CC BY
250
УДК 621.3.087.92
В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин
СИНТЕЗ ЕА- МОДУЛЯТОРА С МНОГОУРОВНЕВЫМ ЦАП НА ОСНОВЕ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ СИГНАЛА
Аннотация. На основе теории непрерывно-дискретных систем предложена методика синтеза ЕД-модулятора с многоуровневым ЦАП на основе широтноимпульсного модулятора, отличающегося высокой линейностью преобразования и низким уровнем флуктуационного шума. Приведены результаты имитационного моделирования.
Ключевые слова: ЕД-модулятор, непрерывно-дискретная система, аналогоцифровой преобразователь, цифро-аналоговый преобразователь, широтно-импульсный модулятор, передаточная функция.
Abstract. In this article on the basis of analog-digital systems theory the procedure of synthesis ЕД-ADC with multilevel DAC with user of pulse-width modulator is proposed. Jhese ЕД-modulators have the high linearity of conversion and the low level of fluctuation noise. The results of imitation simulation are given.
Keywords: ЕД-modulator, analog-digital system, analog-to-digital converter, digitalanalog converter, pulse-width modulator, transfer function.
Введение
ЕД-АЦП с многоуровневым квантователем характеризуются малым уровнем флуктуационного шума и широким динамическим диапазоном входной величины. При этом независимо от количества уровней квантования точность квантователя (которая определяется точностью ЦАП в его составе) должна соответствовать разрешающей способности ЕД-АЦП. Чисто технологическими средствами изготовить ЦАП с точностью, соответствующей разрешению в 16-24 разряда если и возможно, то экономически совершенно не оправданно. Поэтому в ЕД-модуляторах с многоуровневым квантователем применяют ЦАП, точность которого соответствует технологическим возможностям, исключающим применение какой-либо подгонки. А для того чтобы реализовать в конечном итоге требуемую высокую точность, погрешность, вносимую неточным ЦАП, исключают с помощью структурно-алгоритмических мер. Соответствующий прием получил название «скремблирование» [1]. При всем изяществе этого решения скремблирование существенно усложняет схемную реализацию ЕД-АЦП. Кроме того, разрядность такого ЦАП остается ограниченной.
1. Основные предпосылки применения ЦАП с широтно-импульсным модулятором сигнала в 2А-АЦП
Практическое отсутствие погрешности линейности делает весьма привлекательной идею применения в структуре ЕД-АЦП цифроаналогового преобразователя на основе широтно-импульсного модулятора (ШИМ). Для случая применения в структуре интегрирующего АЦП (ИАЦП) одного интегратора в цепи прямого преобразования все возможные варианты использования ШИМ в цепи обратной связи рассмотрены в работе [2]. Лобовое решение,
предусматривающее перенос этой идеи на варианты с несколькими интеграторами в прямой цепи преобразования, оказалось нереализуемым. Это связано с тем, что если для варианта с одним интегратором функция преобразования представлена полиномом первой степени (т.е. она линейна), то при многократном интегрировании она описывается полиномами высших порядков (порядок полинома равен числу интеграторов). Решение этой проблемы оказалось возможным при использовании в структуре ИАЦП усложненных ЦАП с ШИМ, которые за один период модуляции формируют несколько импульсов, обеспечивая возможность снижения порядка полинома до первого порядка. Число импульсов связано с числом интеграторов. Некоторые частные решения обозначенной проблемы получены в работе [3].
Входной величиной ЦАП с ШИМ должен быть многоразрядный код. Поэтому применение их в структурах ЕД-АЦП с однобитным АЦП в прямой цепи невозможно. Однако многоразрядный код в структурах ЕД-АЦП появляется после фильтров-дециматоров. Отсюда вытекает потенциальная возможность реализации указанного выше достоинства ЦАП с ШИМ в многопетлевых структурах ЕД-АЦП. Причем, в отличие от классических многопетлевых структур ЕД-АЦП (где многопетлевой является лишь структура ЕД-модулятора), в данном случае замкнутые контуры охватывают и фильтры-дециматоры, в том числе многокаскадные.
