CC BY
46
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
УДК 621.396
СИНТЕЗ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ МНОГОМЕРНЫХ БАНКОВ
ФИЛЬТРОВ1
М.К. ЧОБАНУ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Мироновым В.Г.
Рассматривается задача синтеза оптимизированных банков фильтров для неразделимых многоскоростных систем с целью улучшения частотной избирательности фильтров и снижения их вычислительной сложности.
ВВЕДЕНИЕ
Г ромадный рост таких областей приложения, как телекоммуникации и мультимедиа технологии, осуществляющих обработку и сжатие радиолокационных сигналов, неподвижных изображений, видеосигналов и меняющихся во времени трехмерных сигналов, обуславливает растущий интерес к решению задач анализа, синтеза, обработки многомерных (ММ) сигналов для их передачи, хранения, архивирования, восстановления в системах связи (проводных и беспроводных) при наличии ограничений (на скорость передачи, на полосу пропускания, на динамический диапазон и т.д.).
Среди приложений, в которых цифровая обработка ММ сигналов играет ключевую роль, можно назвать следующие: системы обработки ММ сигналов и мультиспектральных сигналов дистанционного зондирования Земли с целью сжатия, удаления шумов и т.д. (многоскоростные системы, трансмультиплексоры); системы трехмерной визуализации (будущее трехмерное телевидение 3D-TV, обработка световых и акустических полей).
Одной из наиболее перспективных областей применения многомерных (ММ) методов цифровой обработки сигналов являются ММ многоскоростные системы, в которых обработка сигнала в различных частях системы происходит с различной скоростью [4, 11]. Многоскоростные системы являются важной составной частью систем преобразования ММ сигналов с целью их передачи по проводным или беспроводным сетям.
Резко возросшая в течение последних лет потребность в алгоритмических, программных и аппаратных средствах обработки ММ сигналов требует создания гибких технологий очень высокого уровня. Настоящая работа решает часть задач, связанных с синтезом неразделимых многоскоростных систем, оптимизированных с различных точек зрения.
Многомерные многоскоростные системы
Многоскоростная система (рис. 1) с максимальной децимацией состоит из банка анализа, банка синтеза, устройств квантования и кодирования/декодирования подполосовых сигналов. Если рассматривается один уровень декомпозиции, то в банке анализа ММ сигнал X (г) разлагается на т подполосовых сигналов (или каналов). В банке синтеза из переданных подполосовых сигналов вычисляется оценка сигнала Х(г). В случае нескольких уровней декомпозиции, один или несколько подполосовых сигналов далее раскладываются на свои подполосовые составляющие.
Банк анализа (синтеза) состоит из нескольких частей [4]: а) ММ фильтров Hi (г) (соответственно (г)), где г = 0,..., т -1; б) устройств понижения (соответственно повышения) частоты дискретизации в пространстве и/или во времени - дециматоров ^ Б (соответственно интерполяторов Т Б ), где Б - к хк матрица децимации (матричный коэффициент растяжения). Для многоскоростных систем с максимальной децимацией число каналов равно модулю определителя матрицы децимации.
1 Работа выполнена при содействии гранта РФФИ и японского общества 18Р8 №06-07-91751-ЯФ а.
Рис. 1. Многомерная многоскоростная система
1.СИНТЕЗ БИОРТОГОНАЛЬНЫХ БАНКОВ ФИЛЬТРОВ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА
Эффективным методом синтеза ММ цифровых фильтров является применение полиномов Бернштейна [3]. Оператор Бернштейна, действующий на функцию f(x, у) в области
NN Ґ і j \
[0, 1]х[0, 1] , определен для 2-0 случая как BNf(х,у) = ^^/1—,— ЬШ(х,у), где
і=0 ,=0 V N N) ,
Ґ Ш\(
(X, у)= . . Xі (1 - х)N-і у] (1 - у).
V і ) V , у
Данный оператор обладает следующими свойствами [6]:
- BNf (х, у) - равномерно сходится к f (х, у) и ее производным; скорость сходимости мала, но самая большая среди всех операторов, которые сохраняют форму /(х, у);
- тіп /( і/Ш, ) £ BNf (х, у) £ тах f ( і/Ш; );
- интерполяция в граничных точках: ВШ/(е, d ) = / (е, d), е, d = {0,1}, однако ВШ/(х, у) не интерполирует все значения /(х, у).
