Синтез релейной системы экстремального регулирования с организацией управляемых автоколебаний Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 681.52

синтез релейной системы экстремального регулирования

с организацией управляемых автоколебаний © 2010 г. Г.А. Французова, О.Ю. Нестерова

Новосибирский государственный технический университет

Novosibirsk State Technical University

Рассматривается задача синтеза системы экстремального регулирования для динамического объекта с унимодальной статической характеристикой, имеющей экстремум. Рекомендуется проектировать двухконтурную систему, в которой внутренний контур включает в себя динамическую часть объекта, а внешний - статическую функцию качества. С целью стабилизации динамических процессов во внутреннем контуре предлагается формировать релейный закон управления и организовывать скользящий режим. Возникающие при этом автоколебания предлагается использовать в качестве поискового сигнала для оценки градиента функции качества аналогично методу синхронного детектирования. Рассмотрена возможность поиска экстремума с помощью интегрального регулятора во внешнем контуре.

Ключевые слова: поиск экстремума; скользящий режим; двухконтурная система; автоколебания; нестационарный объект; автоматическая система управления.

The synthesis of an extremum seeking control for a plant consisting of a dynamic part and the static function with a peak is discussed in the article. It is proposed to design a two-loop system where the internal circuit includes the dynamic part while the static quality function is located in the external loop. In order to stabilize the dynamic processes in the inner loop it is recommended to organize a sliding mode controller by using the relay. The resulting self-oscillations are proposed to use as a search signal to estimate the gradient of the static function just as a method of synchronous detection. The application of an integral controller for the extremum seeking in the outer loop is considered.

Keywords: extremum seeking; sliding mode; two-loop system; self-oscillations time-varying plant; automatic control system.

Введение

Среди множества технических объектов регулирования существует целый класс, характерной особенностью которых является наличие функции качества, имеющей явно выраженный минимум или максимум. При этом объект имеет и динамическую часть, непосредственно влияющую на функцию качества. Задача управления заключается в автоматическом поиске экстремума функции качества и стабилизации в этой точке при действии внешних возмущений [1 -3]. Если исполнительный механизм системы имеет релейный характер, то при расчете регулятора может быть использован метод скользящих режимов [4], который позволяет получить эффективно работающую систему в условиях действия неконтролируемых возмущений и нестационарности параметров объекта.

В данной работе обсуждается возможность организации движения к экстремуму в системе с предварительной стабилизацией динамической части путем организации скользящего режима. Возникающие при этом автоколебания предлагается использовать в качестве поискового сигнала для оценки градиента, аналогично методу синхронного детектирования.

Постановка задачи

Будем рассматривать объект, модель которого представляет собой последовательное соединение динамической части (ДЧ) и статической экстремальной характеристики (ЭХ). Полагаем, что динамическая часть описывается уравнениями:

x1 — x2;

x2 — a1 (t) x1 + a2(t) x2 + b(t )u;

У — xi,

где х1 и х2 - переменные состояния; у - выходная переменная ДЧ; и - управляющее воздействие, причем |и| < ит ; параметры а1^), а2(Г) и Ь^) нестационарные, их граничные значения следующие:

a.

< ai (t) < aim

a

<

0 < Ьшт < ) < Ьт < а2 (0 < а2тах .

Будем полагать, что экстремальная характеристика в окрестности точки экстремума достаточно точно аппроксимирована параболой

Y = Yо + ß(t)(y-y о)2

(1)

где {у0;У0} - точка экстремума (без потери общности полагаем, что она совпадает с началом координат, т.е. {УоЛ} = {0;0}); Р(/) - переменный коэффициент,

Ршш ^РС) ~ Ртах .

Необходимо синтезировать систему автоматического поиска экстремума с требуемыми показателями качества переходных процессов.

Основные соотношения

Учитывая две различные составляющие объекта регулирования, синтезируем двухконтурную систему (рис. 1), аналогичную [5].

