CC BY
63
DEVELOPMENT OF CONTROL SYSTEM FOR ASYNCHRONOUS MOTOR OF ELECTRO-
HYDRAVLIK DRIVER.
O.V Goryachev, V.V. Artushev, A.A. Novikov, I.A. Shigin
Designed of control system for asynchronous motor of electro-hydravlik drive taking into account the saturation of power system.
Key words: asynchronous three-phase motor, autonomous voltage inverter, power supply system, three-phase wrench.
Goryachev Oleg Vladimirovich, doctor of engineering, professor, head of department, i.tula@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Shigin Ilya Alexandrovich, postgraduate., i.tula999@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Artyushchev Vladimir Vasilevich, head department deputy, kbkedr@,tula. net, Russia, Tula, KBP named after academician A.G. Shipunov,
Novikov Alexander Anatolevich, head of sector, kbkedr@,tula.net, Russia, Tula, KBP named after academician A.G. Shipunov
УДК 62-50: 621.13.22
СИНТЕЗ МНОГОМЕРНЫХ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ В АСИНХРОННОМ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ ЗЕНИТНОГО КОМПЛЕКСА
Е.В. Александров, А.В. Жуков
Рассматриваются вопросы синтеза многомерных скользящих режимов в асинхронном трехфазном электроприводе. Процедура синтеза управления разработана для случая, когда количество разрывных управлений превосходит размерность пространства управления.
Ключевые слова: скользящий режим, асинхронный двигатель, разрывное управление, электропривод, динамика, синтез.
Наиболее простой электрической машиной среди используемых в электроприводах наведения пеленгаторов и вооружения зенитных комплексов «Каштан», «Панцирь» является асинхронный двигатель (АД) с короткозамкнутым ротором. Он компактен, имеет малую массу на еди-
ницу мощности, прост в эксплуатации. Этим обусловлено то, что асинхронный электропривод средней мощности (класс напряжения 380, 660 В и ряд мощностей до 500 кВт) является наиболее массовым среди электроприводов, применяемых в том числе и в различных отраслях промышленности. При этом с точки зрения управления АД является сложным объектом, так как описывается существенно нелинейной системой дифференциальных уравнений высокого порядка и для его нормального функционирования необходимо управлять несколькими взаимосвязанными величинами, используя только канал, по которому поступает энергия. С практической точки зрения управление на скользящих режимах обеспечивает близкие к предельным динамические возможности электропривода, простоту реализации, понижение порядка рассматриваемой системы на единицу, нечувствительность к изменениям параметров электропривода, инвариантность к изменениям внешней нагрузки, апериодический переходный процесс [1].
Рассмотрим задачу синтеза скользящих режимов при управлении частотой вращения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором.
АД питается от преобразователя частоты. Каждое из выходных напряжений иа, иь, Ц фаз статора А, В, С преобразователя, подаваемых на
соответствующие фазы двигателя, в любой момент времени может быть равным + и0 или - и0, а компоненты напряжения и потока статора (ротора)
АД связаны с фазными составляющими преобразователя частоты соотношениями
_ 2
\ир) _ 3
где ^ V
V еаР
вва, ввр,
X
'ср)
иЛ
а
ив
У
уУр)
е„
V еаР
е
X
-ср )
Уа л
У
У )
(1)
еса,еср - направляющие орты фаз А,В,С, и если ось фа-
зы А ориентирована по оси а, то
' 1л/3Л 2, 2
е! = (1,0), ев
< =
л/3 Л 2
(2)
Ненасыщенный симметричный асинхронный двигатель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений пятого порядка относительно частоты вращения ротора и компонент потокосцеплений ротора у/а„ у/р и токов статора а , а в неподвижной ортогональной системе координат (а, Р):
е
е
е
е
е
е
d . .1 1 -c 1 -c ТТ 1
la =-la — +Va—;r+Vp-П-+ U
dt a a Т
cTr
а
cL,
d . .1 1 -c 1 -c тт 1
~TtlP = -lp+ + n-+ UP~T
dt Tc cT c H cL„
d
1
1
(3)
Ma = la T J ~Mp'
dt
d • _1 - _1 T Mp t
—w = i„--wa--w • n;
d^ a P T1 * P ™ ' a '
где c = 1
Lz
LL
1 t
П = 1 j [km (Valp - Wpla ) - Mc , J 0
, T = L. T = L . ±= k = 2p L
cTr 3 Lr
Д., L„ - актив-
Tc nT
ное сопротивление и индуктивность статорной цепи; Яг, - активное сопротивление и индуктивность ротора; Ьт - взаимоиндуктивность; п -частота вращения ротора.
