CC BY
5
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 66
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 53.083
doi: 10.17223/19988605/66/12
Синтез обнаруживающих тестов для нечетких автоматов с конечной памятью
Дмитрий Васильевич Сперанский
Российский университет транспорта (МИИТ), Москва, Россия, speranskiy.dv@gmail.com
Аннотация. Предложен и проиллюстрирован метод синтеза тестов, обнаруживающих неисправности в нечетких автоматах с конечной памятью (АКП). В качестве АКП рассмотрены ц-определенные и синхронизируемые автоматы. Поскольку любой линейный автомат (ЛА) имеет конечную память, то рассматриваемая задача может быть сведена к аналогичной задаче для ЛА. Для четких ЛА ранее автором представляемой статьи был разработан метод ее решения. Здесь этот метод обобщен и распространен на нечеткие ц-опреде-ленные и синхронизируемые автоматы. Метод ориентирован на обнаружение неисправностей, изменяющих значения четких элементов его характеристических матриц в линеаризованном представлении АКП. Предполагается, что неисправности не выводят заданный АКП и все четкие автоматы, полученные из заданного после выполнения замещений нечетких элементов всеми возможными четкими комбинациями и внесения в четкие автоматы неисправностей, из класса ц-определенных (синхронизируемых).
Ключевые слова: нечеткие автоматы с конечной памятью; метод синтеза тестов, обнаруживающих неисправности; сведение задачи к аналогу с четкими ЛА.
Для цитирования: Сперанский Д.В. Синтез обнаруживающих тестов для нечетких автоматов с конечной памятью // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 66. С. 120-127. doi: 10.17223/19988605/66/12
Original article
doi: 10.17223/19988605/66/12
Synthesis of detection tests for fuzzy automata with finite memory
Dmitriy V. Speranskiy
Russian University of Transport (MIIT), Moscow, Russian Federation, speranskiy.dv@gmail.com
Abstract. The problem of test synthesis for fuzzy automata with finite memory is considered. The paper is based on the results obtained by the author earlier. They study linear automata (LA), a subclass of which are automata with finite memory (AFM). Both types of automata are used as models in diagnostics of discrete devices and in other applications.
The advantages of LA are simplicity of realization and availability of developed mathematical apparatus for their study. AFMs allow describing the dependencies between inputs and outputs in the past and present moments of time without using states of the automata. This property is used in the development of finite-automation cryptosystems, in the generation of exhaustive tests for discrete devices, in the formulation of fuzzy rules of logical inference and others.
The paper proposes a method for synthesis of detecting tests for fuzzy AFMs, based on reducing it to the case of its analog for crisp AFMs. Fuzzy AFM (as a subclass of LA) can be described using transition and output functions represented as equations with characteristic matrices. Fuzzy AFM is realized using matrices containing some fuzzy elements. These elements obtain values randomly from alternative sets given for them. The other (crisp) elements of the matrices are fixed values from the field GF(p), over which the AFM is defined. After all possible substitutions in the matrices of fuzzy AFM of all fuzzy elements (from alternative sets) we obtain a set of crisp automata describing the "behavior" of the considered fuzzy automaton under all possible "scenarios" of substitutions.
Each faulty AFM is obtained by changing the values of the elements of its characteristic matrices. As a set of admissible faults, all possible changes in these matrices obtained by substitutions and insertion of fault introduction are considered.
© Д.В. Сперанский, 2024
Now we can use the method of test synthesis proposed earlier by the author of the submitted paper, organizing the procedure of sequential analysis and comparison of "behavior" of crisp pairs (faultless AFM, faulty AFM). The AFMs obtained after substitutions should be used sequentially as faultless AFMs and as faulty AFMs after faults have been introduced. Conclusions about the faultless AFM or the presence of a fault in it are made on the basis of analyzing the totality of the results obtained. A generalization of the synthesis method proposed earlier by the author of the submitted paper the is described for ц-defined (and synchronizable) AFMs. The method is based on obtaining tests as solutions of systems of linear equations, for which there is a well-developed mathematical apparatus in algebra.
Keywords: fuzzy automata with finite memory; method of synthesis of fault-detecting tests; reduction of the problem to an analog with crisp LAs.
