Синтез сложных многофазных сигналов по критерию минимума боковых лепестков функции неопределенности в локальной частотно-временной области Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.376.56

А. М. Трофимов, Н. Е. Быстров, И. Н. Жукова Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Синтез сложных многофазных сигналов по критерию минимума боковых лепестков функции неопределенности в локальной частотно-временной области

Предложен метод синтеза многофазных дискретных сигналов по критерию минимума интегрального уровня боковых лепестков функции неопределенности в локальной частотно-временной области. Исследована зависимость эффективности подавления боковых лепестков от размеров области оптимизации и от количества градаций фаз. Синтезированные сигналы повышают достоверность обнаружения слабых сигналов на фоне пассивных помех, обусловленных боковыми лепестками функции неопределенности.

Радиолокационные системы, синтез сложных сигналов, многофазная модуляция, повышение помехоустойчивости

Перспективы и проблемы применения сложных сигналов в радиолокации достаточно полно освещены в научно-технической литературе [1]— [3]. При воздействии мешающих отражений потенциальная чувствительность обнаружения и разрешения сигналов ограничена мощностью помех, обусловленных боковыми лепестками (БЛ) функции неопределенности сигналов (ФНС). Естественным является стремление повысить помехоустойчивость при ограничениях на значение базы применяемых сложных сигналов. Особую значимость имеет направление, связанное с синтезом сигналов с низким уровнем БЛ ФНС при согласованной обработке. В этом случае отсутствуют потери в отношении "сигнал/шум" и повышение помехоустойчивости сводится к задаче минимизации БЛ ФНС. В случаях когда длительности зондирующих сигналов значительно превышают диапазон возможных задержек, а полоса анализируемых доплеровских сдвигов частоты значительно меньше ширины спектра сложного сигнала, постановка задачи сводится к минимизации объема ФНС в заданной области задержек и частот.

Современные методы цифровой модуляции позволяют отказаться от традиционных радиосигналов с бинарной фазовой манипуляцией и перейти на более совершенные сигналы с многопозиционной манипуляцией фазы несущей частоты. Известные методы синтеза, основанные на процедурах многомерной оптимизации, существенно ограничивают длину сложного дискретного сигнала до значений N»1000. Поэтому ожидать существенного снижения воздействия за счет увеличения баз сигналов не приходится.

Задачей настоящей статьи является изыскание методов синтеза многофазных дискретных сигналов с большой базой, ориентированных на минимизацию БЛ ФНС в заданной области задержек и допле-ровских сдвигов частоты, и исследование их эффективности при согласованной обработке сигналов.

Критерий и метод синтеза многофазных сигналов. Примем, что комплексная огибающая сложного сигнала Ж (/) определяется дискретной многофазной последовательностью

{м!^ = ехр (jji)}, ф/ е [-Р, +р], / = 0, N -1,

задающей закон фазовой манипуляции элементарных радиоимпульсов:

N-1

Ж (()= ^ м/и0 ((-/А), 1=0

где и0 и) - комплексная огибающая элементарного радиоимпульса длительностью А.

Метод синтеза многофазных дискретных последовательностей ориентирован на минимизацию БЛ ФНС

N-1

Я(т Уд) = ^ м/м>*-т ехр(-j гЮд1^) /=0

в диапазоне задержек те[-М,М], локализованных в полосе доплеровских частот Уд е

е[ Удшах' Удшах] (

- символ комплексного сопряжения; М - количество дискретных значений задержки; Удшах - количество дискретных значений доплеровской частоты). Критерий оп-

© Трофимов А. М., Быстров Н. Е., Жукова И. Н., 2013

тимизации может быть представлен следующим выражением:

M ^max 2

y= x x R (m, Пд )| ^ min. (1)

m=—M v =—v

ш 1У1,\д Уд max

тф0

Таким образом, необходимо синтезировать дискретную многофазную последовательность

wi = exp (Уфу), г = 0, N -1, символы которой определяются непрерывным множеством значений фаз из интервала фу е [—р, +р], обеспечивающую минимизацию БЛ ФНС в заданной области задержек и доплеровских сдвигов частоты.

В основу синтеза дискретных многофазных последовательностей положим принцип синтеза последовательностей "символ за символом" [4], [5]. Допустим, что значения символов последовательности м>—1 определены до (г — 1) -го момента времени. Тогда текущее значение ФНС имеет вид г—1

к (т пд )г—1 = x ^—т ехР(—у 2pvдvn).

I=0

Взаимосвязь между значениями ФНС в г-й и (г — 1) -й моменты времени дается выражением

Ri (m, пд )= R—1 (m, ^) + + wi w*—m exp (—j l-Mtf IN).

