Синтез параметров линейных систем автоматического управления с амплитудно-импульсной модуляцией Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5.013

СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С АМПЛИТУДНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

С. А. Цветков,

аспирант

В. Ф. Шишлаков,

доктор техн. наук, профессор Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

В статье рассматривается решение задачи параметрического синтеза амплитудно-импульсных систем автоматического управления на основе обобщенного метода Галеркина. Предлагаются математические модели амплитудно-импульсных модуляторов, более полно учитывающие форму импульса, формируемого модулятором.

A solution of the parameter synthesis problem of pulse-amplitude automatic control systems based on Galerkin’s generalized method is proposed. Mathematical models of pulse amplitude modulators which take better account of the impulse shape are developed.

Введение

При исследовании систем автоматического управления (САУ) с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) импульсный элемент (модулятор) обычно считают идеальным, генерирующим с периодом Т последовательность бесконечно коротких импульсов типа 5-функции. Такая математическая модель АИМ нашла широкое применение, поскольку существенно упрощает анализ и синтез импульсных САУ. Однако подобное представление импульсного элемента является упрощенным, так как никакой реальный импульсный элемент не может генерировать бесконечно короткие импульсы бесконечной амплитуды. Во многих случаях требуется более полно оценивать влияние АИМ на динамические процессы в системе управления, что вызывает необходимость разработки и применения более точных моделей модуляторов. Так, если длительность замыкания импульсного элемента составляет более 5% от периода прерывания [1], следует применять матеметические модели АИМ, учитывающие конечную длительность замыкания импульсного элемента [2, 3]. Известно [4], что форма импульса на выходе модулятора отличается от прямоугольной. Это связано с инерционностью полупроводниковых элементов (в том числе и микросхем), на которых реализуется АИМ.

Влияние формы импульсов, формируемых АИМ, на динамику САУ подробно рассмотрено

в работах [2, 3], где показано, что при решении задачи синтеза требуемые показатели качества работы системы можно получать, не только разрабатывая соответствующий регулятор, но и изменяя характеристики модулятора.

Математические модели амплитудноимпульсных модуляторов

Математическая модель АИМ, преобразующего входной сигнал в последовательность несимметричных трапецеидальных импульсов постоянной длительности, следующих через одинаковые интервалы времени, описывается выражением

** (* )=Ё[йт (* - пТ)1(* - пТ) -

п-0

-Кп (* - (п + У1 )Т)1(* - (п + У1 )Т) -“*2п (* - (п + У2 )Т)1(* - (п + У2)Т) +

+ ^2п (* - (п + У)Т)1(* - (п + У)Т)], (1)

где k - x(nT) _ x(nT). k _ x(nT) _ x(nT)

где k1n x .. m . k2n ~~

*1 У1Т <3 - <2 (У-У2 )Т

коэффициенты крутизны фронта и среза импульса соответственно; здесь *1 - длительность фронта;

*1 *2 *3

*з - длительность импульса; У1 = > У2 = Т’ ^ = Т’

0<у1 <у2; 0<у2 <у; 0<у<1- относительные

длительности фронта и импульса в целом; х(пТ) =

= |х(£)5(£ - nT)d^, величина п-го дискретного значения; 5 - задержанная импульсная функция, существующая при ї = пТ; Т - период прерывания, интервал времени между соседними импульсами.

Из соотношения (1) следуют математические модели АИМ:

- АИМ, формирующий последовательность симметричных трапеций:

•* (t )=£ kn [(t - nT)i(t - nT) -

n-0

-(t - (n + Yi )T)1(t - (n + Yi)T) --(t - (n + y 2 )T)1(t - (n + Y 2 )T) + +(t - (n + Y)T )1(t - (n + Y)T)],

(2)

где kn =

x(nT) YiT ;

- АИМ, формирующий последовательность трапеций с вертикальным срезом (ti = giT; t2 = g2T;

t3 = 0):

