CC BY
22
Доклады БГУИР
2014 № 8 (86)
УДК 629.7.05
СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО КОНТУРА ТЕЛЕУПРАВЛЯЕМОГО БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПРИ ИНЕРЦИОННОМ
ИЗМЕРИТЕЛЕ
А.А. КУН, С.А. ШАБАН, А.М. ЕРОМИН, АЛ. КОЧЕРОВ
Военная академия Республики Беларусь Минск-57, 220057, Беларусь
Поступила в редакцию 16 июня 2014
Решена задача синтеза квазиоптимального контура телеуправляемого беспилотного летательного аппарата с учетом инерционности координатного блока цели. Предложен способ компенсации инерционности измерительного устройства. Проведен анализ зависимости параметров контура телеуправления при различных дальностях до точки встречи беспилотного летательного аппарата с целью.
Ключевые слова: синтез контура телеуправляемого беспилотного летательного аппарата, измерительное устройство, устройство выработки команд.
Введение
Одной из задач синтеза контура телеуправляемого беспилотного летательного аппарата (БЛА) является определение оптимальной структуры и параметров контура. Наличие в контуре управления измерительного устройства приводит к увеличению инерционности системы в целом.
Рассматривается контур телеуправляемого БЛА малой дальности. При синтезе принимаются следующие допущения: динамические свойства координатного блока БЛА, устройства передачи команд и системы стабилизации БЛА считаются безинерционными. В качестве управления принимается нормальное ускорение БЛА.
Постановка задачи
Представим кинематику плоского телеуправления в виде линеаризованного уравнения [1, 2]:
h(t) = WK(t)-Wp(t), (1)
где h(t) - ошибка наведения БЛА на цель, W (t) и Wp (t) - требуемое (кинематическое) и нормальное ускорения БЛА соответственно.
Будем полагать, что WR. (t) является случайной функцией времени и описывается стохастическим дифференциальным уравнением [1, 3]:
WK(t) = -jWK(0 + ^(0. =
где ^(t) - гауссовый процесс типа белого шума с интенсивностью Q .
Представим уравнение (1) в форме Коши [4]. Положив И(7 ) = хх (7), ЖК (7 ) = Х3 (7) при < 7 < 7к, получим систему уравнений для фазовых переменных с учетом модели задающего воздействия:
40;
"20;
В векторно-матричной форме (2) примет вид:
(2)
(3)
0 1 0 х1 0 0 0 0
где р = 0 0 1 ; X= х2 ; о = 0 —1 0 ; и = ж " р
0 0 1 х3 0 0 0 0
0 00
0 0 0
1
00
Т
Вектор состояния в начальный момент времени Х(^) - гауссовый случайный вектор с
характеристиками: М [X (?0 )] = 0, М [X (?0 ) Хт (?0 )] = Р0, где Ро - матрица априорных дисперсий
фазовых координат наблюдаемой системы.
Ошибка наведения в контуре телеуправления формируется в виде [1, 2]:
И = гр(7) • (еЦ), (4)
где гр (7) - дальность до БЛА; еЦ, ер - относительные угловые координаты цели и БЛА,
измеряемые координатным блоком цели и координатным блоком БЛА соответственно. Передаточная функция координатного блока цели определяется выражением [1]:
1 + рТц р)
Кцо (Р) = -
к
- р2 + РТц
*1( р)
(5)
где Кц, Тц - параметры передаточной функции; 21 = еЦ - измеренная координата;
X = ец = ец — еа - ошибка между направлением на цель и положением антенны.
Для того, чтобы найти систему дифференциальных уравнений в форме Коши, соответствующую передаточной функции (5), составим структурную схему координатного блока цели как показано на рис. 1. Такой подход исключает дифференцирование белого шума ц .
К
+ 1
Кц Тц
Рис. 1. Структурная схема координатного блока цели Представим уравнения динамики координатного блока цели в форме Коши
¿1(0 = (ху (?) - 2Х (?)) -КЦТЦ+ 22 (?) + Г,(?) • Кц Тц = (ху (?) - 2Х (?)) -ку+22 (?) + Г,(?) • къ ¿2 (?) = (*! (?) - ъ (?)) • Кц + Г1(?) • Кц = (х! (?) - (?)) ■к2 + ц(1)-к2;
где = Кц Тц; &2 = Кц ; ц(7) - гауссовый процесс типа белого шума с интенсивностью Я .