Рассмотрим особенности использования преобразователя кода в ШИМ-сигнал в структурах непрерывно-дискретных систем (НДС) со звеньями многократного интегрирования в прямой цепи преобразования на примере конкретной структуры, представленной на рис. 1. Следует обратить внимание на то, что в данном случае звено интегрирования может включать произвольное число интеграторов, а вместо идеального импульсного элемента используется малоразрядный ЕД-АЦП. Кроме того, в цепь обратной связи введен преобразователь кода в ШИМ-сигнал. Последний представлен в виде «черного ящика», поскольку в зависимости от количества интеграторов в составе звена интегрирования структура и алгоритм его будут различными.
Рис. 1. Структурная схема 2Д-АЦП с ЦАП в цепи обратной связи на основе ШИМ- сигнала
Если в цепи обратной связи используется обычный преобразователь кода в ШИМ-сигнал, то в случае многократного интегрирования ШИМ-сигнала ли-
нейная зависимость значения выходной величины интегратора в конце каждого цикла преобразования от входного кода преобразователя «код - ШИМ» будет иметь место только для первого интегратора. Для последующих интеграторов эта зависимость будет выражаться полиномами, порядок которых равен кратности интегрирования. Это обстоятельство выводит подобную структуру из класса линейных НДС.
Для того чтобы структура в целом оставалась в классе линейных импульсных систем, преобразование кода в ШИМ-сигнал должно отвечать требованию линейности функции преобразования НДС, т.е. должна быть обеспечена линейная зависимость значений выходных величин интеграторов в конце каждого цикла преобразования от входных кодов преобразователя «код - ШИМ-сигнал».
2. Синтез структур ЕЛ-модулятора второго порядка
Проиллюстрируем синтез структуры (рис. 1) для случая, когда количество интеграторов в звене интегрирования равно двум, малоразрядный ЕА-АЦП реализует простейшую прямоугольную весовую функцию и структура в целом является одноконтурной. Для получения линейной зависимости выходных напряжений интеграторов от входного кода преобразователя «код -ШИМ-сигнал» определим реакцию второго интегратора в соответствии со схемой прямой цепи преобразования, представленной на рис. 2.
а)
б)
Рис. 2. Функциональная схема прямой цепи преобразования ЕА-АЦП второго порядка (а) и временные диаграммы его работы (б)
Определим напряжение и2(') на выходе второго интегратора в конце периода дискретизации Тд как функцию от параметров ШИМ-сигнала: и0 -амплитуда импульса ШИМ-сигнала; '\ и '2 - время его начала и окончания. В соответствии с приведенным алгоритмом работы (рис. 2) напряжение ^(^) содержит две составляющие:
- на интервале времени '\-'2 оно изменяется по параболическому закону, и к концу такта преобразования '2 достигает значения
, ‘2 ‘2 и2('2) =-------------Ц
т,т~
“'5и2 = и0(‘2 - '1)2
Т1Т2 ' ' 2т1т2
'1 '1
где Т1, Т2 - постоянные времени соответственно первого и второго интеграторов;
- на интервале времени '2-Тд с учетом значения напряжения за предыдущий такт оно определяется уравнением
Т
1
иг(Тд) = и2('2) + — [ Щ('2)Л,
Т2 '
'2
где и1('2) - напряжение на выходе первого интегратора в конце интервала времени '1-'2, равное
'2
и0('2 -'1)
ио А' = -
Т^ Т1
После соответствующих преобразований получим (Т ) = (' ) . и0('2 - '1) ' (Тд - '2) = и0 12Т (' ' ) ('2 '2Л
и2(Тд ) = и2('2) +----------------= 7------(2Тд ('2 _ '1) - ('2 - '1 ) ).
Т1 ' Т2 2т1 ' Т2
Если принять за относительную ширину импульса ШИМ-сигнала е = ('2 - '1 )/Тд, то из полученного уравнения видно, что в нем присутствуют как линейная составляющая (Тд ('2— '1) = 2Тд2 • е ), так и нелинейная
('22-'12 = 2Тд'1 • е + Тд2 • е2).
