СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО СОСТОЯНИЮ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

ВЕСТН/КТОУ. 2012. № 1 (24)

И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 684.511

© А. И. Годяев, В. М. Давыдов, Е. А. Шеленок, 2012

СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО СОСТОЯНИЮ

Годяев А. И. - д-р техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматика и телемеханика», e-mail: zav_at@festu.khv.ru (ДВГУПС); Давыдов В. М. - д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «Технологическая информатика и информационные системы»; Шеленок Е. А. - преп. кафедры «Автоматика и системотехника», e-mail: cidshell@mail.ru (ТОГУ)

Рассматривается решение задачи управления многосвязным априорно неопределенным нелинейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию, функционирующим в периодических режимах. В качестве закона регулирования предлагается комбинированный робастно-периодический алгоритм, синтезированный с помощью критерия гиперустойчивости.

The solution of the problem of an automated control for multiple a priori uncertain nonlinear dynamic plant with statement delay operating in periodic modes is considered. As a control law a combined robust-periodical algorithm synthesized by using the hyper stability criterion is proposed.

Ключевые слова: многосвязный динамический объект, децентрализованное управление, априорная неопределенность, запаздывание, комбинированный алгоритм, критерий гиперустойчивости.

Подавляющее большинство современных автоматических систем управления различными технологическими процессами - это, как правило, системы управления сложными многосвязными динамическими объектами, функционирующими в условиях априорной неопределенности, нестационарности и нелинейности своих параметров, а также при наличии внешних возмущений, имеющих различную природу возникновения. Подобные системы содержат большое количество управляющих сигналов, контролирующих изменение нескольких выходных параметров.

Известно [1], что одним из методов анализа и синтеза таких систем является их декомпозиция - выделение из общей сложной системы отдельных слабосвязанных или вовсе независимых локальных частей (подсистем). Тогда

Введение

ВЕСТНИК ТОГУ. 2012 №1 (24)

для решения поставленной задачи управления можно рассматривать некоторый автономный динамический объект (локальную подсистему) с соответствующим ему задающим воздействием, управляющим сигналом и внешним возмущением. Такой способ построения систем носит название децентрализованного управления [2-4].

Обеспечение стабильной работы сложных динамических объектов в некоторых заданных периодических режимах является еще одной актуальной задачей для разработчиков современных систем управления. Примером подобных систем децентрализованного управления являются системы управления манипуляционными роботами, состоящими из нескольких звеньев и предназначенными для выполнения повторяющихся операций [4, 5]. Следует также отметить, что разработка систем управления осложняется не только наличием априорной определенности, нелинейности и нестационарности параметров объекта регулирования, но и наличием временного запаздывания, достаточно широко распространенного на практике. Известно довольно большое множество технических объектов, содержащих запаздывающий элемент, например, в системах автоматического регулирования движения локомотивов присутствуют динамические звенья с запаздыванием по состоянию.

В статье на основании результатов, полученных в работах [3, 4, 7-9], рассматривается решение задачи управления многосвязным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию с помощью комбинированного ро-бастно-периодического контура управления.

Исходное математическое описание и постановка задачи

Исходное математическое описание системы

Рассматривается многосвязный нелинейно-нестационарный априорно неопределенный динамический объект с запаздыванием по состоянию, свойства которого, аналогично [2, 3], запишем в виде уравнений динамики его локальных подсистем:

Сх, и )

= Л, (г, х, ) + в1 (I, х1 ,т,) + Ъ1т (0 + /г (г) + (г),

с (1)

X, (я,) = Гг (Я,), Яг е [-т,;0], у, (г) = Дх, (г), Л; (г, х,) = [ Лц + Л2, (г+Т)] х, (г) + Ъ& (у,),

Л1,г = Ло,, + хоА1Т, Л2, (г + Т) = ЪрТ (г+Т), (2)

В1 (г, х, ,т) = Ъ,СТ (г+Т) х, (г-т{), Ъ = Ъо,, = [0,...,0,1]Т,

где: х, (г) е Я"' ; и, (г) е Я ; у, (г) е Я - вектор переменных состояния, скалярное задающее воздействие и выход каждой ,-й локальной подсистемы объекта; ' = 1, 2, ... - порядковый номер локальных подсистем; т - известные временные запаздывания; Л, (г, х,) - нелинейный нестационарный вектор,

СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО СОСТОЯНИЮ

ВЕСТН/КТОГУ 2012. № 1 (24)

содержащий в своем составе некоторую неустойчивую стационарную матрицу Лц, нестационарную матрицу А2 - (V + Т) с периодически меняющимися в

известных пределах коэффициентами, а также нелинейную функцию, определенную в виде:

(у-) =|СС8 У*' (ОГ- -Уу (О, (3)

где: В^ (V,х-,т-) - нестационарный вектор с запаздывающим состоянием объекта; р- (V + Т), й- (V + Т) - нестационарные вектор-функции с параметрами, являющимися Г-периодическими; Ь- - стационарный вектор управления; Ь - векторы, формирующие выходы локальных подсистем (1), (2); /- (V) -векторные сигналы локальных внешних возмущающих воздействий, ограниченных по величине:

/1 (О = ЬТ /и, - (V) = [0,...,0, /п- (0]Т,

I/",- (V )|=|/ ,пер ( + Т) + непер () |< /0,- = сош1 > 0, т

(V) = Ь^ ^ и- (V) - нестационарный вектор, характеризующий перекрестные

- =1

связи отдельных подсистем, причем уравнения их динамики имеют вид:

йХ;,- (V) т

= ЛуХу (V) + ЬуУ- (0, и- (V) = СТ Ху (V), (5)

где: Ху (V) е Я"- - переменные состояния перекрестной связи; и- (V) е Я - вы-

Т

ходной скалярный сигнал перекрестной связи; Л--,Су-, Ь-- = [0,...,0,1] - постоянные матрица и векторы, обеспечивающие устойчивость динамического звена (5).

Априорную неопределенность объекта управления (1)-(5) опишем в соответствии с соотношениями:

Л1,- = Л1,$, Ь- = Ь$, хо,- = x$io, а = а$, п = г^,

р (V + Т) = р$ (V + Т), й- (V + Т) = (V + Т), (6)

где: $ е Н- - параметр, определяющий уровень неопределенности параметров.

С целью задания желаемой динамики работы рассматриваемого многосвязного объекта введем в его каждую - -ю подсистему (1), (2) неявно заданный периодический эталон [7], уравнения которого перепишем в виде:

йх0 ; (V) Т

-0— = Л0JХ0J(V) + + Т), У0,-(V) = Ь Х0,-(V) = п(V + Т), (7)

м

где: ц(V + Т) - локальные сигналы периодических задающих воздействий.

ВЕСТНИК ТОГУ. 2012 №1 (24)

и* i(t + T) - некоторые неявные периодические сигналы.

В качестве устройства управления в каждую локальную подсистему (1)-(5) введем комбинированные робастные динамические контуры [3, 4]:

ui(t) = Ci [ui,пер (t) + ui,роб (t)], (8)

где: Ui пер(t), Ui роб(t) - соответственно периодическая и робастная части

регулятора; Zi = const > 0 . Постановка задачи

Для системы (1)-(5), (8) с помощью неявного периодического эталона (7) требуется определить явный вид алгоритмов локальных комбинированных робастных контуров (8), обеспечивающих при любых начальных условиях Xi (0), любом уровне априорной неопределенности ¿¡i е Нг-, а также любых нелинейных параметрах (3) и внешних возмущениях объекта (4), выполнение предельных целевых условий:

lim | yo,i (t) - yi (t) N o-Ji, lim Ui^n (t) = и*,пер (t) = Ui (t + Ti), (9) где: О) i = const > 0 - некоторые достаточно малые числа.

Синтез комбинированной робастной системы управления

Применим схему критерия гиперустойчивости [2-4, 7-9] для каждой отдельной подсистемы объекта с целью синтеза алгоритмов управления локальных робастно-периодических регуляторов (8). Отметим, что, по аналогии, например, с [2, 3], выходные сигналы переходных связей (5) для каждой локальной подсистемы объекта (1), (2) будут являться ограниченными функциями, т. е.:

m

v» (t)

J=1 J

2

< ио j = const > 0.