(2)

Подставив выражение (2) в целевую функцию (1) получим:

M

y( wi ) = x

X \Ri—1 (m, пд ) +

m=—M v =—v

» уд удmax

m^Q

+ wiw*— m exP (— j 2pv^lN )

^ min.

Приведенное выражение определяет критерий оптимизации как явно определенную функцию текущего значения символа му. Процедура синтеза предполагает, что в каждый г-й момент времени выбирается такое значение фазы символа му, которое минимизирует интегральный уровень БЛ ФНС в заданной частотно-временной области.

В силу свойств ФНС комплекснозначных сигналов воспользуемся равенствами [2]

к (т пд )=к* (—m, —пд); \к (т пд )| = \к (—m, — пд )|

R (m, —пд )=R (—m, пд);

(m (m

Г (m, — пд )| = \к (—m, пд )|.

Отсюда следует, что для минимизации объема функции в диапазоне задержек т е [—М, М] и доплеровских частот пд е [—Vд тах, пд тах ] достаточно выполнить одностороннюю оптимизацию (1) по задержке или по частоте. При односторонней оптимизации по задержке и представлении полосы доплеровских частот в виде двух симметричных поддиапазонов достаточно минимизировать аргумент функции, в связи с чем в дальнейших выкладках фазовый множитель опущен. Представим аргумент целевой функции суммой двух частных целевых функций:

y = У1 + y2 ^ min,

(3)

где

M Пд

У1 = xx 1(m, v)+wiS1t (m, v)|;

m=1 vд=Q

M vдmax

У2 = XX |R2i—j (m v) + wiS2, (m, v)|'

причем

m=1 vд =Q

Si. (m, v) = w*_m exp(-j2pv¿/N);

S2i (m, v) = w*_m exp(j2pv^/N).

Как можно видеть из представленных выражений, частные целевые функции имеют одинаковую запись за исключением знака доплеровско-го сдвига частоты.

Рассмотрим первую частную целевую функцию. Представим квадрат модуля в виде суммы квадратов квадратурных составляющих:

M д max 2

У1 = x x {Re[R1l_i (m, v) + W;Sh (m, v)]} +

m=1 vд =Q M v„

■ x x {im [r—1 (m, v)+wish(m, v

m=1 vд =0

2

Воспользовавшись формулой для квадрата суммы, имеем:

M v„

У1 = xx |R1i—1 (m, vд)

2

m=1 vд =0

M ^ max

x x |wis1i (m, vд )| +

m=1 vд =0

и

v

2

+

+

M пдmax

+

2 x x {re[л-: (пд)] х

m=1 Уд=0

хRe(Wj)Re[S^. (m, уд)] -

- Re [R1j-! (m )] х

хIm (Wj) Im [(m, Уд)]} +

M Уд

+ 2 X I {1т [Я-! (тт Уд)] X

т=1 Уд =0

XRe(м/) 1ш [51. (т, Уд)] +

+1ш [ Я1/-1 (т Уд)] х

х 1ш (м/) ^[51. (m, Уд)]}.

В полученном выражении два первых слагаемых всегда положительны и не зависят от текущего значения символа м.. Поэтому они не влияют на результаты оптимизации целевой функции и далее не учтены при ее записи. Выполнив известные преобразования над остальными слагаемыми, первую целевую функцию можно привести к виду

(

У1 = Re

M Уд

W;

m=1 v„ =0

V ^ д

x x r1i-1 (m, v)s*(m, v)

После аналогичных преобразований второй частной целевой функции получим:

( г - * )

I M Уд max г

i ]x x [*2г-1 (m, v)S*. (m, v)

y 2 = Re

W,

m=1 v, =0

V ^ д

У

Тогда целевую функцию (3) можно представить выражением

y = Re

W;

дшал р ф

x x [ r -1 (m vд)s* (m vд)+

m=1 vд =0

+R2j-1 (m, vд)S*j (m, vд)]} )

Из этого выражения следует, что минимизация целевой функции достигается при выполнении условия

I M vn max р ^

Wi jx x [R1j-1 (m> vд)S* (m> vд) +

I m=1 vд =0

+R2j-1 (m vд)S2j (m vд)]} =p-

Данное выражение позволят получить текущее значение символа синтезируемой последовательности, при котором достигается минимум целевой функции:

= exp

M Уд max г- ^

p+arg jx x lr1j-1 (m, ^)s* (m, ^ )■

I m=1 vд =0

+R2j-1 (m> vд ) S2j (m> vд )]})

Полученное выражение описывает процедуру синтеза многофазной последовательности Wi = = exp (jjj) по принципу "символ за символом",

обеспечивающую минимум БЛ ФНС в локальной области задержек и доплеровских сдвигов частоты.