(t) = X[kin (t - nT)i(t - nT) - kin (t - (n + Yi)T)x

n-0

xi(t - (n+Yi)T) - mi( t - (n+Y2)T) ], (3)

x(nT)

где kin =

YiT

- АИМ, формирующий последовательность трапеций с вертикальным фронтом (ti = 0; t2 = g2T;

t3 = gT):

x*(t) = X [H1(t - nT) - k2n(t- (n + y2 )T)x

n-0

x1(t - (n + Y2 )T) + k2n (t - (n + Y2 )T)1(t - (n + Y2 )T)], (4)

k x(nT)

где k2n =---------—.

(Y-Y2)T

Если в системе управления модулятор генерирует малые по длительности импульсы, то трапеция вырождается в треугольник. В данном случае математическая модель АИМ, преобразующего входной сигнал в последовательность несимметричных треугольных импульсов постоянной длительности, следующих через одинаковые интервалы времени, описывается выражением

x*(t) =Ё [kin (t - nT)1(t - nT) - (kin + k2n )x

n-0

x(t - (n + Yi )T)1(t - (n + Yi)T) +

+k2n (t - (n + Y)T)1(t - (n + y)T)], (5)

, x(nT) x(nT) , x(nT) x(nT)

где km =^-L=^-zr; k2n =- - v '

YiT

<2 - ti (Y-Yi)T

коэффициенты крутизны фронта и среза импульса соответственно; здесь *1 - длительность фронта; *2 -

длительность импульса; у1 = —; У = —; 0 <у1 <у;

0 <у< 1 - относительные длительности фронта и импульса в целом.

Из соотношения (5) следуют математические модели АИМ, формирующие импульсы в виде:

- АИМ, формирующий последовательность симметричных треугольных импульсов:

x

*(t) = ^ kn[(t- nT)i(t - nT) - 2(t- (n + 0,5y)T)x

n-0

xi(t - (n + 0,5y)T) + (t - (n + Y)Ti(t - (n + y )T)], (б) x(nT)

где kn =-

YiT

- АИМ, формирующий последовательность треугольных импульсов с вертикальным срезом (*1=уТ; уТ - У1Т = 0):

x

(t) ='Z[k1n (t - nT)i(t - nT) - kin (t - (n + Yi )T) x

n-0

Xi( t - (n + Yi )T) - mi(t - (n+Yi )T) ], (Т)

x(nT)

где kin =

YiT

- АИМ, формирующий последовательность треугольных импульсов с вертикальным фронтом (*1 = 0; *2 = Т

\t) = ^ [mi(t - nT) - k2n (t - nT)i(t - nT) +

n=0

где k2n =

+ k2n (t - (n + Y)T)i(t - (n + Y)T)],

x(nT)

(8)

(Y-Yi)T

Решение задачи синтеза параметров САУ с АИМ

Задача параметрического синтеза амплитудноимпульсной системы, в которой модулятор описывается соотношениями (1)-(8), может быть эффективно решена во временно й области обобщенным методом Галеркина [2, 3].

Общая схема решения задачи синтеза параметров импульсных САУ обобщенным методом Галеркина подробно рассмотрена в работах [2, 3], где показано, что с вычислительной точки зрения задача синтеза сводится к задаче нели-

x

. * _*

■ Рекуррентные аналитические соотношения А и С,

Вид импульса А* (процесс на входе АИМ х0^) = \^ху + Н*ё~м сой(^ -ф0)] 1(#)) С* (процесс на входе АИМ /(£)=Н1(£))

АИМ, формирующий последовательность трапецеидальных импульсов

Симметричный импульс 1 _ е~р;^Т - е~р;у2т + е~р;* - * н (1 - е~р;ьТ - е~р;ъТ + е~р;уТ)

чМ -; у1Т (1 - е~р;Т )р 2

Несимметричный импульс 1 - е~Р;У1Т е~р;у2Т _ е-Р;'т 1 а * _ УТР"; (У-У2)ТР2; ] ; н (1 е-р;у1т) н (е_р;у2Т е~;) уТ (у-у2)т (1 - е~р;т )р2

