CC BY
45
УДК 62-50
И. Г. Белоус, Е. Г. Крушель
СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ И АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
Введение
Объектом исследования был выбран ограниченный, но распространенный класс технологических процессов, которым свойствен недетерминированный механизм формирования качества готового продукта [1, 2]. Объекты, которые реализуют такой технологический процесс, имеют ряд общих свойств:
1. Технологические процессы в объектах относятся к классу непрерывных (т. е. выпускают продукцию потоком, непрерывно во времени).
2. Производственное назначение объектов - постепенная, распределенная в пространстве переработка входного потока материала в конечный продукт.
3. Из-за особенностей технологии не удается получить постоянные во времени показатели качества конечного продукта.
4. Непрерывный контроль прямых показателей качества готового продукта в реальном времени не всегда возможен.
5. В связи с этим оперативное управление процессом производится на базе косвенных показателей, связь которых с прямым показателем носит недетерминированный характер.
6. Информационные запаздывания в каналах «управляющие воздействия - показатели качества продукта» настолько велики, что непосредственное использование этих показателей для определения управляющих воздействий проблематично.
Примерами объектов такого класса являются многие объекты химической, пищевой, добывающей промышленности. Конкретным примером выбран один из распространенных объектов промышленности строительных материалов - шаровая мельница сухого помола цемента [3, 4]. Входной поток материала, непрерывно во времени поступающего в горловину мельницы, измельчается в ряде камер, причем размеры шаровых мелющих тел в этих камерах различны. Измельчение зерен сырья происходит по мере продвижения материала по мельнице, т. е. носит распределенный характер.
Качество готового продукта, получаемого на выходе мельницы, непостоянно во времени даже при постоянном входном потоке материала и не полностью детерминируется этим потоком из-за неконтролируемых возмущений, как распределенных по длине, так и поступающих на вход.
Прямой показатель качества (прочность образца цементной пробы на сжатие, определяемая в лаборатории спустя 28 суток, необходимых для ее отвердевания), как и оперативный показатель качества (тонкость помола, определяемая в лаборатории путем просева цементной пробы через сито с калиброванными отверстиями), не подлежат непрерывному контролю.
В канале «вход-выход» присутствует значительное информационное запаздывание. При отсутствии автоматического контроля величина запаздывания включает в себя время на отбор и обработку пробы, и общее запаздывание превышает время пребывания материала в мельнице, что исключает возможность непосредственного использования в системе управления.
Именно поэтому в системах управления (как ручного, так и автоматического) используются косвенные показатели, доступные для автоматического измерения и связанные с прямым показателем, но эта связь не носит детерминированного характера. В существующих системах управления в качестве косвенных показателей выбираются доступные измерению вблизи внешней оболочки мельницы: либо уровень шума, либо напряжение, возникающее в катушке из-за магнитострикционного эффекта, либо частота вибрации корпуса мельницы.
Исследования показали, что известные подходы к решению задачи недетерминированного управления (инженерное решение, основанное на использовании стандартных законов управления (чаще всего - пропорционально-интегрального, ПИ-закона [5])); решение, базирующееся на результатах теории стохастических оптимальных систем (линейно-квадратично-гауссовская, ЛКГ-теория) [6]; решение, базирующееся на методах квадратичного программирования, не пол-
ностью применимы для проектирования (в том числе автоматизированного) систем управления объектами со стохастическим механизмом формирования качества готового продукта. Данное обстоятельство послужило обоснованием проведения данных исследований с позиций развития теории и практического применения.
Способ достижения цели
Выбранный способ достижения цели: использование теории стохастических систем для автоматического синтеза структуры управления и разработка модификаций алгоритмов, предлагаемых в ЛКГ -теории, с целью учета факторов, не охватываемых классической постановкой задачи, в том числе:
1. Коррекция критерия управления, принятого в ЛКГ-теории, с целью повышения точности воспроизведения задающих воздействий.
2. Прямой учет ограничений-неравенств, относящихся к диапазону изменений управляющих воздействий.