Анализ результатов синтеза многофазных сигналов. Представляет интерес исследование пределов снижения уровня БЛ ФНС в зависимости от размеров области оптимизации DM = = 2M -1 и ДVд = 2Vдmax +1 и от длины синтезируемых последовательностей. С этой целью был реализован алгоритм синтеза многофазных последовательностей в вычислительной среде PTC MathCad 15.

Проведен синтез сигнала длиной N = 4096 при M = 32 и Vд max = 16. Функция неопределенности синтезированного сигнала c(m, Vд) приведена на рис. 1. Вокруг главного пика отчетливо видна область с пониженным уровнем БЛ, размеры которой по задержке и по доплеровским сдвигам частоты соответствуют значениям M и Vд max.

Эффективность синтеза непрерывных фазомоду-лированных сигналов охарактеризована глубиной подавления БЛ определяемой среднеквадра-тическим значением БЛ в зоне оптимизации, нормированным на среднеквадратический уровень боковых лепестков неоптимизированной последовательности c = 14N:

Xopt

M ^ max

x xx

m=-M v =—v

т 1У1 Уд Уд max

\R (m ^)

(2M +1)( 2Vд max +1)

Для сигнала, функция отклика которого изображена на рис. 1, среднеквадратический уровень БЛ в зоне оптимизации составляет с0р! =

= -51.11 дБ. Вне зоны оптимизации уровень БЛ не

Wi =

ч

2

С, дБ - 16

- 32

- 48

■ 128

■ 64

64

- 24

- 64

Рис. 1

имеет пиков неоднозначности и соответствует теоретическому значению С = 201я (1/^ ) = —36.12 дБ.

Таким образом, глубина подавления боковых лепестков ФН достигла значения = —14.99 дБ.

Синтезируемые сигналы принято сравнивать по зависимости эффективности метода синтеза от площади оптимизации Д% = /(5) (5 = ДМ

[4]-[6]. Анализ показывает, что эффективность оптимизации, падая с ростом 5 из-за фундаментальной пропорциональности среднеквадратического

уровня БЛ ФНС величине 1 , увеличивается с ростом ДПд (рис. 2). В рассмотренном случае при соотношении площади оптимизации и длины сигнала 5 = 0.05 разница в эффективности оптимизации составляет до 3.5 дБ при разных конфигурациях зоны оптимизации.

На рис. 3 представлены зависимости среднеквадратического уровня БЛ ФНС от одной из координат при усреднении по другой координате в области зоны оптимизации. Представленная на рис. 3, а зависимость от доплеровской частоты имеет резкий спад уровня БЛ на заданных границах зоны оптимизации. Вне зоны оптимизации уровень БЛ примерно постоянен и соответствует

0.05

0.1

0.5

- 12 -

- 24 -

- 36 -

ДС, дБ

ДМ = 129;

— Дпд = 9; ДМ = 65;

■ — Дпд = 17; ДМ =33

Рис. 2

- 36

Сп, дБ

б

Рис. 3

теоретическому значению, обозначенному штриховой линией. Зависимость от временной задержки (рис. 3, б) имеет плавное нарастание от границы зоны оптимизации до некоторого значения, в котором уровень становится равным теоретическому значению С =

Ширина указанной переходной зоны определяется соотношениями М/N и Пд тах/N. Для иллюстрации этого положения получены зависимости, аналогичные рис. 3, б для увеличенных в два раза значений М (рис. 4, а) и Пдтах (рис. 4, б).

В обоих случаях ширина переходной полосы сузилась по отношению к первоначальной.

Наглядно влияние данного эффекта на эффективность оптимизации покажем, используя зависимости Дс = / (ДМ^) и Дс = / (Дпд/N) (рис. 5). В первом случае (рис. 5, а) зафиксируем размер ДПд = 4 (ДПд = 2Пд тах +1 = 9) и построим графики для значений ДМ от 9 до 257, изменяя N таким образом, чтобы отношение ДМ/N для разных графиков изменялось в пределах от

5 10 4 до 10 1. Как видно из рис. 5, а, эффективность процедуры синтеза при фиксированном размере области оптимизации по доплеровскому сдвигу частоты практически не зависит от абсолютного значения размера данной области по задержке, а полностью определяется соотношением ДМ ^.