Импульс с вертикальным фронтом Р; (У-У2>Т - е_Р;У2Т + е-р;УТ * н (р; (У-У2)Т - е-р; 12 + е-р; уТ)

(У-У2)ТР2; - ; (у-у2)Т (1 -е-р;Т )р£

Импульс с вертикальным срезом 1 _ е~р;'<1Т _У1ТР;е-р;У2Т - * Н(1 -е~р;',1Т -у1Тр;е-р;У2Т)

утр 2 А УТ (1 - е-р;Т )р2

АИМ, формирующий последовательность треугольных импульсов

Симметричный импульс 2(1 -2е~Р;2Т + е-р;уТ) 7* 2Н (1 - 2е~Р; 2 Т + е~р;уТ)

утр2 -; уТ (1 - е~р;Т )р2

Несимметричный импульс У-Ух -уе_Р;У1Т “Ух е_р; уТ 1 - * Н Н е~Р;У1Т , Н „-Р<ДТ УТ у1т{у-у1) (У-У1 )Т

У1(У-У1)Тр2; ] ; (1 -“Р;Т )р2

Импульс с вертикальным фронтом Трду + е р;уТ -1 утр; а-* Р; уТ + е ^Р; УТ - 1 Н Ут (1 -ер;т )р2;

Импульс с вертикальным срезом 1 - е Р;У1Т -рдТе р;У1Т - * 1 - е-р;У1Т -р;У!Те-Р;У1Т Н

УТР? ^ т:7, (1 -е-р;Т)Р2

нейного программирования по поиску минимума функционала, построенного на основе уравнений Галеркина, при технических ограничениях на значения искомых параметров, устойчивость и грубость САУ в заданных пределах вариации параметров:

т I П П*

3 = Е а (сн )Аь + X а* (°к )А*ь -

;-1 [ь-0 1-0

V V* ]2

-^е1 {си )С;Ь -IX (ск )С*1 | , т1пс6 3,

1-0 Ь-0 ]

где ск - варьируемые параметры; аЬ(сй), а* (ск), еЬ(сй), еь (ск) - вещественные постоянные коэффи-

циенты полиномов обобщенного дифференцирова-

7~ч о * *

ния В степеней п, V, п , V соответственно;

Аф = | В {х0(*)}еМ = Ад р,"1, Ь = 0, 1, ..., п;

0

А* =} ВЬ {х°*(г)}е-а> & = А*рд, Ь = 0, 1, ..., п*;

0

Сф =| ВЬ {/(*)}еК = Сд р;-1, Ь = 0, 1, ..., V;

0

С* =} ВЬ {/*(^)}e'“t К = С**Р;, Ь = 0, 1, ..., V*.

0

Интегральные соотношения А, и С, были получены ранее [2, 3]. Таким образом, для распространения обобщенного метода Галеркина на САУ с модуляторами (1)-(8) необходимо получить аналитические соотношения Ад и Сд в соответствии с методикой, подробно изложенной в работах [2, 3]. Соотношения Ад и Сс[ для различных видов импульса, формируемого модулятором, приведены в таблице.

В таблице принято следующее обозначение:

А * -А2 -

1 - е~рсТ

+Н

* е2(“+р5)Т еовФ0 - е(“+^)Т СОвфТ +Фо) е2(а+рг)Т __2е(а+^)Т созрГ + 1 •

Доказательство предельных переходов рекуррентных аналитических соотношений

Покажем предельный переход при у1 ^ 0 и у^у2 от соотношений Ад и Сд , полученных для АИМ, формирующего последовательность модулированных по амплитуде несимметричных трапеций (как наиболее общего случая), к аналогичным соотношениям для АИМ, формирующих последовательность импульсов в виде симметричных трапеций, трапеций с вертикальным фронтом и вертикальным срезом частного вида трапеции.

