CC BY
19
■а о-
Досліджено замкнуті системи з дробовим порядком астатизму від 0,3 до 2. Знайдено параметри дробових пропорційно-інтегральних та інтегрально-дифе-ренційних регуляторів для забезпечення оптимальних динамічних та статичних характеристик
Ключові слова: астатична система, дробовий інтеграл, дробова похідна
□-----------------------------------□
Исследованы замкнутые системы с дробным порядком астатизма от 0,3 до 2. Найдены соотношения параметров дробных пропорционально-интегрирующих и интегрально-дифференцирующих регуляторов, обеспечивающих оптимальные динамические и статические характеристики систем
Ключевые слова: астатическая система, дробное интегрирование, дробное дифференцирование
□-----------------------------------□
The research of close-loop systems with fractional integral-differential regulators with order from 0,3 to 2 is carried out. The parameters of regulators for optimal dynamic and static control are defined
Keywords: astatic system, fractional integral, fractional differential
УДК 644.1+004,9:517.9
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С ДРОБНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИМИ
СВОЙСТВАМИ
В.В. Бушер
Кандидат технических наук, доцент Кафедра электромеханических систем с компьютерным управлением Одесский национальный политехнический
университет
пр. Шевченко, 1, г. Одесса, Украина, 65044 Контактный тел.: 050-390-88-09 Е-mail: victor.v.bousher@mail.ru
1. Введение, анализ литературных данных и постановка проблемы
Объекты управления во многих технологических процессах описываются системой уравнений для расчета сжимаемых течений вязкого теплопроводного газа [1], основанных на законах сохранения массы, импульса и полной энергии. В полном виде или с отброшенными в зависимости от задачи некоторыми членами такая система позволяет получать пространственные и временные характеристики искомых координат и описывать процессы диффузии, конвекции, переноса тепла и масс турбулентными и ламинарными потоками. Решение уравнений в пространственных задачах выполняется методами конечных элементов, объемов, пространственно-сеточными методами.
Однако при синтезе систем управления сигналы обратных связей по заданным координатам поступают от локальных датчиков, размещенных в определенной точке. Тогда по отношению к этому датчику задача приводится к одномерному случаю. При этом в уравнениях может быть выделена общая составляющая, представляющая собой второй закон Фика, являющийся универсальным законом для описания концентрации, температуры, распределения частиц, перемешивающихся газов, жидкостей:
df(x,t) _ d2f(x,t)
Одним из способов решения уравнения (1) является метод расщепления (факторизации) [2], в соответствии с которым получаем следующее уравнение:
э
э
2
dt ХЭх2
f(x,t) _
(2)
'Э гЭЦ /Э г э
dt Эх V dt + Эх
f(x,t) _ 0.
Эt
Эх2
(1)
Для определения, например, такого закона подвода тепла Ц^) из локальной точки теплопроводящей среды, чтобы обеспечить требуемое изменение температуры 9^) из (2), приходим к соотношению
(3)
Q(t)_ T*^6(t)_ T* D*6(t),
в котором правая часть является производной Dц порядка ц = 0,5, Т - формальная постоянная времени, зависящая от свойств среды и расстояния от источника тепла.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным, что позволяет применить к нему преобразование Лапласа. Решая задачу поиска закона изменения температуры при работе источника тепла, в операторной форме получаем уравнение дробно-инте-грирующего звена
(4)
Определяя изменение температуры в исследуемой области по отношению к температуре окружающей среды, с учетом теплообмена по закону Ньютона получаем уравнение
6(p)(|TV+ 1)_^Q (p)+6ex (p),
(5)
где 0ех - температура окружающей среды, а - коэффициент теплоотдачи, которое окончательно может быть охарактеризовано, как описание дробно-апериодического звена:
6(p)^7^^Q (p) + 7
1
6ex (p),
(6)
С учетом теплоемкости источника, характеризуемой постоянной времени Тч, уравнение (6) может быть преобразовано в уравнение дробно-апериодического звена порядка 1+ц следующего вида:
6(p)_
X/ a
Q(p)+
1
(TqT*p1+* + t* p* + 1pw (T*p* +1)
A* (p). (7)
Если в качестве источника тепла (или холода) выступает конденсирующийся или кипящий фреон во всем объеме внутренней полости конденсатора или испарителя, то капли жидкости и пузырьки газа превращают среду теплообмена в структуру, которую можно охарактеризовать как фрактальную. В такой среде наблюдаются эффекты аномальной суб- и супердиффузии [3], при описании которой порядок дифференциальных уравнений в общем случае отличается от 0,5.
