CC BY
49
УДК 14.2.6
Е.А. Плаксиенко
СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ АСТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Предложен метод синтеза нелинейных систем управления с астатизмом заданного порядка к неизмеряемым воздействиям. Управление, компенсирующее влияние внешних не-измеряемых воздействий, строится на основе оценок воздействий и их производных по времени. Эти оценки формируются из переменных состояния реального объекта управле-, -ния некоторой эквивалентной системы. Нелинейное устройство управления включает наблюдатель состояния указанной эквивалентной системы и интеграторы, число которых определяется точкой приложения воздействия и заданным порядком астатизма. Приводится численный пример синтеза.
Нелинейная система; астатизм; эквивалентная система; наблюдатель состояния.
E.A. Plaksienko
DESIGN OF THE NONLINEAR A STATIC CONTROL SYSTEMS
The design method of nonlinear control systems with a static to not measured disturbances is proposed. The control compensating of external not measured disturbances is constructed on the estimations of disturbances and their derivatives on time. These estimations are formed from state variables of real object and additional integrators of the device and state variables estimations of a some equivalent system .The nonlinear control device includes the observer of a showed equivalent system and integrators which number is defined by a point of disturbances is action and the a static order. The numerical example of design is given.
Nonlinear system; a static; equivalent system; the state observer.
Во многих практических случаях управления нелинейными объектами требуется обеспечить некоторый порядок астатизма к внешним неизмеряемым воздействиям. Это позволяет обеспечить либо полную компенсацию влияния возмущения, либо значение ошибки не более заданного. В линейном случае методы синтеза астатических систем с заданным порядком астатизма хорошо известны [1, 2]. Проблема синтеза астатических систем управления нелинейными объектами рассматривалась в сравнительно небольшом числе работ [3, 4, 5].
Для обеспечения астатизма в структуре устройства управления формируется, спектральная модель внешнего воздействия в виде цепочки интеграторов [2], которая при наличии воздействия генерирует сигнал, форма которого аналогична . . -, , -вости замкнутой системы [2]. В данной работе для компенсации влияния не измеряемого воздействия используются оценки воздействия и его производных. Поэтому представленный ниже метод синтеза является параметрическим. В его основе лежат уравнения объекта управления, представленные в управляемой форме Жордана, введенной в [3].
Постановка задачи. Пусть нелинейный объект управления (ОУ) описывается уравнениями в отклонениях:
— = фi (x+1), i = 1, i -1,
xi =Фi(xi+vf) =Ф,-(x'+1)+hi(xi+1)f, i = i, n -Ь
xn =Фп (x f)+u, (1)
где Хі - доступные измерению переменные состояния ОУ, І = 1, п ; xV = [ х1 х2... xV ]7
- подвектор размерности V, составленный из переменных состояния, V = 2, п ; очевидно, / = /(г) - неизмеряемое ограниченное воздействие, и - управление; фІ(ХІ+1), фІ(ХІ+1), Ні(Х+1)- нелинейные дифференцируемые функции, удовлетворяющие в некоторой области ^х є Яп условиям:
9Фі (Х+Р
■ ф 0, i = 1, i -1;
Эф; (x+1) | 9hi (xi+i)
9 xi+i 9 xi+i
f Ф 0 , i = i, n-1, (2)
h, (x r+1) Ф 0. (3)
В (1) - (3) ф. (0) = 0, ф; (0) = 0, а Г - минимальный номер переменных xt, на
производные которых воздействие f = f (t) влияет непосредственно.
Поставим задачу синтеза системы управления объектом (1), положение равновесия которой x = 0 является асимптотически устойчивым, т.е.
limx(t,x0,0) = 0 при t ^то, x(t,x0,0)eü, и всех t > 0, (4)
- x 1
limXj(t,x0, f) = 0 при x(t,x0, f)eüx, t > 0, (5)
если степень полиномиального воздействия f = f (t) равна V—1, и является постоянной, если степень воздействия f = f (t) равна V .
