Синтез линейно-квадратичных и -оптимальных дискретных регуляторов по состоянию на основе линейных матричных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008, № 2, с. 152-157

УДК 517.977

СИНТЕЗ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ И У -ОПТИМАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПО СОСТОЯНИЮ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

© 2008 г. Л.Н. Кривдина

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

[email protected]

Поступила в редакцию 11.03.2008

Рассматриваются линейно-квадратичный и у -оптимальный законы управления дискретными объектами в случае измеряемого состояния. Оба таких закона управления обеспечивают асимптотическую устойчивость замкнутой системы, причём линейно-квадратичный минимизирует квадратичный функционал в случае заданного начального состояния объекта, а у -оптимальный минимизирует максимум отношения значения функционала к квадрату нормы начального состояния для всех начальных состояний. Построение соответствующих регуляторов осуществляется на основе теории линейных матричных неравенств.

Ключевые слова: линейно-квадратичный дискретный регулятор, линейные матричные неравенства.

Введение

В теории управления линейными динамическими объектами большое внимание уделялось задаче оптимального линейно-квадратичного управления, связанной с построением оптимальных регуляторов по отношению к квадратичному критерию качества переходного процесса. Метод синтеза таких регуляторов был основан на решении уравнения Риккати [1, 2].

В работе [3] в качестве альтернативы был предложен другой метод решения таких задач, основанный на теории линейных матричных неравенств. В последнее время аппарат линейных матричных неравенств стал более широко применяться, т.к. появились соответствующие алгоритмы и программное обеспечение (например, пакет Ма1ЬаЬ) [4]. Использование линейных матричных неравенств позволяет эффективно решать многие задачи теории управления.

Данная работа посвящена синтезу линейноквадратичных и у -оптимальных дискретных регуляторов, обеспечивающих устойчивость объекта и минимизирующих в первом случае квадратичный функционал для заданного начального состояния объекта, а во втором - максимум отношения значения квадратичного функционала к квадрату нормы начального состояния. Понятие у -оптимального закона управления для непрерывных объектов было введено в [3].

Идея построения регуляторов состоит в том, чтобы сначала переформулировать поставлен-

ные задачи в соответствующие им равносильные задачи с использованием условия ограниченности функционала. А затем полученное условие ограниченности функционала при линейно-квадратичном и у -оптимальном законах управления представить в виде линейных матричных неравенств. Полученные неравенства эффективно решаются с помощью команд LMI Control Toolbox пакета MatLab.

Сформулированы необходимые и достаточные условия существования линейно-квадратичного и у -оптимального регуляторов и указывающие способ нахождения их параметров. В качестве иллюстрирующего примера синтезируются регуляторы дискретной модели перевёрнутого маятника.

Линейно-квадратичные регуляторы по состоянию

Пусть дан линейный стационарный дискретный объект

xt+i = Axt + But , xo, zt = C xt + Dut,

где xt e Ч&Пх - состояние объекта, ut e ^n“ -

управление, zt e ^Rnz - управляемый выход,

x0 - начальное состояние, A e ^ЯПх x"x,

B e № xnu, C e № xnx и D e №xnu - заданные матрицы. Задача линейно-квадратичного управ-

ления данным объектом в случае измеряемого состояния состоит в том, чтобы найти стабилизирующее управление из класса линейных обратных связей по состоянию вида

ы( =0 х (, (2)

минимизирующее функционал J.

Переформулируем эту задачу следующим образом: найти стабилизирующее управление из класса линейных обратных связей по состоянию вида (2), обеспечивающее при минимально возможном значении у > 0 выполнение неравенства

J <у2 Хо|2, (3)

для заданного начального состояния объекта

Х+1 = АсХ

Х+1 = Ахг

венствам

АТ X А - X + СТС < 0, xT^Xxо <у2 Хо Г.

где х0 Ф 0 - заданное начальное состояние, то подставим это решение в (7) и получим:

* 2 J = I хТ (АТ )СТСАх0 = хТР 0 х0 < у2 х012,

г=о

где матрица Р0= I(АТ)гСТСАг = Рт0> 0 явля-

г=о

ется решением уравнения Ляпунова

АТРА -Р + СТС = 0.

