СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНОЙ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТНО-РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

_ДОКЛАДЫ АН ВШ РФ_

2018_октябрь-декабрь_№ 4 (41)

--ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -

УДК 621.396.96

СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНОЙ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТНО-РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА

В.В. Артюшенко, А.В. Никулин, М.А. Степанов

Новосибирский государственный технический университет

В статье рассмотрен синтез инвариантной к углу визирования геометрической модели поверхностно-распределенного объекта, составленной из четырех точек, излучающих статистически не связанные сигналы. Известный в настоящее время метод синтеза геометрических моделей, инвариантных к углу визирования, предполагает, что к излучателям подводятся некоррелированные нормальные случайные процессы с равной дисперсией, а конфигурация модели представляет собою квадрат. Установлено, что для получения инвариантных свойств модели данные условия не является обязательными. Показано, что четырехточечная модель будет иметь независимые от угла визирования параметры распределения угловых шумов при расположении пар излучателей на ортогональных прямых и соблюдении ряда приведенных в статье требований к дисперсии сигналов, подаваемых на излучатели. Требуемое значение ширины распределения угловых шумов можно получить путем изменения расстояний между излучателями модели. Предложена конфигурация четырехточечной геометрической модели, допускающая управление параметрами ПРВ угловых шумов без перемещения излучающих точек. Получены аналитические выражения, позволяющие синтезировать инвариантную к углу визирования модель по заданным значениям параметров распределения угловых шумов. Приведены примеры синтеза четырехточечных геометрических моделей, инвариантных к углу визирования с использованием полученных аналитических соотношений. Полученные теоретические результаты подтверждены математическим моделированием.

Ключевые слова: угловые шумы, моделирование, отражение от распределенных объектов, инвариантная модель.

Б01: 10.17212/1727-2769-2018-4-52-63

Введение

При отражении электромагнитной волны от распределенного объекта (к таковым относятся, например, поверхность Земли, морская поверхность, метеорологические образования и другие) возникают флуктуации фазового фронта. Эти флуктуации обусловлены интерференцией в точке наблюдения отраженных радиоволн от большого количества элементов объекта и, в первую очередь, приводят к тому, что измеренное угловое положение объекта также начинает флуктуировать. Это явление получило название угловых шумов. Оно было исследовано в рамках статистической теории радиолокации протяженных объектов такими учеными как Р.В. Островитянов, Ф.А. Басалов, Р. Делано, А. А. Монаков, Е.А. Штагер и рядом других [1-5]. В их работах показана значимость угловых шумов, изучены их свойства, а также предлагаются алгоритмы распознавания объектов на их основе. В частности, угловые шумы имеют принципиально важное значение для бортовых радиолокационных станций, работающих в режиме маловысотного полета, а также практически во всех задачах, связанных с измерением угловых

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-37-00073.

© 2018 В.В. Артюшенко, А.В. Никулин, М.А. Степанов

координат объектов (например, при определении координат цели головкой самонаведения или в ближнем воздушном бою). Очевидно, что при проведении моделирования радиолокационных отражений от распределенного объекта необходимо адекватно воспроизводить все их характеристики, в том числе и угловые шумы.

Для описания угловых шумов распределенных объектов используют плотность распределения вероятностей (ПРВ). В литературе показано, что ПРВ угловых шумов определяется выражением [1]

Ну

* (У) = --У-, (1)

2 (1+Н;(у-шу )2)

где у - выбранная относительная угловая координата [1]; ту - математическое ожидание; Ну - параметр, характеризующий эффективную «ширину» распределения.

Расчет характеристик распределения угловых шумов произвольного распределенного объекта сравнительно легко осуществить, если известно распределение по объему рассматриваемого объекта плотности интенсивности сигналов его элементарных отражателей ¥г (х, у, г) [1, 5]. Для расчета параметров распределения можно воспользоваться следующими выражениями [1]:

{у^. (у у у {у^. (у)ё у у_

{ Рг (у)ё у

ту = , , =--2-, Ну =

1

{(у- ту )2 ¥г (у)й у

(2)

2

где ан - мощность отраженного сигнала, равная сумме мощностей сигналов,

отраженных от точек распределенного объекта.

