Синтез цепи управления зубчатой передачи с автоматическим изменением жесткости зацепления Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК: 621.839.86

П. Д. БАЛАКИН О. С. МИХАЙЛИК

Омский государственный технический университет

СИНТЕЗ ЦЕПИ УПРАВЛЕНИЯ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ С АВТОМАТИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЖЕСТКОСТИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Представлена упругостатическая модель зубчатого колеса модифицированной конструкции с адаптивными свойствами; модель позволяет определить характеристику упругого элемента встроенной цепи управления, за счет которой происходит автоматическое изменение жесткости зацепления в зависимости от переменного внешнего нагружения.

Ключевые слова: зубчатое колесо, жесткость, зацепление, цепь, управление.

Как известно, пересопряжение зубьев реальной передачи порождает разрывы передаваемого силового потока с частотой пересопряжения, а вход в зацепление очередной пары зубьев сопровождается их динамическим взаимодействием, уровень которого оценивается удельной динамической нагрузкой [ 1 ]

{II

где А - коэффициент пропорциональности, зависящий от размерностей, входящих в данную формулу величин, определяется опытным путем [1]; и — окружная скорость колес в полюсной зоне; Дрп - первичная ошибка основного шага; 8Е — статическая под нагрузкой суммарная деформация и осадка зуба; с — приведенная удельная жесткость соединенных зубчатых колес; ш - удельная эффективная масса колес, приведенная к основным цилиндрам.

Динамическое пересопряжение зубьев определяет виброактивность зубчатой передачи и как видно по (1), уменьшить уровень динамичности пересопряжения можно путем уменьшения жесткости зацепления, что реализовано во многих технических решениях зубчатых передач и даже закреплено стандартом на геометрию зубчатых венцов с удлиненными зубьями, рекомендуемую для быстроходных, скоростных редукторов авиационного назначения.

Уменьшение жесткости, как средство ослабления динамичности пересопряжения, не является универсальным, поскольку значительная деформация звеньев под нагрузкой приведет к несовпадению основных шагов, а это по (1) также неблагоприятно влияет на уровень

Заслуживает внимания техническое решение [2] зубчатой передачи с малой начальной, но ступенчато изменяемой жесткостью зацепления, когда изгиб-ная деформация ограничена размером узкой части радиальной прорези, выполненной по впадинам зубьев.

Еще более интересно техническое решение [3] зубчатой передачи с автоматическим изменением жесткости зацепления в зависимости от уровня силового потока. Конструкция передачи [3] содержит зубчатое колесо модифицированной конструкции, с

радиальными прорезями по впадинам зубьев значительной длины, зубчатый венец, установлен на валу подвижно при помощи подшипников, как видно по рис. 1, при этом осевое смещение венца относительно вала исключается, но допускается относительное угловое движение. Радиальные прорези состоят из двух частей: узкой, непосредственно примыкающей к впадинам зубьев, и широкой, в которой перемещаются ползуны, приводимые в движение цепью управления, как показано на рис. 1.

В [4] показано, что силовая модель зубчатого колеса становится нелинейной за счет изменения высоты широкой части радиальной прорези, которая определяется перемещением ползунов.

Изгибная жесткость зуба определится отношением прилагаемой полезной нагрузки к возникающей деформации зуба при переменной высоте прорези, т.е. расчетная схема «зуба-балки», приведенная на рис. 2 предполагает, что длина балки 1 будет переменной. Вторая нелинейность, формируется цепью управления, технологически исполненной в виде кривошип-

б)

Рис. 1. Общий вид зубчатого колеса:

1 - зубчатый венец с радиальными прорезями; 2 - ползун; 3 - гибкий шатун; 4 - ступица; 5 - упругий эластичный элемент; б - подшипник; 7 - вал

-Ь

Рис. 2. Прогиб балки

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (ВО).

да

*

Рис. 4. Принципиальная зависимость длины широкой части прорези при изменении внешней нагрузки

Рис. 5. Конструкция зубчатого колеса с радиальными прорезями

Рис. б. Конструкция зубчатого колеса с радиальными прорезями в программном пакете КОМПАС

но-ползуннои схемы, при этом кривошипом является, ступица 4, жестко установленная на валу 7 (рис. 16).

Угловое смещение вала кривошипа относительно зубчатого венца определяется деформацией эластичного элемента 5, установленного между валом и зубчатым венцом.

Составим математическую модель процесса функционирования зубчатой передачи, одно из колес которой выполнено традиционной конструкцией, а второе наделено свойством адаптации к силовому потоку, за счет изменения изгибной жесткости зубьев.