Обмотки статора соединены в звезду и фазные напряжения образуют трехфазную систему, т. е. сумма средних значений напряжений иа иь ис равняется нулю. Величина потокосцепления статора || поддерживается на уровне у 2 ), обычно близком к насыщенному состоянию магнитопровода.
Для синтеза скользящего режима с релейным управлением запишем поверхность разрыва в каноническом пространстве [2] на плоскости координат ошибки и ее производной, характеризующих отклонения системы от желаемого режима:
а
, = c1(n1 - nz) + — (n1 - nz);
dt
s2 = c2(M-Vz)+d (|v|-Wz);
,3 =j (Ua + ub + Uc )dt;
0
(4)
c1 = const.
Устойчивость скользящего режима обеспечивается при равенстве нулю функций (4) [3]. Так как уравнение ,1 = 0 можно рассматривать как уравнение на рассогласование фактической и заданной частоты вращения ротора, которое при с1)0 будет стремиться к нулю по экспоненциальному закону с постоянной времени 1/c1. Равенство нулю (,3 = 0) обеспечивает условие трехфазности для средних по времени напряжений ua Ub Uc преобразователя. Равенство нулю функций (4) обеспечивается за счет органи-
зации скользящего режима на пересечении поверхностей = 0, я2 = 0, я3 = 0 с помощью управления иТ = (иа,иъ,ис), компоненты которого являются разрывными функциями, и обеспечения устойчивости проекции движения на подпространство я = 8Т = (я2, я3), описываемого дифференциальным уравнением
я = ^ + Би, (5)
где Б - вектор, ¥т = (//2,0), и матрица Б не зависят от управления, а вычисляются в результате дифференцирования функций я2,
Компоненты /1, /2 являются параметрами угловой скорости, ускорения, модуля потока двигателя и его производной по времени. Матрица Б определяется из соотношения
'Б?
Б
V а )
(6)
где
Б1 = ку
Г1 з 0
V
0
К
И
(
\
Ир Ир
V-Иp Иа)
= (1,1,1), к=СО№\, у =
Ь1 - ь
Сходимость решений нелинейной системы (5) к началу координат обеспечивается с помощью матрицы специального вида. Для того чтобы решить задачу устойчивости движения в подпространстве я, воспользуемся инвариантным преобразованием уравнений поверхностей разрыва. Вы-
/V
берем матрицу 2 в преобразовании Z = Z • я:
2 = Б-1 =
33 3 1 где У = ^^; М =
ГГ(еааИр- еарИа) М(еааИа- еарИр) 1 У(ееаИр- еврИа) М(еааИа- ^арИр) 1 У(есаИр- е срИа ) М(еааИа- варИ.р) 1
(7)
у\И\ 2 уЬг \И\
Матрица 2 существует, так как Ф 0 всюду, за исключением точки И = 0 .
Уравнение движения на подпространстве я * запишется в виде
5= +и. (8)
&
Пусть компоненты вектора управления
и = и^п я* (9)
претерпевают разрывы на поверхности я*, я*, я*.
При достаточно большом и0 всегда найдется такая область в пространстве я * (включая начало координат), что для каждой компоненты вида
X
¿0 = +(10)
выполнятся условие
и0 > |^0г|, I = 1,2,3.
Соотношения (8) - (10) означают, что знаки функции я* и их ско-
*
ростей противоположны и на каждой поверхности ¿V возникает скользящий режим. Таким образом, обеспечивается равенство нулю вектора я* и
вследствие невырожденности матрицы ^ - вектора я, т. е я = 0.