For citation: Speranskiy, D.V. (2024) Synthesis of detection tests for fuzzy automata with finite memory. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 66. pp. 120-127. doi: 10.17223/19988605/66/12
Введение
Общепризнано, что часть полученных ранее знаний и их связей с реальным миром не всегда соответствует сложившимся представлениям о них. В ряде ситуаций, например при описании объекта исследования, процесса его функционирования, при формулировке алгоритмов и методов решения ряда проблем оказывается, что отразить некоторые аспекты в них без обращения к использованию некоторых неопределенностей (нечеткостей) принципиально невозможно. В этом случае нужны новые средства и подходы. В статье Л. Заде [1] было введено понятие нечеткого множества, послужившего истоком создания теории нечетких множеств (ТНМ). Л. Заде считает (см. предисловие к книге [2]), что логика человеческих рассуждений основывается не только на классической двузначной или даже многозначной логике, но востребована также логика с нечеткими значениями истинности.
Ныне ТНМ получила всеобщее признание, и исследования в различных направлениях, связанных с разработками, учитывающими феномен нечеткости, ведутся очень активно. Назовем среди них исследования по нечеткой логике, нечеткому логического выводу, нечетким нейронным сетям, математическим аспектам ТНМ, теории нечетких автоматов и т.д.
Предлагаемая статья связана с автоматной тематикой, и поэтому далее упоминаются только публикации, непосредственно посвященные вопросам, рассматриваемым нами ниже. В [3] описана эволюция понятия нечеткого конечного автомата и приведена библиография работ по различным разновидностям автоматов и их приложениям. В [4] представлена некоторая модель такого автомата и приведены результаты исследований по теории экспериментов с ними, используемые при диагностике цифровых систем. В [5] исследована проблема тестирования четких линейных автоматов (ЛА).
Материал предлагаемой статьи базируется на результатах, полученных в [4-6]. В них объектом исследования являются ЛА [7, 8]. Важным частным их подклассом являются интересующие нас автоматы с конечной памятью (АКП). Оба типа упомянутых автоматов широко используются при диагностике дискретных устройств в качестве их моделей, а также и в других приложениях. Достоинствами ЛА являются простота реализации и развитость соответствующего математического аппарата для их исследования.
Класс АКП позволяет описывать зависимости только между их входными воздействиями и выходными реакциями в прошедшие и настоящие моменты времени без использования состояний. Это свойство использовано, например, при создании конечно-автоматных криптосистем с открытым ключом [9], при генерации исчерпывающих тестов для дискретных устройств, описываемых моделью АКП [10-12] и т.п. В последнее десятилетие эта модель нашла применение при формулировке нечетких правил логического вывода, что дает возможность использования алгоритмов нечеткого управления Мамдани [13], Такаги-Сугено [14] и других авторов [15].
В статье предложен и проиллюстрирован метод синтеза обнаруживающих тестов для нечетких АКП, базирующийся на сведении его к случаю аналога для четких ЛА. Эта редукция позволяет использовать хорошо разработанный математический аппарат алгебры, а также строить короткие по длине тесты (не более чем размерность АКП).
1. Модель нечеткого АКП
Вначале напомним понятие классического четкого АКП A, используя факт его принадлежности классу четких ЛА [7, 8]. АКП А имеет l входов и m выходов, сигналы на которых есть значения из поля GF(p), где p - простое число. Состояниями АКП являются упорядоченные совокупности содержимого всех элементов его задержек. Число задержек АКП обозначим через n, которое называют размерностью АКП. Функции переходов и выходов АКП A (как ЛА) над полем GF(p) задаются уравнениями
s (t +1) = As (t) + Bu (t), (1)
у (t) = Cs (t) + DU (t). (2)
Здесь A = [üy ]nxn, B = [biy ]nxl, C = [cy ]mxn, D = [diy ]mxl - характеристические матрицы с элементами из поля GF(p). Входной вектор U(t) = [щ(t),...,щ(t)]', выходной вектор у(t) = [у(t),...,уш(t)]', вектор состояний S(t) = [sj (t),..., sn (t)]' представляют собой упорядоченные элементы того же поля. Состояние ЛА и его выход при подаче на него последовательности длины t +1 из начального состояния S(0) вычисляются по формулам из [7, 8]:
s (t +1) = At+1I(0) + A'Bü(t) +... + ABU(t -1) + BU(t), (3)
у (t) = CA'! (0) + CAt-1BU (0) +... + CBU (t -1) + DU (t). (4)
Определим теперь нечеткий АКП. Нечеткость функционирования такого АКП реализуется с использованием матриц (или их комбинаций) в уравнениях (1)-(4). Так, если функционирование нечеткого АКП моделируется с использованием только матрицы B, то ее элементы запишем в форме by = b1 v b2 v... v bf, где bt (i = 1,..., f) - элементы из поля GF(p), над которым задан нечеткий АКП.