Решение задачи. Условия (2) выполнены, поэтому в соответствии с опре-
( ) (1) управляемой форме Жордана [3]. С помощью соотношений, приведенных в [3],
можно построить стабилизирующее управление u = u(x, f, f,...), при котором (4) (5). -
вия и ряда его производных по времени. Воздействие не измеряется, поэтому для реализации указанного управления необходимы оценки воздействия его производных по времени. Предположим, необходимо обеспечитьУ -й порядок астатизма системы к воздействию f = f (t). Поэтому примем, что выполняется условие
n = V+ i . (6)
Если условие (6) для заданного ОУ порядка П не выполняется, то путем дополнения его интегрирующими звеньями: xn = xn+t, • • •, Xn+r = xn+i+1, ..., xn = u
образуется расширенный ОУ так, чтобы условие (6) выполнялось для расширенного ОУ порядка П.
Известно, что в общем случае полиномиальное воздействие степени V имеет
V ненулевых произв одных по времени. Поэтому для выполнения условия (5) достаточно найти оценки самого воздействия и V его производи ых по времени. Следуя [3], введем переменные wt эквивалентной системы: wj=xj,
--- . | x,, eaiи i = 1,
Wi = wi—J, i = 2, n ; причем wn = u1, a w= ^ 1 _ (7)
r [wr_veaiui > 1,
где u1 - управление эквивалентной системы; W - вектор переменных wi, i = 1, n. В векторно-матричной форме система (7), очевидно, имеет вид
w = Aw + enu1, x1 = e1w, (8)
где A = [A. ], причем Aii+1 = 1, i = 1, n -1, а все остальные A. равны нулю; en -
n -й столбец, a e1 - 1-я строка единичной n X n -матрицы.
По уравнениям (1) и (7) нетрудно установить, что если i > 1, то переменные wt = wt-1 = wt (— ) , i = 1, i не зависят от воздействия f , а переменная w?+1
и все последующие зависят от / , причем
wi +1 = wi(x) = V?+1(x+1) + ^(x+1) f = w?+1(x+1, f), (9)
где
л-1 Э w (x 0 Э w (x г)
V?+1(x г+1) = X Э ' Ф1(x ^+1) + Э ‘ Фг (x г+1), (10)
1=1 1 i
дам) = If-! 1+1^ hi (+1). (11)
1=1 Э x 1+1
Аналогично, при i > i +1 из (1) и (7) получим:
w =V(Х, ~fi-j-2)+^(xi+1)/(i-i-1) =w(Х,УТ-г-1), 1 = l+Ul, (12)
где /(Г) - обозначение i -й производной по времени воздействия f (t);
/ = [/(0),/(1),...,/(,)]T- подвектор производных, причем /0 = /(t). Если же
i = 1, то величины V'+1(xr+1, /) и £(хт+1) опРеДеляются п0 уравнениям (1).
x1 ,
(8) , . . :
w = Aw+enu1 +lx1 , (13)
л |- л л л -|T л J _
где w = w W2 . - >^n ] - вектор оценок w? переменных wi; l - вектор, выбираемый по условиям устойчивости матрицы A = A- le1.
(2) (3) ,
оценок \vi из равенств (9) - (12) вытекают оценки воздействия и его производных:
/ = [wr +1 -V?+1( Хг +1)]/^( ХГ +1^ -,
f(i) = [^wi+J+1 -V?+1( +1>/-1)]/? = 1,2,... V-^ (14)
где f(i) И / - оценки i -Й производной /(?) И подвектора / производных.
[3] :
^l(x.J^)=][lдФцX^]Г[^ФlдHil/=/, (15)
1=1 иЛ!+1 1=1 иЛ!+1
У2(*>¿и ) =
Здесь для краткости обозначено Ф,-(х,+1) = Ф,-(хм), г = 1, г И Фг (х ц+1) = Ф, (Хг-+1,/) , , = I/, п . Подчеркнем, что в силу условий (2) переменная у1(X, /) Ф 0 при всех х($, Х0, /) е ^Х .
Положим в (7), (8) и (13) управление и1 = —кТИ>, где кТ = [80 81... 8п—1],
а 8, - коэффициенты полинома Д Р) = 8о +81Р + ■■■'— 8п—1Р"—1 + РП управление, разрешающее задачу синтеза определяется следующей теоремой:
Теорема 1. Если выполнены условия (2), (3) и (6), переменные w¡, , = 1, п
определены соотношениями (7), матрица Л в (13) и полином 0(р) - устойчивы, (1)
и = УГ1( X,/)[—кТ^ — У2(х, 7п—^)] — Фп (х, /), (17)
то переменные системы (1), (13), (17) удовлетворяют условиям (4) и (5). ■
Доказательство теоремы 1 достаточно очевидно из приведенных соотношений, и здесь не приводится.