В иных процессах, например, в электрохимических системах, в которых из-за пористой структуры электродов имеет место нестационарная диффузия, сила тока зависит от дробной производной напряжения [4]. В суперконденсаторах, которые в настоящее время получают распространение из-за возможности быстрого заряда и разряда в системах рекуперации кинетической энергии электромобилей (KERS), накопление и отдача энергии описывается сочетанием интегрирующих и дробно-интегрирующих свойств [5], что отражает эквивалентная передаточная функция вида:
h(p)_ _ Rc+—+_l,
W Ic (p) C Cp Bp*
показателей систем расчетным. Однако использование аппарата дробного интегро-дифференцирования до недавнего времени было ограничено из-за низкого быстродействия и недостаточных объемов оперативной памяти микропроцессоров, так как даже в некоторых частных случаях решения дробных интегрально-дифференциальных уравнений описывается функциями Миттаг-Леффлера, Работнова-Хартли, являющимися бесконечными рядами [6]. Поэтому использовались упрощенные приближенные модели в виде рекуррентных ИНС или аналоговых четырехполюсников [4].
2. Цель и задачи исследования
Развитие микропроцессорной техники позволяет сейчас в полной мере использовать возможности дробного интегрирования и дифференцирования для синтеза систем с заданными показателями качества.
Целью исследования является синтез регуляторов в системах управления технологическими процессами с дробными интегрально-дифференцирующими свойствами для обеспечения оптимальных динамических и статических показателей.
3. Материалы исследования
Проведем исследование замкнутых систем с заданным дробным порядком астатизма ц, разомкнутый контур которых описывается передаточной функцией
HOnr(p) _
1
1
aTv*p* Tvp +1
, 0<*< 1,
(9)
где а - параметр настройки, Ту - некомпенси-руемая малая постоянная времени объекта управления.
Передаточной функции (9) соответствуют логарифмические частотные характеристики, вычисляемые по формулам:
L _ -20lg (aTv*Q*) - 20lgA/Tv2fi2 +1,
Ф_-*2 - arctg (TvQ).
(10)
(11)
(8)
где UC,IC - напряжение и ток суперконденсатора, RC,[Ohm]; C,[F] - внутреннее активное сопротивление и емкость суперконденсатора, B,[s*/Ohm] - коэффициент, обусловленный диффузией.
Таким образом, в ряде технологических процессов может быть выделен класс объектов с дробно-интегрирующими, дробно-дифференцирующими или дробно-апериодическими свойствами. Использование для таких объектов управления классических методов исследования может приводить к существенным ошибкам при идентификации параметров и, как следствие, к несоответствию динамических и статических
Сравнение ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого контура
с дробным порядком астатизма и систем с настройкой
на модульный (МО) или симметричный оптимум (СО)
при одинаковых частотах среза показывает, что запас
устойчивости по фазе при уменьшении ц возрастает п
на величину (1 -Ц-)^ • Это дает возможность улучшить
динамические показатели системы.
При различных значениях ц и Дф можно определить соотношение частоты среза и некомпенсируемой постоянной времени ТуОс:
(12)
ТА _ tg | п - Аф - * -
и из (10) получить соответствующее значение a :
уз
(^ )2 +1
1
1
(13)
tg|л-Aф-ц| 11 ЛГ tg Гя-Аф-ц2Ї| +1
На рис. 1 показаны графики зависимостей a = f(Дф,ц) и отмечена точка, соответствующая настройке на МО.
Учет малой некомпенсируемой постоянной времени Ту крайне осложняет аналитические исследования в общем виде, поэтому переходные функции получены численными методами. В частности, на рис. 2 приведено
для выбора значения a по заданным значениям порядка астатизма 0,3<ц< 1, перерегулирования 8 или времени достижения первого максимума (характеризующего быстродействие системы) (рис. 3). Также выявлены полезные эмпирические зависимости, по которым можно приближенно рассчитать значение a в зависимости от ц , 8 и ^ах :
^а = 1,958ц-1,584 +
+(-20,191ц.2 + 34,744ц-17,118)8,
а »(-0,2ц + 0,3)Г %
(14)
(15)
семейство графиков переходных функций при Дф = 65,5°.