Первый этап синтеза. Пользуясь понятием ошибки рассогласования £I (г) = хо I (0 - хI (г) и уравнениями эталона (7), получим эквивалентное математическое описание синтезируемой системы управления:

й£; (г) т

-= А0 £ (г) + ь0 ;/и(г), (г) = Ц £ (г) = г (г + т) - у (г),

Л (10)

Мг) = ["1,пер (г) - в (г + Т)] - роб (г) - Анепер (г) - (г),

с периодическим сигналом:

ß (t + T) = Zt-1 [и* i (t + T) + pT (t + T)xi (t) + dj (t + T)Xj (t -Ti) +

(10)

+ (Уг ) + /г (г + Т)],

т

X о::(г) - эквивалент

}=1 }

Второй этап синтеза. Выполнение условий вещественности и положи-

где: f;(t + T) = fjneü(t + T) + X Uj(t) - эквивалентное возмущение.

' F j=1 J

СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО СОСТОЯНИЮ

ВЕСТН/КТОГУ 2012. № 1 (24)

тельности ЛСЧ эквивалентной системы (10) можно обеспечить за счет выбо-

т

ра элементов каждого из векторов Ц = [/1,..., /п ] локальных подсистем объекта с передаточными функциями вида:

Ц (^ _ А,)+¿о.

ЩЖч (s) = •

(sE - A0,i)

так, чтобы полиномы /1 (5) = /п^п' 1 +/п 2 +... + ^ + /1 (п - порядок

локальной подсистемы) были гурвицевыми с положительными коэффициентами [3, 7]. В этом случае требование, предъявляемое к ЛСЧ системы (10):

Ке[[сч(®]> 0, V® е (_ да;да), ]2 = _1.

будет выполнено.

Третий этап синтеза. Получим явный вид аналитических выражений, определяющих алгоритмы локальных контуров управления (8) для каждой подсистемы объекта, т. е. обеспечим выполнения модифицированного интегрального неравенства В. М. Попова [9] вида:

n, - 2

(11)

Пк (0, t) = -X J Vki (s)Zi (s)Qki (Zi (s))ds > Iqj = const, Vt > 0, к 0

где: Qk i (zi (t)) - некоторые положительно определенные функции.

Пользуясь методикой, изложенной в работах [3, 7-9], и опираясь на соотношения, полученные на первом этапе синтеза системы управления, можно показать, что рассмотрение интегральных слагаемых правой части (11) в силу (10), имеющих вид:

t

П(0, t) = Zi J[\пер (s) - Pi (s + T)]Zi (s)ds;

n2(0,t) = Zi 0ui, роб(s) zi(s)ds;

П3(0, t) = Zi

I fi. rnnep(s)zi(s) I zi(s) I ds + 0yi(s)zi(s) I zi(s) I ds

для которых ((г)) = Q2 ■ ((г)) = 1; е3,, ((г)) = (г) |; б4,г- ((г)) =

= 1 | (г) |; и определение явного вида требуемых локальных алгоритмов управления с помощью соотношений:

и1,пер (г) = Щ,пер (г _ Т ) + в0,121(t), (12)

(г) = ев +Р2,г\уг (г)\в ] (г) (13)

позволяет обеспечить существование справедливых интегральных оценок:

П(0,t) > -4,i, П2(0,г) > -^02,i, Пз(0, t) > -^3,i, %i = const, Vt > 0, не противоречащих справедливости интегрального неравенства (11).

ВЕСТНИК ТОГУ. 2012 №1 (24)

Из выполнения требований всех пройденных этапов синтеза следует, что исследуемая система управления (1)-(5), (8) с алгоритмами локальных ро-бастно-периодических регуляторов (12), (13) является гиперустойчивой в заданном классе априорной неопределенности ¿¡е Ег- (6), и для нее будут справедливы предельные целевые условия (9).