На практике встречается случай, когда размерность вектора управления больше числа поверхностей разрыва, в частности, многофазные системы электропривода переменного тока, в которых необходимо управлять двухмерным вектором состояния электрической машины за счет выбора мерного (т - число фаз, т > 3) вектора управляющих воздействий -фазных напряжений преобразователя [4].
Рассмотрим линейную по управлению динамическую систему
* = /(х, г) + В(х, г) •и, (11)
где /(х, г), х - п-мерные столбцы; В(х, г) - матрица размерности п х т; и - т -мерный вектор управления.
В классе систем с разрывным управлением выбор компонент и) вектора управления
и определяется значением функций переключения , причем для решения задачи управления достаточно обеспечить скользящее движение вдоль многообразия яТ =(я1,..., яп ) = 0, представляющего собой пересечение независимых поверхностей разрыва размерности вектора управления.
Рассмотрим случай, когда число функций переключения не равно размерности вектора управления. В этом случае гапкВ(х, г) < шт(п, т) или, несмотря на максимальный ранг матрицы В(х, г), число функций переключения меньше размерности вектора управляющих воздействий. Появляющиеся степени свободы будем использовать для рациональной организации переключений компонент управления.
Пусть размерность вектора я равна т -1 и проекции движения на подпространство х) описываются уравнением
я = в/+ вВц (12)
где в - матрица размерности т - 1х п, стоки которой являются векторами-градиентами функций х); вВ - матрица размерности т - 1х т и
гапквВ = т -1.
Функции /(х, г) и В(х, г) на поверхности разрыва удовлетворяют условию Липшица - решение разрывной динамической системы х = /(х, г)
существует и единственно, если для правой части найдется константа Липшица Ь такая, что для любых двух векторов Х\ и х 2
|/(^ 1) - I(Х2 ,1 ^ ^ Ь|Х1 -
Для определения параметров скользящего режима введем новую переменную х0 и воздействие V. Движение системы в расширенном пространстве описывается уравнением
5' = Р' + Вы , (13)
где 5 '=(51,..., -1, хУГ; Р *=((ОР)т ,vJ;
г ОБ л
В = \
\ ¿А Х1),..., ¿тт (x, 1)
(14)
Величины ¿т1,...,¿тт выбираются таким образом, чтобы матрица В имела максимальный ранг, т. е гапкВ = т. Тогда вследствие невырожденности матрицы В можно использовать один из известных методов синтеза скользящих движений [4]. Воспользуемся методом диагонализации, согласно которому компоненты вектора управляющих воздействий ^ вы** /■ . Л ч **
бираются в зависимости от знака компонент 5, (I = 1,...,т) вектора 5( :
и, (х,,) = { и (Х,') при \< 0; (15)
[ и{ (х, ^) при 5** > 0.
Векторы 5; и 5** связаны преобразованием
5''= Х5;. (16)
Матрица Х(х, 1) выбирается таким образом, чтобы скорость изменения каждой из компонент вектора 5;;, вычисляемая дифференцированием (16) в силу (13), зависела лишь от компоненты и, вектора управления. Такая зависимость обеспечивается, если
ХВ = Ша^ (х, 1 (х, 1)), (17)
где Ф 0 (, = 1,...,т).
Предполагается , что для матрицы (х, 1) выполняется требование ограниченности функций \Х\\ и X-1 , обуславливающее инвариантность
скользящих движений к линейному преобразованию поверхностей разрыва. Вычисляя производные 5;; на траектории системы (13), получим, что
4,и;>-| ХЕ' + ХТ \; (18)
чи;>-\хр '+ ¿я" . (19)
Функции 5, и производные 5, имеют разные знаки, т. е. на каждой из поверхностей 5;* (х, 1) = 0, а следовательно, и на их пересечении выполня-
ется условие существования скользящего режима. Это означает одновременное равенство s** и вследствие невырожденности преобразования (16) s* равно нулю.
