CC BY
106
-\ КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 621.372
с1о1:10.15217/1ззп1684-8853.2015.4.119
СИНТЕЗ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА С ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
С. И. Зиатдинова, доктор техн. наук, профессор
аСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
Санкт-Петербург, РФ
Цель: разработка высокоточных алгоритмов вычисления производной сигнала для уменьшения ошибок дифференцирования пространственного положения объекта. Методы: использование обратного преобразования Фурье применительно к линейной частотной характеристике дифференцирующего фильтра в заданном диапазоне частот. Результаты: показано, что известные дифференцирующие устройства, выполненные на базе операционного усилителя с использованием «С-Я»-цепи, а также дискретные алгоритмы дифференцирования, основанные на разложении в степенной ряд частотной передаточной функции идеального дифференциатора, при ограниченном числе членов ряда не обеспечивают линейной частотной характеристики в широком диапазоне частот. Разработан дифференцирующий фильтр для высокоточного вычисления производной сигнала в широком диапазоне частот от нуля до частоты Найквиста. Получена его импульсная характеристика, позволяющая с использованием интеграла Дюамеля сравнительно легко вычислить выходной сигнал дифференцирующего фильтра при заданном входном воздействии.
Ключевые слова — дифференцирование, импульсная характеристика, ошибки дифференцирования.
Введение
Задача дифференцирования сигналов достаточно часто встречается при построении измерителей линейных и угловых скоростей движения разнообразных объектов; при создании корректирующих устройств в системах автоматического управления, системах стабилизации положения космических аппаратов и т. д. Существующие дифференцирующие устройства на базе простейших «С-Д» электрических цепей, а также дифференцирующие фильтры с использованием операционных усилителей [1] и дискретные алгоритмы дифференцирования [2] не обладают достаточной линейностью частотной характеристики в широком диапазоне частот. Представляет интерес разработка высокоточных дифференцирующих устройств, позволяющих минимизировать ошибки при измерении скорости перемещения разнообразных объектов.
Сравнительный анализ существующих алгоритмов дифференцирования
Известно [3], что идеальный дифференцирующий фильтр обладает частотной передаточной функцией (ПФ) вида л
' (1)
Wид (/ю) = /ю = юе 2 •
При этом амплитудно-частотная (АЧХ) и фа-зочастотная (ФЧХ) характеристики дифференцирующего фильтра определяются соотношениями
Щгд (ю) = ю и ф(ю) =
—, ю > 0; 2
--, ю < 0.
2
К числу простейших аналоговых непрерывных дифференцирующих фильтров относится «С-Д»-цепочка, включающая конденсатор и резистор. Частотная ПФ такого дифференцирующего фильтра описывается выражением [1]
W(/ю) =
/ют 1 + /ют'
(2)
где т = ДС — постоянная времени фильтра.
Сопоставляя соотношения (1) и (2), можно заметить, что простейший дифференцирующий фильтр будет обеспечивать относительную линейность АЧХ лишь при ют << 1. Данное обстоятельство резко ограничивает дифференцирующие способности простейшего фильтра. При этом существенно уменьшается значение выходного сигнала.
Возможно построение дифференцирующего фильтра с использованием операционного усилителя, у которого во входной цепи установлен конденсатор С, а в цепи обратной связи — резистор Д.
Частотная ПФ такого дифференцирующего фильтра выглядит следующим образом [1]:
W (/ю) = -/юЯС-
1
1+/ю-
ЯС'
К
где К — коэффициент усиления операционного усилителя, который может быть равен нескольким десяткам тысяч. Для идеального операционного усилителя К = да. Тогда для дифференцирующего фильтра на базе операционного усилителя частотная ПФ принимает вид
W (/ю) = -/юЯС.
На практике такая ПФ реализована быть не может из-за ограничений полосы пропускания
ХРОНИКА И ИНФОРМАЦИЯ
и конечного коэффициента усиления операционного усилителя. Представляет опасность и значительное усиление на достаточно высоких частотах. Это обусловлено тем, что высокочастотные составляющие спектра собственных шумов операционного усилителя после значительного усиления накладываются на полезный продифференцированный сигнал и искажают его.
При использовании ЦВМ для разработки дискретных (или цифровых) алгоритмов дифференцирования воспользуемся оператором задержки на период дискретизации входного сигнала во времени
г"1 = е—юТ,
где Т — период поступления отсчетов (период дискретизации) входного сигнала на дифференцирующий фильтр.
Из данного выражения следует, что ую = 1пг. Разложение 1пг в степенной ряд дает алгоритм дискретного дифференцирования [2]
1
Ш = —
T
1 - e—jaT) +1 (1- e—jaT ^
■3 (i-)+•••
i )
= Т Е 1 í=l
• (3)
В практических задачах в выражении (3) можно использовать только ограниченное число членов степенного ряда, что приводит к снижению линейности АЧХ дифференцирующего фильтра.
Так, например, при использовании в алгоритме (3) только первого члена степенного ряда для нормированной частоты дифференцируемого гармонического сигнала юТ = п возникает относительная ошибка дифференцирования, равная 36,3 %. При использовании двух первых членов степенного ряда относительная ошибка дифференцирования составляет 27,4 %.