Вычислительный эксперимент

Исследуем процесс функционирования синтезированной системы управления нелинейным многосвязным объектом (1)-(5), состоящим из двух локальных подсистем с динамикой, описанной уравнениями: - первая подсистема

7 „ , „ X ( „ X

+

А1(г, х1) =

0 1 0 0 0 0

1

0 0 0

0 0 0

чРц(г + Т) Р21 (г + Т ) р31 (г + Т )

X

Л

х1(г) +

а

сое у1 (г) \

(

01(1, х1,т1) =

У1(г)

Рк ,1(г + Т) = Рк ,18т( 4к ,1пг);

V

0 0 0 0 0 0 d11(г + т) d21(г + т) d31(t + т)

Л

х1(г -Т1);

/1(г) =

( 0 X dk,1(г + т) = Ьк,1с°8^к,1г);

0

/3,1(г)

/3,1пер(г + т) = ^18т(пг);

Л

Л

/¡1 г

/3,1пер (г) = 8т[§т(и1 г)'е -1] г

вторая подсистема

А2(г, х2) = (

0 1

0

0

^а2,1 а2,2 Л \Р\,2(г + т) Р2,2(г + т )Л 0 X

Х2 (г) +

с°8 У22 (г)

^2

'У2(г)

Рк,2(г + т) = Рк,2 с°8(«к,2пг);

Л

°2(г, х2, т2)

/2(г) =

dlл(г + т) d2,2(г + т) Л х2(г-Т2); ^,2(г + т) = Ьк,281п(^к,2 г); 0 X /2,2пер(г + т) = -^с°8пг;

/2,2(г)Л /2,2непер (г) = г) + г)].

+

+

СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО СОСТОЯНИЮ

ВЕСТНИКТОГУ. 2012. № 1 (24)

Перекрестные связи в рассматриваемом объекте заданы передаточными функциями устойчивых динамических звеньев:

= ——; Ъ^) = ——.

12 0,552 + 25 + 1 21 0,352 + 35 + 1 Локальные задающие воздействия для подсистем объекта управления были сформированы в виде периодических сигналов:

г1(г + т) = 8т(0,8 г )с°8(0,4г),

г2(г + т) = 0,2^т(0,8г) - с°8(0,4г)] + 0,2, графическая интерпретация которых представлена на рис. 2.13.

(14)

1С + т)

Г2(г + т)

10 20 30 40 50 Г,С '0 10 20 30 40 50 t,C Рис. 1. Сигналы локальных задающих воздействий системы

На рис. 2 представлены динамические процессы системы с набором числовых значений параметров объекта управления: - для первой локальной подсистемы

= 2;

К = 0,2; и = 2,3; Л^ = 0,2; т = 2 ;

- для второй локальной подсистемы

а1 2 = 12; /12 = 1; Р1 2 = 0,4; 91 2 = 0,1; ¿12 = 0,2; ^ 2 = 0,3; = 2;

а22 = -10,3; /22 = 3; Р22 = 0,1; 922 = 0,15; ¿2 2 = 0,3; "22 = 0,2; ^2 = 3; а2 = -0,3; к2 = 0,1; и2 = 0,7; / = 1,5 и коэффициентами локальных комбинированных робастных регуляторов:

1,1 = 15; /1,1 = 2: • Р1,1 = 0,2; 91,1 = 0,1; ¿1,1 = 0,5; "1,1 = 0,6; «1

2,1 = -7; /2,1 = 5 ; Р 2,1 = 0,4; 92,1 = 0,15; ¿2,1 = 1; "2,1 = 0,3; У1

3,1 = 10; /3,1 = 3 ; Р3,1 = 1; 93,1 = 0,2; ¿3,1 = 0,3; "3,1 = 0,3; а1

а

ВЕСТНИК ТОГУ. 2012 №1 (24)

^ = 100; в0д = 30; вд = 20; в2д = 50; в1 = 3; Т = 1,5;

=100; в0,2 =50; Р\,2 =15; в2,2 =30; в =2; т2 = 5

выбранных в ходе имитационного моделирования.

