Синтез оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева в условиях интервальной неопределенности характеристик объекта Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА*

И. С. Левин, Э.Я. Рапопорт

Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

E-mail: levin_ilja@yahoo.com; rapoport@samgtu.ru

Рассмотрена задача синтеза системы оптимального по быстродействию управления не полностью определенными моделями объектов с распределенными параметрами. Произведен синтез оптимального по быстродействию регулятора для процесса индукционного нагрева и предложена структура идентификатора параметрических характеристик объекта управления.

Ключевые слова: система с распределенными параметрами, индукционный нагрев, управление в условиях интервальной неопределенности, синтез оптимального регулятора.

Постановка задачи. Типичной является ситуация, когда характеристики процесса индукционного нагрева, рассматриваемого в качестве объекта управления, определены не полностью. Это обусловлено неточным знанием его параметров и действием неконтролируемых внешних возмущений. Обычно речь идет об интервальной неопределенности неизвестных величин, информация о которых исчерпывается заданными границами диапазона изменения их возможных значений. В связи с этим возникает актуальная задача синтеза управляющих алгоритмов для подобных объектов управления.

В данной статье рассматривается задача синтеза оптимальной по быстродействию системы автоматического управления (САУ) процессом индукционного нагрева металлических полуфабрикатов под обработку давлением с неполным измерением состояния в условиях интервальной неопределенности.

Процесс индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы с сосредоточенным управляющим воздействием по мощности внутреннего тепловыделения u(t) можно в линейном приближении описать бесконечной системой дифференциальных уравнений для временных мод 0n (цп , t) разложения температурного поля 0 (x, t) в ряд по собственным функциям J0 радиальной коорди-

Илья Сергеевич Левин, магистрант.

Эдгар Яковлевич Рапопорт (д.т.н., проф.), профессор кафедры «Автоматика и управление в технических системах».

наты x є [0,R] [1]:

(1)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-08-00277).

На управляющее воздействие u(t) накладывается следующее ограничение:

0 ^ u(t) ^ Umax V t G[0, t1 J (2)

Здесь R - радиус цилиндра; c, у - удельная теплоемкость и плотность материала; 9((0) (цn) - моды разложения заданных равномерных начальных распределений температур 9(х,0) = 90 = const в бесконечные ряды по системе собственных функций; ацП

цn =—2— собственные числа; ^n, n = 1,2,... - бесконечно возрастающая последова-R

тельность корней уравнения BiJ0(^) - ^Ji(^) = 0; Bi - безразмерный критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь с поверхности цилиндра в процессе нагрева; Jt (^), i = 0,1 - функции Бесселя нулевого и первого порядка; d1n - известные коэффициенты; 9 (х, t) - температурное поле нагреваемого металлического изделия, изменяющееся во времени t и по радиальной координате х, которое описывается следующим выражением:

1 от 2^Ь1п (Лп, Лп^О1 Лп р I 2

0 (х, I) = 0О +—У-----2-----^ Г-х)м(т^т; (3)

^ ' 0 сЯ £ (л2 + Б12) /2(Лп) Г

0С(О - температура окружающей среды; ¥Ь1п (лп, V) - моды функции пространственного распределения по радиусу цилиндра внутренних источников тепла, определяемые по формуле

1

Яы (Лп, v) = Гр'ь1(1,^/оСЛпО^1, п = 1,2,..., (4)

0

г (, ) Ьег'2 (у1 ) + Ье.'2 (у1 ) х /2---Т Г

где ^ы(/,V) = V----------------------------------------------, , , . , ; / = —; V = Яу2п1ЛаТ\ /- частота питаю-

Ьег V beгv + bei V beiv Я

щего индуктор тока; а - электропроводность нагреваемого материала; ца - абсолютная магнитная проницаемость нагреваемого материала; Ьег z,bei z,beг'z,bei'z -функции Кельвина и их первые производные; Я - коэффициент теплопроводности.

Пусть далее начальная температура 0о и величина Б( критерия Био определены с точностью до принадлежности заданным интервалам их возможных значений: 0О е|0о . , 0О ]; Бг е[Бгт1п, Бгтах ]. Тогда вектор неопределенных факторов определяется как у = (0о, Бi)eY, где Y - множество всех допустимых по указанным ограничениям комбинаций величин 0о и Бг.