3. Снижение влияния ограничений на переменные состояния за счет использования оценки неизмеряемого выхода объекта на базе косвенных показателей, благодаря чему удается снизить разброс значений выхода и соответственно повысить производительность объекта.
4. Усовершенствование алгоритмов оценивания вектора состояния и неизмеряемых возмущений, позволяющее учесть нарушения стационарности вероятностных характеристик.
Для того чтобы обеспечить возможность переноса ряда результатов ЛКГ -теории на класс объектов со стохастическим механизмом формирования качества готовой продукции, потребовалось создание математической модели процесса рассматриваемого класса. Эта модель, с одной стороны, с достаточной полнотой отражает свойства реального объекта (как объекта управления) и, с другой, - не противоречит допущениям о моделях объекта, для которых возможно применение теоретических результатов. При создании математической модели были учтены особенности объектов рассматриваемого класса.
Разделение задач управления и фильтрации
Согласно основному результату теории ЛКГ-оптимальных систем, структура системы управления содержит два контура [7] (рис. 1).
Контур 2 Контур 1
«Управление» «Фильтрация»
Рис. 1. Структурная схема оптимальной системы управления линейным объектом
Структура контура оптимального управления и[я] при неточных измерениях, сопровождающихся аддитивной помехой пМ, аналогична структуре контура детерминированного управления при точных измерениях. Отличие состоит лишь в том, что в случае неточных измерений переменные состояния х[я] заменены их оценками х^].
Контур 1 (рис. 1) представляет собой контур оценки неизмеряемых переменных состояния и неконтролируемых возмущений и выполняет задачу стохастической оптимальной фильтрации. Для оценивания неизвестных переменных состояния используется фильтр Калмана [8, 9], формирующий оценку х[я +1] вектора состояния по результатам расчета предшествующей оценки х^] измерений (с помехами) доступных компонентов состояния.
Контур 2 (рис. 1) представляет собой контур управления и выполняет задачу детерминированного оптимального управления, алгоритм для которого синтезируется методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов [10], базирующегося на оценках, полученных в контуре 1.
В системе обеспечивается минимизация квадратического критерия
+
3 = (х[N] - х2 [N] )Т • К[N] • (х[Ы] - х2 [N]) +
2 {(хМ - х2 И)Т • • (ф] - х2 [5]) + (ф] - ы2 [5])Т • ЛИ • (ф] ■
N-1
:М)}
где х2[^] - «-мерные векторы задающих воздействий (детерминированные); и2[5] - г-мерные векторы желательных значений управляющих воздействий; К[-^], Q[s], 5 = 0, ..., N - 1 - неотрицательно определенные п х п симметричные матрицы штрафов за отклонение вектора состояния от задания в конце и по ходу процесса управления; Л[5], 5 = 0, ..., N - 1 - положительно определенная г х г симметричная матрица штрафа за отклонение управляющих воздействий от желательных значений.
Критерий 3 состоит из двух составляющих: первая содержит отклонения переменных состояния от желаемых значений; вторая содержит отклонения управляющих воздействий от номинальных значений.
Вторая составляющая критерия обеспечивает косвенный учет ограниченности диапазона изменений управляющих воздействий. Оптимальное управление имеет форму линейной зависимости от текущей оценки вектора состояния.
Методы, развитые в ЛКГ-теории, обеспечивают возможность формализованного синтеза структуры и алгоритмов управления объектами, которым свойственно наличие факторов неопределенности. Однако практическое применение некоторых результатов ЛКГ-теории встречает ряд трудностей, которые учтены в исследованиях, проводимых нами.
В качестве иллюстрации недостаточной точности воспроизведения задающего воздействия при использовании управлений, рассчитанных методами ЛКГ-теории, на рис. 2 приведены результаты отработки ступенчатого изменения задания по тонкости помола.
5, мин
5, мин
а б
Рис. 2. Реакция объекта на ступенчатое изменение задания по тонкости помола до автоматизации: а - выход объекта; б - управляющее воздействие
и
Параметры второй составляющей критерия 3 выбраны так, чтобы гарантировать отсутствие нарушений допустимого диапазона изменений управляющих воздействий.
