CC BY
88
тенной обработке звуковых сигналов в натурных условиях "мелкого моря" // Сб. трудов "X-й сессии РАО". М: 2000. Т.2. С. 71-75.
2. Грачёв Г.А., Кузнецов Г.Н. О средней скорости изменения фазы акустического поля вдоль плоского волновода//Акуст. ж. 1985. №2. С. 266-268.
А.Н. Колесников МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЭНЕРГОСНАБЖЕНИЯ
Характерной особенностью современных систем энергоснабжения (СЭС) является резкое повышение их логической сложности, связанное с повсеместным внедрением встроенных микропроцессорных систем. Для моделирования СЭС с такими свойствами, сочетающими в себе непрерывные и дискретные аспекты поведения, используются математические модели, называемые гибридными системами. Возможность использования таких моделей в современных пакетах моделирования значительно возросла с появлением объектно-ориентированного моделирования (ООМ).
В докладе рассматриваются современные и, по мнению автора, наиболее перспективные подходы к компонентному моделированию сложных динамических систем:
• технология, ориентированная на использование стандартных блоков и функциональных схем, восходящих к эпохе моделирования на аналоговых машинах (Matlab-Simulink- Stateflow);
• объектно-ориентированная технология, позволяющая применять для описания поведения объектов гибридные автоматы (Model Vision Studium);
• технология, получившая название «физическое моделирование», опирающаяся на блоки с двунаправленными связями (Modelica).
Каждый из подходов рассмотрен на примере моделирования процессов электромеханического преобразования энергии в СЭС с N электродвигателями при питании от одного источника, на основе известной математической модели [1].
С точки зрения практической применимости рассматриваемых технологий, автор видит возможность создания универсального программного обеспечения, которое позволило бы конфигурировать СЭС различной сложности, с учетом всех возможных аспектов (количество и параметры электрических машин (ЭМ), параметры процессов функционирования ЭМ, длина и параметры кабелей и т.п.).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ещин Е.К. Модель асинхронного электродвигателя в системе электроснабжения // Электротехника. 2002. № 1. С.40-43.
2. Бенькович Е. С., Колесов Ю. Б., Сениченков Ю. Б. Практическое моделирование динамических систем. СПб.: БХВ - Петербург, 2002. 464 с.
В.В. Тютиков, С.В. Тарарыкин, Е.А. Варков
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАННОЙ СТАТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ
Введение
Модальное управление является эффективным средством обеспечения желаемых динамических показателей замкнутых систем (ЗС) на основе расположения соответствующим образом корней характеристического полинома. Среди вариантов систем мо-
дального управления наиболее удобными в технических применениях являются одноконтурные системы с регуляторами входа-выхода (рис. 1), требующие только одного измерительного устройства.
Рис. 1
Имеющаяся связь между полюсами передаточной функции (ПФ) системы модального управления и динамическими показателями позволяет задавать требуемое качество переходных процессов. При этом обеспечение необходимой статической точности традиционно осуществляется двумя способами. Первый предполагает увеличение быстродействия ЗС, поскольку и быстродействие, и статическая ошибка зависят от коэффициента петлевого усиления. Второй основывается на введении интегральных составляющих в закон управления.
Очевидно, что использование и того, и другого способа снижения статической ошибки будет приводить к перевыполнению требований технического задания, что является нежелательным с различных точек зрения. Т ак, например, превышение заданных показателей быстродействия, очевидно, может потребовать замены силовой электрической части или применения более прочных механических конструкций, а также уменьшения такта квантования по времени, что, в свою очередь, скажется на выборе микропроцессора при цифровой реализации системы управления. Введение интегральной составляющей (при невозможности обеспечить требуемую, ненулевую, статическую ошибку первым способом) приводит к усложнению регулятора, снижению запаса устойчивости ЗС и повышению ее чувствительности к вариациям параметров.