Сформулируем задачу синтеза оптимальной по быстродействию САУ. Для ее постановки необходимо привести выражение для критерия быстродействия и задать требования к конечному состоянию объекта.

Критерий оптимального быстродействия записывается в интегральной форме:

Ч

I = Г dt = г1 ^ тт, (5)

о

где t1 - длительность процесса нагрева.

В случае, когда в САУ может быть получена в реальном масштабе времени достоверная информация о реализуемой в каждом конкретном случае величине

y = yy є Y путем наблюдения за поведением управляемой величины, требования к конечному температурному состоянию 0(x,y, tl) записываются в виде неравенства [1]

max в( x,y, tl) -в” I < ) (6)

xe[0,R]l I

с учетом заданного в равномерной метрике допуска y0(y) < So на отклонение конечного температурного состояния 0( x,y, tl) от заданного равномерного распределения

температур 0** (x) по радиусу цилиндра 0** (x) = 0** = const.

Применительно к модальному представлению объекта требования (6) после замены температурного поля 0(x,y,tl) его разложением в ряд по собственным функ-

x

< S0(y). (7)

циям J0 \л2 — | принимают следующий вид:

max

xє[0, R]

y0n (^n ^ , tl) J0 ^Лп-R- I-0*

n=l ^

Теперь задача оптимального быстродействия может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти такое программное оптимальное управление ы*^) в условиях заданных ограничений (4), которое переводит объект, описываемый бесконечной системой уравнений (1), из заданного начального в требуемое конечное состояние

(7) за минимально возможное время ^ = ^т.п для каждой из допустимых величин

У = ~ Бг*)е Y.

Если пренебречь инерционностью и погрешностями процедур наблюдения и идентификации, величина ~ определяется по некоторой заранее фиксируемой детерминированной зависимости Г(0и (х, t)) от результатов всегда неполного наблюдения 0и (х, t) за текущим состоянием 0(х, t) объекта:

~ = Г (0и(х1:)), (8)

где 0и (х, t) и Г(0и (х, t)) выбираются из условия минимальной сложности технической реализации САУ.

В итоге возникает задача проектирования идентификатора (8) и синтеза регулятора ы = ы(0и (х, ^), обеспечивающих решение детерминированной краевой задачи (1) - (3), (7), (8) за минимально возможное время ^т.ппри некоторых зафиксированных значениях 0о и Бг.

Алгоритмы оптимального по быстродействию управления в условиях интервальной неопределенности параметров объекта. Пусть теперь требуется определить алгоритм оптимального по быстродействию управления с обратными связями, обеспечивающий решение задачи оптимизации (1) - (3), (7), (8) для каждого из допустимых значений у = ~ е У. Для этого сначала рассмотрим детерминированную задачу синтеза оптимальной по быстродействию САУ (1) - (3), (7), (8) для любого заранее фиксируемого значения у = ~ е У.

Синтез оптимального регулятора по общему методу фазового пространства приводит к технически нереализуемому алгоритму релейного управления [2]

„•(5) = ^[ ±.1еп*(в)1е=(е„), „ = (9)

с обратными связями по всем координатам вектора 0 и гиперповерхностью переключения Н(0) = 0 , определение которой в бесконечном пространстве 0И представляет собой практически невыполнимую задачу.

Переход к вполне реализуемой структуре замкнутой системы с неполным измерением функции 0(ху, t) = 0у (:), у = 1, N состояния объекта в некоторых N точках уу є [0,^] пространственной области ее распределения выполняется путем выбора

другой функции переключения Н^0,у) в форме линейной комбинации N сигналов

т ~

обратной связи по измеряемым величинам 0у ^), 0у (^) = 0у (у) с коэффициентами передачи р у (~) [2]:

Ні (0, у) = 2 Ру (X)(0Т (X) - 0у а)). (10)

у=1

При выборе в качестве ру (у) нетривиальных решений однородной системы N -1 линейных уравнений с N неизвестными

2 Ру (X)(0т (X) - 0у (X)) = 0, т = ЇЖ-Т, (11)

у=1

где tm, m = 1, N -1 - расчетные моменты времени переключения оптимальной программы u*(t) релейной формы с N интервалами постоянства длительностью Л0, i = 1, N, определяемые вместе с 0 j (tm) и QTj (у) для заданной величины

s0(y) при расчете u*(t) альтернансным методом [2], функция hi(0,~)в (10) меняет знак при переходе через нуль вместе с h(0) в расчетные моменты времени tm, и только в эти моменты, в силу чебышевских свойств функции h1(0,y) [2].