В представляемой работе результаты ЛКГ -теории были использованы только для синтеза структуры системы управления объектами рассматриваемого класса. В алгоритмы расчета управляющих воздействий и оценивания неизмеряемых компонентов вектора состояния были внесены модификации, расширяющие область практического применения теории стохастического управления применительно к рассматриваемому классу объектов.
Модификация контура «Управление»
Предлагаемая модификация критерия ЛКГ-задачи [11] состоит в резком уменьшении (в ряде примеров - в полном исключении) вклада второй составляющей квадратического критерия 3 по сравнению со вкладом первой составляющей, обеспечивающей качество отслеживания задающих воздействий. В результате критерий оптимальности приобретает прозрачную инженерную трактовку: для задач автоматической стабилизации - точность отработки неконтролируемых возмущений; для задач программного управления и слежения - точность отработки задающих воздействий, изменяющихся во времени.
Поскольку при резком уменьшении вклада второй составляющей в критерий расчетные значения управляющих воздействий по ЛКГ-алгоритму могут оказаться несоответствующими допустимому диапазону (особенно в моменты изменений задающих воздействий), предлагается следующая нелинейная модификация ЛГК-алгоритма: управляющие воздействия, рассчитанные по ЛКГ-алгоритму, выдаются на объект только в том случае, если они соответствуют допустимому диапазону; в противном случае управляющие воздействия принудительно принимаются на уровне максимально допустимого итах или минимально допустимого нтт (если расчетное значение соответственно выше верхней или ниже нижней границы допустимого диапазона).
Введенная модификация нарушает оптимальность ЛКГ-алгоритма в связи с потерей свойства линейности зависимости управляющих воздействий от оценок вектора состояния. Но нужно отметить, что периоды времени, в течение которых режимы работы объектов рассматриваемого класса соответствуют стационарным (т. е. соответствующим постоянным заданиям по тонкости помола), гораздо более продолжительны по сравнению с режимами отработки изменений задающих воздействий.
Для подтверждения эффективности введенной модификации ЛКГ-алгоритма проведено моделирование процесса отработки ступенчатого изменения задающего воздействия. Результаты моделирования (рис. 3), во-первых, показывают, что достигнуто существенно более высокое качество отслеживания задающего воздействия в стационарном режиме (по сравнению с графиком на рис. 2), и, во-вторых, иллюстрируют кратковременность режима, при котором действует нелинейное ограничение управляющего воздействия.
5, МИН V. МИН
а б
Рис. 3. Реакция объекта на ступенчатое изменение задания по тонкости помола после автоматизации:
а - выход объекта; б - управляющее воздействие
Естественно, потеря оптимальности алгоритма приводит к тому, что расчетное значение критерия 3 в системе с модифицированным алгоритмом ухудшится. Но при этом можно ожидать, что произойдет существенное улучшение инженерного показателя качества, характеризующего точность отработки задающего воздействия.
Для подтверждения этого предположения были рассчитаны значения среднего квадратического отклонения выхода от задания при использовании двух вариантов алгоритмов управления процессом помола: первый следовал методам ЛКГ-теории, а во втором использовалась предложенная нелинейная модификация.
Результаты улучшения точности управления в системе с модифицированным алгоритмом в системе управления тонкостью помола показаны на рис. 4.
0,8
10 15 20 25 30
Нижняя граница ограничения управления
Рис. 4. Сравнение среднего квадратического отклонения выхода объекта от задающего воздействия для ЛКГ-алгоритма и его предлагаемой модификации
Модификация контура «Фильтрация»
В представляемой работе рассматриваются и сравниваются три схемы фильтров (табл.), предназначенные для оценки вектора состояния объекта по результатам измерения части компонентов с помехами.
