Синтез блока фильтров для оптимального параметрического спектрального анализа с прямым оцениванием частот гармоник Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел I

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

УДК 621.3%

М М.Мардер, В.П. Федосов Синтез блока фильтров для оптимального параметрического спектрального анализа с прямым оцениванием частот гармоник

При формировании алгоритмов спектрального анализа [1], позволяющих оценивать амплитуду и частоту спектральных составляющих прямым методом, требуется разработать способы формирования весовых функций, позволяющих строить амплитудно-частотные характеристики анализирующих фильтров.

Для спектрального анализа прямым методом необходимо найти такой весовой вектор Щ), который минимизировал бы мощность Р{) процессов на выходе устройства весовой обработки входной выборки X. Для этого Щ, должен быть собственным вектором с минимальным собственным числом ковариационной матрицы -Дч. = .Я. + Яп выборки X где 5, и Яп—ковариационные матрицы сигнальной и шумовой составляющих. Применяя в выборке А’весовую обработку, получим мощность Р0, связанную с мощностями Р1К, /е \\,т\ отдельных спектральных, и Р1т

шумовой составляющих входного процесса следующим соотношением:

м м

/о= <М)= Я$П5Щ)+Ц$Ип »&||2=Х Р,к+Рпн., (1)

С:1 Й1

где ^ /^. = ст2||^!2 ■

Матрицы Я,, Я/, / е [1, т] являются положительно полуопределенными [2]. Поэтому минимум суммы (1) может быть достигну!' только при минимизации каждой матричной формы или Ц$Я(1У0, г е |1, т]. Из этого следуег первое требо-

вание к вектору Щ, , состоящее в том, что он должен быть собственным с минимальным собственным числом одновременно для всех ковариационных матриц Д, Я5 и

Я; [4|.

Для получения прямых оценок спектральных составляющих необходимо при формировании весового вектора Щ, выполнить второе требование. Оно состоит в том, что алгоритм формирования должен использовать в качестве исходной информации не значение компонент вектора ТР0 (как во многих традиционных алгоритмах оценивания), а непосредственно координаты нулей спектра весовой функции );,(/), соответствующей этому вектору.

Синтезируем алгоритм формирования полной системы базисных векторов Щ и вектора Иц . удовлетворяющих сформированным выше требованиям. Для этого вначале получим алгоритм формирования вектора Щ) исходя из того, что он должен быть собственным с .минимальным собственным числом одновременно для матриц Ял , А’ и Я., / е 11, Щ.

Матрица Ят . имеющая ранг, равный единице (г (Я,) =1), вырождена и, следовательно, имеет минимальное собственное число. Поэтому вектор Щ должен быть результатом решения системы однородных векторно-матричных уравнений, связы-

ваюш.их собственные вектора и собственные числа матриц Яі. Эта система может быть представлена в форме

= {ЫшаЩ = 0 , / є [1,Щ ■ (2)

Для вырожденной матрицы с А?-1 нулевыми собственными числами N-1 компонент собственного вектора определены неоднозначно и могут задаваться произвольно. Наиболее простая структура собственного вектора может быть получена, если максимальное количество его компонент равно нулю. Однако для исключения тривиального решения (^=0) системы (2) минимачьное число нулевых компонент собственного вектора матрицы не должно быть меньше двух. В этом случае решение каждого уравнения системы (2) надо искать среди векторов Ц вида

Ц.= [...0...(^)п...0...(Ч);п...0.,.]Г, (3)

где V]— собственный вектор матрицы Яі; (Щп , (Ь))т~~ ненулевые компоненты вектора Ц; п, т е [\,Щ , пф т— индексы, определяющие позиции ненулевых компонент вектора Ц. При такой структуре вектора £/, и матрицы Яі решением /-го уравнения системы (2) является вектор Ц с компонентами вида [3]

(Щп = С ; {Щт= Се . (4)

Наиболее простое решение соответствует 0=1; т-п= І, при котором (Щп=1, а

(Ц.)т]= -е Л>!, где ф=ш;т, ш,— частота оцениваемых составляющих спектра, т—интервал дискретизации входной выборки. Линейная комбинация собственных векторов некоторой матрицы также является собственным вектором этой матрицы, причем если таковым векторам соответствуют нулевые собственные числа, то полученному вектору также будет соответствовать нулевое собственное число. Образуем из векторов (£/])! и (Щ)2 линейную комбинацию (индекс / соответствует индексу

матрицы Щ вида

(.Щ 1,2 = + , (5)

где р2 = -е^2 = (£^)2—вторая компонента собственного вектора ((72)| матрицы Х2 ■ Вектор (и1)12, будучи линейной комбинацией собственных векторов (£/1)1 и (и{)2 с нулевым собственным числом матрицы , также является собственным вектором матрицы .