Так, если у1 ^ 0, то модулятор формирует на выходе трапеции с вертикальным фронтом, следовательно:

Н(1 _ е-Р^1Т) Н {е~Р^Т - е~р^т)

С;* = 11т^________ ' (т-у2)Т

; У1 ^0

(1 - Т к

Введем следующие обозначения:

М = Н (1 - е-р^Т), N =УіГ (і -е'р*Т )р§, - тогда С* примет вид

Н I -р„У2Т -раУТ \

Ііт М 7--------^4 -е 2 )

С* 41 ^0 (ї-Ї2 )Т____________________

с Ііт N

Ї1 ^0

(1 - е-"'т )р2

Однако предел функций М и N при у1 ^ 0 равен нулю, т. е. возникает неопределенность, которую можно раскрыть с помощью правила Лопиталя [5], рассматривая предельное отношение первых производных от М и N:

11т М'= 11т НТр;е~р;У1Т = НТр;;

У! ^0 У1 ^0 ; ;

11т N' = Т(1 - е~р,Т V. у1 ^0 \ I ;

Таким образом:

Н ( -р2у2т -рдт ^

ІітМ' і---------^'е 2 2 -е 2 >

*_ У1 ^о (У-У2)Т

с2 = ,

2 Ііт N

41 ^о

(1 - е'^ )Р|

Н (е-рсУ2Т _ -РсЧт )

НРс (У-У2 )ТУ ’

р? (1 -е^) (1

Окончательно получаем

Н (рс (У-У2)Т - е-Рс У{Т + е-Рс уТ)

С* --

С2 ~

(У-У2>Т (1 -е-рсТ )р;

что и требовалось доказать.

Если 7^72, то модулятор формирует последовательность трапеций с вертикальным срезом, следовательно:

Н (1 _ е-Рс у1Т ) Н ^-Рс У2Т _ е-Р,УТ)

у-, Т\ ) (у-Уп)Т

С* = Ііт ^ 1 )Т

У^У2

(1 - е~РсТ )р2

Введем следующие обозначения:

М = Н(е~рсУ2Т -е~р2уТ), N = (у-у2)Т(1 -е~р2Т)р2, -

тогда С2 примет вид

С* -С2 ~

Н[\-е р2У1Т \ Ііт М

У^У2

г(1 є~рс Ї1Т) ї1т (1 - е-^т )р2 -ж*

Однако предел функций М и N при у1 ^ 0 равен нулю, следовательно, необходимо рассмотреть предел отношения первых производных данных функций

11т М '= 11т НТр;е ~р;уТ = НТр;е~р;У2Т;

У^У2 У^У2

11т N ' = Т (1 - е ~Р;Т )р?.

У^У2 \ I

Таким образом:

Ґч* _ С2 ~

г^1 _ е-РсУ1Т )

Н |1 - е р2У1Т ^ Ііт М'

У^У2

У1Т(1 -е ' )р;

~рсТ\ п2 Ііт N' 2 У^У2

Н11 - е~рсУ1Т -у1Тр2е_р2У2Т

у1Т (1 - е ~РсТ )р2 что и требовалось доказать.

Наконец, при 71 ^ 0 и 7^72АИМ формирует последовательность модулированных по амплитуде прямоугольных импульсов. Используя результаты, полученные выше:

п* V

Сп = Ііт-------------

2 У1 ^о У^У2

Н (1 - е-р2^

Н

(У~У2 )Т

{е~РсЧ2Т _ е~РсУТ)

(1 - е~р-Т )Р; Н (1 - е~р-Ч2Т) Рс (1 - ^) '

что соответствует рекуррентному аналитическому выражению, определяющему данный интеграл [2, 3].