Схемы работы рассматриваемых алгоритмов фильтрации
Классический фильтр Калмана — Бьюси [8, 9], в котором используются априорные оценки вероятностных характеристик (схема 1) Фильтр с оценкой вероятностных характеристик по укороченным выборкам предшествующих зашумленных измерений [12] (схема 2) Предлагаемый фильтр, построенный на отклонениях оценки выхода объекта от его желаемого значения (схема 3)
Шаг 1. Для некоторого числа априорных данных либо данных, полученных в результате моделирования системы, рассчитываются статистические характеристики: — математическое ожидание возмущений, действующих на объект; — математическое ожидание состояний; — матрица ковариаций измерительных помех; — матрица ковариаций входного возмущения. Шаг 1. Расчет статистических характеристик системы на основе измерений некоторого числа априорных данных либо данных, полученных в результате моделирования системы. В случае, когда количество доступных данных меньше выбранного значения N, статистики рассчитываются на основе тех измерений, которые доступны на данный момент. В случае, когда количество доступных данных превосходит объем выборки N, статистики рассчитываются для N измерений. Шаг 1. Расчет оценок необходимых статистических характеристик на основе измерений некоторого числа априорных данных либо данных, полученных в результате моделирования системы. В случае, когда количество доступных данных меньше выбранного значения N, статистики рассчитываются на основе тех измерений, которые доступны на данный момент. В случае, когда количество доступных данных превосходит объем выборки N, статистики рассчитываются для N измерений.
2. Производится расчет параметров фильтра Калмана, в том числе и матрицы ковариации ошибки оценки вектора состояния.
Шаг 3. На основе полученных параметров фильтра производится расчет оценок состояния системы на каждом такте Шаг 3. На основе полученных параметров фильтра производится расчет оценок состояния системы Шаг 3. На основе полученных параметров фильтра производится расчет оценок состояния системы.
Шаг 4. Диапазон учитываемых данных формируется как очередь длиной N к концу которой присоединяется каждое новое измерение, вытесняя измерение, хранящееся в начале очереди. Переход к шагу 1, на котором производится пересчет статистик для новой выборки. Шаг 4. Расчет ошибки оценки измерения и сравнение ее с заданной величиной погрешности §. Если 5[у] = х2 [г] - £вЬ1х Ы>Х , переход к шагу 1, на котором производится пересчет статистик для выборки из N прошлых измерений. Если б[у] = х2 [г] - Хвых , переход к шагу 3.
Суть предлагаемого метода заключается в том, что пересчет оценок вероятностных характеристик и параметров фильтра следует производить в том случае, если ошибка оценки выхода объекта Хвых [5] (отклонение оценки выхода Хвых [5] от задающего воздействия хг [5] ) превышает определенную требованиями технологии величину £
5[5] = хг [г]- хвых [5]>Х ■
Таким образом, фильтр работает с обратной связью от получаемой им оценки выхода объекта.
На рис. 5 приведен график измерительной помехи с изменяющимися вероятностными характеристиками. Графики соответствующего изменения выхода объекта для рассматриваемых алгоритмов фильтрации показаны на рис. 6.
Рис. 5. Форма помехи измерению
60
X М
тонк.пом Р-Ъ
фильтр по схеме 1
тонк.пом ь
фильтр по схеме 2
240
Хтонк.пом [^1
фильтр по схеме 3
300
5, мин
Рис. 6. Сравнение реакции на изменения помехи измерению для фильтров 1, 2, 3
Графики сравнения среднего квадратического отклонения выхода объекта от задающего воздействия для всех рассматриваемых типов фильтрации приведены на рис. 7.
Среднее квадратическое ,03- Среднее квадратическое
отклонение отклонение
тонкости помола производительности
от задающего воздействия, мельницы
% остатка на сите ,02- от номинального
после просева значения, т/ч
цементной пробы
0,01
■ фильтр по схеме 1 - фильтр по схеме 2 • фильтр по схеме 3 0
0,16-
0,15-----фильтр по схеме 1
- - фильтр по схеме 2
фильтр по схеме 30,14
1 1,5 2 2,5
1 1,5
2 2,5 3
б
Рис. 7. Сравнение среднего квадратического отклонения выхода от задания для фильтров 1, 2, 3: а - среднее квадратическое отклонение выхода от задающего воздействия; б - среднее квадратическое отклонение управления от номинального значения
Результаты расчетов показывают, что предлагаемый алгоритм позволяет достичь лучшей стабилизации выхода объекта по сравнению с известными алгоритмами.
