CC BY
340
СИСТЕМОТЕХНИКА
УДК 681.5
Марголис Борис Иосифович
доктор технических наук Тверской государственный технический университет
Мешков Илья Сергеевич
Тверской государственный технический университет
СИНТЕЗ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
В статье получены формулы для нахождения настроек ПИД-регулятора с использованием расширенных частотных характеристик. В среде МмЬаЬ разработана программа, позволяющая рассчитать оптимальные настройки регулятора по критерию минимального отклонения времени переходного процесса и перерегулирования от заданных значений.
Ключевые слова: система автоматического управления, регулятор, синтез настроек, расширенная частотная характеристика, переходный процесс, критерий качества, перерегулирование.
Наибольшее применение при автоматизации технологических процессов находят одноконтурные системы автоматического управления (САУ) с типовыми линейными законами регулирования. Структурная схема
такой САУ показана на рисунке 1, где Шр( р) -
передаточная функция регулятора; К(р) - передаточная функция объекта регулирования (ОР); А у = узад — у - рассогласование регулируемой величины; х - регулирующее воздействие.
Известны пять типовых законов регулирования: пропорциональный (П), интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ), пропорционально-дифференциальный (ПД) и пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) [1].
Для расчета настроек регуляторов в САУ с вышеуказанными линейными законами регулирования можно использовать частотные характеристики объекта регулирования [2]. Согласно критерию Найквиста, замкнутая система находится на границе устойчивости при прохождении годографа амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутой системы через точку (— 1, j ■ 0). В то же время на комплексной плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы границей устойчивости является мнимая ось. Для обеспечения запаса устойчивости комплексные корни должны находиться левее мнимой оси, а сам запас будет определяться отношением действительной
узад
Ау
X
кр(р) К(р)
-У
Рис. 1. Структурная схема САР с типовым линейным регулятором
а - и мнимой р -частей ближайшей к мнимой оси пары корней, называемым степенью колебательности т = а/Р [3].
Для обеспечения необходимого качества переходного процесса в замкнутой САУ нужно обеспечить заданную степень колебательности. В этом случае вместо обычных частотных характеристик
V(jа) можно использовать расширенные частотные характеристики (РЧХ) V((j — т)а). При выводе основных расчетных соотношений метода РЧХ делается допущение о том, что вид кривой переходного процесса, в основном, определяется ближайшей к мнимой оси парой комплексных корней, а влиянием остальных корней можно пренебречь [3]. Наиболее употребительными при расчетах являются значения т = 0,221 — 0,336.
Таким образом, критерий Найквиста для РЧХ можно сформулировать следующим образом: годограф расширенной АФХ разомкнутой системы
должен проходить через точку (—1, j ■ 0) . Обозначая Жраз ((j — т)ю) = Жраз (т, ю), получим выражение для РЧХ разомкнутой системы на границе устойчивости с заданным запасом в виде: Жраз (т,ю) = Жр (т,ю) ■ V (т,ю) = —1, поэтому
Жр (т,ю) = — 1/Ж (т,ю) . (1)
Находя зависимость расширенной частотной передаточной функции объекта от частоты V(т,а>) и подставляя ее в формулу (1), получим значения РЧХ регулятора V (т, ю). Пусть действительная часть РЧХ регулятора будет , а мнимая часть I(а), тогда
Жр (т,ю) = —' = Д(ю) + jI (ю). (2) р V (т, ю )
Рассмотрим наиболее общий случай ПИД-регулятора в системе управления. Его расширенная частотная характеристика будет выглядеть следующим образом:
© Марголис Б.И., Мешков И.С., 2014
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 2, 2014
31
СИСТЕМОТЕХНИКА
Ж ((j - ш)ю) = Ж (т,ю) =
= к,
К
+ к2( j - ш)ю.
(3)
(ш + 1)ю
- шК, ю -
jKo
2ю , г jK2Ю .
(ш + 1)ю
(4)
Тогда из (2):
тК„
Я = К1----тК2ю ;
(т +1)ю
I = К2ю--К-.
(т +1)ю
(5, 6)
К, = Я - ш1; К0 =-1 (ш2 + 1)ю.
(8)
(j - ш)ю
Избавляясь от комплексности в знаменателе при И-составляющей, получим расширенную частотную характеристику регулятора в виде:
Ж (ш,ю) = К, - шКо
(9)
Разрешая систему уравнений (5, 6) относительно настроечных параметров регулятора, можно получить их параметрические зависимости от частоты в виде:
[К, = Я - ш1 + 2К2ш© ;
[К0 = -1 (ш2 +1)© + К2( ш2 + 1)©2.