Такая запись означает, что при функционировании АКП элемент by может оказаться замещенным,
например, с равной вероятностью 1/f любым из элементов b1, b2,..., bf. Очевидно, что при этом форма
записи равенств (1)-(4) для нечеткого АКП не изменится.
Описанный механизм возникновения нечеткости функционирования автомата согласуется с ситуацией в реальных устройствах. Так, известно, что комбинация сигналов R = 1, S = 1 в RS-триггерах является для них запрещенной из-за неопределенности состояния триггера, в котором он может оказаться после ее подачи. Если такая комбинация на входы триггера не поступает, то устройство функционирует как четкое. После подачи запрещенной комбинации это же устройство превращается в нечеткое.
Операции умножения и сложения матриц в формулах (1)-(4) - это общепринятые матричные операции. Для вычисления элементов матриц используются операции, заданные в поле GF(p). На основе таких матриц за счет выбора различных альтернатив для замещения нечетких элементов можно получить множество всех вариантов четких матриц, используемых для описания функционирования исходного АКП по всем возможным сценариям.
2. Множество допустимых неисправностей и постановка задачи
Замещение всех нечетких элементов матриц четкими превращает нечеткий АКП A в четкий.
Далее предполагается, что в матрицах для каждого нечеткого элемента АКП A задано множество альтернатив замещения. Понятно, что «поведение» (функционирование) нечеткого АКП может пойти по любому из сценариев, возникающих при различных комбинациях замещений нечетких, т.е. имеющих альтернативы, элементов. Естественно, что функционирование нечеткого АКП может совпасть с «поведением» любого из четких АКП из множества, возникающего при реализации всевозможных сценариев (комбинаций) замещений.
Исходя из этого, определим множество допустимых неисправностей нечетких АКП. Предполагается, что для всех нечетких элементов характеристических матриц АКП А соответствующие им множества альтернатив не изменяются в процессе тестирования автомата. После выполнения всех возможных замещений во всех нечетких элементах матриц АКП А ему будет соответствовать множество четких АКП, которое обозначим как G(А) = {А1,А2,...,А9}. Изменение значений одного или
нескольких элементов в характеристических матрицах автомата А порождает некоторый автомат А^, «поведение» которого в общем случае отлично от «поведения» автомата А. Автомат А < будем интерпретировать как неисправный нечеткий АКП А. Таким образом, множество допустимых неисправностей нечеткого АКП составляют неисправности, изменяющие значения четких элементов матриц заданного нечеткого АКП А .
Теперь сформулируем рассматриваемую нами задачу. Пусть заданы нечеткий АКП А и некоторая его неисправная модификация из множества допустимых. Требуется построить такую входную последовательность (тест), которая эту неисправность обнаруживает.
Обозначим через О*(А) = {А*,А>•••>А*} множество четких АКП, полученное из G(A) внесением в каждый четкий автомат А е О(А) заданной неисправности. При совпадении реакции на тест проверяемого АКП с реакцией на него одного из четких АКП из множества О* (А) естественно считать, что проверяемый АКП содержит искомую неисправность. Если же реакция на тест проверяемого нечеткого АКП не совпадает с реакцией ни одного из четких АКП из множества О* (А), то проверяемый АКП искомой неисправности не содержит.
3. Синтез обнаруживающих тестов
Напомним некоторые понятия и результаты теории ЛА [8], используемые далее для четких АКП в силу их принадлежности классу ЛА.
