CC BY
29
СИНТЕЗ И АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛА В СИСТЕМЕ С MIMO В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10312
Поборчая Наталья Евгеньевна,
Московскиий техническиий университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия, [email protected]
Пестряков Александр Валентинович,
Московскиий техническиий университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия, [email protected]
Ключевые слова: системы MIMO с пространственным мультиплексированием, квадратурная амплитудная модуляция, амплитудно- фазовый разбаланс, дрейф постоянной составляющей, частотная расстройка, нелинейный алгоритм оценки искажений сигнала.
Современным принципом минимизации указанных погрешностей, помимо совершенствования технологии изготовления компонентов аналогового ВЧ-тракта, является их программная компенсация. В этой связи задача оценивания данных искажений с целью их дальнейшей компенсации представляется весьма актуальной.
Одним из современных направлений развития техники связи является использования технологии MIMO - многоантенных систем, позволяющих реализовать пространственное разнесение, и пространственное мультиплексирование, что приводит к увеличению скорости передачи информации. Получен нелинейный алгоритм оценки искажений сигнала M-QAM в системах с MIMO с помощью тейлоровской аппроксимации и решения вариационной задачи. Для этого использовался модифицированный метод наименьших квадратов в виде функционала Тихонова А.Н. Алгоритм может работать как по тестовому сигналу, так и по информационному после процедуры детектирования. Проведено сравнение полученного алгоритма с процедурой, основанной на полиномиальной аппроксимации элементов матрицы канала. Вычислительный эксперимент показал выигрыш вариационного алгоритма при больших значениях частотной расстройки.
Информация об авторах:
Поборчая Наталья Евгеньевна, доцент, к.т.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия Пестряков Александр Валентинович, профессор, д.т.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия
Для цитирования:
Поборчая Н.Е., Пестряков А.В. Синтез и анализ алгоритмов оценки искажений сигнала в системе с MIMO в условиях априорной неопределенности // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №10. С. 13-20.
For citation:
Poborchaya N.E., Pestryakov A.V. (2019). Synthesis and analysis of the signal distortion estimation algorithm for the MIMO systems under the conditions of prior uncertainty. T-Comm, vol. 13, no.10, pр. 13-20. (in Russian)
7TT
Постановки задачи
Одним из современных направлений развития техники связи является использования технологии MIMO - многоантенных систем, позволяющих реализовать пространственное разнесение, п пространственное мультиплексирование, что приводит к увеличению скорости передачи информации [ 1 —3J_ При технической реализации подобных систем в последнее время используются преимущественно приёмные устройства с трактом прямого преобразования частоты (иногда называемые приёмниками с нулевой промежуточной частотой). Несмотря на очевидные преимущества таких структур (минимальные аппаратные затраты, низкое энергопотребление, меньшее количество побочных каналов приёма) по сравнению с су пер гетеродинными схемами, им присущи и свои специфические недостатки. Они обусловлены появлением сдвига постоянной составляющей (ВС-смещения), изменяющегося во времени, амплитуд но-фазовым рассогласованием квадратурных каналов (I/Q-разбал а не), появлением частотной расстройки (относительно нуля) за счёт разности частот задающего генератора передатчика и гетеродина приемника. Эти факторы приводят к снижению показателя битовой ошибки (BER), а иногда и к полной поп ери работоспособности [4].
Современным принципом минимизации указанных погрешностей, помимо совершенствования технологии изготовления компонентов аналогового ВЧ-тракта, является их программная компенсация. В этой связи задача оценивания данных искажений с целью их дальнейшей компенсации представляется весьма актуальной.
Задаче компенсации погрешностей квадратурного преобразования было посвящено большое количество работ, как отечественных, так и зарубежных авторов [5]. Одними из первых работ в этой области является диссертация Валкама М. (Vа 1 kamа М) [6], в гагоро й дл я решения задачи предложено использовать метод слепого разделения источников, и публикация Рукачевского П. (Rukaczewski Р.) [7], в которой предлагается одна из разновидностей метода статистического синтеза. Идея применения метода адаптивной фильтрации к компенсации амплитудного разбаланса реализована в |8]. Публикации, посвященные этой проблематике, регулярно появляются вплоть до настоящего времени [9.10]. Однако в большинстве из них предлагаются подходы, основанные на необходимости использования априорной информации о свойствах канала, либо оцениваются лишь отдельные искажения квадратурного преобразования без учёна всех факторов, одновременно действующих на сигнал, либо предполагается применение специальных тестовых последовательностей.