Понятно, что для адекватного моделирования угловых шумов замещающая геометрическая модель должна обеспечить параметры распределения, равные соответствующим параметрам для реального объекта.

1. Постановка задачи

В [6] предложены геометрические модели, составленные из четырех излучающих точек, обладающие свойством инвариантности к углу визирования. Параметры ПРВ угловых шумов, формируемых такими моделями, не зависят от угла визирования. Математическое ожидание моделей, рассмотренных в [6], всегда равно нулю (в противном случае модель перестает быть инвариантной), а параметр Ну

определяется только геометрическим размером модели и никак не зависит от мощностей излучаемых сигналов.

На рис. 1 показана конфигурация предложенной в [6] инвариантной модели с четырьмя излучателями (6 - угол визирования модели). Для синтеза данной модели излучатели следует расположить в вершинах квадрата, стороны которого равны [6-8]

Ь = —. (3)

Н

т

Дисперсии сигналов, подводимых к излучателям модели, принимаются равными друг другу.

Для изменения эффективной «ширины» распределения угловых шумов, формируемых такой моделью, требуется изменить расстояние между излучателями. Однако при выполнении моделирования хотелось бы иметь возможность управлять значением параметра электрическим способом, т. е. путем изменения дисперсий сигналов, подводимых к излучателям.

Управление математическим ожиданием ПРВ угловых шумов такой модели не предполагается - для инвариантных моделей оно всегда равно нулю. Цель работы: предложить способ синтеза четырехточечной геометрической модели, инвариантной к направлению визирования, управление параметрами ПРВ которой не требует перемещения излучателей.

Рис. 1 - Четырехточечная модель с инвариантными свойствами

Fig. 1 - An invariant four-point model

2. Решение задачи

Рассмотрим четырехточечную геометрическую модель, показанную на рис. 2. Данная модель представляет собой четыре точечных излучателя, расположенных на плоскости. Положение каждого излучателя определяется расстоянием до начала координат и углом уг-, г = 1, 2, 3, 4 .

Рис. 2 - Четырехточечная геометрическая модель Fig. 2 - A four-point geometric model

К излучателям модели подводятся сигналы, представляющие собой некоррелированные узкополосные случайные процессы с нормальным распределением

2

мгновенных значений. Обозначим дисперсии сигналов как Oj , i = 1,2,3,4 .

Запишем функцию распределения плотности интенсивности сигналов излучателей модели:

Fr (х, y) = ст^х -L1 cosyj)8(y -L1 sinyj) + +ст25(х + L2 cos y 2 )S(У - L2 sin y 2) + ст2 S(х + L3 cos y3)S(y + L3 cos y 3) +

+CT45(х - L4 cos y 4)S(y + L4 cos y 4).

(4)

где 5(х) - дельта-функция.

При визировании модели на рис. 2 под углом 6 (бе [-я/ 2, ж/ 2]) можно найти проекции излучателей модели на обобщенную прямую у , ортогональную линии визирования (рис. 3).

Рис. 3 - Функция распределения интенсивности сигналов излучателей

модели

Fig. 3 - The intensity distribution function of the emitters of the model

Запишем выражения, определяющие значение математического ожидания и параметра распределения угловых шумов для рассматриваемой модели:

ту =■

jj2L1 cos (yj -8) -ст2L? cos (y3 -8) +

CTH •

+ст2L4 cos (y4 + 8) - ст2L2 cos (y 2 + 8)

(5)

^ ' 2r2„„„2, _

JH

2L2 cos2 (yj - 8) + ст2L cos2 (y3 - 8) + ст2L24 cos2 (y4 + 8) +

+CT2L2 cos (y2 +8)- mT4CTH

(6)

2 2 где стH =ЬСТг • i=1

Как видно из выражений (5), (6) значение математического ожидания и параметра ПРВ угловых шумов зависит от угла визирования 6 .

На основании выражений (5) и (6) запишем систему уравнений, гарантирующих инвариантность параметров распределения угловых шумов модели к углу визирования:

а^Ь1 соб(у 1 - 6) - ст2Ь3 СОБ(У3 - 6) + ст2Ь4 СОБ(У4 +6) -

- ст2L2 cos(y2 +0) = 0;

CTj2L cos2 (yj - 6) + Стз L cos2 (y3 - 6) + ст2L24 cos2 (y2 +6) + + ст2L2 cos2 (y 2 +6) = const.