АКП A имеет конечную память глубины ц, если выход у (г) однозначно определяется входом в этот же момент и предыдущими ц входами и ц выходами, т.е. для всех t справедливо соотношение
у (г) = /(й(г), й(г -1),..., й(г - ц), у (г -1),..., у (г - ц)).
Известно [8], что каждый АКП имеет конечную память глубины ц, причем ц < п , где п - размерность АКП.
АКП A называется ц-определенным, если его выход у (г) зависит лишь от предыдущих ц входов, т.е. справедливо соотношение
у (г) = f (й (г), й (г -1),..., й (г - ц)).
Необходимым и достаточным условием того, что АКП А является ц-определенным (синхронизируемым) [8], является выполнение равенства САц = [0], где [0] - нулевая матрица (Аш = [0], где ©> ц ).
Метод синтеза обнаруживающих тестов описан для ц-определенных нечетких АКП (ЛА) и является обобщением метода для четких ЛА, предложенного в [5]. Он справедлив и для нечетких синхронизируемых АКП, поскольку известно, что они являются одновременно и ц-определенными.
Напомним, что АКП называется синхронизируемым, если для него существует входная последовательность, переводящая его в одно и то же конечное состояние независимо от его начального состояния.
Предлагаемый метод предполагает, что неисправный нечеткий АКП и все АКП множества
О* (А) = {А*, А,.., А*} являются ц-определенными (синхронизируемыми). Это требование не очень
ограничительное. Оно, очевидно, всегда выполняется, если неисправности в АКП возникают только за счет изменений четких элементов в матрицах B, C, D в формулах (3) и (4). Однако изменения их в матрице A в (3) АКП не всегда сохраняют его ц-определенность (синхронизируемость).
Перейдем теперь к описанию метода синтеза. По условию заданный нечеткий АКП А и неисправный АКП А * являются ц-определенными, но значения ц для них не обязательно равны. Положим ц = тах(ц, ц2) , где ц1, ц2 - глубины памяти двух названных автоматов, тогда САк = [0] для исправного АКП и С * (А* )к = [0] для неисправного АКП выполняются для всех к > ц. Подадим на тестируемый автомат входную последовательность и(0),и(1),...,и(ц) . Независимо от начального состояния тестируемого автомата, учитывая только что приведенные выше равенства, реакции автомата зависят от того, исправен он или содержит заданную неисправность, и будут различными, если последовательность и(0), и (1),..., м(ц) является тестом. По формуле (4) выпишем реакцию исправного
АКП и некоторого неисправного четкого автомата А * АКП из множества О* (А) = {А*, А2,..., А*} :
У(ц) = САц-1 Ви(0) + САц-2Ви(1) +... + СВи(ц -1) + Би(ц), у * (ц) = С * (А * )ц-1 В*и (0) + С * (А * )ц-2 В*и (1) +... + С "В"и (ц -1) + Б*и (ц) (5)
Неисправность АКП будет обнаружена, если разность двух реакций в (5) будет отлична от нулевого вектора:
у (ц)- у * (ц) = [САц-1 В - С * ( а; )ц-1 В* ]и (0) +... + [ Б - Б* ]и (ц) ф [0]. (6)
В верхней формуле (5) фигурирует матрица A как матрица исправного АКП, и ее элементы должны иметь конкретные значения из поля GF(p), над которым задан исходный АКП. Условимся считать, что все эти значения для исправного АКП после выполнения всех замещений должны быть теми же, что у элемента A1 из множества О(А). Таким образом, автомат A1 будет играть роль исправного на первом этапе применения предлагаемого метода синтеза теста. Понятно, что исходный исправный нечеткий АКП обязательно совпадает с одним из АКП из множества О(А), но нам он неизвестен. Поэтому после первого этапа синтеза теста Т из множества О(А) здесь в роли исправного) предлагаемый ниже метод синтеза необходимо применить для остальных возможных случаев, когда в роли исправного АКП выступают автоматы ,... , . Именно по совокупности этих результатов будет делаться вывод об исправности исходного нечеткого АКП или наличии в нем заданной неисправности.
Продолжим теперь изложение метода синтеза теста. Разность (6) будем рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных, которые являются координатами вектора
и = [> (0), ..., щ (0), ..., «1 (ц),...,щ (ц)] . (7)
На этой основе и будем синтезировать обнаруживающий тест.