Выберем размер Д узкой части прорези и уточним задачу по созданию эскизного проекта адаптивной зубчатой передачи и цепи управления условием замыкания только одной узкой прорези при переменном внешнем нагружении.

Как известно, прогиб консольной балки определяется по формуле [6] (рис. 2).

РР

^шах ЗЕи

(2)

Пересчитав внешнюю полезную нагрузку Р на зону центра узкой прорези, получим расчетное значение Р силы (рис. 3).

р _р(Го + 'тах> расч" (у0+'о>

(3)

отметим, что для эвольвентной передачи имеет место

1т«= 1о+1-25т’

где т - модуль зацепления, а приняв (утах = Д), выразим необходимую длину 1, обеспечивающую замыкание под действием Р одной прорези:

/ = ■

___л___

(4)

расч

Как видно из (4), расчет величины 1 должен проводиться с учетом свойств материала зубчатого колеса и геометрических характеристик сечения удлиненного зуба в месте его перехода в тело колеса, тем самым этап эскизного проектирования конкретной передачи сопровождается поиском рациональных конструкторских решений и определением основных конструктивных параметров модифицированной передачи. Тем не менее числитель подкоренного выражения (4) является набором констант, а зависимость 1 = 1(Р.„С,,) степенной кубической, принципиаль-

I. ММ

Рис. 7. Зависимость изменения угла поворота зубчатого венца относительно вала при изменении длины широкой части прорези

1. ММ

Рис. 8. Зависимость изменения необходимой внешней нагрузки Р^ от длины широкой части прорези

но такая зависимость в безразмерной форме представлена на рис. 4.

Обратимся вновь к рис. 3, где показаны основные элементы встроенной цепи управления изгибной жесткостью зубьев, цепь исполнена кривошипно-ползун-ным механизмом, где г — радиус кривошипа, <р0 — угловая координата, определяющая начальное положение кривошипа при отсутствии внешнего силового нагружения, с1 - длина упругого шатуна. Шатун сознательно выполнен податливым, это необходимо для нейтрализации зажима ползуна в широкой части прорези в момент ее прохода по фазе зацепления. Управляющее же движение исполняется ползунами вне фазы зацепления, когда зажим не возможен в принципе, и именно вне фазы зацепления ползуны устанавливаются на размер 1, адекватно переменной величине внешней нагрузки Р||ЛС,(; у0 - расстояние, определяющее крайние, ближнее положение ползунов в прорези (на рис. 3 предполагается, что ползун находится в крайнем нижнем положении). Текущее значение 1 высоты зуба будет таким:

(5)

где Б,, — радиальное перемещение ползуна 2 по широкой части прорези, зависимость от кинематических размеров цепи управления и угловой координаты ф положения кривошипа. Координата ф установится при силовом равновесии момента внешних сил, действующих на зубчатое колесо, и момента упругих сил со стороны упругого элемента 5 (рис. 1), встроенного между валом и втулкой зубчатого колеса.

Угловая жесткость встроенного упругого элемента является важнейшим объектом синтеза, поскольку его угловая деформация приводит в движение цепь управления, регулирующую посредством перемещения ползунов в широкой части прорези размер последней по (4) и, следовательно, изгибную жесткость зубьев из условия замыкания одной узкой части прорези при переменном внешнем нагружении.

Примем для определенности (р0 = п/2, тогда текущее перемещение Б,, ползуна по прорези в функции ф при его уменьшении ОТ Ф0 = п/2 ДО ф = 0

5в = ГС08ф + СІ соэр - у0,

(6)

и с учетом известных геометрических соотношений

ГБІПф = СІ БІпР И БІП/? = —БІП^, ИМЄЄМ СІ

=ГС05$0 + гіЛ(1-Г—1 8ІП2<Р-Уд-

(7)

Подставив (7) в (5) и объединив с (4), получим следующее выражение

ЗJE^

^ = / — Р 0

расч

ГСОБ^ + С?. (1

-о

віп 2<р-У0

, (8)

полученную зависимость приведем к следующему

ВИДУ

а/яд I (г)2

р—=іо+уо-гс°^-Т-й ,9)

' расч

Зависимость (9), по сути, представляется набором констант и содержит неявную СВЯЗЬ ф в функции от Р . Алгоритм решения (9) сводится к заданию констант и переменных значении Р|ИСЧ, по которым определится числовое значение левой части (9). Затем вариацией ф при выбранных параметрах цепи управления 10, у0, г, <1 следует добиться тождественность левой и правой частей (9), что определит связь Р|ИСЧ с Ф, и, следовательно, будет создана база для расчета угловой жесткости встроенного элемента.

