Синтез локальным методом оптимального по быстродействию рулевого пневмопривода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, разработана система управления приводом стабилизации части высокодинамичного вращающегося по крену объекта. Получена упрощённая математическая модель привода стабилизации с вентильным исполнительным двигателем. Предложена структура системы управления таким приводом и представлены результаты её моделирования в системе Matlab.

Список литературы

1. Фираго Б.И., ПавлякЛ.Б. Регулируемые электроприводы переменного тока. Минск: Техноперспектива, 2006. 363 с.

S.V.Minchuk, A.G.Efromeev, O.V.Goryachev

THE LIST ROTATING AIRCRAFT CONTROL SYSTEM

The list rotating aircraft control system is described. As the final control element switched motor with a positional modulation is used.

Key words: rotating aircraft, switched motor.

Получено 03.10.11

УДК 681.5.01

Н.В. Фалдин, д-р техн. наук, проф.,

A.B. Моржов, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-38-35 (Россия, Тула, ТулГУ)

СИНТЕЗ ЛОКАЛЬНЫМ МЕТОДОМ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ РУЛЕВОГО ПНЕВМОПРИВОДА

Излагается синтез оптимального по быстродействию рулевого пневмопривода, работающего в релейном режиме. Привод как объект управления содержит жесткие механические упоры, которые приводят к разрыву фазовых траекторий системы. Синтез выполняется локальным методом.

Ключевые слова: пневмопривод, оптимальное управление, быстродействие, синтез, локальный метод.

Введение

Одна из сложных проблем, которую приходится преодолевать при синтезе оптимальной по быстродействию системы, обусловлена высоким порядком объекта управления. В работе эта проблема решается применением локального метода синтеза. Особенностью локального метода является то, что он ориентирован на получение оптимального закона управления для ограниченной области начальных состояний, т.е. начальных состояний, которые реально могут иметь место в синтезируемой системе. Это дает возможность существенно уменьшить размерность пространства,

в котором выполняется синтез оптимального закона управления. Именно локальный метод позволяет выполнить синтез оптимальной по быстродействию системы для широкого класса технических объектов управления.

На рис. 1 изображена структурная схема пневмопривода как объекта управления, где: я - оператор дифференцирования, Т1 = 0,002 с,

Т2 = 0,00106 с, \ = 6,5, ст=3,927-10_4 м/Па, ц = 532950 с"2, Б = 0,015 рад,

К = 0,01 рад/В, К2 = 1,9• 108Па/рад, К3 = 3,23-10_3рад• с/м.

Рис. 1. Структурная схема объекта

Постановка задачи

На управление наложено ограничение |и(ґ)| < А = 27. Объект управления содержит ограничители в форме жестких механических упоров [1], которые ограничивают изменение координаты а1:

|а1 < Э.

Движение, при котором не достигаются ограничители, т.е. |а1(ґ) < Э, будем называть свободным. В соответствии с рис. 1 свободное движение задается уравнениями

а 1 =а 2, а 2 = а2 [К^ - 2^а 2], (1)

Р = 4 2 [К 2(а1 - К 3Ф 2) - РIФ1 =Ф 2, Ф 2 =°Р"^ФЬ а движение на ограничителе - уравнениями

а 1 = 0, а 2 = 0,

Р = 4 2 [К 2(а1 - К 3Ф 2) - РIФ1 =Ф 2, Ф 2 =°Р-ЦФ1.

Здесь 4і =—, а2 =—.

Т1 Т2

При движении на ограничителе объект управления должен прижиматься к упору, т.е. должно выполняться неравенство

(К 1и -а1)БІ§п(а1) > 0. (3)

* **

Обозначим ґ момент входа системы на ограничитель, а ґ - мо-

мент схода с ограничителя. Предполагается, что удар об упор является аб-

солютно неупругим:

+ 0) = а,1(/*- 0), а2(^1+ 0) = 0- (4)

В точке схода с ограничителя фазовая траектория системы остается 11 11

непрерывной, т.е. х(? + 0) = х(? - 0), где х = (а^, а2, р, Ф1, Ф2) - фазо-

вый вектор системы.