Через <2 обозначим матрицу системы (6) с т х (ц + 1) ^ неизвестными, и тогда система (6) примет вид:
аи=у, (8)
где правая часть есть некоторый ненулевой вектор. Пусть нам удалось найти такой ненулевой вектор у
вида (7), что решение неоднородной линейной системы (8) существует. Методы решения таких, а также и однородных систем, известны из алгебры [16]. Понятно, что это решение дает входную последовательность ^ для четкого автомата АКП А*, которая обнаруживает заданную неисправность.
Если это имеет место хотя бы для одного четкого автомата из множества О*(А) = {А*, А,■■■, А^} , то по
принятому в разделе 2 статьи соглашению проверяемый нечеткий автомат считается содержащим заданную неисправность. Кажется очевидным, что это вполне соответствует здравому смыслу.
Чтобы сделать вывод об отсутствии заданной неисправности в проверяемом нечетком АКП, для всех возможных ненулевых правых частей в (8) (их число конечно) необходимо убедиться в отсутствии у них решений систем вида (8) для всех автоматов (кроме А *) из множества О* (А). Таким образом, для обнаружения заданной неисправности проверяемого нечеткого АКП или ее отсутствия в общем случае потребуется тест Т = Т,Т2,...,Т , где ^ строится указанным выше методом.
Найти подходящие ненулевые правые части систем (8) можно перебором из общего числа р(ц+1)1 возможных вариантов значений в поле GF(p) либо способом, состоящим в следующем. Пусть Y - множество всех векторов вида (7) с числом координат (ц + 1)1 . Вместо различных неоднородных систем (8) теперь рассмотрим одну однородную систему Qй = [0]. Пусть Yo есть множество решений этой системы, найденное алгебраическим методом [16]. Очевидно, что Y\Y0 есть множество ненулевых векторов, которые могут использоваться в качестве правых частей систем (8). Поэтому «подходящие» правые части можно выбирать из двух представленных вариантов множеств, описанных выше. Они могут иметь разную мощность и потому естествен выбор из них за множеством с меньшим числом элементов. Кроме них возможен какой-либо эвристический метод поиска, предложенный с учетом особенностей полученной системы (8).
Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий описанный метод синтеза обнаруживающего теста. Пусть нечеткий АКП над полем GF(2) задан следующими характеристическими матрицами (п = 4, I = 2, т = 2) :
"0 0 0 0" "1 1 "
1 0 0 0 1 1 " 1 1 0 0" "1 1"
A = , B = , с = , D =
1 a32 0 0 1 1 _ 0 0 0 0 _ 1 1
1 a42 1 1 1 1
Элементы
в матрице A являются нечеткими, и каждый из них замещается значением из
альтернативного множества {0, 1}. Всего имеется 4 варианта замещения пары а32,а42, и эти переменные получают соответственно значения (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Обозначим получаемые после таких замещений главные матрицы, а также содержащие их четкие АКП, как A, A, A, A • Из контекста будет понятно, о чем идет речь.
Пусть заданный нечеткий АКП имеет неисправность, полученную в результате замены четкого элемента an = 0 в главной матрице A на % = 1. Обозначим матрицу неисправного автомата как A3. Внесем эту неисправность в матрицы четких АКП A , A , A , A и будем обозначать их как
А , a2 , A3, a4 .
Вычисления показывают, что C(A" )2 = [0] и C(A* )2 = [0], где i = 1,2,3,4 . Это означает, что неисправный исходный АКП и все неисправные четкие АКП, полученные после замещений и внесения в них неисправности, являются ц-определенными (ц = 2). Таким образом, требования к исправному нечеткому АКП A и всем автоматам из множества G3 (A) выполнены.