В данной работе рассматривается нелинейный алгоритм оценки искажений сигнала М-позиционноЙ квадратурной амплитудной модуляции (M-QAM), возникающих в приемнике прямою преобразования в системе с MIMO. Алгоритм синтезируется с номощыо модифицированного метода наименьших квадратов в условиях ограничения 11 [-14]. Задача нахождения оценки решается при медленно меняющемся канале с некоррелированными релеевскимп замираниями н априорной неопределенности относительно законов распределения фазовых шумов и шумов наблюдений. Синтезированный алгоритм сравнивается с процедурой, описанной в [15,16], которая основана на полиномиальной аппроксимации элементов матрицы канала.
В статье ставится задача совместной опенки параметров Сигнала и канала. Модель квадратур сигнала в системе MIMO с i\ передающими и /V приемными антеннами после демодуляции (снятия несущей) имеет вид:
YL, = H.е +в .+ц,, Y, = H(Í©, + U„ + M„
(i)
Здесь V, V, ji .fi е К - шум с неизвестным за-
коном распределения, вектором средних значении ¿"(р,,) = £ (р „) = 0 и ковариационной матрицей
^¿Гу.л'' В„.В„е1ЯЛ - векторы медленно меняющихся постоянных составляющих с элементами . / = 1.2.,.,Л' - номер приемной антенны,
Н7,Н Н = IН. -Н,,) .11 ,=(Н, Н, .) ,
л -и .1 \ "ч у -»■' Зм ¡.ИМ
0.еЙ-1 - вектор информационных символов М-ОАМ сигнала или символов тестовой последовательности /... Jk, А = 1.2,.....V — номер передающей антенны,
в,-и, - Ju - = ......» -дисктет-
ное время, £(•) - оператор математического ожидания, 1Л,_- единичная матрица размером Л'хЛ'. «7*» - знак транспонирования.
Элементы матриц Н Н,ги Н .. Н2,, определяются выражениями
*(*)=К.1 *<0 ) - К.1 * О' )51 п(А\„>,
И = V* ('.) 5Ш(Л-|Й ) + К^И) )» (2) = у,{Иы л (0 С05(л-^Н^ к (Л )),
НкО) НК.1 *(3)
где лс) Д/), /),,(/) - множители канала,
х}и = 2,тД/;Г / + <рп. х2„ = хи1 + А<рг у,, Д щ -амплитудный и фазовый разбаланс соответственно. А/, - частотная расстройка опорных генераторов передатчика и приемника, (рц - фаза, определяемая как <р1; — + Сц,
Си — < + Ь^л , + ЬгЕ) ~ фазовый шум, задается мк-делью скользящего среднего 2-го порядка, Е/ . - белый шум с Е{еп)-0; ) - а]. Ь0,Ь{,Ь2 - постоянные коэффициенты, Тс -длительностьсимволов /к, <!кг
Задачу оценки Будем решать при следующих условиях: I) за время передачи и приема информации не меняются множители канала А , ((/) = А ( , /гь , . (/) = Ь ,.; постоянны составляющие Ьв!) — Ьс), Ья11 = Ьз1; амплитудный и фазовый разбаланс уг А<р,; частота !,к - 1,2,...., Л1';
2) длина интервала оценивания по тестовой последова-
1
тельноети меньше величины —, поэтому нельзя использо-
ваи. классический спектральный анализ на основе ДПФ для оценки частотного сдвига;
3) реализована тактовая синхронизация.
Требуется по наблюдениям (1) иайгн оценку Н Н матриц канала II ,., II и составить их прогноз на время приема информации.
Синтез нелинейного Алгоритма оценки канала
Основан на линеаризации уравнения наблюдении с помощью тейлоровской аппроксимации. Элементы матрицы канала (2), (3) можно записать в следующем виде:
нил (О = 4 ).
