УДК 62-503.56
СИНТЕЗ МИНИМАЛЬНО-ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМОЙ ПРОГРАММНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ДАВЛЕНИЯ
Е.С. Белянская
Рассмотрена методика синтеза минимально-переключательных законов управления системой программного регулирования давления.
Ключевые слова: минимально-переключательные законы управления, система программного регулирования давления.
Разработка систем программного регулирования давления представляет собой перспективное направление развития систем газоснабжения в различных областях промышленности и здравоохранения, вследствие использования в их составе дистанционно перенастраиваемых регуляторов давления (РД). Один из наиболее часто реализуемых вариантов системы программного регулирования давления (СПРД) представляет собой конструкцию, в которой настройка регулятора давления определяется величиной задающего давления, изменяемого посредством включения и выключения электропневмоклапанов (ЭК), сообщающих полость задающего давления с магистралями высокого и низкого давления. Принципиальная схема одного из возможных вариантов СПРД представлена на рис.1, математическая модель этой системы была рассмотрена в работе [1].
Рис. 1. Принципиальная схема СПРД
На схеме обозначено: РД - регулятор давления, ЭК - электропнев-моклапаны, ДД - датчик давления, ДР - дроссельные шайбы.
Рассмотрим формализацию задачи синтеза минимально-переключательных законов управления СПРД.
Перенастройка РД, входящего в состав СПРД, и совершаемые с этой целью переключения клапанов должны производиться так, чтобы величины выходного давления РД и его производных по времени в процессе их изменений, обусловленных в том числе значительной инерционно-
149
стью регулятора как объекта управления, не выходили за установленные пределы. Последние определяются, в частности, условиями отсутствия ударных и резонансных явлений в выходном трубопроводе, а также прочностными свойствами потребителей, обслуживаемых данным РД.
Изложенное требование можно учесть назначением желаемой зависимости P(t) изменения во времени выходного давления Рвых в процессе
настройки РД. При этом предполагается также заданным время настройки
*
T , и максимально допустимое отклонение выходного давления Рвых от назначенных ему значений.
Закон переключений управляющих ЭК математически может быть выражен функцией u (t), принимающей три возможных значения:
u = - A, u = + A, u = 0. Эти значения переводят РД соответственно в режимы:
- уменьшения Рвых (ЭК1 (впускной) закрыт, ЭК2 (выпускной) открыт);
- увеличения Рвых (ЭК1 (впускной) открыт, ЭК2 (выпускной) закрыт);
- стабилизации Рвых (ЭК1 (впускной) закрыт, ЭК2 (выпускной) закрыт).
Таким образом, u (t) принадлежит классу U кусочно-постоянных
*
функций времени, определенных на отрезке [0, T ] и принимающих значения из множества {— A, 0, + A}.
Числом переключений клапанов в процессе настройки РД является
*
число N моментов времени на отрезке [0, T ], в которые происходит смена значений функции u(t) .
Закон переключений управляющих клапанов ЭК1, ЭК2, отражаемый функцией u(t), является искомым законом управления РД в режиме настройки (далее говоря об управлении РД, будем иметь в виду управление им в режиме настройки).
Известен оператор Ф, отображающий для заданного начального состояния РД закон u(t) в функцию Рвых^), то есть Рвых() = Ф(u(t)).
Текущей ошибкой управления РД является величина: P(t) — Рвых.(t).
Интегральная ошибка управления z представляет собой значение функционала, оценивающего близость функций Р (t), P<3ux(t), который может быть задан формулой:
z = max| P(t) — Peux.(t )|,
где te[0,T].
Точность управления РД считается достаточной, если
* <е, (1)
где е - предельно допустимое значение ошибки управления * .
С учетом сделанных замечаний рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом.
Необходимо найти закон и (г) е и , обеспечивающий достаточную точность управления РД, входящего в состав СПРД, и имеющий минимально возможное число переключений N.
В представленной постановке она представляет собой задачу синтеза минимально-переключательных программных управлений, сформулированную в [2] применительно к линейным динамическим объектам.
Следует отметить, что СПРД заведомо не является линейным динамическим объектом, вследствие наличия в его математическом описании таких существенных нелинейностей как сила сухого трения, газодинамических функций, нелинейного закона открытия-закрытия управляющих ЭК. Поэтому возможность применения методики синтеза минимально-переключательных законов управления, сформулированной в работе [2], применительно к рассматриваемому объекту исследования, требует специального обоснования.
Применительно к линейным динамическим объектам задача синтеза минимально-переключательных законов управления сводится к последовательности задач нелинейного программирования и может быть эффективно решена численными методами конечномерной оптимизации.
Для этого предлагается следующая методика.
