Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

3

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 62-50

СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИЛОЖЕННОГО К ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

С.В. Арановский, А.А. Бобцов, В.О. Никифоров

В статье предлагается новый наблюдатель переменных состояния нелинейного объекта управления в случае, когда измеряемый выходной сигнал объекта подвержен воздействию неизвестного гармонического возмущения.

Ключевые слова: гармонические возмущения, наблюдатели, нелинейные системы.

Рассматривается задача синтеза асимптотического наблюдателя вектора переменных состояния для нелинейного объекта вида

где хеК" - неизмеряемый вектор переменных состояния; А, Ь, й и с - известные матрицы и векторы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей; 5(7) - заранее неизвестное и недоступное прямым измерениям гармоническое возмущение; //(/) е ¡1 - сигнал управления; ф(>') - известная гладкая функция; у(1) <е Я -измеряемый выход.

Если матрица А гурвицева, то данная задача может быть достаточно просто решена посредством расчета в реальном масштабе времени модели объекта (1). При этом, в силу экспоненциального стремления к нулю свободной составляющей, модель будет генерировать оценку вектора переменных состояния, асимптотически сходящуюся к действительным значениям х(^). В противном случае (т.е., если матрица А негурвице-ва) данная схема является неработоспособной, а использование классических наблюдателей вектора состояния не позволит получить асимптотическую сходимость ошибки наблюдения в силу присутствия возмущения 6(1).

Поставленная задача может быть решена с использованием методов адаптивного наблюдения [1-7]. Однако большинство известных работ посвящены случаю, когда гармоническое возмущение приведено ко входу системы [1-5], и их результаты не могут быть непосредственно распространены на рассматриваемый случай возмущения, действующего на выход системы. В работах [6, 7] рассмотрен случай возмущений в выходном сигнале, но для ограниченного класса линейных минимально фазовых объектов. Таким образом, построение адаптивного наблюдателя для нелинейного объекта (1)-(2) является новой и актуальной задачей.

Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый нелинейный объект вида (1), (2). Для простоты ограничимся исследованием случая, когда возмущение 5(7) представлено в виде гармонической функции

Введение

х(() = Ах(1) + Ьи{1:) + б/(р(>'), у{1) = с1х{1) + 5(0,

(1) (2)

Постановка задачи

8(0 = ояп(сэ? + р) (3)

с неизвестными амплитудой а, частотой со и начальной фазой (3. Заметим, что расширение предлагаемого подхода на случай возмущения, представленного суммой нескольких гармонических функций, не влечет принципиальных сложностей, но усложняет представление основного материала статьи.

Перепишем объект (1), (2) в форме модели вход-выход:

Х0 = ^Ч0+^4ФСУ)+8(0, (4)

а(р) а(р)

где р-й/<М - оператор дифференцирования; а(р) = р" + а^р"'1 +... + ахр + а0, Ь(р) - Ътрт +... + Ъур + Ь0 и ё(р) = ёгрг +... + <Лур + й?0 - соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели вход-состояние-выход к модели вход-

выход: ^Р1 = с\р1-Ау1Ь и ^ = с\р1 - А)'1 ё.

а(р) а(р)

Будем считать выполненными следующие допущения относительно системы (1),

(2), (4).

Допущение 1. Доступными для измерений являются только сигналы ) и ).

Допущение 2. Пара А , Ь полностью управляема, и пара А , с полностью наблюдаема.

Допущение 3. Полином а(р) не имеет корней +усо, где ю - частота возмущающего воздействия.

Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния х(^) объекта (1), (2) такой, что

Нт|х(/)-х(7)| = 0, (5)

г—»да

где Х(1:) является оценкой вектора х(:).

Синтез наблюдателя для объекта (1), (2) будем осуществлять в два этапа. Сначала решим задачу синтеза наблюдателя возмущающего воздействия 8(1). Далее, используя информацию о 8(7), построим оценку вектора х(7).

Отметим, что для решения поставленной задачи можно использовать два подхода. Первый подход предусматривает рассмотрение расширенной системы, включающей в себя как сам объект управления, так и модель внешней среды. Используя полученную оценку частоты со, могут быть рассчитаны коэффициенты классического наблюдателя полной размерности для расширенной системы. К преимуществам данного подхода относится то, что для решения задачи достаточно провести идентификацию только частоты возмущения, но не его амплитуды и фазы. В то же время предложенный подход потребует проводить в реальном времени процедуру пересчета коэффициентов наблюдателя, что повышает сложность метода и затрудняет его практическую реализацию.