Полагаем, что для yo(y) в (7) N = const Vу э Y и определяется в соответствии с правилом [2]

s^1} > s(2) >... > е(-/-) > е((+1) >... > s(s) = sf > 0, j = 1,s;

min min min min min ini ’ J ’ ’ (12)

N = uVso: s((in ^ y0(y) < s(,i-1), {1, s};

где s(Ij)n - минимально допустимая величина yo(y) в (7) в классе релейных управлений u (t) с j интервалами постоянства.

Таким образом, алгоритм управления в детерминированной задаче быстродействия имеет следующий вид:

U *(0) = ^ .[1 ± sign h#,y)J (13)

Как уже было отмечено выше, для построения замкнутой системы оптимального по быстродействию управления с регулятором (10), (11), (13) в условиях интервальной неопределенности y е Y необходимо дополнить ее структуру идентификатором

(8) реализуемых величин у по результатам наблюдения текущего состояния

0и (х, t) = 0(Х/, t) = 0/ (t) в некоторых г точках х/ е [0, Я\ / = 1, г, частично или полностью совпадающего с измеряемыми величинами 0 у (х, t) в (25) - (27):

0 (0 = 0 / (0, у = 1, Р ^ = тш{У, г}. (14)

Интегрирование уравнений (1) в некоторый заданный момент времени

tф е (о, А°) позволяет найти в форме (3) зависимости gj (у, tф) величин

0(tФXу =1г, от у .

Тогда при г неопределенных факторах (у(т) ) т = 1, г;у = (у(т)) система равенств

О/(tФ) = gj (~ (1),у(2),...,у (г\ У' = 1 г,уе У (15)

определяет реализуемые значения у в окрестности некоторой номинальной точки у = ун как неявно заданные, однозначные, непрерывные и непрерывно дифференцируемые по всем аргументам функции

у(т) =^т(01^ф), 0^),...,0^ф)), т = й (16)

от наблюдаемых переменных 0/ (%) при условии, что якобиан системы (15)

Р{ gl,•••, gr) В(у (1),...,~(г ))

(17)

не равен нулю в точке у = ун [3]. Здесь

(У(1) .....У^ А(Ь ),-А (Ь)) = gj (У(1) ,~~г))-в} &). (18)

Воспользовавшись известными правилами дифференцирования неявно задан-

ных функций [4], можно заранее вычислить производные

у = Ун , / =0/ (Ун, tФ), у =1, г :

дУ

(т)

k > 1

дв;

в точке

"д~(т) ^ 1 1 1 -в( gl,•••,

д0 ,■ V ; У=Ун J &(у(1),- .,~(т-1), 0;,у (т+1),...,~(г))

(19)

У=Ун

Аналогичным образом могут быть вычислены и производные высшего порядка. Функция Г в уравнении идентификатора (8) определяется по значениям

, к = 1, я с требуемой точностью, фиксируемой числом 5 > 1, путем ее

/У=

У=Ун

разложения в ряд Тейлора по степеням 0/ [3]. Для случая я = 1, которым ограничиваются в типичных ситуациях, равенства (16) можно представить в линейном приближении в виде суммы сигналов линейных обратных связей по наблюдаемым переменным 0/ (%) с вычисленными по (19) коэффициентами передачи ат/:

У = 1

; У = (ун , т = 1Г-

Аналогично по известным зависимостям рг (~), г = 1, N, которые определяются предварительным решением системы уравнений (11) для различных ~ е У, находятся их линейные приближения:

С учетом (20), (21) получаем линейные приближения алгоритма автоматической коррекции коэффициентов обратных связей и определяемых подобным образом за-

Таким образом, структурно-параметрический синтез замкнутой системы оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева при неполном измерении состояния в условиях интервальной неопределенности параметров объекта у еУ определяется алгоритмом управления (10), (11), (13) с автоматически определяемыми идентификатором (20) - (23) коэффициентами обратных связей и конечными значениями контролируемых температур при априори фикси-

* т —

руемых коэффициентах у,, у,. При этом величины рг (ун), 0г (ун), в,н предварительно определяются при расчете программного управления альтернансным методом для случая у = ун.