Управление, определяемое теоремой 1, является динамическим, причем ес-
(6),
описывается выражениями (13) и (17), а его порядок будет равен порядку объекта.
п , (6), -
вующее УУ описывается уравнениями интеграторов Хп = Хп+1, ..., Хп+г = Хп+,+1,
..., Хп = и , наблюдателя (13) и выражением (17), а его порядок равен 2п — п .
Из выражений (17) и (6) следует, что если п =У — , , то для построения , (4) (5), -
мущения и его производных по времени от /(1) до /(у), а соотношениями (14)
определяются оценки производных ТОЛЬКО ДО /(у—1) .
Так как производная /у) воздействия степени V — 1 равна нулю, то синтезированная нелинейная систем (1), (13), (17) удовлетворяет условию (5). Если же степень воздействия равна V, то замкнутая система будет иметь постоянную
ошибку (при ? ), пропорциональную /V).
Метод синтеза нелинейных астатических систем, проиллюстрируем на примере системы управления нелинейным объектом второго порядка.
Пример. Для объекта, описываемого уравнениями:
Х1 = Х2 + х\ + / , Х2 = и , (18)
синтезировать систему управления с астатизмом второго порядка к неизмеряемо-
му воздействию / = / (£) . Переменные состояния X1 и Х2 измеряются.
Ф,(Х
,+1-
п—, —1
)+£
,=1
днп (х, / г .)
п ^ ^ п —г —17
д Л
(,+1)
(,)
I/=/ • (16)
Порядок ОУ (18) равен 2, Эфх(х2, /)/ Эх2 = 1 + 3х^ Ф 0, т.е. условие (2) выполняется, поэтому уравнения этого объекта имеют УФЖ. В данном случае п = 2,
I = 1, порядок астатизма У = 2. Следовательно, условие (6) при п = п = 2 не выполняется. В связи с этим дополним ОУ (18) одним интегратором, в результате чего уравнения расширенного ОУ примут вид
X = х2 + х23 + / = ф1(х2, /), Х2 = х3 =ф2(х3), Х3 = и . (19)
Здесь п = 3, ф3(х, /) = 0, к 1(х, /) = 1, условие (2) выполняется по-прежнему, так как Эф2(х3,/)/Эх3 = 1. Таким образом, (19) удовлетворяет условиям (2), (3) и (6) в области ^ х = Я3. Следовательно, задача синтеза имеет решение.
По (7) вводим переменные И, а затем с учетом (19) находим их представление в виде (9) и (11): И1 = х, И2 = х2 + х^ + /, w3 = (1 + 3х^)х3 + /(1). Так как
п = 3, то для построения наблюдателя (13) зададимся полиномом О (р) = р3 +15 р2 + 75 р +125. Далее, следуя [2. С. 84], найдем уравнения на-(13) :
' -15 1 0^ 0 15
V = -75 0 1 IV + 0 Мі + 75
-125 0 0 1 125
В данном случае I = 1, поэтому, сравнивая найденные выражения для и2 и и3 с
(9)—(11), находим величины ^(х2) = 1, у 2( х2) = х2 + х^, у 3 (х3) = (1 + 3 х 22) х 3, а
затем по (14) - оценки: / = И2 — х2 — х^ и /(1) = т^3 — (1 + 3х^)х3. Далее по (15) и (16) имеем:
У1(х Я = 1 + 3х22 , У2 (X, /2 ) = 6х2х32 + /(2) .
Так как требуемый порядок астатизма V = 2 , то можно считать, что в данном случае /(2) = /(2) = 0 . Тогда у2(х, /2) = 6х2х .
Управление и1 = — кТ И в (7), (8) и (13) выбирается так, чтобы переходные процессы в системе управления протекали медленнее, чем в наблюдателе (20). С этой целью положим кт = [27 27 9], т.е. и1 = —27 — 27 И2 — 9И3.
, (17)
управления объектом (18) описывается уравнениями (20), а также:
и = х3, х3 = - [27И + 27и>2 +9и>3 +6 х2 х32 ]/(1 + 3х^).
. 1 (19),
условиях х0 = [1 2 —1]Т , 1^0 = [0 0 0]т и / = 0, полученные в результате
моделирования синтезированной системы в МЛТЬЛБ.