Видно, что системы с ц> 0,4 и рассчитанным по формуле (13) а характеризуются перерегулированием, не превышающим перерегулирование в системе с ц = 1, но их быстродействие повышается за счет увеличения частоты среза.
Анализ переходных процессов позволил построить номограммы
0,8
Ог6
0,4
0,2
л и . =, =
= * / * #* г : / / / / / X
■\1 * • : її • : і 11 / : / :1і : / / /
; 11 * ;/;// / / /
Ц=0,3 ц=0,4 Ц=0,б
)IіИ * ■ ф// / / ц=0,5
’и о,/ = *МО
М:/ * ш/ ел о" Е 3. 1 і
Ь'Т,
Рис. 2. Графики переходных функций при ц< 1, Аф= 65,5°
Рис. 1. Зависимости а = і (Аф, ц)
Так как система с ц< 1 характеризуется отсутствием позиционной ошибки, постоянной ошибкой при подаче на вход «выпуклого» сигнала вида ^(ц< 1), но возрастающей скоростной ошибкой, то для повышения порядка астатизма включим в состав системы пропор-ционально-инте-грирующее (ПИ) звено и представим передаточную функцию разомкнутого контура в виде:
1
1
а=
V у
3
Рис. 3. Зависимости а = і (ц, 8) и а = і (ц^тах)
Н+Пт(р) =
1+
ЬТР
1
1
аТ^У-1 Т„р +1
ЬТ,р +1 1
ЬаТцрц Т„р +1
, 1 <ц<2, Ь> 1,
(16)
Амплитудно-частотные характеристики системы с передаточной функцией (16) рассчитываются по выражениям:
L = -20ІЙ(ЬаТуцОц) + 201^Ь2ТУ2П2 +1 -201^ТУ2П2 +1, (17)
где Ь - параметр ПИ-звена.
У такой системы позиционная и скоростная статическая ошибки отсутствуют. Постоянная по величине ошибка возникает лишь при подаче на вход «вогнутого» сигнала вида ^ при ц>1.
Ф = -ц-2 - (ТО) +
ч п (ЬТО- ТО)
+ aГctg (ЬТ°) = -ц - ■+ аГс^1 1+ЬТ2О2 .
(18)
Функция(18)при ТО = ^= л/ь
характеризуется экстремумом
п
Фтах = -ц
— і--
2
(19)
- аГС^ (^ ) + arctg (^).
Для получения частоты 1
среза ТОЫ0 = —;= необходимо = л/Ь
выбрать
1^Л/Ьц-Г.
(20)
Рис. 4. Переходные характеристики при оптимальном соотношении ц,а,Ь
Но эта точка лишь для ц = 2 является оптимальной.
Анализ показывает, что переходная функция системы (16), представляющая собой
-Ш5~
1
свертку функции Работнова-Хартли и затухающих гармонических колебаний [6], характеризуется несколькими максимумами. И для каждого ц существует некоторое соотношение а и Ь , при котором первый максимум равен второму, быстродействие максимальное, а перерегулирование достигает минимума.
На рис. 4 показано семейство некоторых переходных функций, соответствующих такому условию в увеличенном по оси ординат масштабе, сопоставленных с настройкой на МО.
В табл. 1 приведено несколько сочетаний значений Ц,а,Ь, удовлетворяющих этому условию, и соответствующие значения 8^тах1^та12 , что позволяет выбрать необходимые параметры системы.
Приближенно для произвольного 1,1 <ц< 1,9 значения а и Ь могут быть вычислены по эмпирическим формулам:
а «-0,0384 -
Ь = 12,5а.
0,33026 _ 0,01351 1п (ц) 1п (ц)2
^„1« 0,368ц4,3,
tmax2 « 11,2ц_ 7,2,
8« 0,0262ц2 _ 0,0191ц _ 0,092.
Из (22) - (24) легко могут быть получены обратные зависимости и по требуемым показателям переходного процесса найдено необходимое значение ц и далее по (21) определены а и Ь .
Для обеспечения выбранных настроек регулятор, включенный последовательно с объектом управления, должен иметь передаточную функцию, определяемую из соотношения
О (р)_ НОПТ (р)
н” (р)_ НОЖ'
(25)
(21)
Показатели переходной характеристики также определяются по приближенным зависимостям:
(22)
(23)
(24)
и в его состав могут входить как дробные интегрирующие звенья, так и дробные дифференцирующие звенья.
Передаточные функции регуляторов для некоторых типовых объектов управления при настройках контура с различным порядком астатизма приведены в табл. 2.