Для количественного примера расчета требуемой угловой жесткости, при условии замыкания только одной узкой части прорези, выберем зубчатую передачу с эвольвентными профилями зубьев со следующими геометрическими и качественными характеристиками колеса с радиальными прорезями [3]: число зубьев г = 20; модуль передачи т = 8; длина широкой части прорези 40 мм\ ширина зубчатого венца Ь = 30 мм; ширина прямоугольного сечения удлиненного зуба а = 5 мм; колесо изготовлено из углеродистой стали с модулем упругости Е = 2-105 Н/мм2; деформацию узкой части прорези принимаем равную Д = 0,2 мм (рис. 5). Основные параметры кривошип-но-ползунной цепи управления: г= 16 мм; с! = 52 мм;

соответственно, соотношение будет — = 0.3 (рис. 6).

-г* ^

Точка приложения нагрузки оставалась постоянной, за плечо нагрузки принимался радиус основной окружности колеса. Угол поворота зубчатого венца относительно вала определяем следующим образом с учетом геометрических характеристик кривошипно-ползунной цепи управления и выражений (5), (6):

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (90). 2009 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (80).

Рис. 9. Зависимость изменения угловой жесткости упругой вставки от переменного внешнего нагружения Р

<о = агссоз

у2-с^2 + г2 2уг

(Ю)

где у — изменение положения ползуна во встроенной цепи управления по отношению к валу.

В результате зависимость изменения угла поворота зубчатого венца относительно вала при изменении высоты зуба колеса с радиальными прорезями при условии замыкания только одной узкой части будет, как на рис. 7. В свою очередь, величину необходимой расчетной нагрузки Р|ки11 определяем с учетом (4) (рис. 8). На изменение радиального положения ползуна в прорези и, соответственно, на жесткость зацепления влияет угол поворота вала ф = ф(1) или ф = ф(Ррпсч), изменение которого будет зависеть от угловой жесткостью сугл встроенного эталонного упругого элемента, а именно упругой вставки между валом и втулкой зубчатого колеса, что и является конечной целью проектного расчета:

Р Ы +1 )

_ расч'70 шах'

сугл

(11)

Ч>

причем ее размерность соответственно будет (Нм/рад).

Путем вышеизложенных исследований получена необходимая величина угловой жесткости с (рис. 9) встроенного упругого элемента в цепи управления с учетом геометрических особенностей колеса предлагаемой конструкции [3] при переменном внешнем нагружении, обеспечивающая автоматическое изменение жесткости зацепления в зависимости от переменного внешнего нагружения. Созданная упруго-статическая модель зубчатого колеса модифицированной конструкции позволяет определить закономерность и пределы изменения такой угловой жесткости, необходимой для синтеза цепи управления, в зависимости от момента нагрузки в исследуемом интервале, что в дальнейшем свидетельствует о возможности технического исполнения упругого элемента с подобной характеристикой. В частности, отметим, что

в диапазоне изменения Р = 0,5г2,8 кН жесткость упругой вставки изменялась практически линейно.

Библиографический список

1. Петрусевич А.И. Динамические нагрузки в зубчатых передачах с прямозубыми колесами. — М. : Изд-во АН СССР, 1956. - 134 с.

2. А.с. № 1733777 СССР, МКИ5 Р 16 Н 55/14. Зубчатая передача/ П.Д. Балакин, И.Л. Рязанцева, О.М. Троян (СССР) // Открытия. Изобретения. - 1992. - № 18.

3. А.с. № 2225552, кл. Я 16 Н 55/14, Зубчатая передача/ П.Д. Балакин, Филлипов Ю.О., Михайлик О.С. (Россия) // Открытия. Изобретения. — 2004.— № 7.

4. Балакин П.Д., Михайлик О.С. Управления жесткостью элементов как средство адаптации механических систем // Прикладные задачи механики : сб. науч. тр. / под ред. В.В. Евстифеева. — Омск : ОмГТУ, 2003. — С. 83 - 87.

5. Балакин П.Д., Михайлик О.С. Упругостатическая модель зубчатой передачи с автоизменяемой жесткостью зацепления // Анализ и синтез механических систем : сб. науч. тр. - Омск : ОмГТУ, 2004. — С. 84 — 87.

6. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. — Киев : Нау-кова думка, 1975. — 704 с.

БАЛАКИН Павел Дмитриевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теория механизмов и машин» Омского государственного технического университета.

МИХАЙЛИК Ольга Сергеевна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Теория механизмов и машин» Омского государственного технического университета.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11

Дата поступления статьи в редакцию: 31.03.2009 г.

© Балакин П.Д., Михайлик О.С.