(7)

Первое уравнение системы (7) гарантирует равенство нулю математического ожидания (5). Второе - независимость параметра от угла визирования при

нулевом математическом ожидании.

2

Поиск решения системы уравнений (7) относительно дисперсий аг при произвольных значениях параметров, определяющих расположение излучателей, крайне затруднен. Рассмотрим частные случаи конфигурации модели, в которых удается получить решение.

3. Первый способ решения системы (7)

Первое уравнение системы (7) может быть выполнено если:

ст12 L =ст3 L3;

ст2 L2 = ст4 L2;

Vi =Уз; У 2 = v 2.

(8)

Попарное равенство углов У1 = У3 и ^2 = У 4 говорит о том, что излучатели № 1 и 3 лежат на одной прямой, так же как и излучатели № 2 и 4.

При выполнении системы равенств (8) инвариантность параметра фактически определяется только знаменателем выражения (6), который в таком случае будет иметь вид

А соб2(у 1 - 6) + В СОБ2(У2 +6) + С СОБ2(У3 - 6) +

+D cos (y2 +6) = const,

(9)

где А = а2¿2 , В = а2 Ь22 , С = а2Ь2 , Б = а2Ь\.

Исключить зависимость выражения (9) от угла 6 возможно, если две прямые, проходящие через пары излучателей (№ 1, 3) и (№ 2, 4), будут ортогональны.

Тогда углы, определяющие положения излучателей, будут равны: yj = y,

п п

y 2 = — - y , y3 = y, y 4 = — - y • При этом выражение (9) примет вид

A cos2 (y-8) + B cos2 |j2-y + 8^j + C cos2(y-8) + D cos2 -y + 8^j = const.

Используя формулы приведения, получим:

A cos2 (y-8) + B sin2 (y - 8) + C cos2 (y-8) + D sin2 (y-8) =

= (A + C) cos2 (y-8) + (B + D) sin2 (y-8) = const. (10)

Для того чтобы выражение (10) не зависело от угла 8 , необходимо выполнение условия:

A + C = B + D

или

а2Ь2 + а2Ь = а2Ь2 + ст2Ь2 . Таким образом, решение системы (7) сводится к выполнению ряда требований:

а12/ а3 = Ьз/ Ь1;

т2/а4 =¿2/Ь2;

а2/ а2 = ¿2 (¿2 + ¿4) (((Ь + Ьз) )-1;

а2 = ¿4 (¿2 + ¿4) ((( ¿1 + Ьз) )-1; (11)

4

I

г=1

= ^з = у;

y2 =y4 = 2 -y.

ст3/

^2 V ^2. CTH =ZCTi ;

Параметры распределения угловых шумов при этом равны:

ту = 0,

^ =

ctH

^2т2 ,J2T2 '

ст1 L1 +ст3 L3

(12)

Путем несложных преобразований выражение для ну можно привести к виду

Цу =

1 1 - + -

(13)

I Ь1Ьз Ь2 ¿4

Таким образом, значение параметра Ну при соблюдении выражений (11)

определяется только геометрическими размерами модели и не зависит от дисперсии сигналов, подводимых к излучателям.

Решив систему уравнений (11) относительно дисперсий сигналов, подводимых к излучателям, получим следующие соотношения:

Ь2 Ьз, Ь4

JH

JH

(L + ¿з)( LlL3 + L2 L4)

L1L3 L4

2 2 CT3 =CTh

2 2 CT4 =CTH

(L2 + L4)(LIL3 + L2 L4)

_L1L2 L4_

(Li + L3X L1L3 + L2 L4)'

_L1L2 L3_

(L2 + L4)( L1L3 + L2 L4)'

(14)

Полученные выражения позволяют синтезировать модель с инвариантными свойствами, не требующую равной дисперсии сигналов, подводимых к излучателям, и конфигурации излучателей в виде правильного многоугольника. Однако при использовании допущений (11) модель не позволяет управлять значением

электрическим способом.

Заметим, что, положив в системе (11) Ь1 = Ь2 = Ьз = Ь4 = Ь , получим геометрическую модель с инвариантными свойствами, рассмотренную в [6]. Ее излучатели расположены в вершинах квадрата. Сигналы всех излучателей имеют одинаковую дисперсию, равную четверти от стН .