Выделим в и множество функций и (г) общего вида. Функция и(г) еи принадлежит указанному множеству, если:
а) ее значения, сменяя друг друга во времени, образуют ряд
0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 -
и ,и ,и ,и , и ,и ,и ,и , ...и ,и ,и ,и ,
иными словами, если управляющее реле, совершает колебания, всякий раз проходя значения и 0, и+, и 0, и -, не нарушая их указанной очередности,
(далее последовательность значений и 0, и+, и 0, и - будем называть полным циклом колебаний, а интервал времени, на котором и (г) сохраняет свое значение постоянным, ее фазой);
*
б) число фаз функции и (г) на отрезке времени [0, Т ] кратно четырем и, следовательно, все циклы колебаний, включая последний являются полными.
Допускается, что некоторые фазы в функции общего вида могут иметь нулевую продолжительность.
Искомое управление представим как функцию общего вида
N
и(г) = X s(t -т7) -Ф7 , (2)
7=1
где - момент времени, соответствующий завершению ]-й фазы и(г) и подаче на вход объекта управления ступенчатого воздействия
А, если г > т7,
^-т 7) =
(3)
0, если г < т7,
где ф7 определяет знак ]-го слагаемого в (2) в соответствии с порядком смены фаз функций общего вида, значение ф7 равно >му члену ряда:
+1,-1,-1,+ 1,+ 1,-1,-1,......., +1,+1, -1, -1.
Относительно моментов времени т ^ полагаем
т 7+1 >т 7, при ) = 1,..., п -1, (4)
т7 > 0, при ) = 1,...,п. (5)
Согласно принципу суперпозиции реакцию линейного стационарного динамического объекта управления можно представить суммой его реакций на слагаемые входного воздействия. Следовательно, с учетом сделанных допущений справедливо равенство
0 N
у(г) = у V) + X И(г -т7) -ф7, (6)
7=1
где у0(г) - выход объекта, соответствующий воздействию и(г) ° 0 , И(г -т7) - реакция на воздействие -т7), представляющая собой переходную характеристику И (г) объекта управления, смещенную вправо вдоль оси времени г на величину 17.
Теперь рассматриваемая задача эквивалентна следующей: найти минимальное значение N
шп( N) (7)
за счет надлежащего выбора вектора т = (т1,т2,...т7,...тN), обеспечивающего выполнение условий (1) - (6).
Таким образом, она переходит из проблемы бесконечномерной в проблему конечномерной оптимизации, поскольку вместо бесконечного числа значений, составляющих искомую функцию и (г) е и, требуется найти конечное число значений компонент вектора т .
152
Следовательно, для поиска решения могут применяться численные методы конечномерной оптимизации, более универсальные и эффективные в вычислительном плане, чем методы оптимизации в бесконечномерном пространстве.
Специфика задачи нахождения минимального значения N заключается в том, что при ее решении в качестве минимизируемой величины выступает размерность искомого вектора т, что не позволяет применить для ее решения классические численные методы оптимизации без дополнительных усовершенствований.
Предварительно можно отметить, что решение задачи нахождения минимального значения числа переключений (обозначим, как шт(К)) рав-
лг0
носильна поиску минимального по величине корня N уравнения
шт( 2 (N)) = е, (8)
в котором функция шт( 2 (N)) определяет минимальное значение ошибки управления 2 .
Геометрическая интерпретация уравнения (8) имеет вид, представленный на рис. 2.
т
1 к —
о
№ "г
Рис. 2. Геометрическая интерпретация задачи нахождения минимального числа переключений
Значение функции шт( г(N)) монотонно убывает с ростом N либо остается постоянным, т.к. увеличение N ведет к расширению множества возможных управлений и . Установив, таким образом, что функция шт( г(N)) имеет невозрастающий характер, уравнение (8) имеет либо
один корень N0, либо несколько близко расположенных друг к другу корней.
Для поиска N0 можно воспользоваться, в частности, методом дихотомии, дополнив его проверкой на принадлежность к множеству корней
значения N0 -1, где N0- найденное минимальное значение корня. Вычисление функции шт( г(N)), предполагает следующее:
найти шт[ г(т)] при теТ^, (9)
153
где TN - множество значений т, удовлетворяющих условиям (4) - (5), г (т) - функция, вычисляемая по соотношениям (1) - (6).
Таким образом, задача вычисления шт( г(N)) состоит в поиске условного минимума нелинейной функции N действительных переменных, в качестве которых выступают компоненты вектора т .
Однако применить для решения данной задачи соответствующие численные методы напрямую нельзя, вследствие, во-первых, отсутствия хорошего начального приближения для вектора т , во-вторых, вследствие неопределенности правой границы интервала, в пределах которого необ-
лг0
ходимо искать значение N .
Поэтому решение задачи нахождения шт( г(N)) происходит в два
* 0
этапа. На первом этапе находится верхняя оценка N значения N и соот-
*
ветствующий ему вектор т , которые были бы близки к оптимальным значениям N0 и т0. На втором этапе определяются методом исключения фаз минимальной продолжительности функции и (г), оптимальные значения
0 0 * □
N и т , используя в качестве начального приближения найденные N
*
и т .