я I ,.«(') = в'п (2/Т^< ^'+4)'
н= Г/4 созЦ/гД/Т/Ч^ +
(4)
где
Л = ФКл + , Й» =^,+агсШ
А,
V у
.Тогда векто-
ром оцениваемых параметров для /-ой приемной антенны будет Х=Ц, 4 £ 4 # д^ ^ ¿¡Д'и.„м, а составляющие сигнала на ней
^ ц. '^ль'^уЗг^уЗл' _ векторы столбцы с
элементами
¿?п £■/"' /-1 2-¿У" с/" е/'] I к-1 ТУ
^Чк.И
м
1
УсЦ - + Мсьп У*!.! - V,(5) = ):
Здесь У,=(Л -Л ■■■ -Л Ц.У ЦЛ - Л - I],
н,д/> = (//11Л{0 - я,,.ДО НШ1(0 - Я1Ш(0 О',
Н3д/)=(я2(,„</) ... я2ьЛ(0 ... й,,)'.
гГ" -А гп<;( г И ■ - г!и) ■
Модель (5) не линейна относительно оцениваемых параметров си! нала, поэтому поставленную задачу будем решать с помощью рекуррентной процедуры. Разложим (4) в ряд Тейлора до первого приближения в гонке оценки на прошлом шаге Чо-\ Ш^а У,.*-1 Тогда
н „ (/) * Р _, р (х чо), н 2,(с н » ^ сх ,п), </„=1,2 (6)
где 0, - количество итераций, у=|
_ 5 £ у сУш -
Объединяя выражения (5) и (б), получим
V,/,/ * 8с,1,,[,(1_1Р(Х,/и )+ где — ^.^.м/о-! ~ УМ** ■
(7)
Рассмотрим выборку У, е Кг"' принимаемого сигнала на
(А
п1"
-I
V
а
10 II
О 0
1-. .V "ил
0
/ -ой антенне: X ~
*| /
'V ^
.Здесь У,, У(, еМ" с элементами
(1.
йш =
а л
I. о о .
)
(й
(1,л 11
24
о о
25
о
(I
• =
• =
2 / (а \
/Зс
А»;
, >=1,2;
Уыл* У¡1,1 соответственно, /=1,2,.„,т. Используя выражение (7). можно записать линеаризованную относительно вендора Г(*) модель наблюдаемого сигнала
, =
, йА =сНа8{с1\'11м.....
йп> ......
й^-лс^х,......
......
■Чп-1 * Я»
со строками
(К)
/ ц ^
Ч®^ }
лгл
(п \
с элементами + £сч,И + . <7и = ,
^а,/1 -ошибка аппроксимации, с нулевым математическим ожиданием п дисперсией сг: ~ /) - Е{е~ц ).
Предполагаем, что величины некоррелированные
и Е ( П/П; ) = О = , сг = сг; +сг;.
Так как вектор параметров практически не изменяется за время оценивания и детектирования сигнала, то его можно представить в виде:
Х¥0 Х'/„"1 + Sí '
(9)
где - вектор шумов динамической с1гстсмы с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей
Обозначим Г|/ц =Р(Х ). Далее возьмем функцию
Г(«) от левой и правой части уравнения динамической системы (9) и разложим в ряд Тейлора до первого приближения в точке Х?(1: Р( Х^ ) = Р(%%.,) + . Здесь
\У = Р'(Х( _1) - первая производная вектор-функции Р(») в точке Х^, . Тогда с учетом (8) переходим к приближенной, линеаризован ион относительно переменной Г модели:
/ =1,2,...,^ . (10) Далее поставленную задачу будем решать, используя
ограничение
2(т-1)
Применяя модель (10),
вектор оценок параметров случайного сигнала находится модифицированным методом наименьших квадратов в форме функционала Тихонова
Г -Г
'чс 4-1% 1 + < Р' |
mm
г
(¡•¡р I -IHL евклидова норма с весом Р,' и Q ' соотвст-
ственно) в результате обработки всей выборки сигнала сразу следующим образом:
X =Х , + LK (Y, Ф (Х .)),
'id 'in Ча > ' ' у Чи - 1
#,=l,2f.f,af / = 1,2,..JV
КЧ„ = ( 1^ЛЧбИ^Ы + Afy ' К, S/.y1,-1'
(11)
где =
, Ф.Д\Д Ф,(Х,.)еК" с эле-
WVJ
ментами Ф^.,, Ф ^,/ =
= (12)
& ил (0 = Г(г + 4iío X
И2ф СО = fj^ Л Л COS( 2 лД/; Ч|| Гг/ + + Л ^ ),
/г —1,2,..,;V, I — единичная матрица размером
(2jV+6)x(2jV+6), начальные условия, ГП,Х(1 - из априорных сведений.