4. Второй способ решения системы (7)

Еще одним решением системы (7) является случай расположения трех излучателей модели в вершинах правильного треугольника с равными дисперсиями и четвертого излучателя в центре системы координат (рис. 4).

У3 = —

3 3

Рис. 4 - Инвариантная четырехточечная геометрическая модель

Fig. 4 - A four-point geometric model

В таком случае система (7) примет вид

ст2L cos(y3 -8) + ст2L cos(y4 +8) -ст2L cos(y2 +6) = 0;

ст2L2 cos2 (у3 -8) + ст2L2 cos2 (у4 +8) + ст2L2 cos2 (у2 +8) = const.

(15)

где ст2 = ст3 = ст4 = ст, а Ь = Ь = ¿4 = X . Поскольку излучатель № 1 расположен в центре системы координат (Ь? = 0), значение дисперсии сигнала, подводимого к нему, не оказывает влияния на инвариантность модели.

Для правильного треугольника углы, определяющие положение излучателей, связаны следующими соотношениями: у 2 = У, Уз = 2^ / 3 - у , у 4 = у — я /3. Подставив эти соотношения в (15) и учитывая, что соб(2л/3 — у — 8) = -соб(л/3 +у + 6), получим:

ст2L • 0 = 0;

ст2L2 -1,5 = const(8).

Таким образом, условия инвариантности параметров распределения угловых шумов для рассматриваемого случая выполняются вне зависимости от значений ст и Ь .

Параметры распределения угловых шумов равны:

ту = 0 ,

2

Цу =

2ст

н

3ст2L2 '

(16)

Из выражения (16) следует, что для управления параметром достаточно

2 /ст2. При:

изменять соотношение дисперсии сигналов стн няется в диапазоне

: этом значение Цу изме

Цу е[л/2/L, ■+») .

(17)

2 + 3ст2

ст л/о?

Левая граница диапазона обусловлена тем, что отношение —н = —-

ст ст

имеет минимум в том случае, если значение дисперсии сигнала центрального излучателя равно нулю стн / ст = >/3.

Дисперсии сигналов, подводимых к излучателям модели, можно рассчитать по выражениям:

2 2ст

3ц2 L2

2 2 ст1 =стн

^ L2 - 2 ^ Ц2 L2

(18)

5. Пример синтеза модели

Исходными данными для синтеза модели являются параметры распределения

2

угловых шумов (и ) и значение мощности отраженного сигнала стн .

Например, синтезируем геометрическую модель для радиолокационного объекта с параметрами: = 1,5, ту = 0 и ан = 1 двумя способами.

1. Исходя из выражений (13) и (14) можно найти расстояния от начала координат до излучателей и дисперсии сигналов излучателей.

На рис. 5, а показана синтезированная модель с рассчитанными параметрами:

11 = 1, ь2 = 2,828, Ь3 = 0,5, ЬА = 1,414, у = у = 30°, у2 = у4 = 60°. Дисперсии сигналов, подводимых к излучателям: а^ = 0,296, ст2 = 0,037, а2 = 0,593, ст2 = 0,074.

а б

Рис. 5 - Расположение излучателей инвариантной модели Fig. 5 - The location of the emitters of the proposed invariant model

2. Расположим излучатели модели согласно рис. 5, б. Выберем значение L таким образом, чтобы для заданного выполнялось условие (15). По выражениям (18) рассчитаем значения дисперсий сигналов, подводимых к излучателям модели.

На рис. 5, б показана синтезированная модель с рассчитанными параметрами: Li = 0 , L2 = L3 = L4 = 2, у = 0°, ^2 = 105°, Уз = 15°, У4 = 45°. Дисперсии сигналов, подводимых к излучателям: aj2 = 0,778 , ст2 = а2 = ст4 = 0,074.

В обоих случаях полученные значения параметров распределения угловых шумов не зависят от угла визирования 6 и соответствуют заданным. В модели,

синтезированной первым способом, управлять значением можно только путем изменения расстояний между излучателями. В модели, синтезированной вторым способом, изменить значение можно электрическим способом, т.е. путем изменения дисперсий сигналов, подводимых к излучателям.