(15)

10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 С

Рис. 2. Ошибки регулирования (^), Z2 (^) и сигналы управления щ , и 2 (^) для локальных подсистем объекта

Рис. 3 иллюстрирует динамические процессы, полученные в ходе имитационного моделирования системы управления с сигналами задающих воздействий (14), параметрами локальных контуров регулирования (15), а также при параметрах первой подсистемы:

"1,1 =-5; '1,1 =2; Р1,1 = 0,1; «1,1 = 0,2; Ь11 = 0,1; "1,1 = 0,4; «1

"2,1 = 12; 12,1 = 1 Р2,1 = : 0,2; ^2 1 = 0,2; Ь2 1 = 0,6; "2,1 = 0,4;

"3,1 = -10; 13,1 = 3 • Р3,1 = 0,4 «3,1 = 0,2; Ь3 1 = 0,1; "3,1 = 0,2;

К1 = 0,2; и1 = : 2,3; Л1 = 0,2; г1 = 2;

и параметрах второй подсистемы:

СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО СОСТОЯНИЮ

ВЕСТНИКТОГУ. 2012. № 1 (24)

а1,2 = -12; /1,2 = 2; Р1,2 = 0,4; 91,2 = 0,3; ¿1,2 = 0,5; "1,2 = 0,2; «2 = 3; а2 2 = 9,5; /22 = 5; Р2 2 = 0,3; 92 2 = 0,1; ¿2 2 = 0,1; "2 2 = 0,4; ^2 = 5;

су2 = -0,3; к = 0,1; и2 = 0,7; Л2 = 1,5; т2 = 1,5.

* 2 (г)

г, с

Рис. 3. Ошибки регулирования (г), *2 (г) и сигналы управления и (г), Ы2 (г) локальных подсистем объекта управления с измененными параметрами

Представленные результаты имитационного моделирования позволяют сделать вывод о достаточно хорошем функционировании синтезированной системы управления многосвязными нелинейными динамическими объектами с запаздыванием по состоянию. Данное обстоятельство прежде всего обусловлено малой величиной сигнала ошибки рассогласования (максимальное значение которой не превышает 0,2 %), а также качественным сигналом управления и(г).

Заключение

Представлено решение задачи децентрализованного управления многосвязным нелинейным априорно неопределенным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию. В качестве закона управления предложен комбинированный регулятор, состоящий из периодической настройки и робаст-ной части, алгоритмы которого синтезированы на основании критерия гипе-

ВЕСТНИК ТОГУ. 2012 №1 (24)

рустойчивости. На основании проведенного имитационного моделирования показано, что с помощью предложенного комбинированного контура управления (8), (12), (13) можно обеспечить высокое качество функционирования построенной системы при различных параметрах управляемого объекта.

Библиографические ссылки

1. Jane S., Khorrami F. Decentralized adaptive control of a class of Large-Scale interconnected nonlinear systems // IEEE Trans. Aut. Contr. - 1997. - Vol. 42. - No. 2.

2. Теличенко Д. А. Гибридная адаптивная система с эталонным упредителем в схемах децентрализованного управления с запаздыванием // Информатика и системы управления. - 2006. - № 1 (11).

3. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Периодические режимы в схемах децентрализованного адаптивного и робастного управления // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2011. - № 1 (35).

4. Еремин Е. Л., Теличенко Д. А., Шеленок Е. А. Циклический режим в системе робастного управления манипулятором Барретта // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2010. - № 3 (18).

5. McIntyre M. L., Dixon W. E., Dawson D. M., Walker I. D. Fault Identification for Robot Manipulators // IEEE Transactions on Robotics. -. 2005. - Vol. 21. - № 5.

7. Еремин Е. Л., Теличенко Д. А., Шеленок Е. А. Комбинированные алгоритмы системы робастно-периодического управления нелинейным объектом с запаздыванием // Информатика и системы управления. - 2009. - № 3 (21).

8. Лелянов Б. Н., Теличенко Д. А., Шеленок Е. А. Комбинированная система управления априорно неопределенным нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию // Информатика и системы управления. - 2010. - № 1 (23).

9. Галаган Т. А., Еремин Е. Л., Семичевская Н. П. Нелинейное робастное управление нестационарными объектами. - Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2006.