Нахождение значения множителя Лагранжа Л состоит
в решении уравнения Тогда
2 т cTj(
2(m—1)
- <Т~
с р сг
(13)
Процедуру (И Н^) будем называть вариационным алгоритмом, т ак как она получена решением вариационной задачи.
Синтез линейного алгоритма оценки канала
Основан иа полиномиальной аппроксимации уравнения набл юдснип. ! I редетав им (2), (3) пол и помом порядка р в
пределах временного окна Д=(1 2 ■ • • т), т — длина тестовой последовательности | И, 14, 15]:
"М^л: = 04)
(=1,2.....ти,с1,,-(1 / е ••• /М ;
< V /|*(/1+1}
"it.it? Хад*. Х^, е ,
Задача решается методом наименьших квадратов, обрабатывая всю выборку сигнала объемом т целиком. Рассмотрим модель (I). Сформируем для /-он приемной антенны векторы наблюдений квадратур V ;, V. е Й'" с
элементами п ;.
Тогда с учетом (14) имеем
■
'D^(m)4 rn
. = , t>; = I
^иО), л
Здесь D„Di:lM'('w,w -»ЯГ; D ={D, -D, D,). D,=(D, D, D,),
ДI D,,).d:=(D,, ... юу,
Zu, Z2J e®3Jvtp*lw, ц,, r|v/ е К'" - некоррелированные ректоры шума с нулевым средним значением и ковариационными матрицами > = ^ W
/ = i, 2,,„, jV - номер приемной антенны.
Минимизируя функционалы
¡Y , - D Z, ,||2 = min; ||V(f - DtZ, Jf = min ,
II 'II Zu II II Z3J
получим выражения для оценок коэффициентов аппроксимации и постоянных составляющих
Zy =(D/De)- 'D/Y.,; Z2J = {D/D)
где Z,, =
Х1ДО
xb(i)
\
. = x^iO
/ Ч 4 ;
v
4 n ;
V Гх "i Л/л.| I
, X/((7) =
/ X
При гауссовских шумах (16) является оценкой оптимальной по критерию максимального правдоподобия. Оценка элементов матрицы канала во временном окне Д будет иметь вид
HicJk(i)=ütXlcJbi HilJt{i) = d,x„,/*.
17)
Ъы = 1)+1,1); Ь, = гз1(Ш{р + 1) + 1Л), 118)
/=1,2/,/: = 1,2,„.,Лг.
Используя формулы (2), (3), выразим зависимость
(<0 = X,С05(Д^,)Нмк{0-у,ЯШ№Ф,)НШ к (О, * (') = Г/ Я ктй^}//,,, до.
Тогда используя метод статистического усреднения, получим выражения для оценок амплитудного И фазового разбаланса
JV /7/
| N j ж
N f~i»'7l
K.aU)
^ {K,*® Kjtfof
Для расчета сдвига частоты воспользуемся формулой
А? 1 V 1
/V i=1 m-m(t i3, 2nmJi
— 7 i
1
arcLg
l^coJ
. (20)
Ка- СО - + '"о) + Яц.® (0ЯЬД (/+т0);
а)=йШк (/+щ )йиА (>) - ншк а+т„ )нЫк (/),
где та - расстояние между двумя соседними моментами времени (параметр, ог которого зависит качество оценки частоты >, 0 < тп < т -1.
Множители канала Н , кЦ), Н и п(1) с учетом (2), (3) можно представить в виде
= Л соз(2лй(,Тг1 + Щ;+фи) = = Р соз(2лД/,Г') - Ц зпт(2 жД/,77).
= А шрщгм+% + ) =
= Р С08(2яд^г,/) + ,, 51П(2Л-Д/,Г./)?
где
К = Фа ~ arctS
А.* ^
v.ft у
^.и = Л+<рЛ f*m " 4* sin<4 + p«)■
Обозначим HykJ = ((/) НЫк Щ)Т;
■СОЗ(2яД/^) -вт(2лйда! - - - у
Тогда оценку параметров F^л,1,к = L2,..., А'
можно наши как
F = С 1II
rtk "l/lj
(21)
Экстраполяция и детектирование
По полученным оценкам составляется прогноз элементов
матриц капала Н HV( на интервал времени i — m + l,m + 2.....п : для нелинейного алгоритма (11) - (13)
Иил{') = 4.у, cos(2M^a7;.i+4ia),
(О = 4а.sin(2M/; у т;/+),
С»)=Л.у, 4.Й г./+4,а + )■
и в помехоустойчивости алгоритм, основанный на полиномиальной аппроксимации, что проиллюстрировано па рис. I и 26. Например, линейный алгоритм (1б)-(21) обеспечивает вероятности ошибки на символ Р,т =I0_Î при ОСШ 3(1 дЬ. а вариационный алгоритм при 25 дЬ. При этом энергетический выигрыш составляет 5 дБ.