Привод работает в релейном режиме и должен за минимально возможное время обеспечить перемещение рулей из установившегося состояния ф1 = +Ь в установившееся состояние ф1 =±Ь, где Ь - любое число,

1

лежащее в диапазоне 0 < Ь < Ь . Как следует из рис. 1, если ф1 установившееся равно Ь, то установившиеся значения остальных фазовых переменных задаются равенствами

цЬ цЬ

«1 =—г-, а2 = ^ р = —, Ф2 = 0. (5)

<зК 2 а

Таким образом, необходимо найти закон управления, который наибыстрейшим образом переводит фазовую точку системы из начального со-

стояния х(0) = +

в точку х(Т) = ±

, где Ь -

*

любое положительное число, удовлетворяющее неравенству Ь < Ь . В со! 7* ОаК2

ответствии с (4) и рис. 1 Ь =-----—.

Ц

Условия оптимальности

Для нахождения оптимального управления и оптимальных траекторий воспользуемся необходимыми условиями оптимальности [1].

На участках свободного движения функция Гамильтона

2

Н^у, х,и) = ^а 2 +у 2 Ч1 (К1М - 2£7\а 2 -^1)+

+ У 3^2( К 2(а1 - К 3Ф2) - р) + у 4Ф 2 5(аР-ЦФ1).

Если движение происходит на ограничителе, то

Н 2(у, х,и) = ^1 • 0 + у 2 -0+У зЧ2(К 2(^1 - К 3Ф2) - р) +

4 Ф2 + У 5(^Р-ЦФ1).

*

В точке ? входа на ограничитель должно выполняться условие скачка

У101 * -0) = ^1(^* + 0) + P, V2(1 * -0) = 0 V3(1 * -0) = Уз(?* + °Х ^

(6)

У4^ -0) = у4(? + 0), у5(? -0) = у5(? + 0).

11

В равенствах (6) р - произвольное число. В момент ? схода с ограничителя вспомогательный вектор у (?) сохраняет непрерывность, т.е.

^ а - о)=+ о). (7)

Воспользовавшись условием непрерывности функции Гамильтона в

*

точке ? , найдем, что

* *

Щ(* - 0)а2^ - 0) = 0. (8)

*

Если а2^ - 0) = 0, тов этой точке фазовая траектория касается ограничи-

*

теля, причем при ? > ? , как нетрудно установить, движение объекта опи-

*

сывается уравнениями (1). В такой ситуации момент ? не следует рас*

сматривать как точку входа на ограничитель. При а2^ - 0) ф 0 из (8) еле-

*

дует, что - 0) = 0. Таким образом, в точке входа на ограничитель

* *

У1<7 -0) = ^ у2(г -0) = 0. (9)

Аналогичным образом, записав условие непрерывности функции

**

Гамильтона в момент ? , найдем, что

У 2(* ) = 0. (10)

Вспомогательныйвектор у(?) задаетсяуравнениями [1]

2 2 = П1 V2 -К2П2^3, = -^1 + 2^П1^2,

^ 3 П ^ 4 .. ^ 5 К К П.

~7~-П2V3 5, _7Т5, _7Т~К2К3П2V3 “V4;

ш ш ш

^1 К П Ш ^ 2 0 3 П ш

—— = -К 2п2У 3, = 0, —Т~ = П 2^ 35,

ш ш ш

4 = 5, = К2К3П2У3 -V4.

(11)

(12)

а ’ а

Уравнения (11) соответствуют свободному движению, а уравнения (12) -движению на ограничителе.

Из условия максимума функции Гамильтона следует, что на участках свободного движения оптимальное управление

и = у 2^). (13)

При движении на ограничителе можно использовать любое управление, удовлетворяющее неравенству (3). Для упрощения оптимального закона управления будем полагать, что при движении на ограничителе

и (£) = ). (14)

Соотношения (6), (7), (9)-(14) задают полную систему необходимых условий оптимальности. Анализ этих условий позволяет сделать вывод о том (он обосновывается ниже), что на оптимальной траектории управление имеет четыре переключения. Здесь речь идет о траекториях, которые обеспечивают указанный выше релейный режим работы привода.

Определение траектории

Выделение указанных траекторий в работе осуществлялось предложенным авторами статьи методом малых приращений.

Пусть известна некоторая оптимальная траектория х(/), которую будем называть опорной. На рис. 2 представлены соответствующие опорной траектории координата ) и оптимальное управление и(/). Изображенные на рис. 2 графики функций соответствуют некоторому начальному

_3

значению ф^(/) = Ь = 1,6 -10 м. Соответствующие 9^(0) установившиеся значения остальных переменных определяются равенствами (5).

Изложим содержание метода, рассмотрев в качестве опорной траекторию, изображенную на рис. 2.