(6)
2
2
Ц
х +
+
г
Полученную систему уравнений можно записать в векторно-матричной форме:
¿(7) = Ьг(7) + СХ(г) + ]Чг|(0, (7)
где Z =
-к1 1 к1 0 0 к,
; ь = ; С= ; N=
22 -к2 0 к2 0 0 к2
Процессы Е(г) и ^(г) - некоррелированные белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями:
М
Е(г )ЕТ (г ')! = - г'); М Гп(г )цт (г•)] = Д5(г - г'),
где М - знак математического ожидания.
Требуется найти такое управление Жр (г), которое минимизирует функционал
J
К ) =1М
}[ к2 (г)+К2 (г)
Л
(8)
где к = -
к
доп
К
- коэффициент штрафа на управление; кцоп и Кюп - допустимое значение
расп
ошибки наведения, и располагаемое нормальное ускорения БЛА.
Компенсация инерционности измерительного устройства
Для построения оптимального линейного фильтра при инерционном измерителе
применим предварительное преобразование выражения (7), введя в рассмотрение преобразованный вектор оценивания [5]:
ъ (?)=¿(?)-ьг(?)=сх(?)+1\г|(?), (9)
который в скалярной форме запишется в виде:
I г2 (0 = ^(0+ (0^2-
Теперь задача аналитического построения фильтра свелась к рассмотренной в [5], но для преобразованного вектора оценивания Z (г).
С учетом (9) уравнения фильтра для рассматриваемой задачи запишутся в виде [5]:
Щ = Щ) + + Щ(ъ* (?) -сх(г)), Х(?о ) = {х0),
или в скалярной форме
(11)
¿1 (0=¿2 (0+К1 (4 (0 - кЛ (0)+ьп (4 (0 - (0)
*
г,
10;
4 (0 = (0 - Кр (0+¿21 (4 (0 ~ куХу (/))+Ь22 ^¡2 (?) - к2хх (/)), х2 (/„) = х20; (0 = + (4 (0 - кЛ )) + ЬЪ2 (4 (0 - (0)' *3 ('о )=■%)•
(12)
Матрица коэффициентов усиления В(г) определяется из условия минимума среднего квадрата ошибки фильтрации [ 1 ,2, 5]:
В (г) = Р (г) СТ(КШТ)-1. (13)
Входящая в (13) ковариационная матрица ошибок фильтрации Р(7) симметрична, положительно определена и удовлетворяет уравнению Риккати [1, 2, 5]:
P^^FP^ + P^^-P^CHNÄN^CP^ + JQJ, P(i0) = P0.
(14)
Анализируя выражения (13), (14) с целью выявления условий компенсации инерционности поступающих на вход фильтра (11) измерений (7), выразим коэффициенты усиления Ьу (элементы матрицы Б(7) ) через параметры системы и характеристики протекающих процессов. Так как матрица
NNT =
ki kll =
k1 k1k2 k1k2 к2
(15)
вырождена [3, 5], то, умножив левую и правую части (13) на (15), можно найти систему скалярных уравнений:
bii к1 + bi2 к2 =1 Гц,
b21 к1 + b22 к2 = 1Р12,
b31 к1 + b32 к2 = 1Р13-
(16)
Покажем, что условия оптимальной фильтрации выполняются независимо от выбора соотношения между Ьц и bi2 при следующих условиях:
buk! = dph; b,2^2 =(1 - d) p; d = const; i = 1,3. (17)
Найдем передаточные функции Kz (p) = Zl(p) и К (p) = Z2(p) .
lX xi( Р) 2 x xi( Р) Используя преобразование Лапласа, систему уравнений (6) при нулевых начальных условиях преобразуем к виду:
|( k1 + p) z1 (p)- z2 (p)=k1x1 (p); lk2z1 (p) + pz2 (p) = k2x1 (p).
Решая систему (18) методом Жордана [4], получим
(18)
К2Л (p) = z
z1(p) _ k1p + k2 _ k1p + k2 .
Kzx (p) =
x1(p) p2 + к p + k2 A(p) z2(p) _ k2 p _ k2 p x1(p) p2 + k1 p + k2 A(p),
(19)
где А(р) = р2 + к1 р + к2 .