Видно, что в состав регуляторов могут входить как дробные интегрирующие звенья, так и дробные дифференцирующие звенья. Очевидно также, что предложенные методы синтеза замкнутого контура могут быть применены для объектов управления как с дробным, так и целочисленным порядком дифференциальных уравнений.
Для реализации вычислений дробных интегральных составляющих сигнала регулятора в микропроцессорной системе с периодом квантования
Оптимальные соотношения параметров настройки
Таблица 1
ц 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
а 0,113 0,160 0,223 0,302 0,410 0,565 0,790 1,160 1,880
Ь 1,413 2,000 2,788 3,775 5,125 7,063 9,875 14,500 23,500
8 0,002 0,005 0,011 0,016 0,022 0,027 0,034 0,041 0,049
^ах1/Т. 0,64 0,83 1,11 1,45 1,89 2,48 3,28 4,58 7,61
5,15 6,26 7,44 8,45 9,53 10,72 11,72 12,84 14,30
Передаточные функции регуляторов
Таблица 2
Ноу (Р)
Нрег (р),0 <ц< 1
Нрег (р),1 <ц< 2
ТоУ
_і________1 То>
аТуц коУ рц-ц
аТц-1
1 + -
ЬТуР
1 Тоу
коУ Р^
1 +--------ц
Т рц
V оур у
11 і р 1 и 1 1 1+ 1 цоу р у Тоу
аТц к р^ V оу-Т ТоуР^Р^ +1] аТ;-1 ЬТ> коурМчч Т рцоу +1 оу
ТоуРцоУ + 1
11
аг7 к!
ТоУ 1
р^^у рц
аТГ1
1+
ьт„р
Т
рМ^оу рц-1
к
1
1
к
1
1
1
1
к
Дt целесообразно использовать модифицированную Сигнал дробных дифференцирующих звеньев мо-
дискретную форму Римана-Лиувилля [7], жет вычисляться также с применением формулы (26)
на основании зависимости
(26)
j=i
kM =
AtM( jM+1 -(j - if1) и
Г(2 + m)
-I kn.
d ll-M-f — ll-M-f
D^f = — Il—Mf = i i—1
где kM - постоянные коэффициенты, вычисляемые по формуле
dt
At
(28)
4. Выводы
(27)
Так как количество слагаемых в реальных системах ограничено объемом запоминающего устройства микропроцессора, то в системе с ц< 1 возникает дополнительная статическая ошибка. При ц> 1 ПИ-зве-1
но 1 +----компенсирует эту ошибку. Поэтому выбор
ЬТуР
систем с ц> 1 является предпочтительным.
Таким образом, на основании анализа частотных характеристик и переходных процессов систем с дробным порядком астатизма предложены методы синтеза регуляторов как для систем с ц < 1, так и для систем с 1 <ц<2 . Регуляторы, передаточные функции которых определяются по таблице или в общем случае по , а параметры выбраны в соответствии с предложенными номограммами и расчетными зависимостями, обеспечивают ограничение перерегулирования на заданном уровне и быстродействие выше, чем у систем с целочисленным порядком астатизма.
n=1
Литература
1. Бураго, Н.Г. Вычислительная механика / Н.Г. Бураго. - М, 2005. - 247 с.
2. Учайкин, В.В. Дробно-дифференциальная модель динамической памяти / В.В. Учайкин // Математика и механика. - 2001.
- 14 с.
3. Uchaikin, V.V. Anomalous Diffusion and Fractional Stable Distributions / V.V. Uchaikin // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 2003, No. 4. - р.810-825.
4. Гильмутдинов, А.Х. Дробные операторы: критерии синтеза и реализация / А.Ч. Гильмутдинов, П.А. Ушаков, М.М. Гильмет-динов // Нелинейный мир. - 2008, №8. - С.452-463.
5. Бушер, В.В. Энергетические показатели и параметры суперконденсаторов в динамических режимах / Бушер В.В., Мартынюк В.В., Найденко Е.В. // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах. - Хмельницький, 2012 - №1.
- С.44-50.
6. Shantanu, D. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. / Shantanu Das // Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 2008. - 240 p.
7. Busher, V. Modeling of supercapacitors with fractionally integrated section in SIMULINK. / V.V. Busher // Ел.-техн. та комп. системи. - К.: Техніка. №04(80). - 2011. - С.89-92.
Е