Рис. 2. Видуправления и(ї) ипеременной а^(/)

Зададимся малым изменением начального значения ф1 (0). Это приведет к малому изменению оптимальной траектории, которую обозначим х(ї)+8х(ї). При фиксированном и(ї) уравнения в вариациях имеют вид

8*! = 5х2, 5х2 =-^2[2^5x2-8х!], ^ = + С5Х]; (15)

8Х1 = 0, 8Х2 = 0, = М^Х+ С8*1. (16)

Здесь, чтобы сократить запись, введен вектор х = (р, ф7, ф2), а через 5х обозначена вариация этого вектора. Матрицы Ми С легко находятся из уравнений (1).

В точках ї1, ї2 и ї5 фазовая траектория системы непрерывна. Поэтому можно записать

х (¿1 +8/1) + 8х (¿1 +8/1) = х+ (¿1 +8/1) + 8х+ (?1 +8/1). (17)

В равенстве (17) символами х_ и 8х_ обозначены пределы слева, а символами х+, 8х+ - пределысправа. Через 8^1 обозначенавариациямомента времени /1. Из (17), опуская величины, имеющие порядок малости выше первого, найдем

8х + (?1) = 8х _ (?1) + (х _ (?1) - х + (?1 ))8?1. (18)

В соответствии с (1) вектор

(х“ (/1) - х+ (/1)) = (0, 2К^2 А, 0, 0, 0).

Аналогичным образом получим равенства

8х + (/2 ) = 5х “ (/2) + (х “ (/2 ) - х + (/2 ))§/2,

8х + (/5 ) = 8х “ (/5 ) + (х “ (/5 ) - х + (/5 ))8/5.

В момент /3 из-за удара об упор фазовая траектория претерпевает разрыв первого рода. При / > /3 имеет место движение на ограничителе и, следовательно,

0,1 (/) + 8а1(/) = Б. (20)

Из (20) следует, что 8а^ (/3) = 0.

В соответствии с (2) и (4) при / > /3

а 2(/) + ^а 2(/) = 0 .

(19)

Таким образом, 8а^ (/3) = 0.

В точке схода с ограничителя /4

а^ (/4 +8/4) + 8а^ (/4 + Ы4) = а^ (/4 + Ы4) + 8а{"(/4 + 8/4), а2 (/4 ^ ^/4) ^ 2 (/4 ^ 4) = ^2 (/4 ^ 4) ^ 2 (/4 ^ 8/4).

(21)

Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого и принимая во внимание, что а2 (/4) = 0, из (21) найдем

5а^(/4) = 0, 5а£(/4) = -а£(/4)8/4.

Что же касается вариации 5х(/), то она в точках /3 и /4 является непрерывной вектор-функцией.

Близкая к х(/) траектория х(/) + 8х(/) переводится в конечную точку - х(0) - 8х(0) в некоторый момент времени Т + ЪТ. Обозначим

Дх(Т) = х(Т + 6Т) + 8х(Т + 6Т) - х(Т).

Опуская, как и выше, величины, имеющие порядок малости выше первого, запишем

Ах(Т) = 8х(Т) + х (Т )8Т. (22)

В момент /3 8а^ (/3) = 8а2 (/3) = 0, 8х+ (/3) = 8х (/3). Поэтому при-

ращение Дх(Т) определяется вариациями моментов времени 8^, 8/2, &4, 8/5, 8Т. Указанные вариации находятся из уравнения

8х(Т) + х (Т )8Т = -8х(0),

где

8х(0)=

^Аф1(0) о, Цвф1(0), §ф1(0),0Л

ч ак2 ^ ;

Обозначим V(/) нормированную фундаментальную матрицу реше-

*

ний системы (15), а V (/) - матрицу решений системы (16). Поскольку

8x1" (/3 ) = 8x2 (/3 ) = 0, 8х+(/3) = 8х “ (/3), представим

8х + (/3) = 8х“(/3) - г,

где г = (8x1” (/3), 8x2" (/3), 0, 0, 0).

Из (15), (16), (18), (19) и (22) следует

§х+ (/1) = V (/1)5х(0) + Дх (/1)^/1,

^Х + (/2) = V(/2 - ^ < (/1 ) + Ах(/2 ^¿2 >

5х+ (/4) = V* (/4 - /3 )5 х+ (/3) + Дх(/4 )Л4, (23)

5х+ (/5) = V(/5 - /4 )5 х+ (/4 ) + Дх(/5 )5 /5,

Ах(Т) = V (Т - /5 )5х+ (/5) + х (Т)5Т.