Применение полиномов Бернштейна позволяет синтезировать передаточные характеристики фильтров, которые имеют конечную импульсную характеристику; линейную фазу; гладкость степени N для Н0(7); гладкость степени (Ш+М) для Н^) [7,8].
Для получения передаточной характеристики фильтра низких частот Н0(7) нужно осуще-
ствить преобразования вида х =
1 - cosw _ (1 - z1)2
У
1 - cos w2 2
(1 - ¿2.)2 2 z.
и выбрать ап-
2 2 z1 2
проксимируемую функцию.
Теорема о разделяющей гиперплоскости
Все ранее разработанные с помощью полиномов Бернштейна ММ банки фильтров основываются на выборе в качестве носителя идеального фильтра низких частот области, зависящей от применяемой матрицы децимации. До сих пор было сделано несколько попыток обосновать выбор коэффициентов полиномов Бернштейна g( i, j,...). Например в [7] были рассмотрены 2-D и 3-D случаи, однако для предложенных в статье систем свойство точного восстановления сигнала (ТВС) не выполнялось. 3-D случай был частично рассмотрен в [8]. Ниже сформулирован наиболее общий результат, позволяющий правильно выбирать данные коэффициенты для двухканальных систем произвольной размерности и гладкости.
Теорема 1. H0( z1, z2,... zk) является полуполосовым, имеет гладкость £ Nu аппроксими-
рует двухканальную неразделимую низкочастотную полосу, если
£ ^, І,—) =
1,
а
І+
если І = , = ... = 0 если 0 < І + , +... <
к ■ N
2
1 2’
1 -а
если І + І +... =
к ■ N
2
(если к ■ N - четно).
кШ-(І+,+...)>
к-Ш . .
если-------< і + і + ...< к-Ш
2
0
если г = у = ... = N
Доказательство: Для того, чтобы получить полуполосовой фильтр и аппроксимировать двухканальную неразделимую низкочастотную подполосу, должно выполняться следующее требование [7-8]: g (г, у',...) + g ^ - г, N - у,...) = 1. Выбор коэффициентов g (г, у',...) будет различным для полосы пропускания Р, задаваемой через 0 < I + у +... < к- N/2, полосы задерживания Б , определяемой как к - N/2 < I + у +... < к-N и переходной области (плоскости) Т (г + у +... = к- N/2 ), которая проходит через целочисленные точки, если к - N является четным. Аппроксимируемая функция равна 1 для Р (вк =1,к = 0.\_k-N/2 + 0.9] , где символ |_х] обозначает целую часть х ), равен 0 для Б и равен 1/2 на Т. Этот выбор позволяет синтезировать функции с гладкостью, равной N [7]. Таким образом, необходимо получить уравнение для разделяющей плоскости Т .
Плоскость Т делит гиперкуб [(0,N),...,(0,N)] на две равные половины - Р и Б - и находится на одинаковом расстоянии от [0,..., 0] (что соответствует нулевой частоте) и от [ N,..., N ] (что соответствует граничной частоте). Расстояние между этими двумя точками равно
4к -N2 = N - л/к . Поэтому расстояние между началом координат и плоскостью Т должно быть равно половине этой величины или N -\[к/2 .
Расстояние между началом координат и произвольной плоскостью Т :г + у + к +... = а можно определить следующим образом. Плоскость Т ортогональна к единичному вектору е = (1,1,.). Поэтому все к координат Ь для точки пересечения е и плоскости Т будучи подставленными в Т: г + у + к +... = а дадут Ь + Ь +... = Ь-к = а . Поэтому Ь = а/к . Следовательно, расстояние между началом координат и этой точкой равно
л/ь2 + Ь2 +... = Ь - у[к = \[к - а/к = а/у[к .
Но это расстояние должно быть равно N - \[к / 2 или а /4к = N-4^/2 и окончательно получаем а = к-N/2 .
1 1
Пример. Для двумерной “шахматной” матрицы децимации Б:
1 -1
необходимо вы-
брать функцию, имеющую носитель (опорную область) в виде ромба [1, 7]:
1, если І + і £ N -1
/1“ і =
V N N )
—, если І + і = N
иначе.