Заключение

Предложена четырехточечная геометрическая модель поверхностно-распределенного объекта, инвариантная к углу визирования, допускающая управление параметром ширины ПРВ угловых шумов при помощи изменения мощностей излучаемых сигналов. Сформулированы требования к геометрической конфигурации излучающей части такой модели. Получены аналитические соотношения, позволяющие осуществлять ее синтез по заданным значениям параметров ПРВ угловых шумов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Островитянов Р.В., Басалов Ф.А. Статистическая теория радиолокации протяженных целей. - М.: Радио и связь, 1982. - 232 с.

2. Skolnik M.I. Radar handbook. - 3rd ed. - New York: McGraw Hill, 2008. - 1352 p.

3. Фельдман Ю.И., Мандуровский И.А. Теория флуктуаций локационных сигналов, отраженных распределенными целями / под ред. Ю.И. Фельдмана. - М.: Радио и связь, 1988. - 272 с.

4. Зубкович С.Г. Статистические характеристики радиосигналов, отраженных от земной поверхности. - М.: Советское радио, 1968. - 224 с.

5. Штагер Е.А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы. - М.: Радио и связь, 1986. - 184 с.

6. Артюшенко В. В., Никулин А. В. Алгоритм имитации отражений от земной поверхности на основе использования моделей, инвариантных к углу наблюдения // Вопросы радиоэлектроники. Серия: Общетехническая (ОТ). - 2017. - № 4. - С. 6-10.

7. Artyushenko V.V., Savinykh I.S. Modeling of reflections from the Earth's surface using the two-dimensional geometric models // 2017 International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON): proceedings, 18-22 September 2017, Novosibirsk Akademgorodok, Russia. - Novosibirsk: IEEE, 2017. - P. 323-326. - doi: 10.1109/ SIBIRC0N.2017.8109898.

8. Артюшенко В.В., Киселев А.В., Степанов М.А. Задание отражающих свойств распределенных объектов в терминах шумов координат // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. - 2015. - № 3 (28). - С. 17-28. doi: 10.17212/1727-27692015-3-17-28.

SYNTHESIS OF AN INVARIANT FOUR-POINT MODEL OF A SURFACE-DISTRIBUTED OBJECT

Artyushenko V.V., Nikulin A.V., Stepanov M.A.

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia

The synthesis of a four-point geometric model of a surface-distributed object invariant to the viewing angle is considered in the article. The previously proposed method for synthesizing invariant geometric models assumes that uncorrelated normal random processes with equal dispersion are supplied to emitters and the configuration of the model is a square. It is established that these conditions are not necessary for obtaining invariant properties of the model. It is shown that the four-point model will have angle noise distribution parameters independent of the viewing angle if pairs of emitters are located on orthogonal lines and a number of requirements for the dispersion of signals supplied to the emitters are met. The desired value of the width of angle noise distribution can be obtained by changing distances between the emitters of the model and dispersion of signals supplied to the emitters. The configuration of the four-point geometric model that allows the control of the parameters of the PDF angle noise without moving the emitters is proposed. Analytical expressions which allow synthesizing a model invariant to the viewing angle from the given values of angle noise distribution parameters are obtained. An example of the synthesis of four-point geometric models invariant to the viewing angle using the obtained analytical relations is given. The theoretical results obtained are confirmed by numerical simulation.

Keywords: angle noise, simulation, reflections from distributed objects, invariant model. DOI: 10.17212/1727-2769-2018-4-52-63

REFERENCES

1. Ostrovityanov R.V., Basalov F.A. Statisticheskaya teoriya radiolokatsiiprotyazhennykh tselei [Statistical theory of extended objectives radar]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1982. 232 p.

2. Skolnik M.I. Radar handbook. 3rd ed. New York, McGraw Hill, 2008. 1352 p.

3. Fel'dman Yu.I., Mandurovskii I.A. Teoriya fluktuatsii lokatsionnykh signalov, otrazhennykh raspredelennymi tselyami [Theory of fluctuations of radar signals reflected by distributed targets]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1988. 272 p.