0

т

V

д

а

д

5

0

128

Ст , дБ

128

б

Рис. 4

Зависимости на рис. 5, б построены для фиксированного размера области оптимизации по задержке М = 32 (АМ = 2 • 32 +1 = 65) при изменении АУд от 9 до 129. При построении N менялась для поддержания отношения Ау д/N в -4 -2

пределах от 5 10 до 10 . Из рис. 5, б следует,

5 •Ю-4 10-3

5 •Ю-2 АM/N

АС, дБ

5 •Ю-4 10-3

5 10

-3

АУд/N

0

- 15

- 30

- 45 АС, дБ

АУд = 9

о

б

Рис. 5

что с уменьшением отношения Ау д/N эффективность оптимизации становится выше для сигналов с большим значением Ау д. Так, для

Ау д!N = 5 • 10-4 эффективность оптимизации для сигнала с АУд = 129 на 7.1 дБ выше, чем у сигнала с АУд = 9. Это объясняется тем, что с

увеличением полосы оптимизируемых доплеров-ских частот уменьшается размер переходной полосы (см. рис. 2, б; 3, б), в которой производится "нежелательная" оптимизация. В силу закона сохранения неопределенности [2], объем тела неопределенности фиксирован, поэтому снижение уровня боковых лепестков в переходной зоне приводило к его повышению в области оптимизации.

Приведенные результаты получены для сигналов, фаза каждого символа которых может принимать произвольное значение в пределах ф/ = (-я, я]. Для практического применения целесообразно иметь конечный набор дискретных значений фаз с заданным шагом Аф = 2я/Кф . Тогда фкв / =Аф(ф//Аф), где (ф//Аф) - округленное значение частного, / = 0, ..., N -1.

Исследована зависимость эффективности оптимизации от количества градаций фазы Кф. Для

этого по разработанному методу синтеза сформирован сигнал с произвольным значением фазы символов в пределах ф/ = (-я, я]. Как было показано ранее, эффективность оптимизации зависит от формы выбранной зоны оптимизации. Потому исследовались несколько сигналов длины N = 16 384 с размерами зоны оптимизации по задержке и по доплеровскому сдвигу частоты АМ1 = 129, Ауд1 = 1; АМ2 = 33, АУд2 = 9;

АМ3 = 17, АУд3 = 17. После формирования каждого сигнала фазы символов дискретизировались на фиксированное количество фаз Кф с шагом

Аф = 2я/Кф и формировались зависимости глубины подавления интегрального уровня боковых лепестков от количества градаций фаз (рис. 6).

Штриховыми линиями на рис. 6 показаны значения для сигналов с непрерывным значением фазы символов. Характер кривых на рис. 6 не зависит от конфигурации области оптимизации. Для всех зависимостей значения, близкие к максимально достижимым (будем считать таковыми значения, достигнутые при неограниченном фа-

д

а

а

Кф

с, дБ

Рис. 6

зовом алфавите символов), достигаются при квантовании фаз на 256.. .512 уровней.

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

- для области оптимизации с площадью 5 = ДМ Дп д/ N = 0.05 глубина подавления БЛ

ФНС в зависимости от соотношения ДМ и ДПд составляет 39.43 дБ;

— для сигналов с одинаковой площадью оптимизации глубина подавления БЛ ФНС увеличивается с увеличением размера зоны оптимизации по доплеровскому сдвигу частоты;

— при области оптимизации 5 »1 вне зависимости от формы области оптимизации средне-квадратический уровень БЛ ФНС стремится к теоретическому среднестатистическому значению

С = 201в (1Д/Ж);

— для достижения эффективности оптимизации, близкой к теоретически возможной для рассмотренного метода, достаточно ограничиться фазовым алфавитом символов с объемом Кф е (256, 512).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вакман Д. Е., Седлецкий Р. М. Вопросы синтеза радиолокационных сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 312 с.

2. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и применение. М.: Сов. радио, 1971. 568 с.

3. Морская радиолокация / В. И. Винокуров, В. А. Ген-кин, С. П. Калениченко и др.; под ред. В. И. Винокурова. Л.: Судостроение, 1986. 256 с.

4. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

A. M. Trofimov, N. E. Bystrov, I. N. Zhukova Yaroslav-the-Wise Novgorod state university

5. Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Последовательная процедура синтеза фазоманипулированных сигналов с большой базой // Тр. IX Междунар. науч.-техн. конф. "Радиолокация, навигация, связь". Воронеж, 22-24 апр. 2003 г. Воронеж: НПФ "Саквоее", 2003. Т. 1. С. 133-140.

6. Чеботарев Д. В. Минимизация боковых лепестков функции неопределенности фазоманипулированных сигналов в локальной области частотно-временных сдвигов // Вестн. Новг. гос. ун-та. 2007. № 44. С. 13-17.

Wideband polyphase signal synthesis using criteria of the minimal side lobes level in a local frequency-delay area

The iterative polyphase signal synthesis procedure using "symbol by symbol" method is proposed. Synthesized signals minimize integral level of the ambiguity function in a local time-frequency domain. It makes possible to increase the low power signal detection probability. The relation between side lobes suppression and optimization zone area as well as phase alphabet size was analyzed.

Radar systems, wideband signals, continuous mode of operation

Статья поступила в редакцию 21 мая 2013 г.