Оптимальное управление процессом индукционного нагрева. В качестве типичного примера рассмотрим задачу синтеза оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы, математическая модель которого представлена уравнениями (1) -

У=1

(21)

т ~

данных конечных значений 0, измеряемых величин в, (?):

Г

Р г (~) = Рг(Ун ) + 2 УУ (0У(1 ф ) - 0ун )

У = 1

(22)

N

т = 1

в! (~)=в! (Ун)+±Г„ в, (>ф)-в1н)

* _ ^ о* . о* _ ииг

Уу ^^^т/рт1; Р тг с~(т)

т=1 КОУ ) ~=ун

У=1

N ( ОвТ ^

г—\ -~* -~* Ов,-

(23)

Пусть в соответствии с требованиями (7) к конечному температурному состоянию требуется обеспечить равномерный нагрев тела до заданной температуры В = const с предельно достижимой в классе оптимальных по быстродействию двухин-тервальных управляющих воздействий u(t) релейной формы (рис. 1) абсолютной

точностью s0 =smi за минимально возможное время tl = tlmin при равномерно распределенной начальной температуре 0O(x) = 0O = const <0** в условиях интервальной неопределенности по величинам 0o и Bi.

Рис. 1. Оптимальное по быстродействию двухинтервальное управление по мощности

внутренних источников тепла

В условиях полной информации о значениях параметров объекта функция переключения (10) в данном случае формируется при г = N = 2 интервалах постоянства оптимального управления с сигналами обратной связи по температуре в точках д и ~2 по радиусу цилиндра, в качестве которых удобно принять точки д = Я и ~2 = 0,

где результирующие значения температур 9^ и 9^ в конце оптимального процесса

независимо от начальной температуры будут равны минимально допустимым вели/04 л

чинам 9 -ет/п, что вытекает из альтернансных соотношений для 9(х, А ) [1, 2]. В таком случае 9у(?) = 9 у(?),у = г = N = 2 в (14) и 9х(г) = 9(Я,г); 92(г) = 9(0,г) . Положим для определенности р! = 1, тогда функция переключения примет следующий вид:

ЭДА) = в" -5,2,) -в(Я,г) + р2(в" --0(0,г}) (24)

В соответствии с (13) алгоритм оптимального управления с обратной связью определяется выражением

u=

2

1+sign {о**- smn- 0( r, t)+P2{0**- sm2)n- 0(o, t)), (25)

где коэффициент Р2 обратной связи определяется известным способом по результатам расчета программного управления альтернансным методом.

Как было отмечено ранее, для построения замкнутой системы оптимального по быстродействию управления с алгоритмом управления (25) в условиях интервальной неопределенности требуется дополнить ее структуру идентификатором реализуемых

величин у , где в данном случае у = (у(1),у(2)у(1) = 90; у(2) = Ві.

Тогда выражение (16) для реализуемых значений у примет вид

Vм = Р(в,(гф},в;(гф)) т = 1,2,

u

*

где 91 (гф) и 92(гф) определяются по известным решениям уравнения объекта при

М(г) = Мтах, г = гф [1,2]:

91(гф) = 9(Я, А0) = 90 + Мтах Я

2 да -2-

Я п=1 (-лП + Бг2 ) Jo(Чn)

1 - е

2

п?ф

92 (?ф) = 9(0, А0) = 90 + Мтах Я

2 да -2

Я п=1 (л2 + Бг2 ) J02(Лп )

Якобиан (17) системы (15) принимает теперь следующий вид:

1 - е

2

"М-пгФ

(27)

(28)

J =

д^1 д^1 д91 д91 1 дБг

д~(1) д~(2) д00 дБг = д92 д91

д£ 2 д^2 д92 д92 1 д92 дБг дБг,

д~(1) д~(2) д00 дБг дБг

где —1 и находятся путем дифференцирования выражений (27), (28) и имеют

дБг дБг

следующий вид:

д91 = 2итахЯ

дБ1

2 да

G •5 - РЬ1п (Лп (Бг), ^

д92 = 2итахЯ

Я

2да

-I-

п=1

-цпгф , п

ф ЛБг

GJ0 (Лп(Б0> - РЬ1п (Лп(^ •

Я

-I-

п =1

-Цп „2

гф

ЛБг

г2 • 02(Лп(Бг))

дБг Здесь

G = дРь1п (Лп (Бг) у) 2; 2 = (л2 (б-) + б-2)Jo (Лп (Бг)); 5 = Г 1 - е-Ц»гф

(30)

.(31)

дБг

^ ^лп (Бг) ^Лп; дРь1п (Лп (Бг) у) = [р (/, у)(-/2)J1(лn (Бг)/)^Лп Л/; ЛБг Я2 лт дт J ьи ’ А ' и 1пУ "лБ

ЛБг

Бг

1п

дБг

п

ЛБг

т{ = 2J0(Лп(Бг))^Бг + Лп(Бг)дЛ^^-Jl (Лп(Бг))дЛ^(л^Б-) + Бг2)

т2 = 2*/0(Лп(Бг))| Лп(Бг)

>л дЛп(Бг)

дБг

Бг I- 2

2^ (Лп (Бг))дЛ^) дБг

Определим теперь коэффициенты передачи а .у в (20). Согласно (19), (29) - (31) получаем следующие выражения:

(1)

д~

д91

J

д&1 дй

д91 д~(2)

д^2 дё~2

д91 д~(2)

д9

дБг

72

1 д£2 ч дБ- . ^М1

J ду(2)

= 1 - дБг = 1 _ м1. д91 ^ N1 ’

1 п=1 1

д9

дБг

(32)

здесь

2

г

0

М1 = 4^0 (Лп (Бг)) - РЬ1п (Лп № ^ •

т2

- рь1п (лп(Бг'), ^*/0 (лп(Бг))2е Цпгф гФ;

ЛБг

N1 = ф - Рып (Лп (Бг), V) • т{>02(Лп (Бг)) - РМп (Лп (Бг), V) ^ 2е-Ц »гф ?ф J02(Лп (Бг));

ЛБг

д~(1) а12 = ^^ =--------------

д92

J

д&1 д^1

д92 д~(2)

д^2 д£ 2

д92 д~(2)

1 д^

J ду(2)

= 1 -

д91

дБг

дБг

= 1 -1 М 2 , N

п =1 2

(33)

здесь

М 2 = «[и - Рып (Лп (Бг), V) • .^(Лп (Бг)) - р,1п (Лп (Бг), V) Jo2(Лn (Бг)) ^ ге-Ц »гф ?ф;

аБг

-^2 = Ф-70 (Лп (Бг)) - РЬ1п (Лп (Бг'), ^ • т2 )- РЬ1п (Лп (^ v)e Ц"гФ гФ*/0 (Лп (Бг))2 ЛЦ

ЛБг

с~(2) а 21 = ^^ =-----------

д91

J

д?1 дт*

д~(1) 501

д£ 2 д,?2

д~(1) д91

1

Я

± _д^=-________________________

J д~(1) д92 -д91 2«тах Я 2

дБг дБг

(34)

1

I N3 + N4

п=1 22 • J02(Лп (Бг))

здесь

N3 = «И1 - •/0(Лп (Бг)))/0(Лп (Бг)) - РЬ1п (Лп (^ ^(т2 - т1 •J0(Лп (Бг)))] N4 = Рып (Лп (Бг), v)e-ц2»гф гф Z[J0 (Лп (Бг) -1]/0 (Лп (Бг))

1

ЛБг

ду(2) ду(2)

«22 = _ — = _ — = ‘

дв2 дв1 2итахЯ

Я

N3+N4

(35)

1 • 302(Ч„(Бг;»

Все производные в (30) - (35) рассчитываются в номинальной точке Ун = (90, Бг*) по зависимостям (27), (28).