Вторым возможным подходом является построение наблюдателя возмущения на основе идентификации всех его параметров, и использование полученной оценки возмущения для вычисления выхода объекта с последующим построением наблюдателя переменных состояния. Данный метод отличается меньшей вычислительной сложностью, и в дальнейшем именно он будет рассмотрен в работе.

Синтез наблюдателя возмущающего воздействия

Итак, проведем синтез наблюдателя возмущающего воздействия 8(7)-азт(со/ + (3), для чего потребуется идентификация параметров ст, со и р. По-

строим сначала идентификатор параметра со. Воспользуемся для этого результатами работы [8].

Рассмотрим произвольный гурвицев полином у(р) степени п. Тогда уравнение (4) можно переписать в виде

У (р) У (р) У (Р) У (Р) где а1(р) = у(р)-а(р).

Сформируем вспомогательный сигнал:

= (6)

у(р) У (р) У (р)

С учетом уравнения (5) получаем

У(Р) У (Р) У (Р) У (Р)

= ^asin(roi + P) = a^sin(rai + P). (7)

у(р) У (р)

Из (7) следует, что сигнал w(t), в силу гурвицевости полинома '{(р) и отсутствия

у полинома а(р) корней ±усо, является гармонической функцией с частотой ю. Поэтому сигнал w(t) может рассматриваться в качестве выхода динамической модели вида

^p. = -0fw(t) = Qw(t), (8)

dt

где 0 = —со2 - постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1 из работы [9], сигнал w(t) можно записать в форме

w(t) = 2c,(t) + c,(t) + Qc,(t) + zy(t), (9)

где г (t) - экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми начальными условиями, а функция g(t) формируется следующим образом

q(t) = —^~Iw(t). (10)

(p + lf

Как и в [9], для синтеза идентификатора неизвестного параметра 9 введем новую переменную - измеряемый сигнал вида

z(t) = q(t) = w(t)-2q(t)-c,(t). (11)

Можно показать, что в силу уравнений (9) и (10) справедливо равенство z(t) = Qg(t).

Тогда оценку z(t) сигнала z(t) целесообразно сформировать в виде

z(/) = 0(/)s(O, (12)

где 0 (t) - настраиваемый параметр (оценка параметра 9).

Утверждение 1 [9]. Пусть параметр Q(t) настраивается следующим образом:

kt) = kq{t){z{t)-z{t)), (13)

где к >0 коэффициент адаптации, сигналы q(t), z(t) и z(t) формируются в соответствии с выражениями (10), (11) и (12), соответственно (при этом сигнал w(t) формируется по правилу (6)). Тогда

lim

t—»СО

0(0-0

= 0.

С учетом утверждения 1 частоту гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:

ю (t ) = . (14)

Для построения оценки возмущения 5(7) заменим задачи идентификации амплитуды а и фазы р сигнала более простой задачей идентификации двух амплитуд. Действительно, для гармонического сигнала w(t) имеем:

. . а(р) . . а(р) . . . . .

w(t) =-Gsin(coi + p) =- sin coi + g2 cos raí =а11|/1(/) + ст2у2(/),

У (р) У (р)

где возмущение 5(7) = asin(co/ + P) представлено в виде суммы двух гармонических сигналов разной амплитуды, но с нулевой начальной фазой: 5(7) = Gj sin Ш + а2 cos Ш,

a физически реализуемые сигналы ^(7) и \|/;(/) формируется по правилу

/- \ а(р) • , \ а(р) 1)^(0 =-Sincoí, V|/2(í) =-coscoi.

У (р) У (р)

Тогда оценку возмущения 5(7) будем формировать в виде

5(7) = Gj sin (bt + g2 cos coi, (15)

где Gj и a2 - настраиваемые параметры (оценки параметров Gj и g2 ).