Здесь Ах(/,) = х _ (/,) - х+ (/,).

Уравнения (23) позволяют выразить приращение Ах(Т) через начальное приращение 8х(0) и вариации моментов времени 8^1, Ы2, Ы4, 8/5, 5Т:

Ах(Т) = О^х(0) + О28/1 + О38/2 - О4Г + О58/4 + О68/5 + х(Т)8Т,

где

* *

О1 = V(T-^ (/4 -*3^3), О2 = V(T-^ (/4 -/3^/3 -^М^),

О3 = V(T-^ (/4 -*3Ж*3 -^(Ы О4 = V(T-^ (/4 -/3),

О5 = V(T - /4)Лх(/4), О6 = V(T - /з)Ах(/з).

В определение вектора г входят вариации 8x1” (/3) и 8х^ (/3), которые также выражаются через 8х(0), 8?1 и 8^2:

$х“ (/3) = V(/3 )§х(0) + V(/3 - /1)Ах(/1 )§/1 + (/3 - /2 )Ах(/2 )§/2 . (24)

Вариации 8^1, 6/2, 6/4, 8/5, 5Т находятся из уравнения

О^х(0) + О28/1 + О38/2 - О4Г + О58/4 + О6&6 + х(Т)5Т = -5х(0). (25)

124

Уравнение (25), с учетом равенства (24) представляет собой систему из пяти линейных алгебраических уравнений относительно пяти неизвестных 8?1, Ы2, Ы4, 8/5 и 5Т. Задаваясь малыми изменениями х(0), можно последовательно (шаг за шагом) выделить всю необходимую совокупность оптимальных траекторий. Метод позволяет выделить как траектории, соответствующие свободному движению, так и траектории, имеющие участки движения на ограничителе. Для исключения накапливаемой ошибки целесообразно через несколько шагов уточнять результат с помощью метода Ньютона.

Опорная траектория определялась путем конечномерной минимизации функционала

J = (х(0) + х(Т ))2.

В качестве оптимизируемых параметров рассматривались моменты времени ?1, ?2, /4, /5, Т. Для нахождения минимума функционала (он равен нулю) использовался метод градиента.

Синтез оптимального управления

Покажем, что соответствующая рис. 2 траектория удовлетворяет необходимым условиям оптимальности [1].

Равенства (6), (7) и уравнения (11), (12) позволяют полностью задать вспомогательную вектор-функцию ф(/), если известны начальное условие у (0) и значение параметра р. Для определения у (0) и р можно воспользоваться равенствами

V2(/1) = 0, V2(/2) = 0, УГ(/3) = 0, V2(/3) = 0, V2(/5) = 0. (26)

В момент /3 входа на ограничитель (см. (6)) вектор у (/) имеет разрыв, причем

1 _ *

V (/3) = V (/3) + г ,

*

где вектор г = (-р, 0, 0, 0, 0).

Обозначим W(t) нормированную фундаментальную матрицу ре*

шений системы (11), а W (/) - системы (12). В соответствии с рис. 2 V(/1) = ^1)У(°Х V(/2) = ^2^(0), V “ (/3) = ^3^(°Х

I н< н< _ н<

V (/3) = ^3^(0) +г , V(/4 +0) = W (/4 -(/3) +г ), (27)

* __________ *

V(/5) = ^5 -*4^ (/4 -^ХУ (/3) + г ).

Равенства (27) позволяют представить уравнения (26) в виде

RrW(i,)y(0) = 0, RTW(i2)y(0) = 0, RTW(i3)v(0) = 0,

т7 T7 * * ^ '

LT Wfo)V(0) = 0, RT W(t5 -14)W (t4 -t3)(W(t3)y(0)+r ) = 0.

T T

Здесь R = (0,1, 0, 0, 0), L = (1, 0, 0, 0, 0), символами R и L обозначены транспонированные векторы.

Необходимыми условиями оптимальности вектор у(t) задается с точностью до положительной константы. Для представленной на рис. 2 траектории положим у 2(0) = 1. В этом случае равенства (28) представляют собой систему из пяти линейных алгебраических уравнений относительно пяти неизвестных. Отметим, что первые четыре уравнения (28) решаются независимо от пятого уравнения. Пятое уравнение позволяет определить параметр р.