Рис. 1. Переменные состояния при отсутствии возмущения
, х3 и -
го объекта (18). Переходные процессы при тех же начальных условиях и возмущениях / (г) = 2 г и / (г) = 0,5 г2 приведены на рис. 2.
а - х = 0
1уст
Рис. 2. Переменные состояния при возмущениях: а - / = 2г; б - / = 0,5 г2
Как видно из приведенных графиков, синтезированная система действительно имеет второй порядок астатизма к воздействию / (г).
.
нелинейными объектами, которые описываются уравнениями в УФЖ, а их переменные состояния доступны измерению, позволяет обеспечить любой порядок астатизма к внешним воздействиям. Необходимость представления уравнений ОУ в УФЖ не является жестким ограничением, так как уравнения очень многих реальных объектов имеют или могут быть приведены к этой форме путем замены переменных. Например, к последним относятся объекты, рассмотренные в [3, 4, 5].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ким Д.П. Алгебраический метод синтеза линейных непрерывных систем // Мехатрони-ка, автоматизация, управление. - 2011. - № 1. - С. 9-15.
2. . ., . .
качества // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 4. - С. 7-12.
3. . . // .
- 2006. - № 7. - С. 3-13.
4. . .
// . - : - , 1986.
- Вып. 6. - С. 22-27.
5. . . - -
. - : - , 1983. - 254 .
Статью рекомендовала к опубликованию д.т.н., профессор Г.В. Горелова.
Плакеиенко Елена Анатольевна - Таганрогский институт управления и экономики; e-mail: pumka@mail.ru; 347900, г. Таганрог, ул. Розы Люксембург 44, кв. 54,6; тел.: 88634613432; кафедра математики и информатики; к.т.н.; доцент.
Plaksienko Elena Anatolyevna - Taganrog Institute of Management and Economy; e-mail: pumka@mail.ru; 44, Roza Lyuksemburg street, app. 54,6, Taganrog, 347900, Russia, phone: +78634613432; the department of mathematics and computer science; cand. of eng. sc.; associate professor.
УДК 620.9:519.711
B.B. Соловьев, В.Ю. Степанова, B.B. Шадрина МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ОТОПЛЕНИЯ МНОГОЭТАЖНОГО ЗДАНИЯ
Выполнен анализ схем зависимого присоединения систем отопления. Разработана схема подключения со смесительным насосом на перемычке между прямым и обратным трубопроводом для 9-этажного жилого дома. Разработана математическая модель теп.
и регулирующий клапан. Представлена модель потерь через ограждающие конструкции. Получена полная математическая модель теплового баланса и зависимость доли открытия клапана и производительности насоса. Выполнено исследование модели для ряда температур наружного воздуха.
Тепловой баланс; смесительный насос.
V.V. Soloviev, V.Y. Stepanova, V.V. Shadrina MATHEMATICAL MODEL OF SYSTEM OF HEATING OF THE MANY-STOREYED BUILDING
The analysis of schemes of dependent joining of systems of heating is made. With the mixing pump on a crosspiece between the direct and return pipeline the scheme of connection is developed for 9 floor apartment houses. The mathematical model of thermal balance is developed. Expressions for a thermal stream through mixing pump and regulating valve are defined. The model of losses through protecting designs is presented. The full mathematical model of thermal balance and dependence of a share of opening of the valve and productivity of the pump is received. Research of model for a number of temperatures of external air is executed.
Thermal balance; the mixing pump.
Введение. С увеличением стоимости энергоресурсов задача разработки энергоэффективных систем отопления зданий является актуальной. Доля затрат на отопление в коммунальных платежах доходит до 50 %. Если рассмотреть взаимодействие всех элементов наружных и внутренних инженерных систем на пути от потребителя до источника теплоты, то можно обнаружить участки, модернизация которых с помощью современных технических средств, позволит обеспечить энергосбережение и снизить финансовые затраты на отопление [1]. Безусловно, существующие теплосети не в полной мере отвечают современным условиям регулирования теплопотребления зданий. Поэтому распределение и регулирование тепловой энергии как внутри, так и снаружи зданий в соответствии с потребностью являются одними из основополагающих подходов энергосбережения. В данной работе исследуется система отопления многоэтажного здания с искусственной циркуляцией теплоносителя, позволяющая, по оценкам экспертов, снизить затраты на отопление на 20 % и обеспечить более комфортное пребывание людей в отапли-.