Можно показать справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2. Пусть параметры Gj и ст2 настраиваются следующим образом:

= КО-^ОйСО-^ШО ' (16)

o2(t) = ka<¡,2(t) 40-^(OViCO-^2(0^2(0 ' О7)

где ка — коэффициент адаптации, сигнал w(t) определяется выражением (6), а сигналы ij/, (/) и \\>2(t)формируются по правилу

\¡/1(í) = ^^sinQí>v¡>2(0 = ^^cosa)í (18)

у О) у О)

с использованием оценки частоты гармонического возмущения (13), (14). Тогда

Ит|ст(0-ст(0| = 0. (19)

Таким образом, адаптивный наблюдатель возмущения, содержащий блоки формирования вспомогательных сигналов w(t), q(í) и z(t), (6), (10) и (11) соответственно, настраиваемые модели (12) и (15), а также алгоритмы настройки (13), (16) и (17), обеспечивает для объекта (1), (2) асимптотическую идентификацию заранее неизвестного возмущения (3). В частном случае, когда возмущение (3) имеет нулевую начальную фазу (т.е. Р — 0 ), схема его идентификации может быть существенно упрощена. А именно, вместо оценки (15) и двух алгоритмов настройки (16) и (17) можно использовать оценку вида

8(0 = ст sin raí, (20)

где параметр g настраивается по правилу

a = kJ{;(tXw(t)-w(t), (21)

\¡/(0 = ^sincc>í. (22)

1ÍP)

Синтез наблюдателя состояния

Теперь, зная оценку возмущения ô(i), построим наблюдатель переменных состояния x(t ) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими результатами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [10]:

x(t) = Ax(t) + bu{t) + dq(y) + l{y{t) -y{t)), (23)

y(t) = cTx(f) + kt), (24)

где x(t) ей" - оценка вектора x(t), 8(0 eR - оценка неизвестного возмущения, формируемая по правилу (15) (или по правилу (20)), y(t)eR - оценка переменной у(1 ), а вектор постоянных коэффициентов / рассчитывается таким образом, чтобы матрица А = А-/ст была гурвицевой.

Введем в рассмотрение ошибку оценки состояния s = х — х. Тогда, вычитая (23) из (1) с учетом (2) и (24), получаем модель ошибки оценки состояния: ê = Âe+/(a(t)-a(t)).

Из последнего выражения с учетом гурвицевости матрицы A и равенства (19) следует выполнение целевого условия (5).

Пример

Для иллюстрации предложенной схемы синтеза наблюдателя для нелинейного объекта вида (1), (2) рассмотрим пример. Рассмотрим нелинейный объект вида х1 — х2,

х2 = и-у3,

y = Xi

где входной сигнал u(t) = 1. Для определенности будем считать, что неизвестное возмущение имеет вид <з(1) — 3 sin 41. Построим наблюдатель, используя выражения (6), (10), (14), (20)-(24):

20/7 + 100 1 1 з

™ = У--^-У--^-и + —-у ,

р +20/7 + 100 р +20/7 + 100 р +20/7 + 100

l_

(p + iy

9 - 105ç(w — 2ç —ç —Ôç), râ = ^,

p2 . ,

VI/ = —--sin CD t.

p +20// + 100

W = GV|/,

à = 103 \\J(W-W) , 8(0 = âsin(b/, Xj =X2+20 (y-y), x2 = u-y3 + 100(y-j>), У = + S.

Результаты компьютерного моделирования идентификации частоты ю, амплитуды ст и графики невязок х1-х1 и х2 -х2 представлены на рис. 1-4 соответственно и

демонстрируют асимптотически точную оценку частоты возмущения (рис. 1), амплитуды возмущения (рис. 2) и выполнение целевого условия (5) (рис. 3 и рис. 4).

Заключение

В статье предложен альтернативный к [6, 7] алгоритм синтеза наблюдателя (23), (24) для нелинейного объекта управления (1), (2). Представлены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие работоспособность предлагаемого алгоритма. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-08-00139-а.

Литература

1. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб: Наука, 2003. - 282 с.

2. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 10. - С. 13-23.

3. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 11. - С. 40-52.

4. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. - № 3. - С. 5-11.

5. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. - 2008 - № 8. - С. 25-32.

6. Marino R., Santosuosso G. and Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proceedings of the European Control Conference 2007 Kos, Greece, July 2-5, 2007. - P. 129-134.

7. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems With Unknown Order Exosystem // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2007. - V. 52. - P.2000-2005.

8. Aranovskiy S., Bobtsov A. Frequency Identification of Biased Harmonic Output Disturbance // 15th IFAC Symposium on System Identification, SYSID 2009 - Saint-Malo, France, 2009.

9. Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С., Лукьянова Г.В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2007. - № 3. - С. 1-6.

10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. - СПб: Наука, 1999. - 475 с.

Арановский Станислав Владимирович

Бобцов Алексей Алексеевич

Никифоров Владимир Олегович -

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, rhnd@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, декан, доктор технических наук, профессор, bobtsov@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, проректор, доктор технических наук, профессор, nikiforov@mail.ifmo.ru