* *
Для определения значений N и т используется алгоритм, состоящий в выполнении следующих действий.
Задача шт( г (N)) решается в пределах отрезка времени
*
[^, ] е [0, Т ], который мал настолько, что число совершаемых на нем переключений и(г) и, следовательно, число неизвестных, определяемых на текущем этапе алгоритма, достаточно мало для эффективной работы используемого численного метода условной оптимизации функции действительных переменных. Допустимое число переключений N1^ функции и(г) в пределах отрезка [^, ^ ] устанавливается кратным четырем, что соответствует нескольким полным циклам колебаний реле. Предполагается, что
*
N1^ > 8, а также = 0 и длительность всех фаз реле равными Т / N1^. С целью повышения эффективности работы алгоритма условной оптимизации в процессе минимизации г(т ) производится поэтапное приближение закона Р(г), подставляемого в (1), начиная с реакции объекта на начальное приближение и (г), и кончая законом Р(г), определенным условиями задачи.
Если в результате работы алгоритма минимизации условие шт[ г(т)] < е на текущем отрезке [^, ^ ] выполнить не удается, последний сжимается посредством уменьшения . Такое сжатие продолжается до
тех пор, пока не будет выполнено условие шт[ г(т)] < е, либо пока отрезок [^, ] не станет меньше предельно допустимой величины (например,
определяемой предельным временем переключения реле). В последнем случае констатируется невозможность решения поставленной задачи.
Если по окончании минимизации г(г) условие шт[ г(т)] <е выполнено, производятся попытки увеличить , не увеличивая числа переключений N1^. Когда дальнейшее расширение окна оптимизации [^, ] путем увеличения становится невозможным (условие шт[ г(т)] <е уже не удается выполнить), переходят к новому отрезку [^, ], смещенному относительно текущего вправо. При этом новый отрезок, равный по протяженности текущему, захватывает его правую часть. Левая часть текущего отрезка, равная длительности первых четырех фаз функции и (г), най-
*
денных на данном этапе, отходит к части отрезка [0,Т ] , на котором функция и (г) приобретает «определившийся» вид. Моменты переключений, соответствующие указанным четырем фазам и (г), запоминаются в качестве
очередных компонент конструируемого таким образом вектора решения
*
т.
Остальные фазы функции и(г) из текущего окна оптимизации используются в качестве начального приближения первых фаз и (г) на новом интервале [^, ]. Длительность фаз, оставшихся неопределенными,
*
полагают равными Т / N1%. После того как в предлагаемом алгоритме
*
завершится оптимизация на отрезке, в котором значение > Т , процесс
**
определения N и т заканчивается.
* 0 / * 0\ Найденное значение N является верхней оценкой N (N > N ).
*0
Значение N близко к N вследствие постоянно предпринимаемых в процессе поиска т* попыток расширить интервал [^, ] без увеличения N1%,
что в конечном счете приводит к уменьшению общего числа переключе*
ний на всем отрезке [0, Т ]. Указанная близость позволяет значительно сократить число анализируемых вариантов в процессе решения задачи
*
шт( N), используя N как правую границу исследуемых значений N. По
тем же причинам т* можно считать достаточно близким к т0 и использовать его для формирования начальных приближений в последующих процедурах уточнения значений т0 и N0.
155
Далее, исключая из полученного закона управления u (t) фазы минимальной продолжительности, продлевая на длительность каждой из них фазу, предшествующую исключаемой, находятся оптимальные значения
t0 и N0, а следовательно, и искомый минимально-переключательный закон управления u (t).
Вышеизложенный метод сведения задачи синтеза минимально-переключательных законов управления к последовательности задач нелинейного программирования, в результате предлагаемых ниже усовершенствований может быть использован для решения рассматриваемой задачи без привлечения в полном объеме гипотезы о линейности СПРД, как объекта управления, может быть реализован с использованием известных процедур и методов нелинейного программирования [3].
Список литературы
1. Новоселова Е.С. Исследование статических характеристик системы программного регулирования давления // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 2003. Вып. 6. Ч. 1.
2. Мозжечков В. А. Построение минимально-переключательных законов управления линейными динамическими объектами // Справочник. Инженерный журнал. 1998. №10. С. 61 - 64.
3. Васильев Ф.П. Численные методы оптимизация. М.: МЦНМО, 2011. 620 с.
Белянская Елена Сергеевна, канд. техн. наук, доц., nes2451@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
SYNTHESIS OF MINIMUM-SWITCHING SOFTWARE CONTROL LAWS PRESSURE CONTROL SYSTEM
E.S. Belyanskaya
The method of synthesis of the minimum-switching control laws the system of program regulation of pressure is considered.
Key words: minimum switching control laws, system of program regulation ofpres-
sure.
Belyanskaya Elena Sergeevna, candidate of technical sciences, docent, nes2451@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University.