3. Недостатком процедуры ( 11 )-(13) является ее более высокая сложност ь относительно алгоритма с полиномиальной аппроксимацией.
Литература
!, Никулин М.Г., Варукшш H.A., Крейнде/шн В.Б, Технология M (МО. [ (риншлты и алгоритмы. М.: Горячая линия - Телеком. 2014.
2. Нестеренко АН. Математическая модель MIMO-OFDM сигнала // Интернет-журнал «H а уко ведение », 2014. Выпуск 4. № 23, С, I. http://na ukovedenie.ru.
3. Коляденко Ю.Ю.. Коляденко A.B. Математическая модель радиоканала дли MIMO систем II Электронное научное специализированное издание-журнал «Проблемы телекоммуникации». 2012. №2)7). С, 91,
4. Косичкнна Т.П., Хасьянова Е.Р. Анализ влияния характеристик квадратурных преобразователен па работу радиоприемных устройств цифровых сигналов радиосвязи и телерадиовещания // T-Comm; Телекоммуникации И транспорт. 20)3. № 9. С. 100.
5. Пестряков A.B., Хасьянова Е.Р. Анализ методов компенсации не идеальной работы квадратурных преобразователей радиоприемников цифровой радиосвязи // Электросвязь. 2013. № 5. С. 20.
6. Valkama M. Advanced I/Q Signal Processing for Wideband Receivers: Models and Algorithm. PhD Dissertation, Tampere 2001,10N p.
7. Rvkticzewski P. Non-Data-Aided l/Q Imbalance Compensation Using Measured Receiver Front-End Signals И in Proc, 17th Annual (FEE Int'l Symp. On Personal Indoor and Mobile Radio Communications (PIMRC), Helsinki, Finland, pp. 1-5. Sept. 2006.
S. Antiila L. В11 nd Compensation of frequency-selective I/Q imbalances in quadrature radio receivers: circularity-based approach II In Proc of 1С ASS P, 2007.
9. Lee J„ Hwang S.H, DC Offset Error Compensation Algorithm for PR Current Control of a Single-Phase Grid-Tied inverter 11 Energies. 2018. Vol. 11. №. 9.C\ 230S'.,
10. Aziz M.. Ghannuuthi F. M, HelaOui M. Blind Compensation of l/Q Impairments in Wireless Transceivers I/ Sensors. 2017. Vol. 17. № 12. С. 2948.
11. Tuxohoh À.H., Леонов A,С. Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. M,: Наука. Фнзматлит, 1995.
12. Поборчая Н Е Методы совместной оценки дрейфа постоянных составляющих и амплитудно-фазового разбаланса КЛМ-сш нала на фоне аддитивного белого шума II Электросвязь. 2013, №5. С. 24.
13. Паборчая Н.Е. Анализ работы компенсатора искажении КАМ-снгнала, наблюдаемого па фоне аддитивного шума // Электросвязь. 2014. № 5. С. 20.
14. Поборчая НЕ. Рекуррентные алгоритмы компенсации искажений сигнала, наблюдаемого на фоне аддитивного шума н МСИ II Электросвязь. 2016. №12. С. 64.
15. Паборчая Н.Е., Пестряков А.В. Оценка и компенсация искажений сигнала в приемном тракте систем с Ml МО II Электросвязь. 2017. №12. С. 42.
16. Поборчая Н Е. Применение полиномиальной аппроксимации для решения задачи оценивания искажении сигнала в системе с MIMO в условиях априорной неопределенности II T-Comm; Телекоммуникации и транспорт, 2018. T. 12. №8. С. 63-68.