5, мин
а
Методика обоснования эффективности предложенных субоптимальных алгоритмов оценивания вероятностных характеристик и управления
Разработана методика (рис. 8) оценки эффективности предложенных субоптимальных алгоритмов управления и оценки вектора состояния.
Задание условий эксперимента
R » 0
Если U расч > U тах .то Upac4 - U тах
Если Uрасч < Umin ? ТО Uрасч - Umin
Фильтр Фильтр Фильтр
(схема 1) (схема 2) (схема 3)
Подбор пирафа R' иг$ удовлетворения требований
I Ii‘\H!I4CCKOÍ!
реализации
управляющих
воздействий
Попбор
kn._i
удовлетворения требований і технической реализации управляющих воздействий
К■■■ к
Если U > U
расч — тах
, ТО Upacч Umax
I ■^:■Upacч < Umin ■ : Upacч = Umin
Фильтр Фильтр Фильтр
(схема 1) (схема 2) (схема 3)
Фиксация Фиксация Фиксация Фиксация Фиксация Фиксация Фиксация Фиксация
показателей показателей показателей показателей показателей показателей показателей показателей
качества качества качества качества качества качества качества качества
Сравнение показателей качества
Рис. 8. Блок-схема проведения экспериментов при реализации методики оценки эффективности
Методика базируется на сравнении качества управления, достижимого при использовании предлагаемых алгоритмов управления и фильтрации, с показателями качества, достижимыми при использовании двух известных алгоритмов - альтернативных по отношению к предлагаемому.
Первый алгоритм реализуется как классический ЛКГ-алгоритм, в котором параметры штрафа за отклонения управляющих воздействий от номинальных значений таковы, что гарантируют соответствие рассчитанных управлений допустимому диапазону.
Второй алгоритм реализован в форме цифрового пропорционально-интегрального (ПИ-) закона управления. Во всех случаях предполагается наличие ограничений на диапазон изменения управляющих воздействий. Таким образом, разработанный алгоритм сравнивается как с оптимизационным, так и распространенным на практике. Вероятностные характеристики предполагаются априорно известными неточно и подлежат уточнению в ходе функционирования системы. Оценки состояния и неконтролируемых возмущений формируются рассматриваемыми алгоритмами фильтрации.
Введена система показателей качества для оценки достижения цели и управления.
Группа 1: показатели, характеризующие процесс достижения цели, оцениваются по результатам обработки данных о переменных состояния в течение всего процесса управления.
Группа 2: показатели, характеризующие управляющие воздействия, аналогичны по смыслу показателям группы 1. Вводятся как для проверки соответствия значений управляющих воздействий технологическим ограничениям, так и для оценки степени их отклонений от заданных номинальных значений.
Заключение
В результате проведения экспериментов по предлагаемой методике и сопоставления показателей качества для рассматриваемых вариантов алгоритмического обеспечения, сделаны следующие выводы:
1. В системе управления, синтезированной на базе ЛКГ -теории, не удается достичь требуемой точности отслеживания задающих воздействий по тонкости помола, поскольку соблюдение требования технической реализуемости управляющего воздействия приводит к смещенности оценки математического ожидания тонкости помола относительно задающего воздействия.
2. Использование предлагаемого алгоритма (модификации ЛКГ-алгоритма с прямым учетом ограниченности диапазона изменений управляющего воздействия) ведет к улучшению качества достижения цели. Смещенность оценки математического ожидания тонкости помола относительно задающего воздействия отсутствует. Отсутствие данной смещенности наблюдается и при применении алгоритма управления, основанного на использовании ПИ-регулятора, но показатели качества достижения цели - стабилизации тонкости помола - в этом случае хуже, чем с использованием модифицированного ЛКГ-алгоритма.
3. Применение модифицированного ПИ-закона управления (с прямым учетом ограниченности управляющего воздействия) и различных вариантов алгоритмов оценки вектора состояния (схемы 1-3) в контуре фильтрации позволяет достичь лучших показателей качества по сравнению с вариантом применения классического ПИ-закона. Однако показатели качества управления заметно уступают достижимым при использовании модифицированного ЛКГ-алгоритма с фильтрацией по схемам 1-3.