В настоящее время наиболее часто используются дискретные управляющие устройства в силу их известных преимуществ. Расчет дискретных регуляторов может выполняться с использованием двух подходов: методом цифрового перепроектирования аналогового регулятора и методом прямого синтеза по дискретной модели объекта управления (ОУ).
В первом случае ПФ дискретного регулятора определяется в результате применения любого из известных методов дискретизации к непрерывной ПФ, полученной в результате синтеза для достижения заданной статической точности и динамических показателей замкнутой системы. Однако в этом случае невозможно обеспечить некоторые свойства, присущие дискретным системам, например вывод управляемой переменной состояния на заданное значение за конечное время (финитное управление), или получить время переходных процессов в замкнутой системе, соизмеримое с тактом квантования. Синтез регуляторов по дискретной модели ОУ, позволяющих обеспечить независимое удовлетворение требований быстродействия и точности, требует доработки подхода, изложенного в [1], с учетом особенностей дискретного описания объекта.
Постановка задачи
Синтез дискретных модальных регуляторов некомпенсационного типа, проводимый с привлечением методов линейной алгебры [2], осуществляется на основе решения полиномиального уравнения вида
А(ъ)С(ъ) + Б(ъ)Я(ъ) = Б(ъ). (1)
Здесь A(z) = zn + ап_1zn-1 +... + a1z + а0 , B(z) = Ь^т +... + b1z + Ь0 - полиномы ПФ ОУ (далее рассматриваются объекты со строго правильными ПФ (п > т)); C(z) = z1 + С[_^*-1 +... + с^ + Со , R(z) = г^к +... + г^ + Го - полиномы ПФ дискретного регулятора; D(z) = zp + dp_lZ1 _' +... + d1z + dо - характеристический полином замкнутой системы; ъ - комплексная переменная дискретного преобразования Лапласа. Полиномы А(х), С(х) и О(х) нормированы в том смысле, что коэффициенты при старших степенях г равны единице. Полиномы В(г), Я(г) - ненормированы.
Уравнения вида (1) в общем случае имеют бесконечное множество решений. Практический интерес среди них представляют так называемые минимальные решения, получаемые при соблюдении следующих условий:
deg Я(г) = deg А(г)-1, deg С (г) = deg Я(г), deg О(г) = deg А (г) + deg С (г) = 2и-1. (2) При необходимости синтеза астатической системы дискретную передаточную функцию
ОУ умножают на (То _ 1))п , где Т0 - такт квантования по времени, V - требуемая сте-
пень астатизма по регулируемой координате, а после проведения процедуры синтеза присоединяют указанную составляющую к ПФ дискретного регулятора, повышая тем самым порядок замкнутой системы.
Желаемый характеристический полином может быть выбран из стандартных дискретных полиномов, сформирован на основе корней в области г или получен из непрерывно-
_^Т0
го путем применения подстановки Zj = е 10 , где ъ1, з1 - соответственно полюсы полиномов в дискретном и непрерывном времени, 1 = 1, р .
Дискретные передаточные функции для ошибок по управлению Ах и возмущению АГ системы, изображенной на рис. 1, соответственно имеют вид
Ах^) = 1^^)
HAx(z) ~
x(z) J + B(z)R(z) A(z)C(z)
H (z) Df(z) B2(zVA2(z) ,3,
Hif(z) - Kzr~ | | B(z)R(z) • (3)
A(z)C(z)
где A(z) = A j (z)A2(z) • B(z) ~ B j(z)B2(z) .
Поскольку статическая ошибка по управлению может быть скомпенсирована
масштабированием, рассмотрим подробнее методы снижения ошибки Df(z) от действия
внешнего возмущения f(z).
Из (3) может быть получено выражение для определения статической ошибки (при z = 1, f = const) по возмущению:
m2 /п2 m2 /п2
f Z b2i / Za2i f Zb2i / Z a2i
Df =-----i- J I i=J--------= _!=-----LJ~1---• (4)
m k / n 1 J + K
J + ZbiZrJlaiZci р
i=l i~j / i~j i~j
где
т к / п 1
кр =£ ь; £ г; / £ ai £ с (5)
i=l ;=1 / i=l i=l
- коэффициент петлевого усиления, т2 = degB2(z) , П2 = degA2(z) .