T-Comm VoI.I3. #I0-20I9
I9
SYNTHESIS AND ANALYSIS OF THE SIGNAL DISTORTION ESTIMATION ALGORITHM FOR THE MIMO SYSTEMS UNDER THE CONDITIONS OF PRIOR UNCERTAINTY
Natal'ya E. Poborchaya, MTUCI, Moscow, Russia, [email protected] Alexander V. Pestryakov, MTUCI, Moscow, Russia, [email protected]
Abstract
The nonlinear algorithm of M-QAM signal impairments estimation for the MIMO systems is designed in the paper. The method is based on the Taylor's approximation and variation problem decision. The modified least squares method in the form of A.N. Tikhonov's functional was used in this purpose. The algorithm can work both with the help of training sequence and information symbols after the detection procedure. The comparison of the designed algorithm and the procedure of the polynomial approximation of the channel matrix have been done. Benefits of the variation algorithm under the conditions of significant carrier frequency offset (CFO) are confirmed with the help of computational experiment.
Keywords: MIMO systems with the spatial multiplexing, quadrature amplitude modulation (QAM), I/Q-imbalance, DC-offset, carrier frequency offset, nonlinear algorithm of the signal impairments estimation.
References
1. Bakulin M., Varukina L., Kreyndelin V. (2014). MIMO Technology. Rules and Algorithms. M.: Gorachaya Liniya-Telecom.
2. Nesterenko A. (2014). Mathematical model of MIMO-OFDM signal. The Internet-journal "Naukovedenie". Vol.4, No.23, p. 1 http://naukovedenie.ru .
3. Kolyadenko Yu., Kolyadenko A. (2012). Radiochannel mathematical model of MIMO systems^ Electronic scientific specialized publication-journal "Problems of Telecommunications". No.2(7), p. 91.
4. Kosichkina T.P., Khasianova E.R. (2013). Analysis of the influence of the characteristics of quadrature converters work of radio devices digital radio signals and broadcasting // T-Comm. No.9, pp. 100-103.
5. Pestryakov A., Khasianova E. (2013). Analysis of quadrature mismatch compensation's methods for digital communication receivers. Electrosvyaz. 2013. No.5, pp. 20-24.
6. Valkama M. (2001). Advanced I/Q Signal Processing for Wideband Receivers: Models and Algorithms. PhD Dissertation, Tampere 2001, 108 p.
7. Rykaczewski P. (2006). Non-Data-Aided I/Q Imbalance Compensation Using Measured Receiver Front-End Signals. in Proc. 17th Annual IEEE Int'l Symp. On Personal Indoor and Mobile Radio Communications (PIMRC), Helsinki, Finland, pp. 1-5, Sept.
8. Anttila L. (2007). Blind Compensation of frequency-selective I/Q imbalances in quadrature radio receivers: circularity-based approach. In Proc. of ICASSP.
9. Lee J., Hwang S.H. (2018). DC Offset Error Compensation Algorithm for PR Current Control of a Single-Phase Grid-Tied Inverter. Energies. Vol. 11. No. 9. P. 2308.
10. Aziz M., Ghannouchi F.M., Helaoui M. (2017). Blind Compensation of I/Q Impairments in Wireless Transceivers. Sensors. Vol. 17. No. 12. P. 2948.
11. Tikhonov A., Leonov A., Yagola A. (1995). Incorrect nonlinear problems. Moscow: Nauka. Fizmatlit. 1995.
12. Poborchaya N. (2013). Joint Estimation Methods of DC-offset and I/Q-imbalance of QAM Signal in the Presence of Additive White Gaussian Noise. No.5, pp. 24.
13. Poborchaya N. (2014). Performance Analysis of QAM-signal impairments compensator in the Presence of Additive Noise. Electrosvyaz. No.5, p. 20.
14. Poborchaya N. (2016). Signal Impairments Recursive Algorithms in the Presence of Additive Noise and Intersymbol Interference. Electrosvyaz. No. 12, p.64.
15. Poborchaya N. (2017). Signal Impairments Estimation and Compensation in Receive Path of MIMO-Systems. Electrosvyaz.. No.12, p.42.
16. Poborchaya N. (2018). Use of Polynomial Approximation for solving the problem of MIMO-systems signal distortions estimation under the conditions of prior uncertainty. T-Comm. Vol.12, No.8, pp. 63-68.
Information about authors:
Natal'ya E. Poborchaya, PhD of Technical Science, MTUCI, associate professor, Moscow, Russia
Alexander V. Pestryakov, Doctor of Technical Science, MTUCI, dean of the Radio and Broadcasting faculty, Moscow, Russia
■