4. Использование предлагаемого алгоритма фильтрации (построенного на отклонении оценки выхода объекта от его желаемого значения) позволяет управлять тонкостью помола даже при наличии неточностей в модели объекта и измерений. Система управления с использованием данного алгоритма фильтрации обеспечивает более высоким качеством стабилизации и программного управления тонкостью помола.
Наиболее заметное улучшение качества управления (по сравнению с известными решениями) достигнуто при использовании следующего варианта алгоритмического обеспечения: модифицированный ЛКГ-алгоритм (с прямым учетом ограниченности управлений), базирующийся на оценках вектора состояния объекта с помощью фильтра с оценкой вероятностных характеристик в реальном времени по укороченным выборкам предшествующих зашумленных измерений (схема 2) либо фильтра, построенного на отклонениях оценки выхода объекта от его желаемого значения (схема 3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Jazwinski A. H. Stochastic processes and filtering theory. - NY.: Academic Press, 1970.
2. Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972. - 544 с.
3. Белоус И. Г., Крушель Е. Г. Постановка задачи и структура математической модели цементной шаровой мельницы как примера объекта со стохастическим механизмом формирования показателей качества готовой продукции // Информатика: проблемы, методология, технологии. X Междунар. науч.-метод. конф. - Воронеж, 2010. - С. 87-90.
4. Крушель Е. Г., Белоус И. Г. Оценка неизмеряемых показателей качества технологического процесса и входных возмущений по результатам автоматического контроля косвенных показателей // Изв. ВолгГТУ. - 2009. - № 12 (60). - С. 71-74.
5. Ротач В. Я. Теория автоматического управления: учеб. для вузов. - М.: Изд. дом МЭИ, 2007. - 400 с.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления: учеб.: в 3 т. Т. 3: Методы
современной теории автоматического управления / под ред. Н. Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 748 с.
7. Кругликов С. В. О свойстве разделения для задач гарантированного управления и оценивания с экстремальным показателем качества // Современные методы в краевых задачах (Понтрягинские чтения-VII). - Воронеж, 1996. - С. 107.
8. Браммер К., ЗиффлингГ. Фильтр Калмана - Бьюси. - М.: Наука, 1982. - 200 с.
9. Simon D. Kalman Filtering. Embedded Systems Programming, 2001. - P. 72-79.
10. Цирлин А. М. Оптимизационное управление технологическими процессами. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 400 с.
11. Крушель Е. Г., Белоус И. Г. О точности воспроизведения задания в стохастических системах с управляющими воздействиями, ограниченными по диапазону // Изв. ВолгГТУ. - 2009. - № 12 (60). - С. 44-48.
12. Дегтярев А. А., Тайль Ш. Элементы теории адаптивного расширенного фильтра Калмана. - М., 2003 (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2003).
Статья поступила в редакцию 18.06.2010
SYNTHESIS OF STRUCTURE AND ALGORITHMIC SUPPORT OF STOCHASTIC OBJECT MANAGEMENT
I. G. Belous, E.G. Krushel
Features, common for objects with the stochastic manner of operation, are described in the paper. The results are illustrated in order to give an example of objects of the considered class - a ball mill with dry cement grinding. The known approaches to the stochastic processes control are overviewed, and their advantages and deficiencies are mentioned. The modification of linear-quadratic-Gaussian (LQG) theory results is offered to be applied in the control loop. The modification is taking into account physical requirements to the calculation values of control actions by means of the application of limits to the range of their possible values. The Kalman filter modification is offered to be applied in the filter loop. It is based on the bias between the object output and the target values. The estimation technique of the proposed sub-optimal algorithms efficiency is developed. All the results, received during the research, are shown. The results prove the assumption about the efficiency of the offered variant of the algorithmic support.
Key words: stochastic systems, linear-quadratic-Gaussian management, proportional-integral algorithm, criteria, Kalman filter, control action limitation, Kalman filter modification, method of efficiency estimation.
