основе О базисных функций.

Шаг 3. На основе параметров вейвлет-аппрок-симации определить по нейро-нечеткой модели у(х) расчетное значение номера класса для распознаваемого экземпляра у*.

Эксперименты и результаты

Предложенный метод синтеза вейвлет-нейро-нечетких моделей был программно реализован в виде функций на языке пакета МДТЬАБ и является дополнением библиотеки диагностических функций "□¡ад1_аЬ".

Для проверки работоспособности предложенного метода с помощью библиотеки "DiagLab" проводились эксперименты по решению практических задач: диагностики деталей газотурбинных авиадвигателей [1, 4, 5].

Проведенные эксперименты показали, что предложенный метод позволяет синтезировать эффективные, высокоточные распознающие нейро-нечет-кие модели.

Результаты проведенных экспериментов позволяют рекомендовать предложенный метод для широкого использования на практике при решении задач технической диагностики.

Список литературы

1. Дубровин В.И., Субботин С.А., Богуслаев А.В., Яценко В.К. Интеллектуальные средства диаг-

ностики и прогнозирования надежности авиадвигателей: Монография.-Запорожье: ОАО "Мотор-Сич", 2003. - 279 с.

2. Биргер И.А. Техническая диагностика. - М.: Машиностроение, 1978. - 240 с.

3. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 607 с.

4. Адаменко В.А., Дубровин В.И., Субботин С.А. Диагностика лопаток авиадвигателей по спектрам затухающих колебаний после ударного возбуждения на основе нейронных сетей прямого распространения // Нов| матер|али | технологИ' в металурги та машинобудуванн|, 2000. - № 1. - С. 91-96.

5. Дубровин В.И., Субботин С.А. Выбор информативных признаков при диагностике лопаток ГТД // Новые технологии, методы обработки и упрочнения деталей энергетических установок: Тез. докл. Междунар. конф. "Новые технологии, методы обработки и упрочнения деталей энергетических установок" / Отв. ред. В.К. Яценко. - Запорожье: ЗГТУ, 2000. - С. 25-27.

6. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практи-

ке. - М.: Солон-Р, 2002. - 448 с.

7. Васильев В.И. Распознающие системы: справочник. - К.: Наукова думка, 1983. - 423 с.

8. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 344 с.

9. ДубровЫ B.I., Субболн С.О. Методи оптимiзацiТ та Тх застосування в задачах навчання нейрон-них мереж: Навчальний посiбник.-Запорiжжя: ЗНТУ, 2003. - 136 с.

10. Koza J.R. Genetic programming. -Massachusetts: MIT, 1998. - 609 p.

Поступила в редакцию 17.05.2006 г.

Запропоновано метод вейвлет-апроксимацИ' дискретизованого д1агностичного сигналу i метод синтезу спрощених д1агностичних нейро-неч1тких моделей за вейвлет-апрок-симац1ею сигналу. Розроблено програмне забезпечення, що реалiзуe запропонованi методи. Експериментальне дослiдження запропонованих методiв при вирiшеннi задачi дiагнос-тики деталей авiадвигунiв пiдтвердило Тхню практичну застосовнiсть.

The method of wavelet approximation of a discretized diagnostic signal and the method of reduced diagnostic model synthesis on wavelet signal approximation are proposed. The software realizing offered methods is developed. The experimental research of the offered methods in airengine details diagnostics has confirmed their practical applicability.