(8)

х0 Ф 0, где J = 1 2 | - квадратичный функ-

^=0

ционал.

Запишем уравнения замкнутой системы (1),

(2):

Ас = А + В0, с (4)

Сс = С + Б0 .

2 г = Ссхг ,

Для дальнейшего изложения необходимо рассмотреть следующую лемму.

Лемма. Пусть дан устойчивый дискретный объект

Возьмём матрицу X > Р 0 такую, что

X = ХТ > 0 . Матрица X будет являться единственным решением уравнения

ATXA - X + СТС + в21 = 0.

Это означает, что выполняется неравенство ATXA - X + СТС < 0, где X = X(в). Выполнение этого неравенства обеспечивает асимптотическую устойчивость дискретного объекта (5) (по теореме Ляпунова).

Так как матрица X = X(в) непрерывно зависит от в , то можно подобрать достаточно малое в > 0 так, чтобы

хТР0х0 < xTXxо <у2xоГ,

х0 Ф 0,

(5)

'о* оло ^ л0 ^ л0 т.е. выполняется пункт (б).

(б) ^ (а). Пусть существует матрица

X = X1' > 0, удовлетворяющая неравенствам

(6). Отсюда следует, что объект (5) асимптотически устойчив и уравнение Ляпунова (8) будет

с заданным начальным состоянием х0 Ф 0 .

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(а) J < у^ хо |2;

(б) 3 X = X1' > 0, удовлетворяющая нера-

иметь единственное решение

Р

где

Р о< X,

Р = РТ > 0

о о — и •

Поскольку

то

Р о< X,

Х0TXХ0 <у2 х0 Г:

4Р охо < xTXxо <у2 хо'2

(6)

Доказательство. (а) ^ (б). Рассмотрим

* 2

квадратичный функционал J = 12 и под-

г=о

ставим в выражение функционала уравнение выхода 2 г из (5):

(7)

=0 =0

Поскольку первое из уравнений объекта (5) имеет своим решением

х = Агх„,

^о* оЛо ^ Ло^ Ло ^ г | ло | для заданного начального состояния х0 Ф 0 . Выполнение этих условий равносильно пункту (а), что и требовалось доказать.

Применим лемму к замкнутой системе (4) и представим синтез линейно-квадратичных регуляторов, основываясь на теории линейных матричных неравенств. Согласно этой лемме для выполнения цели управления (3) необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица

X = X1' > 0, удовлетворяющая неравенствам

АТХА - X + СТС < 0.

xT0Xx0 <у2 хо Г

х0 Ф 0 .

(9)

(10)

Если в неравенство (9) непосредственно подставить матрицы замкнутой системы Ac и Cc, то получим матричное неравенство, которое не будет являться линейным относительно

неизвестных матриц X = XT > 0 и 9 . Главная трудность поставленной задачи состоит в том, чтобы представить полученное неравенство именно в виде линейного матричного неравенства. Для этого умножим (9) слева и справа на

матрицу X — > 0 и получим

X- ATX A X- - X- + X-lClCX- < 0,

или

X 1 (A

cl

X

V Cc )

X-1 - X -1 < G.

С учётом леммы Шура [5] последнее неравенство записывается следующим образом:

(

\

r X-

V0 !) V Cc )

X-

Г Ac J

V Cr J

т.е.

- X-1 G

G -1

- X -1

AX

< о,

-Л

X - AT X-1C1 - X-1

<G

что равносильно

r Y

T 21 |2

XG у XG

>G

(12)

где X 1 = У, х0 Ф 0 - заданное начальное состояние.

Таким образом, опираясь на всё вышесказанное, приходим к следующему результату.

Теорема 1. Для существования линейноквадратичного регулятора по состоянию для дискретного объекта (1) необходимо и достаточно, чтобы существовали (пх х пх) - матрица

У = УТ > 0, (пих пх) - матрица 2 и число у > 0 , удовлетворяющие линейным матричным неравенствам (11) и (12). Если неравенства (11) и (12) разрешимы, то параметры линейноквадратичного регулятора (2) находятся как

0 = 2* У-1, где 2, и У, - матрицы, соответствующие минимально возможному у, > 0 .