Найти аналитические выражения для коэффициентов Ртг- и Р*. в (22), (23) не представляется возможным ввиду их сложной и неявной зависимости от параметров 90, Бг. Значения этих коэффициентов приближенно вычисляются для конкретных

исходных данных процесса индукционного нагрева как приращение значения функции к приращению ее аргумента:

^ \

АРг

Ртг

.ду

(т)

;У=Ун

ау

(т)

; т = 1,2;

(36)

2

п

в*. =

г mi

[ двт ^ чду(m) у

ЛвТ

У=Ун

Лу

(m)

; m = 1,2

(37)

при достаточно малых значениях Ау(т).

Линейные приближения алгоритма идентификации (20) по результатам неполного наблюдения примут вид

ум=~Г+Z“« {в- ('ф )-в» )

j=і

; m = 1,2. (38)

У=Ун

Линейные приближения алгоритма автоматической коррекции коэффициентов

т ~

обратных связей и заданных распределений температурного поля 9 j (у) в структуре

функции переключения по результатам неполного наблюдения с учетом (22), (23) определяются по выражениям:

Pi (У) = Pi(Ун) +1 уij {0j ('ф) - 0;н }1 = 1,2 j=1

2

yij = I I аm7pmг; pmi = дУ^)

m=1

0f Су ) = 0f (Ун) + I y* {0j ('ф ) -0-н ) i = 1,2; j=i

(39)

У=Ун

* ^ ч * *

yij = / ,аmjpmi; pmi =

(40)

m=1

дУ

(m)

У=Ун

Здесь 0jH, j = 1,2 находится по (27), (28) в окрестности номинальной точки

(«* ~ * \

^ Bi j •

**

Для исходных номинальных данных v = 5; Bi = 0,04; 0 = 460 °C; R = 0.08 м;

0 -0**

—0—2— = -2,0; Я = 130 Вт/(м • °С); Pmax = 1,625 • 106 Вт/м получены следующие

Pmax R / Я

значения коэффициентов в (38) - (40):

ап =-0.019; а12 = 0.019; а21 = 27.105; а22 =-27.105;

Р11 = Р21 = 0; Р12 =-°-11; Р22 = 5^5;

у11 = У12 = 0;у21 = 149-082; у22 =-149-082;

у*1 = -57.445; у*2 = 57.445; у^1 = -59.814; у*22 = 59.8 1 4.

Алгоритм оптимального по быстродействию управления в рассматриваемых условиях интервальной неопределенности величин 00 и Bi принимает теперь следующий вид вместо (25):

U* = ^ [1 + sign (0T (~) -0(R, t) + Р2 (~) (02 (~) - 0(0, t))]. (41)

Соответствующая структура замкнутой системы с обратными связями приведена на рис. 2.

І7г(Є1,Є2,}0

и шах

0

“Г"

t їф 0

Тё

I У 22

^ігРі2 ^22^22

1 *

otjiPu + ос21Р21

Г *

\ У12 аігРі 1 + a22p21

Lv*

0C1iPi2 + OC21P22

[ *

Y22 a]2Pi2 + a22(322

T “

t 0

(02(^ф)-Є2й)

1Н

Hg)

Кн

Рис. 2. Структура оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева заготовки под обработку давлением с неполным измерением состояния в условиях интервальной неопределенности

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. - CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2007.

2. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2009. - 677 с.

3. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление динамическими системами с распределенными параметрами в условиях интервальной неопределенности характеристик объекта // Проблемы управления и моделирования в сложных системах. Тр. XIV Международной конференции. - Самара: СНЦ РАН, 2012. - С. 75-86.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. - М.: Физматлит, 1962. - 608 с.

Статья поступила в редакцию 3 октября 2012 г.

SYNTHESIS OF TIME-OPTIMAL CONTROL SYSTEM OF THE INDUCTION HEATING PROCESSES WITH INTERVAL OF UNCERTAINTY CHARACTERISTICS OF THE OBJECT

I.S. Levin, E. Ya. Rapoport

Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

The problem of optimal time control systems synthesis with interval of incompletely characteristics of the object models with distributed parameters is considered. Synthesis of optimal controller of induction heating process was performed and structure identifier parameters of characteristic control object was proposed.

Keywords: distributed parameter system, induction heating, control with interval uncertainty of characteristics of the object, the synthesis of optimal control.

Ilya S. Levin, Graduate student.

Edgar Ya. Rapoport (Dr. Sci. (Techn.)), Professor.