Теперь, если известны Дf и f, то всегда можно определить отношение
к / 1
£ 1} / £ Ci , при котором будет обеспечена требуемая ненулевая статическая ошибка. i=1 / i=1
Нулевая величина статической ошибки, согласно (5), может быть получена, если при-1 к
нять £ С; = 0 , независимо от величины £ I; . i=0 ;=0
к1
Однако, обеспечить необходимое значение отношения £Ц £ С; при выполне-
;=1 / ;=1
нии (2) не представляется возможным, поскольку система уравнений, составляемая по (1), будет определенной, а значит будет иметь единственное решение и не даст свободы в назначении необходимых значений коэффициентов полиномов регулятора.
Поставим задачу определения условий, при которых будет возможно произвольное на-к1
значение отношения £ г; / £ С; для обеспечения заданной статической точности замк-;=1 ;=1
нутой системы.
Дискретные системы модального управления с заданной статической ошибкой
Согласно (4), требуемая статическая точность может быть получена заданием со-
к1
ответствующего значения отношения £ г; / £ С; . Однако степени полиномов 0(2), Я^)
;=1 ;=1
и Б^) выбираются так, чтобы система линейных уравнений, получаемая в ходе решения (1), была определенной, а потому имела единственное решение.
Таким образом, необходимо изменить условия (2) так, чтобы система уравнений стала неопределенной совместной, т.е. количество переменных стало бы больше числа уравнений. Этого можно добиться повышением степени полинома Я^) с соответствующим повышением степеней других полиномов:
deg Я(2) = deg С(2) = deg А(2) = п, deg Б(2) = deg А(2) + deg С(2) = 2п. (6)
Количество неизвестных при решении (1), определяемое числом коэффициентов полиномов 0(2) и Я^) в условиях (6), будет равно 2п + 1, в то время как количество уравнений, определяемое суммой степеней deg Аф и deg Сф, равно 2п.
Неопределенная совместная система уравнений (при 1 = т = п - 1), получаемая при решении (1) в условиях (6), принимает следующий вид:
С1ап-1 + Ьтгп=^-1>
а1С0+а0С1 + ь1г0 + Ьог1=^, а0С0 + Ь0г0 = ^ •
Для того чтобы обеспечить замкнутой системе необходимую статическую точность, доопределим (7) уравнением
т2 / п2
- f £Ь2; / £а2; = 0 , (8)
;=1 ;=1
т к п 1
^ 1 + £ ь; £г; / £ а; £ С
;=1 ;=1 / ;=1 ;=1
\ /
полученным из (4). Теперь становится возможным обеспечить необходимую статическую ошибку независимо от быстродействия замкнутой системы.
Последовательность операций синтеза дискретного модального регулятора в этом случае будет следующей. На основании (6) составляется уравнение синтеза. По заданным динамическим характеристикам (время переходного процесса, перерегулирование) ЗС формируется желаемый характеристический полином Б(2). Затем, с учетом требуемой статической ошибки, формируется уравнение (8), которым дополняется система (7). Решение системы (7) дает значения коэффициентов полиномов Я(2) и 0(2) ПФ регулятора.
Заметим, что повышение степени полинома 0(2) не даст желаемого результата, поскольку приведет к соответствующему повышению степени Б(2) и увеличению числа уравнений, которое останется равным числу переменных.
Таким образом, использование неминимальных регуляторов позволяет получить новые свойства ЗС, а именно, возможность задания требуемого коэффициента петлевого усиления для обеспечения необходимой статической ошибки без изменения быстродействия или введения астатизма.
Обеспечение заданной степени астатизма
Традиционно обеспечение заданной степени астатизма при использовании минимальных полиномиальных модальных регуляторов осуществляется с помощью добавления соответствующего числа интеграторов к регулятору. Это сопровождается ростом порядка замкнутой системы.