Для решения задачи минимизации значения у > 0 при ограничениях, задаваемых линейными матричными неравенствами (11) и (12), используется стандартная команда штсх пакета МаЛаЬ.

у -оптимальные регуляторы по состоянию

где X = Xl > 0.

С учётом вида матриц Ac, Cr и обозначив

^-1

X = Y , получим

( - Y

AY + B0Y 'ї

< 0-

0

0 -1 СУ + Б0У

УАТ + (0У )ТВТ УСТ + (0У )ТБТ - У у Обозначим 2 = 0У и запишем полученное неравенство как линейное матричное неравенство относительно матриц У и 2 :

- У 0 АУ + В2\

< 0. (11)

о -1 су + т

(ау+Б2)Т (су + пг)т - у ,

Если неравенство (11) разрешимо, то матрица параметров 9 линейно-квадратичного регулятора находится по формуле 9 = 2У -1.

Рассмотрим теперь условие (10) и представим его тоже в виде линейного матричного неравенства относительно матрицы У = Ут > 0 . Для этого запишем неравенство (10) как

ҐХ- хп ^

2 |2 у XG

>G

Рассмотрим теперь задачу у -оптимального управления объектом (1), которая состоит в нахождении стабилизирующего управления из класса линейных обратных связей по состоянию вида (2), обеспечивающего при минимально возможном значении у > 0 выполнение неравенства (3) для любого х0 Ф 0.

Применим теорию линейных матричных неравенств и представим синтез у -оптимальных регуляторов на основе этой теории. Для этого используем лемму, приведённую выше. Выполнение утверждения (а) леммы для любого х0 Ф 0 равносильно тому, что должна существовать матрица X = X1' > 0, удовлетворяющая неравенствам (6) для любого х0 Ф 0 . Тогда получим, что второе из неравенств (6)

xT0Xx0 <у2 хо |2 равносильно

V xG Ф 0

xGT X xG

<у

V Xo Ф 0.

Последнее неравенство означает, что

x

G

-1

T

2

x

G

X

Я max ( X ) <у 2

или

X < у21.

Таким образом, для выполнения цели управления (3) для любого х0 Ф 0 в задаче у -оптимального управления необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица X = X1' > 0, удовлетворяющая неравенствам

ACXAr-X + ClCr < 0,

(13)

\

у21

>G

что равносильно

(Y I Л

> о,

(14)

у -оптимальный регулятор. Путём дискретизации (время дискретизации 0.1 с) получим дискретную модель перевёрнутого маятника вида (4), где

(1.543 0.1175^ (0.005431^1

A=

B =

V11.75 1.543 )

(2 0 Л (о Л

C= 0 1 , D = 0

V 0 G) V 1 )

0.1175

ю 0= 10.

X < у21.

Первое из неравенств (13) аналогично неравенству (9) в задаче линейно-квадратичного управления, поэтому рассмотрим второе из неравенств (13) и также представим его в виде линейного матричного неравенства относительно матрицы У = У Т > 0 . Для этого запишем его как

На основе классического подхода к синтезу линейно-квадратичных регуляторов с использованием решения уравнения Риккати

АТРА - АТРВ (ВТРВ + ВТБ) -ВТРА +

+ СТС - Р = 0,

были получены следующие значения параметров регулятора:

/2.1679 0.2165^

0.2165 0.0217,

P = 1G4

У ГК

где X-1 = У .

Сформулируем теорему, выражающую необходимое и достаточное условия существования у -оптимального регулятора и указывающую способ нахождения его параметров.

Теорема 2. Для существования у -оптимального регулятора по состоянию для дискретного объекта (1) необходимо и достаточно, чтобы существовали (пх х пх) - матрица

У = УТ > 0, (пих пх) - матрица 2 и число у > 0, удовлетворяющие линейным матричным неравенствам (11) и (14). Если неравенства (11) и (14) разрешимы, то параметры у -оптимального регулятора (2) находятся как 9 = г* У-1, где 2, и У, - матрицы, соответствующие минимально возможному у, > 0 .