Зададим момент времени '\ фиксированным, тогда '2 = '1 + е • Тд . Выполнив подстановку '2 = '1 + е • Тд и соответствующие преобразования, получим искомое выражение для выходного напряжения второго интегратора:
и (Т ) = и<0 • Тд (т е 2 е Т е2)= ио • е(Тд-'1)• Тд ио-Тд •
и2(Тд)■ 2Т7^2Тде 2'‘е Тде)" ^ 2Т^-
Видим, что функциональная зависимость е относительной ширины импульса ШИМ-сигнала от напряжения второго интегратора и2(') содержит квадратичный член
и0 • Тд2 • 82 2т1 •т 2
Математически задача линеаризации сводится к определению условий, при которых в функцию преобразования будет входить параметр 8 только в первой степени. Решение поставленной задачи возможно путем увеличения размерности (числа варьируемых параметров) ШИМ-сигнала.. С этой целью представим ШИМ-сигнал в виде последовательности двух импульсов с координатами ¿1, ¿2 и ¿3 , ¿4 (рис. 3).
гф) |
tl
tA1
Рис. 3. ШИМ-сигнал в виде последовательности двух импульсов
Поскольку суммарное максимальное значение относительных интервалов ШИМ-сигнала, не может превышать 1, примем следующие условия:
¿2 - Ь = 0,5е• Тд ,
¿4 - ¿3 = 0,5е • Тд ,
т.е. относительная ширина е импульса ШИМ - сигнала, выбрана с весом 0,5. Определим реакцию двух интеграторов на данный ШИМ-сигнал:
и2(Тд ):
Uо
2Тд (t2 - ^ - (t2 - t2) + 2Тд(t4 - t3) - (t4 - t2)
Uо ■ є ■ Т
Д '4Тд - t1 - t2 - t3 - 14
4т1 ■т 2
Откуда следует, что линейность функции преобразования «ШИМ-сиг-нал - код» выполняется при выполнении соотношения
tl + ?2 + t3 + t4 = const. (1)
Зададимся условием, что импульсы имеют фиксированные начала, т.е. ti = const, t3 = const. Тогда в принятом соотношении (1) следует учесть, что
t2 = tl + s ■ Тд , t4 = t3 _ e ■ Тд и оно примет вид
2ti + є ■ Т + 2t3 - є ■ Т = 2ti + 2t3 = const.
(2)
Условие (1) будет выполняться при любом значении е, как следует из условия (2), и будет справедливо, если импульсы будут симметричны отно-
/] + /3
сительно времени Т. = 2 Вариант ШИМ-сигнала, удовлетворяющий
данному требованию, представлен на рис. 4.
Рис. 4. ШИМ-сигнал в виде последовательности двух импульсов с симметрией относительно момента времени Т.
3. Синтез структур ХА-модулятора третьего порядка
Для ХА-АЦП третьего порядка с трехкратным интегрированием входного сигнала ШИМ-сигнал должен иметь большее число варьируемых параметров по отношению к решению для ХА-АЦП с двукратным интегрированием. Представляется целесообразным в качестве переменного параметра ШИМ-сигнала, кроме длительности импульса, использовать его амплитудное значение. В частности, в работе [4] показано решение задачи линеаризации ШИМ-сигнала в виде последовательности двух импульсных сигналов, имеющих амплитуды —и0 и +2и0, с общим центром симметрии в точке , относительно которой каждый импульс изменяется по закону:
¿2 = + а— • 8,
— а2 • 8, ¿4 = ^ ^2 • 8.
(3)
Вид ШИМ-сигнала и БтиНпк-модель-формирователя ШИМ-сигнала, удовлетворяющие условию (3), показаны соответственно на рис. 5.
Приведем пример одного из частных решений нахождения коэффициентов а—, а2 для АЦП с трехкратным интегрированием.
Т
Исходным для расчета принимается условие . Тогда реакция трех
интеграторов на сложный ШИМ-сигнал будет описываться выражением [4]
А1
— + а] • 8 2 1
Л3
— — а] • 8 2 1
+ 2
— + а2 • 8 2 2
Л У — + 2
— а9 • 8 22
Искомые коэффициенты а— и а2 находятся из условий равенства нулю
2 з
коэффициентов при 8 и 8 .