Линейную комбинацию Ь^* (р) + Ьi2^2 (р) (I = 1,3 ) в уравнении фильтра (12) с учетом (10), (17) и (19) можно представить в виде:
V* (p)+ bi2z2 (p) = bi1
d z1 (p)
dt
+ k1z1 (p )- z2 (p )
+b
d z2 (p)
dt
+ k2 z1 ( p )
■ Пи.
2R
p(hp + k2У hp + k2 k2p k2p2 fep + k2
V
pl
2RA(p)
kA( p) A( p) k^A( p) k^A( p) A( p)
(2p2 + 2kip + 2k2 ) xi (p) = 1 phXi (p).
ч(p ) =
(20)
2
С учетом (17) и (20) систему уравнений (12) запишем в виде:
¿1 (0=(0+^ (*1 (0+л (0 - (0)=ъ (0+^ (0 - il (0);
¿2 (0=х3 (0 - (0+рф (Xl (0+л (0 - il (0)=¿3 (0 - % (0+рф (Z (0 - х, (0); (21)
Щ=Ш+рф (Х1 (0+л(0 _ ^ (0)=_М)+М) (г(0 _ ^ (0)>
где г (г ) = х1 (г )+л(г) .
Сравнивая уравнения (21) с аналогичными уравнениями из [6], можно сделать вывод о том, что условия оптимальной фильтрации выполняются независимо от выбора соотношения между Ьц и Ь^2, но при этом должны быть выполнены условия (16).
Другими словами, при выполнении условия (17) и формировании сигнала в соответствии с (21) состояние системы (3) оценивается фильтром [5]:
Х(*) = ЕХ(*)+ОТ(*)+В(*)(г(*)-СХ(*)), Щ) = Х0, (22)
где Z(t) - вектор измерения (в данном случае это измеренное значение ошибки наведения
г(г) = к(г) , формируемое из состояний (г(г) инерционного измерителя (7) в
соответствии с условиями (17) и (21)).
Таким образом, компенсация инерционности измерительного устройства осуществляется за счет добавления ошибки сопровождения к оценке угловой координаты, что позволяет уменьшить динамическую ошибку разности угловых координат цели и БЛА.
Синтез квазиоптимального контура управления
Для модели (1), (3), (21) и критерия качества (8) оптимальным является управление [6]: кр(г) = Ьххх(г) + Ь2х2 (г) + Ь^(г), г е[0;гк]; (23)
1 ¡4 (t+^4к) т h2
1 • и -Ац. и - V ) .и- 'доп
где bi =-f= ; b2 = 4-; Ъъ =—=£—т ; k = —T 1 Vk \k 3 т44к + y[k + T2 Жр2асп
Объединив (21), (23) и перейдя к изображениям по Лапласу при нулевых начальных условиях, получим систему уравнений, описывающих контур управления БЛА:
wp ( p ) - bixi ( p ) - b2 X2 ( p ) - Ъз X3 ( p )=0; (p + Mi ) X, (p) - X2 (p) = MiXi (p) ;
Wp ( p ) + M2 Xi ( p ) + pX2 ( p ) - X3 ( p ) = M2 Xi ( p ); (24)
M3 Xi ( p ) + ^ p + 1 j X3 ( p ) = M3 Xi ( p ).
где Mi = 1 ph ; г = 1,3
R
Решая систему (24) методом Жордана [4], получим: wp ( p) = xi ( p)x
(Mibi + M2b2 + M3b3 ) p2 +[Mibi +MA + M2bi + M3b2 j p + M3bi + ^ x "1 i + M,T + b2T 2 M, + b2 + ^T+Mib2T + M2T M2 + M3T + b + Mib2 -M3b3T =
p T p T p T
.(^p2 + 2^p + i)
^.......... ,4
3 2 , xi (p) '
a3 p + a2 p + я, p + i
М3Ь{Г + М2Ь1 _ М1 + Ь2 + Ь{Г+М1Ь2Г+М2Т
где К,,, —- ; а —-.