Численные результаты

Рассмотрим в качестве примера синтез линейно-квадратичного дискретного регулятора по состоянию для перевёрнутого маятника

ф — ю 0ф = и с помощью классического способа и способа, основанного на применении линейных матричных неравенств, а также построим

9 = -(BTPB + DTD)-1 BT PA =

= (-136.7470 -13.6794), где P = PT > 0 - решение уравнения Риккати, при этом min J = x’^Px0. Собственные значения матрицы замкнутой системы A c равны X 1= 0.3867, X 2= 0.3493.

Построим линейно-квадратичный регулятор вида (2) для дискретной системы с указанными матрицами, используя подход, основанный на теории линейных матричных неравенств. Для этого применим теорему 1 и с помощью LMI Toolbox (команда mincx) решим задачу минимизации у при ограничениях, задаваемых неравенствами (11) и (12). Например, при начальном условии х0 = (— 1 0)" получим следующее

решение:

( 0.0083 - 0.0824^

Y =

- 0.0824 0.8252

V у

Z, = (- 0.0045 - 0.0179).

Тогда

X. = 104

(2.1680 0.2165 Л 0.2165 0.0217

V •

и соответствующей матрицей параметров регулятора является

9, = (—136.7465 —13.6794)

при у2 = 21680 (у, = 147.2408). Собственные значения матрицы замкнутой системы равны X != 0.3869, X 2= 0.3491.

Таким образом, линейно-квадратичный регулятор по состоянию вида (2) для объекта (1) с заданными матрицами А, В, С и О задаётся уравнением

щ = (-136.7465 - 13.6794)х,.

Из приведённых данных видно, что полученные разными способами матрицы параметров регулятора 0 практически не отличаются друг от друга (отличие есть только с третьего знака после запятой).

На рис. 1 и 2 представлены графики переходного процесса и зависимости управления от времени соответственно для заданной дискретной модели перевёрнутого маятника.

и -0.1

•0.3 -0.4 -0.5 •0.6 -0.7

Рис. 1. Переходный процесс

140 120 100 ЭО 90 40 20 S

л

123456789 10 t

вёрнутого маятника. Для этого применим теорему 2 и с помощью LMI Toolbox (команда mincx) решим задачу минимизации у при ограничениях, задаваемых линейными матричными неравенствами (11) и (14). В результате получим следующее решение:

( 0.0083 - 0.0824^

У =

- 0.0824 0.8247

Ч /

Z, = (- 0.0045 - 0.0179).

Тогда

X, = 104

і2.1680 0.2165^1

0.2165 0.0217

Рис. 2. Зависимость управления от времени

Теперь построим у -оптимальный регулятор вида (2) для заданной дискретной модели пере-

V У

и соответствующей матрицей параметров регулятора является

е. = (-136.7466 -13.6795)

при у2 = 21896 (у, = 149.9740). Собственные значения матрицы замкнутой системы равны X j= 0.3869, X 2= 0.3491.

Сравнив данные, полученные для линейноквадратичного и у -оптимального регуляторов по состоянию, видим, что они практически совпадают друг с другом.

Заключение

В данной статье поставлены и решены задачи построения линейно-квадратичных и у -оптимальных регуляторов по состоянию для линейных дискретных объектов. Построение таких регуляторов основано на решении линейных матричных неравенств.

Список литературы

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 336 с.

3. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007. 280 с.

4. Boyd S., Ghaoui L. El., Feron E. and Balakrish-nan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadeiphia: SIAM studies in Applied Mathematics, 1994. 193 p.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

LMI BASED SYNTHESIS OF LINEAR-QUADRATIC AND y -OPTIMAL STATE-SPACE

DISCRETE-TIME REGULATORS

L.N. Krivdina

Linear-quadratic and y -optimal state-space controls are considered for discrete-time plants. Both these control

strategies provide asymptotical stability of a closed-loop system. Linear-quadratic control minimizes the quadratic functional for the given initial state, while y -optimal control minimizes the maximum of the quadratic functional

for all initial states. Synthesis of such regulators is carried out on the basis of LMI theory.