Рассмотрим подробнее варианты построения астатических систем традиционным способом (с минимальными регуляторами) и с неминимальными регуляторами.
Пусть имеем передаточную функцию ОУ с deg А(2) = п и deg В(2) = т (т < п). Тогда для получения астатизма первого порядка с минимальным регулятором необходимо принять (с учетом добавленного интегратора) следующие соотношения степеней полиномов уравнения синтеза:
deg А(2) = п + 1, degR(z)= deg 0(2) = п, deg Б(2) = deg А(2) + deg С(2) = 2п + 1. (9)
Использование неминимального регулятора в условиях (6) при дополнении сис-1
темы (7) уравнением £ С; = 0 позволит обеспечить данную степень астатизма при по-;=0
рядке ЗС, на единицу меньшем. Процедура синтеза регулятора в этом случае останется такой же, как и для соответствующего регулятора, обеспечивающего заданный астатизм.
Обеспечение степеней астатизма выше первой потребует введения дополнительных членов в полином Я(2) и соответствующих уравнений в систему (7). Понятно, что астатизм второго и последующих порядков можно будет обеспечить, если принять deg Я(2) = п + 1 и т.д. Открытым остается только вопрос об уравнениях для доопределения при этом системы (7).
С методической точки зрения целесообразно обратиться к решению этой проблемы в рамках непрерывных систем.
Рассмотрим процедуру синтеза регулятора для ЗС с астатизмом первого порядка в непрерывном времени. Очевидно, что заданная степень астатизма будет обеспечена, если полином знаменателя регулятора будет иметь следующий вид:
С^) = s + С1_^ +... + С^ = s(s + С1_^ + ••• + С1) .
Таким образом, при синтезе аналогового астатического неминимального регулятора систему, аналогичную (7), необходимо дополнить уравнением с0 = 0. Более высокие степени астатизма потребуют дополнительного повышения степени полинома Я^) и введения уравнений с2 = 0, с3 = 0 и т.д.
Разделим полином С^) = !1 + Сі^1 -1 +... + с^ + с0 на 5. В результате получим частное и остаток:
^ + см!Л-1 + ... + ^ + с° = ^_1 + с^^1-2 +... + с1) + С° .
s !
Таким образом, при решении непрерывного аналога (1) система уравнений дополняется уравнением, в котором фигурирует остаток от деления: с0 = 0.
При обеспечении астатизма второго порядка справедливо выражается
!і + С1-1!1-1 +••• + С1! + С0 = (!1-2 + С1-1!1_3 + ... + С2) + ^ ^ .
!2 ! !2
Очевидно, что в этом случае систему, аналогичную (7), необходимо дополнить двумя уравнениями: с0 = 0 и сі = 0.
Распространим данный результат на синтез дискретных регуляторов. Для обеспечения астатизма п-го порядка в знаменателе ПФ регулятора должен присутствовать корень ъ = 1 соответствующей кратности.
При синтезе дискретного регулятора, обеспечивающего астатизм первого порядка, после деления полинома С(г) на (ъ - 1) имеем следующий остаток:
Со + С1 + ... + С і -1 + 1 .
Т огда, решая систему вида (7), составленную в условиях (6) и дополненную уравнением
Со + С1 +... + сі_1 +1 = 0 , получим значения коэффициентов полиномов регулятора, обеспечивающего астатизм 1 -го порядка. Заметим, что тот же результат получается непосредственно из (4), (5), как было отмечено выше.
Порядок ПФ замкнутой системы с астатизмом 1-го порядка при использовании неминимального дискретного регулятора оказывается на единицу меньше, чем при использовании минимального регулятора.