S (x) = - x2 - cx1 + cv = 0,

(3)

С целью поиска экстремума организуем во внешнем контуре интегральный закон управления вида

а

v =--G ,

(4)

где а = const - коэффициент регулятора, который нужно определить в процессе синтеза; G - градиент экстремальной характеристики (1). Предположим сначала, что оценку градиента можно получить точно в соответствии с выражением

dY

G = — = 2ß(t) y.

(5)

В результате расчетная структурная схема системы экстремального регулирования принимает вид, показанный на рис. 2.

Уо = 0

Внутренний контур

2ß(t) а v h У = xi

s

_ j

Рис. 1. Структура двухконтурной системы

В ней с помощью одного регулятора (P1) стабилизируем процессы в динамической части объекта, а с помощью второго (P2) - организуем поиск экстремума на основе информации о градиенте, который оценивается устройством оценки градиента (УОГ).

Во внутреннем контуре системы используем релейный регулятор P1 с законом управления

¡+U т , S(X) > 0,

U = U mSign S(x) = <j (2)

[~U m , S(X) < 0,

где um - размах реле, S(x) = 0 - поверхность переключений, которую представим в форме

Рис. 2. Расчетная схема внешнего контура системы

Дифференциальное уравнение внешнего контура имеет вид

у + 2aß(t )hy = 0.

(6)

коэффициент c = const выбирается на основе требований к быстродействию в динамической части системы.

При выполнении условий возникновения скользящего режима [4] динамика внутреннего контура экстремальной системы будет соответствовать уравнению поверхности переключений [6]. Сформируем (3) таким образом, чтобы процессы в этом контуре заканчивались на порядок быстрее, чем процесс поиска экстремума. В этом случае при дальнейших расчетах вместо внутреннего контура будем рассматривать его равновесный режим x° = v с коэффициентом передачи h =1.

Как видно из (6), равновесный режим этой системы определяется уравнением 2аР(/)йу = 0 , что с учетом выражения для градиента (5) соответствует значению G = 0. Следовательно, положение равновесия внешнего контура и есть искомое положение экстремума. Отметим также, что процесс поиска экстремума имеет монотонный характер, причем длительность зависит от коэффициента а.

Реализация алгоритмов управления

В реальной ситуации для формирования закона управления вида (2) необходимо оценивать переменную х2, которая является производной выходной переменной у. С этой целью можно использовать дифференцирующий фильтр (ДФ) [5, 7], модель которого имеет вид

=

1

|2 s 2 + 2d |is +1

где ц - малый параметр, отражающий инерционность фильтра, а d - коэффициент демпфирования.

Наличие дифференцирующего фильтра с малой постоянной времени, приводит к возникновению во внутреннем контуре системы разнотемповых процессов, исследование которых осуществляется с использованием метода разделения движений [8]. При этом

s

большое значение имеет быстрая составляющая процессов, которые развиваются в замкнутой подсистеме быстрых движений, возникающих во внутреннем контуре. Эта подсистема изображена на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема подсистемы быстрых движений

Поскольку подсистема быстрых движений содержит нелинейный статический элемент в виде идеального реле, в ней будут возникать автоколебания со следующими параметрами [6]:

1 л 2u m.

ю=-; A = m

b|

I

nd

(7)

Как видно из (7), параметры автоколебаний можно изменять, задавая соответствующим образом параметры дифференцирующего фильтра ц и d .

Поскольку эти автоколебания проходят на выход динамической части, будем использовать их в качестве поисковых колебаний для оценки градиента аналогично методу синхронного детектирования [2]. В этом случае полная структурная схема системы принимает вид, представленный на рис. 4.