Для траектории, изображенной на рис. 2, было выполнено решение уравнений (28) и определена вектор-функция у (t). Это позволило установить, что данная траектория удовлетворяет всем необходимым условиям оптимальности, т.е. является оптимальной по быстродействию. Аналогичным образом доказывается оптимальность траекторий, на которых |ai(t )| < D.

Для формирования оптимального по быстродействию закона управления целесообразно от фазового пространства системы перейти к пространству ошибок. Введем ошибки

Аф1 = b -ф1, Дф2 = -ф2, Ap = — - p, Aai =-ai, Да2 =-а2.

а а^2

Пусть x(t) - некоторая оптимальная траектория. Каждой точке переключения tj соответствует ошибка Äx(t7-). Через точки Äx(t7-) и начало координат проведем плоскость

Лф1 = С^Дф 2 + C 2 Ap + C^Att 2 + C 4 Att1.

Каждая оптимальная траектория x(t) однозначно задается значением параметра b. Поэтому и коэффициенты плоскости Q- С4 также являются функциями параметра b.

С использованием совокупности рассчитанных оптимальных траекторий были построены графики функций С1 = C1(b), С2 = C2(b), С3 = С3 (b), С4 = C4(b).

На рис. 3 изображен вид функций Q = C1(b), С2 = C2(b) . Каждая из функций Cj = Cj (b) аппроксимировалась полиномом четвертой степени. Для получения аппроксимирующих зависимостей использовался метод наименьших квадратов.

Рис. 3. Вид функций С1 = С\(Ь) и С2 = С2(Ь)

Выполненное исследование показало, что с учетом вида функций СI = С{ (Ь) оптимальный закон управления задается равенством

/V

^§п( Аф1 - С1(Ь)Дф2 - С2(Ь)Ар - С3(Ь) Да 2 - С4(Ь)Да1), если Ь < Ь;

/У

- ^§п( Дф1 - С1 (Ь)Дф 2 - С2 (Ь)Др - С3 (Ь) Да 2 - С4 (Ь)Да1), если Ь > Ь,

здесь Ь - 0,515 -10_3 м.

На рис. 4 изображены оптимальное управление и(/) и компоненты

_3

оптимальнойфазовойтраектории а1(/) и ф1(/) при Ь = 1,8 • 10 м.

0 1 2 3 4 5 6 7

?,С х103

Рис. 4. Оптимальноеуправление и(/) и компонентыоптимальной фазоеойтраектории а^/) и ф^/)

Заключение

Разработан метод синтеза оптимального по быстродействию пневмопривода, работающего в релейном режиме. Привод как объект управления содержит звено с ограничителями в форме жестких механических упо-

ров, которые приводят к нелинейности специфического вида. Свободное движение и движение на ограничителе описываются разными дифференциальными уравнениями, фазовые траектории из-за удара об упоры имеют разрывы первого рода. Использовался локальный метод синтеза. Именно обращение к локальному методу позволило для такого сложного объекта управления получить оптимальный по быстродействию закон управления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-08-00332)

Список литературы

1. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2000. 510 С.

N.V. Faldin, A. V. Morzhov

SYNTHESIS OF TIME-OPTIMAL CONTROL PNEUMODRIVE EXECUTED WITH USING OF LOCAL METHOD

The method of synthesis of time-optimal control relay pneumodrive is considered. The drive as a control object contains mechanical limiters. This fact leads to break of system phase trajectories. The synthesis is done by local method.

Key words: pneumodrive, optimal control law, high-speed performance, synthesis, local method

Получено 03.10.11

УДК 681.5.01

C.B. Феофилов, д-р техн. наук, проф.,

С.А. Войтицкий, асп., (4872) 35-38-35,

Г.Н. Войтицкая, асп., [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

ЦИФРОВАЯ СИСТЕМА ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ДВУХОТСЧЕТНОГО СКТВ ДЛЯ ПРИВОДА НАВЕДЕНИЯ РЛС

Рассмотрена система компенсации угла поворота вала для датчиков типа «ВТ». Проведен синтез аналого-цифрового преобразователя сигналов СКВТ на одном микроконтроллере с заданными точностными и динамическими характеристиками.

Ключевые слова: СКВТ, система компенсации, DSP-контроллер, проектирование.

Выбор между имеющимися датчиками углового положения, используемыми в приводах, определяется свойствами самого привода. В приводах на беспилотных летательных аппаратах требуемым точностным (точность до угловых минут), динамическим (обеспечение измерения при мгновенной угловой скорости вращения до десятков Гц), механическим (бесконтактность для обеспечения полного кругового вращения) в полной