Следует отметить, что при значительном числе учитываемых в (3) членов степенного ряда
в АЧХ дифференцирующего фильтра появляются в определенной области частот недопустимо большие выбросы, что резко снижает линейность АЧХ.
Алгоритмы высокоточного дифференцирования
С учетом вышерассмотренного возникает задача синтеза дифференцирующего фильтра с линейной АЧХ в заданном диапазоне частот. Пусть верхняя частота дифференцируемого сигнала равняется юв. Используя выражение (1) для частотной ПФ идеального дифференцирующего фильтра, найдем импульсную характеристику дифференцирующего фильтра с линейной АЧХ в рассматриваемом диапазоне частот:
""в
h(t) = J jaejaTd
ю =
®в
Юв
—юв —юв
Первое слагаемое в данном выражении является нечетной функцией частоты, поэтому оно равно нулю. В результате получим
в
h(t) = — J rosin(rot)dro.
Опуская несложные математические выкладки, окончательно запишем
2
h(t) =--— (sin aBt — aBt cos roBt).
t2
Импульсная характеристика рассматриваемого дифференцирующего фильтра показана на рисунке, а.
Следует отметить, что синтезированный дифференцирующий фильтр имеет импульсную ха-
а) Л(£)х107
0,5
-0,5 -
t, c
б) W(®T) 40
30
20
10
0
-0,02 -0,01
0,01
0,02
0,7
0,14 0,21
0,35
■ Импульсная (а) и амплитудно-частотная (б) характеристика дифференцирующего фильтра
со
в
ÜJ
в
120 У ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
"7 № 4, 2015
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
рактеристику, которая бесконечно длинная как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента. Это так называемые идеальные фильтры, нереализуемые на практике. Этот факт в литературе известен.
Проблема перехода от идеального фильтра к реальному и ее решение обсуждаются в работе [3]. Предлагается в импульсную характеристику Щ^) идеального фильтра ввести задержку на величину t0. При этом величина импульсной характеристики - для t = 0 должна быть меньше заданной величины, например, < 0,01. Возникающие при этом амплитудные и фазовые искажения являются незначительными.
Вводимая задержка выходного сигнала является абсолютно нормальным явлением для любого реального фильтра с ограниченной верхней частотой АЧХ.
При этом АЧХ синтезированного дифференцирующего фильтра может быть найдена из соотношения
W (ю) =
f h(t)e
-jrat
dt
Анализ приведенной АЧХ (рисунок, б) показывает, что дифференцирующий фильтр обладает линейной частотной характеристикой в широком диапазоне нормированных частот
юТ = 0 -г- л.
Заключение
В результате проведенных исследований показано, что простейшиедифференцирующиеустрой-ства, в основе которых используются «Д-С»-филь-тры, дифференцирующие фильтры с операционными усилителями, обладают низкой линейностью частотной характеристики в широком диапазоне частот. Использование дискретных алгоритмов при ограниченном порядке дифференцирующего фильтра также приводит к значительным ошибкам вычисления производной. Синтезированный дифференцирующий фильтр обладает линейной частотной характеристикой и может найти применение в задачах построения измерителей скоростей перемещения разнообразных объектов, при создании корректирующих фильтров в системах автоматического управления, системах управления космическими аппаратами и т. д.
Литература
1. Степаненко И. П. Основы микроэлектроники. — М.: Высш. шк., 2001. — 488 с.
2. Зиатдинов С. И., Осипов Л. А. Проектирование специализированных вычислителей цифровой обработки сигналов. — СПб.: ГУАП, 2006. — 74 с.
3. Сергиенко А. В. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2002. — 608 с.
— ¥
UDC 621.372
doi:10.15217/issn1684-8853.2015.4.119
Synthesis of the Differentiated Filter with Linear Frequency Characteristic
Ziatdinov S. I.a, Dr. Sc., Tech., Professor, [email protected]
aSaint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia St., Saint-Petersburg, Russian Federation
Purpose: The goal of the research is developing high-precision algorithms for the signal derivative calculation to minimize the mistakes in the differentiation of the object position. Method: Inverse Fourier transformation was applied to the linear frequency characteristic of the differentiating filter in the given frequency range. Results: It is shown that the existing differentiating devices based on an operation amplifier with a "C-R" chain, and the discrete differentiation algorithms based on a power series expansion of the frequency transmission function of an ideal differentiator with a limited number of the series members do not provide a linear frequency characteristic in a wide range of frequencies. A differentiating filter is developed for high-precision calculation of the signal derivative in a wide range from zero to Naives frequency. Its impulse response is obtained. Duhamel integral helps to relatively easily calculate the output signal of the differentiating filter for a given input.
Keywords — Differentiation, Impulse Response, Differentiation Mistakes.
References
1. Stepaneko I. P. Osnovy mikroelektroniki [Fundamentals of Microelectronics]. Moscow. Vysshaia shkola Publ., 2001. 488 p. (In Russian).
2. Ziatdinov S. I., Osipov L. A. Proektirovanie spetsial-izirovannykh vychislitelei tsifrovoi obrabotki signalov [De-
signing Specialized Calculators DSP]. Saint-Petersburg, GUAP Publ., 2006. 74 p. (In Russian). 3. Sergienko A. V. Tsifrovaia obrabotka signalov [Digital Signal Processing]. Saint-Petersburg, Piter Publ., 2002. 608 p. (In Russian).