G

Пример

Рассмотрим синтез двухконтурной системы для объекта с моделью вида:

x 2 =-a(t)x 1 -1,6x 2 + 4u, y = x j, Y = У2,

Рис. 4. Схема системы экстремального регулирования с управляемыми автоколебаниями

В соответствии с методом синхронного детектирования в качестве фазочувствительного устройства (ФЧУ) используется блок умножения и усредняющий фильтр (Ф) для оценки градиента G0. При этом движение к экстремуму происходит согласно уравнению (6) с учетом полученной оценки градиента экстремальной характеристики. Следует отметить, что на основной процесс поиска экстремума накладываются автоколебания, влияние которых можно уменьшать путем изменения параметров регулятора Р\ и дифференцирующего фильтра.

где 1 < а < 4 ; аном = 3 ; ит = 10 . Требования к процессу выхода на экстремум: tn < 1 с, ст = 0%.

Уравнение поверхности переключений формируется с учетом ускорения процессов во внутреннем контуре (гк и 0,1гп) и имеет вид

£ (х) = - х2 -10 х1 +10V = 0.

Во внутреннем контуре организован закон управления (2), а во внешнем контуре - алгоритм (4) с коэффициентом а = 0,25 . Для обеспечения автоколебаний в подсистеме быстрых процессов (рис. 3) с амплитудой А = 0,1 и частотой ю = 100 рад/с выбраны следующие параметры фильтра: ц = 0,01, d = 2,038 .

Рис. 5 иллюстрирует процесс движения к экстремуму из начального состояния {х 1 (0);х 2(0)} = {0,5;0},

рис. 6 - процесс на выходе динамической части системы, а на рис. 7 представлен процесс изменения градиента.

I 0,20 0,15 0,10 0,05 0

0,2 0,4 0,6 0,8 г Рис. 5. Процесс движения к экстремуму Y (г)

Г

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0,2 0,4 0,6 0,8 г

Рис. 6. Процесс на выходе динамической части у(г)

Как видно, полученная оценка градиента позволяет организовать движение к экстремуму в соответствии с требованиями, предъявляемыми к процессу поиска экстремума.

Выводы

Показана возможность организации движения к экстремуму путем формирования двухконтурной системы с релейным регулятором во внутреннем контуре. Это позволяет стабилизировать процессы в динамической части и получить автоколебания заданной амплитуды и частоты, которые предложено использовать в качестве поисковых колебаний для оценки градиента. Для организации автоматического поиска

Поступила в редакцию

экстремума предлагается во внешнем контуре использовать обычный интегральный регулятор.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-08-00611-а).

Литература

1. Моросанов И.С. Метод экстремального управления // Автоматика и телемеханика. 1957. № 18. С. 1077 - 1092.

2. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.,

1974. 632 с.

3. Krstic M. Performance improvement and limitations in extremum seeking control //System and Control Letters. 2000. Vol. 39. P. 313 - 326.

4. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М., 1981. 368 с.

5. Французова Г.А. Синтез двухконтурной астатической системы экстремального регулирования на основе принципа локализации // Сиб. журн. индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 1 (17). С. 145 - 150.

6. Французова Г.А., Нестерова О.Ю. Исследование свойств системы экстремального регулирования со скользящими режимами // Науч. вестн. НГТУ. 2009. № 4(37). С. 11 - 16.

7. Востриков А.С. Синтез систем регулирования методом локализации. Новосибирск, 2007. 252 c.

8. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М., 1975.

13 апреля 2010 г.

Французова Галина Александровна - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Автоматика», Новосибирский государственный технический университет. Тел. (383) 346-11-19. E-mail: frants@ac.cs.nstu.ru

Нестерова Ольга Юрьевна - магистрант 2-го года обучения, кафедра «Автоматика», Новосибирский государственный технический университет. Тел. +7 923-240-15-17. E-mail: nestoff@yandex.ru

Frantcuzova Galina Aleksandrovna - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Automation», Novosibirsk State Technical University. Ph. (383) 346-11-19. E-mail: frants@ac.cs.nstu.ru

Nesterova Olga Yurievna - the second year undergraduate, department «Automation», Novosibirsk State Technical University. Ph. +7 923-240-15-17. E-mail: nestoff@yandex.ru