1 N N
Тогда н,^, *2)=Ё Ё'с нг' -а-(1+^)2
2 І=0 і=0
)(1-2-1)2 (1 + г-1)2
где £і,
2. ОПТИМИЗИРОВАННЫЕ БАНКИ ФИЛЬТРОВ
В некоторых приложениях важна хорошая частотная избирательность фильтров. На практике можно реализовать компромисс между высокой степенью гладкости фильтров (требуемой для получения гладких вейвлетов [5]) и хорошей частотной избирательностью, требуемой в различных приложениях. Для получения фильтров, частотные характеристики которых лучше, чем частотные характеристики фильтров с большой степенью гладкости, можно использовать теорему 1. При этом
gi, І
1
если i + j < P -1
если P £ i + j £ N -1
если i + j = N
если P +1 £ i + j £ 2N - P
если 2N — P +1 £ i + j £ 2N
(2)
і - P+1
1 X+j -P+1
0.5
X2 N -P-i- j+1 0
что в обозначениях теоремы 1 соответствует q+j = 1 для 0<i + j<P-l и в+j = 1 -X+j
x+j-P+1 * 0 для P £ i + j £ N-1.
Суть подхода состоит в том, чтобы за счет уменьшения гладкости на границах полосы задерживания улучшить частотные характеристики, а именно СКО от идеального фильтра. H0(z)
остается полуполосовым фильтром и имеет нули порядка P+1 на частотах w1 = w2 = p, а также все производные, равные нулю, вплоть до (P+^-й при w = w2 = 0 .
Метод, основанный на уравнении (1), соответствует выбору X = 0, i = 1,...,N-P. Данные N-P дополнительные степени свободы позволяют улучшить частотную характеристику. На рис. 2 показано расположение полос пропускания и задержки при неразделимой двумерной децимации. Оптимизация частотной характеристики
Функция ошибки (отклонение от идеальной частотной характеристики) E0(x,y) = cT vc может быть выражена через неизвестные коэффициенты с = [1 £T], £ = [X1 •••%N~P]T , где v = [v0(x,y) v1(x,y) ... vN-P(x,y)] - это известные функции, которые зависят от границ полос пропускания/задерживания w1s, w2s и могут быть вычислены. Тогда энергия ошибки будет равна
Wstop-band = {J E02(W,W2)dWdW2 .
Dstop-band
Окончательное выражение ^^ор-Ьапа = Р0 + £тР1 + Р/£ + £тР22£ , где Р22 > 0 является положительно-определенной матрицей. Данная задача имеет аналитическое решение для неизвестных коэффициентов £ = [X...%и-р]Т и не требует численной минимизации.
Рис. 2. Расположение полос пропускания и задерживания
З.ФАКТОРИЗАЦИЯ ПОЛИФАЗНЫХ МАТРИЦ
Разложение полифазных полиномиальных матриц на множители может существенно повысить эффективность многоскоростных систем. Необходимость факторизации полифазных матриц связана с тем, что при этом происходит, как правило, сокращение числа необходимых вычислений (сложений, умножений). При этом также можно получить удобные для реализации коэффициенты импульсных характеристик (в виде целых чисел, степеней двойки и др.).
Квадратная матрица А называется реализуемой, если А может быть записана в виде произведения элементарных матриц над Я .
Элементарной матрицей Еу (а) является матрица вида Iк + а■ Еу, где г Ф у, а е Я и Еу это
кхк матрица с элементом (г, у) , равным 1 и всеми остальными элементами, равными 0.
Из теоремы Суслина об устойчивости [2] следует, что 8Ьк (Я[ х^..., хт ]) = Ек (Я[ х^..., хт ]) для всех к > тах(3, &т(Я) + 2), где 8Ьк(Я[х1,.,хт]) это специальная группа всех унимодуляр-ных полиномиальных матриц (определитель которых равен 1), а Ек(Я[х1,.,хт]) это группа реализуемых полиномиальных матриц (представимых в идее произведения элементарных матриц). В случае, когда кольцо коэффициентов является полем Я = к, это равносильно тому, что любая кхк (к > 3) унимодулярная матрица является реализуемой.
С помощью теоремы Суслина получено разложение полифазных полиномиальных матриц построенных с помощью полиномов
[9-10],
Нр(a,Ь)=
вида Нр =
" 1 В' ' с -В"
, Рр (а, Ь) =
В с _ -В 1
Бернштейна
в произведение элементарных и диагональной матриц
" 1 В' ' 1 0' "1 0 ' "1 В В
В с _ = Н; - Н2 - Н3, где для Ы=М=1 Н; = В 1 , Н 2 = 0 -2- аЬ , Н = 0 1
и
В = 1/4- (1 + Ь)(1 + а), (а,Ь) = гп = (гхг2, г1г21).