* М2 + М3Т + Ь + М1Ь2 - М3Ь3Г 1 М2 + М3Т + Ьу + Ь2МХ - мы
Г 1+МТ + ЬТ
а —-:-:-:-; а2 —
М2 + М3Т + Ьу + Ь2М1 -М3Ь3Т М2 + М3Т + Ьу + Ь2М1 -М3Ь3Т
Т 1
Т МЬ + М2Ь2 + М3Ь3) М1Ь1 + М2Ь2 + (М2Ь + М3Ь2) Т
' §1 —
М3ЬуТ + М2^ ' 2^Т (М|Ь| + М2Ь2 + М3Ь3 )(М3Ь{Т + М 2Ь|)
Знаменатель выражения (25) представляет собой полином третьей степени. Поэтому хотя бы один из его корней является действительным числом. В результате передаточная функция квазиоптимального контура телеуправления, обеспечивающая выполнение критерия качества (8), примет вид
^ ( т2 р2 + 2§др+1)
(р)——,—Л/ 2 2-^Х1 (Р)• (26)
Р р2 (1 + рГ3)( Т2р2 + 2§2ТР +1)
Пример. Дано: 1) дисперсия нормального ускорения цели при маневре ст^ — 400 м2/с4, среднее время переключения знака ускорения Г — 5 с; 2) СКО ошибки угловых измерений аЕ — 1 угл. мин, время корреляции шума измерений Гц — 0,06 с; 3) величина допустимого значение ошибки наведения Лдоп — 25 м, располагаемое нормальное ускорения БЛА
ЖраСП — 30 м/с2.
Необходимо определить параметры передаточной функции (26) при различных дальностях до точки встречи гв. Результаты вычислений приведены в таблице.
Параметры контура управления
Дальность гв, км Значения параметров контура управления
К„, с-2 Т1,с §1 Г3, с Г2, с §2
3 6,4 1,26 0,741 4,356 0,171 0,707
5 5,227 1,326 0,745 4,482 0,197 0,707
7 4,541 1,376 0,747 4,555 0,215 0,707
10 3,886 1,435 0,75 4,624 0,236 0,707
15 3,228 1,511 0,754 4,693 0,262 0,707
Как видно из примера, постоянная времени апериодического звена Т3 приблизительно определяется временем корреляции нормального ускорения цели ( Г — 5 с ). Дифференцирующее звено второго порядка с постоянной времени Т1 обеспечивает нормальные запасы устойчивости по фазе. Опорная частота колебательного звена с постоянной времени Т2 находится за частотой среза. Логарифмические амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) контура управления представлены на рис. 2.
Анализ зависимости параметров контура телеуправления при различных дальностях до точки встречи гв показал, что с увеличением гв коэффициент преобразования разомкнутого контура управления Кк уменьшается, постоянные времени Т увеличиваются, а остальные параметры контура существенно не изменяются.
Ню), дБ "
ю": 10"1 10° 101
Рис. 2. ЛАЧХ и ЛФЧХ контура управления при гв = 10 км
Заключение
В статье проведен синтез квазиоптимального контура телеуправляемого БЛА с учетом инерционности координатного блока цели. Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ синтезированного контура показал необходимость компенсации инерционности измерительного устройства за счет добавления ошибки сопровождения к оценке угловой координаты. Такой подход позволил избавиться от динамической ошибки разности угловых координат цели и БЛА.
Анализ параметров синтезированного квазиоптимального контура показал, что при полете БЛА на большие дальности необходимо сужать полосу пропускания системы за счет уменьшения коэффициента преобразования контура и увеличения постоянной времени фильтра устройства выработки команд управления.
THE SYNTHESIS OF QUASIOPTIMAL CONTOUR OF THE LONG-DISTANCE DRONE'S COMMAND AND CONTROL WITH THE INERTIA MEASURING DEVICE
A.A. KUN, S.A. SHABAN, A.M. EROMIN, A.L. KOCHEROV
Abstract
The problem of synthesis of a quasioptimal contour of the long-distance drone's command and control considering the inertia of the target coordinate unit is solved. The mean of the compensation of the inertia measuring device is offered. The analysis of the distance influence on the parameters of the long-distance drone's command and control contour before the contact of the drone with the target is carried out.
Список литературы
1. Кун А.А., Лукьянов В.Ф., Шабан С.А. Основы построения систем управления ракетами. Минск, 2001.
2. Орлов Е.В. Проектирование систем телеуправления. Ижевск, 2000.
3. Батков А.М., Тарханов И.Б. Системы телеуправления. М., 1971.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1973.
5. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М., 1987.
6. Кун А.А., Шабан С.А., Еромин А.М. и др. // Сб. науч. статей Воен. акад. РБ. 2014. № 26. С. 95-102.