По формуле (4) с учетом ц-определенности получаем
7 (2) = CABu (0) + CBu (1) + Du (2),
у" (2) = CA' Bu (0) + CBu (1) + Du (2). (9)
В поле GF(2) используется две операции, знак «+» означает сложение / вычитание - операция XOR (исключающее ИЛИ), вторая - умножение / деление (операция AND (И)) - знак «• » либо его отсутствие. Выполнив сложение (вычитание) правых частей в (9), получим выражение
y (2) + y * (2) = (CAB + CA;B)U(0). Путем вычислений можно убедиться, что исправный нечеткий АКП (его роль выполняет автомат A е G(A))) на входную последовательность и (0), и (1), и (2) дает реакцию
" щ (0) + и (0) + щ (2) + и (2)" щ (2) + и2 (2)
Вычисления также показывают, что неисправные четкие автоматы A3, A3, A3 на ту же последовательность дают одинаковые реакции
y (2) =
У *(2) =
щ (2) + щ (2) щ (2) + щ (2)
Выполнив операцию сложения / вычитание этих векторов получим выражение
щ (0) + щ (0)
y (2) + у * (2) =
0
Для обнаружения заданной неисправности правая часть в последнем равенстве должна рав-
"1"
няться ненулевому вектору
0
. В координатах это означает, что должно выполняться равенство
щ (0) + щ (0) = 1, что требует выполнения неравенства щ (0) ф и2 (0) .
Заметим, что в последнем равенстве отсутствуют координаты векторов щ (1), и (2), т.е. они являются фиктивными переменными (могут принимать любые значения из GF(2)). Таким образом, тестами являются векторы щ (0), и (1), и (2), у которых щ (0) ф щ (0), а значения координат других векторов теста могут быть произвольными.
В рассмотренном простом примере поиск теста не потребовал большого объема вычислений из-за специфики полученной неоднородной системы (8) и равенства реакций на тест всех неисправных четких АКП из множества О* (А).
Заключение
При обобщении метода синтеза тестов из [5], обнаруживающих заданные неисправности на случай нечетких АКП, возникает ряд трудностей. В [5] в формулах (1)-(6) для четкого ЛА фигурирует начальное состояние автоматов, которое при рассмотрении нечеткого АКП неизвестно. При формировании в методе синтеза тестов разности между реакциями на искомый тест и его неисправных модификаций необходимо использовать понятия исправного нечеткого АКП и соответствующих неисправных модификаций. Для четкого ЛА они задаются однозначно, тогда как для нечетких АКП однозначно определить их невозможно из-за наличия нечетких элементов в их характеристических матрицах. По этой причине приходится оперировать с различными вариантами использования их в качестве исправного и неисправных АКП. Число таких вариантов возрастает с ростом числа нечетких элементов в матрицах, задающих АКП. Тем не менее идею метода синтеза из [5] реализовать оказывается возможно, хотя вычислительная сложность метода при этом существенно возрастает.
Список источников
1. Zadeh L. Fuzzy sets // Inf. Control .1965. V. 8. P. 338-353.
2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М. : Радио и связь, 1982. 432 с.
3. Dubots D., Prade H. Fuzzy sets and systems. New York : Academy Press, 1980. 393 p.
4. Сперанский Д.В. Эксперименты с нечеткими автоматами // Автоматика и телемеханика. 2015. № 2. С. 107-124.
5. Сперанский Д.В. О тестировании линейных автоматов // Автоматика и телемеханика. 2000. № 5. С. 157-165.
6. Сперанский Д.В. Синхронизация линейных последовательностных машин // Автоматика и телемеханика. 1996. № 5.
С. 141-149.
7. Gill A. Introduction to the theory of finite-state machine. Mc Graw-Hill company, 1962. 207 p.
8. Gill A. Linear sequential circuits. Analysis, synthesis and applications. Mc Graw-Hill company, 1967. 196 p.
9. Dai Z., Ye D.F., Lam K.Y. Weak invertability of finite automata and criptoanalysis on FAPKC // LNCS. 1998. V. 1514. P. 227-
241.
10. Аксенова Г.П., Халчев В.Ф. Генерация исчерпывающего теста для автоматов с конечной памятью, I // Автоматика и телемеханика. 1997. № 4. С. 213-226.
11. Аксенова Г.П., Халчев В.Ф. Генерация исчерпывающего теста для автоматов с конечной памятью, II // Автоматика и телемеханика. 1997. № 5. С. 142-152.
12. Аксенова Г.П., Халчев В.Ф. Генератор исчерпывающего теста на основе двоичного счетчика для одного вида синхронного автомата с памятью // Автоматика и телемеханика. 2000. № 10. С. 164-170.