4. Zubkovich S.G. Statisticheskie kharakteristiki radiosignalov, otrazhennykh ot zemnoi pov-erkhnosti [Statistical characteristics of radio signals reflected from the ground surface]. Moscow, Sovetskoe Radio Publ., 1968. 224 p.

5. Shtager E.A. Rasseyanie radiovoln na telakh slozhnoi formy [The scattering of radio waves by bodies of complex shape]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1986. 184 p.

6. Artyushenko V.V., Nikulin A.V. Algoritm imitatsii otrazhenii ot zemnoi poverkhnosti na os-nove ispol'zovaniya modelei, invariantnykh k uglu nablyudeniya [An algorithm for simulation of ground return signals based on using models are invariant to viewing angle change]. Vo-prosy radioelektroniki. Seriya: Obshchetekhnicheskaya (OT) - Problems of electronics. General Engineering series, 2017, no. 4, pp. 6-10.

7. Artyushenko V.V., Savinykh I.S. Modeling of reflections from the Earth's surface using the two-dimensional geometric models. 2017 International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON) : proceedings, 18-22 September 2017, Novosibirsk Akademgorodok, Russia, pp. 323-326. doi: 10.1109/SIBIRC0N.2017.8109898.

8. Artyushenko V.V., Kiselev A.V., Stepanov M.A. Zadanie otrazhayushchikh svoistv raspre-delennykh ob"ektov v terminakh shumov koordinat [Definition of reflective properties of distributed objects in terms of angle noises]. Doklady Akademii nauk vysshei shkoly Rossiiskoi Federatsii - Proceedings of the Russian higher school Academy of sciences, 2015, no. 3 (28), pp. 17-28. doi: 10.17212/1727-2769-2015-3-17-28.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Артюшенко Вадим Валерьевич - родился в 1992 году, канд. техн. наук, старший преподаватель кафедры радиоприемных и радиопередающих устройств Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: имитация радиотехнических сигналов. Опубликовано 20 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: artushenkomail@mail.ru).

Artyushenko Vadim Valerievich (b. 1992) - Candidate of Sciences (Eng.), an assistant professor at the Department of Radio Receiving and Radio Transmitting Devices, Novosibirsk State Technical University. His research interests are currently focused on radio signal simulation. He is the author of 20 scientific papers. (Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: artushenkomail@mail.ru).

Никулин Андрей Викторович - родился в 1989 году, канд. техн. наук, доцент кафедры радиоприемных и радиопередающих устройств Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: имитационное моделирование сложной радиоэлектронной обстановки, радиолокация, радиосвязь. Имеет более 40 публикаций. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: nil_rtu@ngs.ru).

Nikulin Andrey Victorovich (b. 1989) - Candidate of Sciences (Eng.), an associate professor at the Department of Radio Receiving and Radio Transmitting Devices, Novosibirsk State Technical University. His research interests are currently focused on simulation of complex electronic environment, radar detecting and ranging, and radio communication. He is the author of more than 40 scientific papers. (Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: nil_rtu@ngs.ru).

Степанов Максим Андреевич - родился в 1982 году, канд. техн. наук, доцент кафедры радиоприемных и радиопередающих устройств. Область научных интересов: имитационное моделирование сложной радиоэлектронной обстановки, радиолокация, радиосвязь. Опубликовано более 50 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: m.stepanov@corp.nstu.ru). Stepanov Maksim Andreevich (b. 1982) - Candidate of Sciences (Eng.), an associate professor at the Department of Radio Receiving and Radio Transmitting Devices, Novosibirsk State Technical University. His research interests are currently focused on simulation of complex electronic environment, radar detecting and ranging, and radio communication. He is the author of more than 50 scientific papers. (Address: 20, Karl Marx A v., Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: m.stepanov@corp.nstu.ru).

Статья поступила 17 сентября 2018 г.

Received September 17, 2018

To Reference:

Artyushenko V.V., Nikulin A.V., Stepanov M.A. Sintez invariantnoi chetyrekhtochechnoi modeli poverkhnostno-raspredelennogo ob"ekta [Synthesis of an invariant four-point model of a surface-distributed object]. Doklady Akademii nauk vysshei shkoly Rossiiskoi Federatsii - Proceedings of the Russian higher school Academy of sciences, 2018, no. 4 (41), pp. 52-63. doi: 10.17212/17272769-2018-4-52-63.