Обеспечение астатизма второго порядка потребует следующих степеней полиномов:
- минимальный регулятор:
deg А(ъ) = п + 2, deg Я(ъ) = deg С(ъ) = п + 1, deg Б(ъ) = deg А(ъ) + deg С(ъ) = 2п + 3;
- неминимальный регулятор:
deg А(ъ) = п, deg Я(ъ) = degC(z) = п + 1, deg Б(ъ) =deg А(ъ) + deg С(ъ) =2п + 1. (10) Теперь деление полинома С(г) на (ъ - 1)2 даст два остатка:
Со + С1 + ... + С і-1 + 1 , С1 + 2С2 + 3сз +... + (1 — 1) С і-1 +1.
Тогда, решая систему вида (7), составленную в условиях (10) и дополненную уравнениями
Со + С1 +... + С і -1 +1 = 0 , С1 + 2С2 + 3сз +... + (1 — 1) С і-1 + 1 = 0,
получим значения коэффициентов полиномов ПФ регулятора, обеспечивающего астатизм второго порядка.
Очевидно, что в этом случае использование неминимального дискретного регулятора обеспечивает еще большее снижение порядка ПФ замкнутой системы по сравнению с минимальным дискретным регулятором.
Таким образом, использование неминимальных регуляторов дает возможность уменьшить порядок ЗС по сравнению с традиционным способом обеспечения астатизма.
Пример. Для дискретного ОУ с тактом квантования сигналов Т0 = 0,1 с, изображенного на рис. 2, синтезировать регулятор, обеспечивающий при апериодическом переходном процессе с временем установления Т = 2 с статическую ошибку не более 0,1 при возмущающем воздействии, равном 1.
Дискретная передаточная функция ОУ имеет вид
Н0 (г) = « =0,086_.
и(г) А(г) 22 - 1,7243г + 0,741 Для синтеза минимального регулятора, в соответствии с (2), зададим degC(z) = degR(z) = deg А(ъ) -1= 1, deg Б(ъ) = deg А(ъ) + deg С(ъ) = 3.
I ( г)
х( г ) 0,19 і г 0,453 У(г)
г - 0,905 + * г + 0,819
Рис. 2
Обеспечение заданных показателей переходного процесса предполагает наличие у замкнутой дискретной системы характеристического полинома
Аф = z3 - 2,0Ш2 + 1,348z - 0,301,
имеющего кратный полюс Zl 23 = 0,67 .
При этих условиях передаточная функция регулятора примет вид
тт , ч R(z) 1,305z - 1,03
Нг^) = —— =----------------,
г C(z) z - 0,287
обеспечивая Af » 0,9 (кривая 1 на рис. 3,а). При данном типе регулятора получить требуемые статические показатели не представляется возможным, так как быстродействие, которое для этого необходимо, при заданном такте квантования недостижимо из-за потери устойчивости замкнутой системы.
Астатический минимальный регулятор, синтезированный в соответствии с классическими принципами при кратном корне характеристического полинома замкнутой
системы 2^5 = 0,6065 и
deg А(г) = 2+1 = 3, degR(z) = degA(z)-1 = 2 degC(z) = degR(z) = 2 , deg Б^) = deg А(х) + deg С(х) = 5, имеет передаточную функцию (с учетом введенного интегрирующего звена)
тт , ч R(z) 33,3322 - 54,832 + 22,596 0,1
Нгф = —— =--------- -------------------------,
Сф 22 - 0,3092 + 0,373 2 - 1
т.е. имеет третий порядок и обеспечивает замкнутой системе нулевую статическую ошибку (кривая 1 на рис. 3, б).
Синтезируем неминимальный регулятор, для чего, согласно (6), примем degC(z) = degR(z) = deg А (г) = 2, deg В(г) = deg А(£) + deg С(£) = 4.
Для обеспечения требуемой динамики примем кратный корень характеристического полинома замкнутой системы равным = 0,67 . При этом характеристический полином будет иметь вид
Аф = z4 - 2,68^3 + 2,696z2 - 1,2052 + 0,202 .
Уравнение (8) для обеспечения требуемой статической ошибки после несложных преобразований примет вид
0,0862(^2 + г^ + г0)-0,08(22 + с^ + С0) = 0 .