Аналогично изложенному выше покажем предельный переход от соотношений Ад, полученных для модулятора, формирующего последовательность импульсов в виде несимметричной трапеции, к соотношению, определяющему интеграл Галер-кина для АИМ, который при у1 ^ 0 формирует на выходе трапеции с вертикальным фронтом:

Аа = Ііт

2 У1 ^о

1 - е Р2ЬТ е-РсУ2Т _ е-РсУТ

У^Р- (у-Ї2 )Тр

А2*

Введем обозначения М=(1-< N = У1ТР22, тогда '

,-Рс У1Т

А -

А2 -

Ііт М

У1 ^о

Ііт N

У1 ^о

(е-Рс^Т _ е-РсТ

(У-У2 Т2

А

А2 ■

Поскольку предел функций М и N при у1 ^ 0 равен нулю, то для определения предела необходимо рассмотреть предел первых производных от М и N

11т М'= 11т рае~Р;У1Т = Тра; Пт N' = Тр^.

У1 ^о У1 ^о

В результате

У1 ^о

А -

А2 ~

ТРс (У-У2)- е-р2 ^ + е (У-У2 )ТР2

„-РсУТ Л

А * А2 ,

что и требовалось доказать.

При у^у2 модулятор формирует последовательность трапеций с вертикальным срезом, следовательно:

Ац = Ііт

У^У2

1 - е~Р2У1Т

У1Тр2

е-РсЧ2Т _ е-РсУТ

(У-У2)Тр2

А *

А2 ■

Введем обозначения М = ер^2Т - ер^Т,

N = (У-У2^Р^ тогда

А -

А2 -

(1 - е~р^Т)

У1ТР^

Ііт М

У^У2

Ііт N

У^У2

А *

А2■

Предел функций М и N при у^у2 равен нулю, тогда, используя правило Лопиталя, получаем

11т М' = 11т (-р;Те_р;уТ) = -р;Те"Р; ;

У^У2

У^У2

Ііт N' = -Тр2д,

У^У2

окончательно

А -

А2 -

(1 _ е~р2^1Т) р-Те'^

УТР-

Ґ1 - е~Р2У1Т-

А * -А2 -

У1ТР^

/1 * А- ,

что и требовалось доказать.

Наконец, при у1 ^ 0 и у^у2АИМ формирует последовательность модулированных по амплитуде прямоугольных импульсов. Используя результаты, полученные выше:

А = ііт а

несимметр

У1 ^о

= Ііт

У1 ^о У^У2

У^У2

,-р-У1Т

- е~Р-ГТ

У1Тр;

2

(у-У2)Тр:

А * -А- -

А,

что соответствует интегралу Галеркина [2, 3].

Рассмотрим предельный переход при у, ^ 0 и

о л * ,-,*

у^у1от соотношений А; и Сд , полученных для АИМ, формирующего последовательность модулированных по амплитуде несимметричных треугольных импульсов (как наиболее общего случая), к аналогичным соотношениям для АИМ, формирующих последовательность импульсов в виде симметричных треугольников, треугольников с вертикальным фронтом и вертикальным срезом.

При у1 ^ 0 АИМ формирует последовательность треугольных импульсов с вертикальным фронтом, следовательно:

и

Н _ НУ е~Р-У1Т + Н е-Р-уТ

С* = Ііт У1Т У1ТІУ-У1) (у-Ї1 )Т

2 •' ^ -Р-Т\ „2

Ї1 ^о

(1 - е~р-Т )р;

2

Введем следующие обозначения:

М = (у-у1 -уе~р;У1Т +у1е~Р;УТ), N =У1Т(У-У1>, -тогда

11т М

С* _ У\ __________Н

а N (1 - е-р'т )р2 ■

Поскольку предел функции М и N при у1 ^ 0 равен нулю, используем правило Лопиталя и рассматриваем предел первых производных данных функций

11т М' = 11т (-1 + р; уТе_р;У1Т + е~р;уТ

У1 ^0 У1 ^0\ а

= Р-уТ + е ~р2уТ -1;

Ііт N' = уТ - 2у1 = уТ.