Следоватеяы-го. выражение (5) можно рассматривать как алгоритм, позволяющий получить вектор, который является собственным с нулевым собственным числом одновременно .тая матриц и Л2. Эти рассуждения можно распространить и на остальные матрицы І?.-. В результате будет получен искомый вектор , а алгоритм получения его компонент в соответствии с (5) представляет собой рекуррентную процедуру

(6)

где я компонента вектора Щ , получеішая на к-м шаге рекуррентной проце-

дуры; к є [О, Щ: і є [О, Щ \ (рк = щх— фаза к-й спектральной составляющей.

В матричной форме алгоритм (6) может быть предстагпен в виде

= (7)

где Вк = /- еЯкЛ— матричный оператор; А— матрица перестановки размера №х N, выполняющая функцию параллельного сдвига компонент вектора на одну позицию вниз без изменения их величин; все элементы этой матрицы, кроме расположенных на диагонали под главной диагональю единиц, равны нулю.

Для разделения спектральных составляющих входного сигнала необходимо сформировать набор весовых функций, в спектре которых нули расположены на частотах всех спектральных составляющих, кроме одной выделяемой. Для синтеза таких весовых функций в алгоритме (7) необходимо исключить один из операторов

свертки В/, фазовый множитель <р/ которого определяется частотой со/ исключаемого пуля. Тогда алгоритм синтеза требуемого вектора Щ имеет вид

м \

W,

п*<

Ujj. (8)

r=l,;W

Таким образом, получен алгоритм формирования весовых функций по координатам нулей их спектров, позволяющий реализовать метод спектрального анализа с прямым оцениванием частот спектральных компонент.

Исследуем свойства таких базисных функций.

Базисные функции, синтезированные с помощью алгоритмов (7) и (8) многократной свертки, являются линейно независимыми. Для доказательства можно вос-пользошш.ся' условием линейной зависимости векторов. Наличие такой зависи-

м

мости между векторами базиса \Щ\ устанавливается путем решения относитель-но постоянных комплексных коэффициентов а,- векторного уравнения [3]

9

М

ХаД-=0, (9)

/=0

где 0—нуль-вектор. Наличие нетривиального решения (аЛ * О уравнения (9)

L -*/=0

свидетельствует О линейной зависимости векторов Wj ■

Для нахождения решения уравнения (9) умножим обе его часта слева на ковариационную матрицу Вх исследуемой выборки анализируемого сигнала. Используя

свойство ортогональности базисных векторов Щ, соответствующих, векторам о* положения, получим

м

'£а1-Р1(а!1ТЩа$=0: (10)

i=0

В (10) входят скалярные величины Р, и , в общем случае не равные нулю. Это

обстоятельство с учетом линейной независимости векторов а}обуславливает наличие только тривиального решения уравнения (10), из чего следует линейная независимость векторов Щ.

,г-.м

Можно показать, что базисные векторы (",-j ие являются ортогональными и

-приводят к некоторым потерям в отношении сипшл/шум при спектральном анализе по сравнению с анализом в базисе Фурье. Величину потерь можно определить

2 ,

отношением Pi/о..

Таким образом, получен ачгоритм формирования базисных функций, позволяющих производить спектральный анализ сигналов прямым методом в отличие от косвенного анализа в базисе Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кей С.М., Март С.Л. Современные методы спектрального анализа. Обзор // ТИИЭР. 1981. №11. С. 5-52.

2. Уидроу Б., Стирнс С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

3. Тафте Д.У. Адаптивный метод оценивания сигнала, основанный на разложении матрицы данных по особым значениям // ТИИЭЗ. 1982. №6. С. 189-191.