U п2(0
2С/П
-и п1(0
U n(t)
Uo
-Uo
h h Тд м _
Тд
е1Тд
e2T г Т 1 д
а)
Subsystem
Subsysteml
1
<—
Subsystem2
□
Scope4
сБ
б)
Рис. 5. Вид трехпараметрического ШИМ-сигнала (а) и Simulink-модель его формирователя (б)
Задача определения условия линейности функции преобразования «ШИМ-сигнал - код» решена в редакторе Maple и дала результат:
02 = ai/ 21/3= 0,793700526a!.
Масштаб преобразования «ШИМ-сигнал - код» для ИАЦП с трехкратным интегрированием при использовании сложных ШИМ-сигналов имеет значение меньше единицы. Это связано с наличием положительной и отрицательной амплитуд импульсов. Поэтому рассчитаем масштабный коэффициент, который учитывал бы эту особенность.
Для нахождения масштабного коэффициента зададим следующее условие: при максимальном коде Nmax ШИМ-сигнал занимает весь интервал дискретизации Тд. Поскольку решение имеется в общем виде, то масштабный коэффициент должен быть рассчитан для каждой петли обратной связи, т.е. для трех-, двух- и однократного интегрирования.
В результате расчета масштабных коэффициентов в редакторе Maple для трех-, двух- и однократного интегрирования U3.3, U2.3, U1.3 (где принято: первый индекс соответствует номеру петли обратной связи, второй -кратности интегрирования) получено:
U33:= 0,587401052, ^:= 0,2937005260,
Ui3:= 0,0734251315.
Обобщив полученное решение задачи линеаризации, можно систематизировать варианты сложных ШИМ-сигналов в следующие подклассы (рис. 6). Первый подкласс определен по критерию полярности - однополярные и двухполярные, второй подкласс - по количеству параметров, зависящих от кода 81, 82. Отметим, что, во-первых, в приведенной классификации подразумевается, что сложный ШИМ-сигнал имеет ось симметрии, о чем было ранее сказано. Во-вторых, подкласс двухпараметрических сигналов может быть расширен до многопараметрических.
Однополярные
_Л_
Однопараметрические
Однополярные
двухпарамстричсскис
£1Тд
Е2Тд
Двухполярные
I £1Тд
LT
Двухпараметрические
£1Тд
е2Тд
Двухполярные
однопараметрические
Рис. 6. Систематизация сложных многопараметрических ШИМ-сигналов
Заключение
Для обеспечения линейности функции преобразования ЕД-АЦП необходимо, чтобы преобразование кода в цепи обратной связи в ШИМ-сигнал отвечало требованию линейности функции преобразования, т.е. должна быть обеспечена линейная зависимость значений выходных величин интеграторов в прямой цепи преобразования в конце каждого цикла от входных кодов преобразователя «код - ШИМ-сигнал». Решение поставленной задачи возможно с помощью предлагаемой методики синтеза преобразователей кода в ШИМ-сигнал сложной многопараметрической формы.
Список литературы
1. Schreier, R. Understanding delta-sigma data converters / R. Schreier, G. C. Temes. -New Jersey, IEEE Press, 2005. - 446 p.
2. Ш ахов, Э. К. Интегрирующие развертывающие преобразователи напряжения / Э. К. Шахов, В. Д. Михотин. - М. : Энергоатомиздат, 1986. - 144 с.
3. Балыкова, А. Ю. Аналого-цифровые фильтры в задачах преобразования и обработки измерительных сигналов : дис. ... канд. техн. наук / Балыкова А. Ю. -Пенза, 2005.
4. Бурукина, И. П. Совершенствование автономных медицинских измерительных приборов на основе сплайновых вейвлет фильтров : дис. ... канд. техн. наук / Бурукина И. П. - Пенза, 2007.
Ашанин Василий Николаевич
кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой электротехники и транспортного электрооборудования, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Чувыкин Борис Викторович
доктор технических наук, профессор, кафедра информационных вычислительных систем, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Ashanin Vasily Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, head of sub-department of electrical engineering and transport electrical equipment, Penza State University
Chuvykin Boris Viktorovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of information computer systems, Penza State University
УДК 621.3.087.92 Ашанин, В. Н.
Синтез ЕА-модулятора с многоуровневым ЦАП на основе широтноимпульсной модуляции сигнала / В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№ 4 (16). - С. 97-105.