Зависимость между пропорциональной (К1) и интегральной (К0) составляющими регулятора в параметрическом виде называется линией равного затухания (ЛРЗ), а принадлежащие ей точки (настройки регулятора) обеспечивают переходный процесс замкнутой системы с заданной степенью колебательности ш. Для ПИ-регулятора дифференциальная составляющая К2 = 0, поэтому
Для ПД-регулятора интегральная составляющая равна нулю. Решая общую систему (7) при
К0 = 0, получим уравнения ЛРЗ для системы с ПД-регулятором:
Г К1 = Я + ш1; IК2 = I/ ©.
На основе вышеизложенного метода РЧХ и полученных для него соотношений (7-9) в среде Ма1ЬаЬ разработана программа расчета настроек регуляторов в САУ га^.т. Для выбора оптимальных настроек регулятора из точек ЛРЗ используется критерий, характеризующийся минимальным отклонением от заданных значений двух основных показателей качества: перерегулирования и времени переходного процесса:
О - О
I = Ж
кр "о
зад
- Ж
и - ? л
р зад
О
зад
и
(10)
зад
где О, tр - рассчитанные, а о зад, 1 зад - желаемые значения показателей качества; жа, ж - веса, с которыми они входят в критерий.
Минимальное значение критерия 1кр обеспечивает наименьшее отклонение переходного процесса от желаемого. Изменение весов Жа, Ж позволяет отдавать предпочтение при оптимизации тому или иному показателю качества.
Для передаточной функции объекта регулиро-2
вания: Ж (р) = —-
р2 + 2 р + 2
График ЛРЗ К^К,,)
• <- (0.51125;0_73937)
0 0.5 1 1.5
К,
Рис. 2. График ЛРЗ для примера
32
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ¿к № 2, 2014
Синтез настроек регуляторов в системах автоматического управления..,
Рис. 3. Графики переходных процессов объекта и замкнутой системы для примера
результаты расчета с помощью программы гасЬт приведены на рис. 2 и 3. Характеристическое уравнение объекта имеет корни р12 = — 1 ± j, то есть
степень колебательности ОР
т
об
= 1. При на-
хождении настроек ПИ-регулятора используются следующие желаемые характеристики качества: степень колебательности т = 0,5; перерегулирование а = 1%; время переходного процесса
*, = 7 с.
На рисунке 2 показаны полученная ЛРЗ и значения оптимальных настроек ПИ-регулятора
К1 = 0,51125; К0 = 0,73937. На рисунке 3 приведены графики переходных процессов объекта и замкнутой системы и достигнутые значения
а = 0,97847% и г=7,7189 с.
Для ПИД-регулятора в соответствии с формулами (7) получается семейство ЛРЗ для различных
значений К2. В этом случае после нахождения оптимальных для каждой из ЛРЗ настроек К1, К0 среди них находятся наилучшие по критерию (10). Это является одним из недостатков стандартного метода РЧХ, так как пространственная задача нахождения неизвестных настроек ПИД-регулятора
фактически сводится к решению
двухмерной задачи в области параметров К1, К0
при фиксированных значениях К2. Кроме того, для корректной работы метода необходимо, что-
бы желаемая степень колебательности системы m была меньше степени колебательности объекта
тоб.
В связи с этим в качестве дальнейшего развития метода РЧХ можно предложить переход от набора параметров К^ K2) к набору (Ki, Гд/Tu, Ги), где Ти = KjКо и тд = К2/К1 - постоянные времени соответственно интегрирования и дифференцирования. Альтернативная постановка задачи синтеза настроек регулятора позволяет ввести ограничение на дифференциальную составляющую TjTu < 0,25 что повышает помехозащищенность системы и снижает перерегулирование. Кроме того, для решения задачи синтеза можно использовать численные оптимизационные методы Matlab fminsearch и fmincon.
Библиографический список
1. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник.- 3-е изд. - М.: Изд-во МЭИ, 2005. -396 с.
2. Чемоданов Б.К. Математические основы теории автоматического управления: учеб. пособие для студентов вузов: в 3 т. - Т. 1 / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов, А.С. Ющенко. -М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 551 с.
3. Марголис Б.И. Компьютерные методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования: учеб. пособие.- Тверь: ТГТУ 2006. - 100 с.
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 2, 2014
33