Аналогичный подход дает следующий результат в трехмерном случае для Ы=М=1\ поли-
фазная матрица равна Н; =
1
В
В
1
где
"12 0 '
0 -аё
В = -1/16^"(ё + а)(аё + 1)(а + Ь2ё)-4аё(Ь2ё + Ьё + аЬё + Ь + аЬ + а)^|/аЬё, а (а,Ь,ё) = г'¥СО =
= (7‘17‘2 , ^2 23 , ^Л).
Можно заметить, что коэффициенты матриц являются степенями двойки. Операции умножения/деления на степени двойки могут быть эффективно заменены на операции сдвига вправо/влево, что резко повышает быстродействие алгоритмов обработки ММ сигналов.
Сравнение числа операций
Проведено сравнение числа операций, необходимых для реализации операций фильтрации с помощью банков фильтров, полифазные матрицы которых были ранее разложены на множители. Результаты приведены на рис. 3. Необходимо отметить, что реальный выигрыш в числе операций существенно зависит от того, на какой элементной базе будет реализована многоскоростная система - на СБИС, ПЛИС или сигнальных процессорах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложена оптимизация частотной характеристики многомерного низкочастотного фильтра двухканальной многоскоростной системы, синтезированного с помощью полиномов Бернштейна, а также снижена вычислительная сложность таких многоскоростных систем за счет факторизации полифазной матрицы.
Рис. 3. Выигрыш (Gain) в числе операций за счет разложения на множители
ЛИТЕРАТУРА
1.Большакова О.В., Чобану М.К. Синтез трехмерных банков фильтров с заданными свойствами на основе полиномов Бернштейна // Труды Междунар. конф. “Информационные средства и технологии” (ITS-2002), Т.1. М.: СТАНКИН, 2002.
2.Суслин А.А. Структура специальной линейной группы над полиномиальными кольцами // Изв. Акад. Наук СССР, Т.41, № 2, 1977.
3.Чобану М.К. Многомерные многоскоростные системы и многомерные вейвлет функции. Часть II. Синтез. // Вестник МЭИ, №3, 2003.
4.Чобану М.К. Многомерные многоскоростные системы и многомерные вейвлет функции. Часть I. Теория. // Вестник МЭИ, №2, 2003.
5.Чобану М.К., Максименко И.Е. Синтез двухканальных многомерных вейвлетов и их применение для сжатия изображений. // Вестник МЭИ, №2, 2006.
6.Lorentz G. Bernstein Polynomials,Univ. Toronto Press, 1953.
7.Multidimensional two-channel linear phase FIR filter banks and wavelet bases with vanishing moments / T. Cooklev, A. Nishihara, Y. Toshiyuki, M. Sablatash // Multidimens. Syst. and Sign. Proc, 1998, V.9.
8.Tay D. Analytical design of 3-D wavelet filter banks using the multivariate Bernstein polynomial // Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, and Signal Proc, 1998.
9.Tchobanou M., Mironov V. Design of multi-dimensional filter banks // Proc. The Second International Workshop on Multi-dimensional (nD) Systems NDS-2000, Zielona Gora, Poland: 2000.
10.Tchobanou M., Woodburn C. Design of M-D filter banks by factorization of M-D polynomial matrices // Proc. 3rd International Conference on Information, Communications, and Signal Processing - ICICS'2001, Singapore: 2001.
11.Vaidyanathan P.P. Multirate Systems and Filter Banks, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1993.
SYNTHESIS OF OPTIMIZED MULTIDIMENSIONAL FILTER BANKS
Tchobanou M.K.
The task of optimized filter banks synthesis for nonseparable multirate systems is considered. The goal is to improve frequency selectivity of the filters and their computational efficiency.
Сведения об авторе
Чобану Михаил Константинович, 1960 г.р., окончил МЭИ (ТУ) (1983), кандидат технических наук, доцент кафедры электрофизики МЭИ (ТУ), автор 101 научной работы, область научных интересов - методы и алгоритмы цифровой обработки многомерных сигналов, методы синтеза многомерных цифровых фильтров, методы аналитического синтеза многомерных многоскоростных систем, системы преобразования неподвижных изображений и видео с целью их сжатия, удаления шумов, системы многомерной интерполяции.