Используя выражения (16) - (17), можно определить число переключений N в системе (13), когда элементы, реализующие переключение (15) управления U, имеют гистерезисную характеристику с шириной петли Аi. Ширина петли гистерезиса релейных элементов выбирается из условия обеспечения точности регулирования по каждой координате st . Как правило, требования точности отработки формулируются в задании «трубки» 8i изменения величины st . Используя (6), можно вычислить значения величины А j, обеспечивающей движение изображающей точки вдоль каждой из поверхностей разрыва внутри соответствующей «трубки» 8i. Величина А j представляет максимальный диаметр проекции области Z на j -ю ось области s*, s* < 8i. Уравнение проекции на подпространство s** в соответствии с (16), (17) имеет вид
s** = F** + Z2h + diagfe,..., qm U, (20)
где F** = ZS* +Zfif, Z1 - матрица размерности mx m—1, составленная из первых m—1 столбцов матрицы Z; Z 2 - матрица размерности mx1 с элементами coim (х, t), представляющими последний столбец матрицы Z.
С учетом симметричности управления Ui =—Ui signS**, U >0, Ui = const и малости величины А при медленном изменении компонента вектора F * * + Zy за время периода коммутации Tt их можно считать постоянными число коммутаций в единицу времени определится выражением
2
и -
N = У- = —±кЛ-^2 у , (21)
£ Т 2А 1=1 гЧг и
где к1 = А / А1 - масштабный коэффициент; щ - элементы вектора столбца
7—т **
Таким образом, в статье рассмотрены вопросы синтеза скользящего движения в электроприводе вооружения зенитных комплексов «Каштан», «Панцирь» при управлении скоростью асинхронного двигателя. Предлагается метод использования избыточной размерности вектора управления, основанный на расширении пространства состояния и использования дополнительного критерия, характеризующего функционирование системы управления. С учетом симметричности управления (квазистатичности про-
цесса скольжения) при заданной точности регулирования предложена формула для определения периода скользящего движения.
Список литературы
1. Уткин В. А. Задачи управления асинхронным электроприводом // Автоматика и телемеханика. 1994. № 12. С. 53 - 65.
2. Теория систем с переменной структурой / С.В Емельянов [и др.]. М.: Наука, 1970. 592 с.
3 Использование скользящих режимов в задачах управления электрическими машинами / Д.Б. Изосимов [и др.]. // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241. № 4. С. 768 - 772.
4. Высокоточный асинхронный следящий электропривод с многомерным разрывным управлением / Е.В. Александров [и др.]. // Системы управления электротехническими объектами: материалы докл. участников Всерос. науч.-практ. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С.79 - 80.
Александров Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., нач. отдела, aleksandrov-e@yandex.ru, Россия, Тула, ОАО «Конструкторское бюро приборостроения им. академика А. Г. Шипунова»,
Жуков Александр Викторович, канд. техн. наук, глав. конструктор, нач. отделения, kbkedr@,tula.net, Россия, Тула, ОАО «Конструкторское бюро приборостроения им. академика А.Г. Шипунова»
SYNTHESIS OF MULTIDIMENSIONAL SLIDING MODES IN ASYNCHRONOUS ELECTGRIC DRIVE OF AIR-DEFENSE SYSTEMS
E.V. Aleksandrov, A.V. Shykov
Problems of synthesis of multi-dimensional sliding modes in a three-phase induction electric drive are considered in this paper. The control synthesis procedure was also developed for the case, when the number of discontinuous controls exceeds the dimension of control space.
Key words: sliding mode, induction motor, discontinuous control, induction electric drive, dynamics, synthesis.
Alexandrov Evgeniy Vasilevich, doctor of engineering, professor, head of department, aleksandrov-e@yandex.ru, Russia, Tula, KBP named after academician A.G. Shipunov,
Zhukov Alexander Viktorovich, candidate of engineering, design manager of antiaircraft sea-based systems, head of department, kbkedr@,tula.net, Russia, Tula, KBP named after academician A.G. Shipunov