Ї1 ^о

Таким образом:

*_ р-уТ + е~р2уТ -1 Н

С2 =

; тТ (1 - е~р;т )р2

что и требовалось доказать.

Если 7^71, то на выходе АИМ формируется последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов с вертикальным срезом

Н _ НУ е-р,ЧТ + Н е~Р;ГТ

С* = 11т У1Т У1Т(У-У1) (У-У1 )т

У^У1

(1 - е~Р-Т )р-

либо, используя принятые выше обозначения: 11т М

Н

С* _ Ї1 ^о_________________________

2 N (1 - е-р-Т )р-

Предел функции М и N при у^у1 равен нулю, тогда рассматриваем

11т М' = 11т (1 - е р;У1Т - рау1Те~р;уТ) =

У^У1 у^уЛ а '

= 1 _ е~р; у1Т -Р У Те ~р; у1Т;

Ііт N/ = у1Т.

У^У1

Таким образом:

С. 1 - е-<’2-<1Т -р-,1Те-'-’.Т

С2 ~

Н

ЪТ (1 - е~р<Т )р,2'

что и требовалось доказать.

Применим аналогичные шаги для соотношений Ад, тогда при у1 ^ 0 АИМ формирует последовательность треугольных импульсов с вертикальным фронтом, следовательно:

А = Ііт А *

2 І. 2 несимметр

Ї1 ^о *

= Ііт

У1 ^о

-РпЧТ

у-у1 -уе р2Ї1Т -у1е Ї1( У-Ї1)Тр2

следующие

,4 А- ■

обозначения:

Введем

М = (у-у1 - Уе_^У1Т + У1е_Р*уТ), N = У1Тр2 (У-У1), тогда

11т М

А* -41 а *

11т N

У1 ^0

Поскольку предел функции М и N при у1 ^ 0 равен нулю, используем правило Лопиталя и рассматриваем предел первых производных функций

11т М' = 11т (-1 + ра уТе~р;ьТ + е~рауТ) =

У1 ^0 У1 ^0' '

= р,уТ + е~р;уТ -1;

Ііт N' = р;2уТ - 2у1р;2Т = р^уТ.

Таким образом:

А -

А- “

Тр2у + е~р-уТ -1 УТР-

/А

А- ,

что и требовалось доказать.

Если у^у1, то на выходе АИМ формируется последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов с вертикальным срезом

А = Ііт А

- 2 несимметр

У^У1

= Ііт

У^У1

-р2У1Т —рсуТ

у-у1 -уе 21 -у1е 2

А *

А- ,

У1( У-У^трд либо, используя принятые выше обозначения: 11т М

А * _ У ^У1 - *

■^—п — ’^—п .

11т N

У ^У1

Предел функции М и N при у^у1 равен нулю, следовательно, рассматриваем

Ііт М '= Ііт (1 -

У^Ї1 У^Ї1 '

е-Р-ьТ _р-у1Те_р2уТ

= 1 - е Р-У1Т -р2У1Те 1-

2 і

-Р-^1Т

Ііт N' = р-у1Т.

У^Ї1

Таким образом:

1 _ е-Р-у1Т -р2У1Те~р2у1Т ..

А- .. т^2 А-,

У1ТР;

что и требовалось доказать.

Заключение

Предлагаемые математические модели АИМ позволяют более полно и всесторонне исследовать динамические свойства импульсных САУ и учитывать их при решении задачи синтеза параметров регулятора обобщенным методом Галеркина. Решение практических задач показывает, что вве-

дение параметров модулятора в число варьируемых дает возможность, при прочих равных условиях, осуществлять синтез регулятора более простой структуры.

Литература

1. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963. 445 с.

2. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции: Монография / СПбГУАП. СПб., 1999. 268 с.

3. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления: Монография / СПбГУАП. СПб., 2003. 355 с.

4. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. 704 с.

5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.