Дополнив им систему (7), в результате ее решения получим передаточную функцию регулятора
тт , ч R(z) 6,1122 - 9,742 + 3,893
Нг(2) = —— =-------- -----------------,
Сф 22 - 0,7022 + 0,27
который обеспечивает замкнутой системе требуемую статическую точность (кривая 2 на рис.3).
Неминимальный астатический регулятор, синтезированный в тех же условиях при
1
£ С = 0, имеет следующую передаточную функцию:
1=0
тт , ч R(z) 6,4422 - 10,312 + 4,137
Нг(2) =----— = ------------------------
С^) 22 - 0,7022 - 0,298
и позволяет получить нулевое значение статической ошибки по возмущению (кривая 2 на рис. 3,б). Замкнутая система при этом имеет порядок, на единицу меньший, чем в случае минимального астатического регулятора.
а б
Рис. 3
Т аким образом, повышение степени полинома числителя регулятора в методе модального управления позволяет получить новые качества ЗС, а именно, возможность независимого задания статических и динамических показателей ЗС, а также уменьшение ее порядка (по сравнению с системами с минимальными регуляторами) при обеспечении требуемой степени астатизма.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тютиков В.В., Тарарыкин С.В., Красильникъянц Е.В., Салахутдинов Н.В. Синтез систем модального управления заданной статической точности // Электротехника, 2002.
2. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / Под ред.
П.Д.Крутько. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1986. 240 с.
Ю.В.Чернухин, М.В.Якопов
КОМПЬЮТЕРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОГРАФОМ АЗИМУТАЛЬНОГО ТЕЛЕСКОПА
В данной работе представлен результат произведенной модернизации длиннощелевого спектрографа LSS (Long Slit Spectrograph), предназначенного для детального исследования протяженных слабых объектов - галактик, гигантских областей ионизованного водорода.
Ставилась задача замены устаревшего дистанционного управления, основанного на релейной логике, на компьютерное, для работы в полностью автоматическом режиме. Удаленное компьютерное управление всеми узлами астрономического инструмента создает удобство для ответственного наблюдателя, существенно экономит наблюдательное время - отпадает необходимость в остановке телескопа для изменения установок (при каждом наведении на объект t=60мин). Обратная связь, заведенная на управляющий компьютер, позволяет в любой момент времени определить состояние электромеханических узлов спектрографа.
Поскольку спектрограф находится на значительном удалении от астронома - наблюдателя (250м), для соединения спектрографа с управляющей машиной было решено использовать волоконно-оптическую линию связи (ВОЛС).
Система управления состоит:
• из унифицированного модуля управления (УМУ), основой которого является программируемая логическая интегральная схема (ПЛИС) ATF22V10 фирмы ATMEL;
• преобразователя параллельного порта;
• блоков питания;
• персонального компьютера под управлением ОС Linux;
• драйвера управляющей программы, разработанного и написанного на языке программирования C++;
• графического интерфейса, разработанного на основе QT библиотек.
Удаленное управление спектрографом SCORPIO (Spectral Camera with Optical Reducer for Photometrical and Interferometrical Observations), разработанным и изготовленным лабораторией ЛСФВО (Лаборатория спектроскопии и фотометрии внегалактических объектов), осуществляется посредством дорогостоящего микроконтроллера. В результате исследований оказалось, что для организации удаленного управления LSS ресурсов перепрограммируемой ПЛИС достаточно. Вторым, немаловажным, аспектом использования ПЛИС является стабильность работы, т.к. в отличие от многофункционального микроконтроллера она запрограммирована для конкретной задачи и, таким образом, исключена вероятность “зависания” управляющей программы. В случае дальнейшего развития астрономического прибора достаточно будет ее просто перепрограммировать.
Модернизация позволила исключить ряд недостатков, таких, как:
• отсутствие удаленного управления оптико-механическими узлами прибора;
• из-за инертности затвора невозможность корректного запуска малых экспозиций (менее 3 с);
• отсутствие датчиков контроля состояния узлов и механизмов прибора;