13. Mamdani E.H. Application of fazze algorithms for control of a simple dinamic plant // Proc. IEEE. 1974. P. 121-159.
14. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and application to modelling and control // IEEE on SMC. 1985. V. 15. P. 116-132.
15. Марценюк М.А. Матричное представление нечеткой логики // Нечеткие системы и мягкие вычисления. Научный журнал Российской ассоциации нечетких систем и мягки вычислений. 2007. Т. 2, № 3. С. 7-35.
16. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. : Лань, 2022. 432 с.
References
1. Zadeh, L. (1965) Fuzzy sets. Information Control. 8. pp. 338-353.
2. Kofman, А. (1982) Vvedenie v teoriyu nechetkikh mnozhestv [Introduction to Fuzzy Sets Theory]. Moscow: Radio i svyaz'.
3. Dubots, D. & Prade, H. (1980) Fuzzy sets and systems. New York: Academy Press.
4. Speranskiy, D.V. (2015) Eksperimenty s nechetkimi avtomatami [Experiments with fuzzy finite state machines]. Automation and
Remote Control. 76. pp. 278-291. DOI: 10.1134/S0005117915020071
5. Speranskiy, D.V. (2000) O testirovanii lineynykh avtomatov [On testing linear automata]. Automation and Remote Control. 5.
pp. 157-165.
6. Speranskiy, D.V. (1996)) Synchronization of linear sequence machines. Automation and Remote Control. 5. pp. 141-149.
7. Gill, A. (1962) Introduction to the Theory of Finite-State Machine. Mc Graw-Hill Company.
8. Gill, A. (1967) Linear Sequential Circuits. Analysis, Synthesis and Applications. Mc Graw-Hill Company.
9. Dai, Z., Ye, D.F. & Lam, K.Y. (1998) Weak invertibility of finite automata and criptoanalysis on FAPKC. LNCS. 1514. pp. 227-
241.
10. Aksenova, G.P. & Khalchev, V.F. (1997) Generatsiya ischerpyvayushchego testa dlya avtomatov s konechnoy pamyat'yu, I [Generation of exhaustive test for automata with finite memory. I]. Automation and Remote Control. 4. pp. 213-226.
11. Aksenova, G.P. & Khalchev, V.F. (1997) Generatsiya ischerpyvayushchego testa dlya avtomatov s konechnoy pamyat'yu, II [Generation of exhaustive test for automata with finite memory. II]. Automation and Remote Control. 5. pp. 142-152.
12. Aksenova, G.P. & Khalchev, V.F. (2000) Generator ischerpyvayushchego testa na osnove dvoichnogo schetchika dlya odnogo vida sinkhronnogo avtomata s pamyat'yu [Generator of exhaustive test based on binary counter for one kind of synchronous automaton with memory]. Automation and Remote Control. 10. pp. 164-170.
13. Mamdani, E.H. (1974) Application of fuzzy algorithms for control of a simple dynamic plant. Vol. 121(12). pp. 1585-1588. DOI: 10.1049/piee.1974.0328
14. Takagi, T. & Sugeno, M. (1985) Fuzzy identification of systems and application to modelling and control. IEEE on SMC. 15. pp. 116-132.
15. Marsteniuk, M.A. (2007) Matrichnoe predstavlenie nechetkoy logiki [Matrix representation of fuzzy logic]. Nechetkie sistemy i myagkie vychisleniya. 2(3). pp. 7-35.
16. Kurosh, A.G. (2022) Kurs vysshey algebry [Higher Algebra]. Moscow: Lan.
Информация об авторе:
Сперанский Дмитрий Васильевич - профессор, доктор технических наук, профессор кафедры систем управления транспортной инфраструктурой Российского университета транспорта (МИИТ) (Москва, Россия). E-mail: speranskiy.dv@gmail.com
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Information about the author:
Speranskiy Dmitriy V. (Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Transportation Infrastructure Management Systems of Russian University of Transport (MIIT), Moscow, Russian Federation). E-mail: speranskiy.dv@gmail.com
The author declares no conflicts of interests.
Received 25.10.2023; accepted for publication 05.03.2024 Поступила в редакцию 25.10.2023; принята к публикации 05.03.2024
