СИНТЕЗ АВТОМАТА СТАБИЛИЗАЦИИ УГЛА КРЕНА НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА Л.С. ПОНТРЯГИНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Виноградов А.Б., Чистосердов В.Л. Способы управления ШИМ преобразователями в электроприводе переменного тока: метод. указания для самост. работы студентов по курсу «Векторное управление электроприводами переменного тока». Иваново, 2004, 40 с.

5. Schroder P. Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen. Berlin: Springer, 2001. S. 1172.

Окунев Виталий Александрович, старший научный сотрудник, pavel.r.zhukov@, gmail.com, Россия, Анапа, ФГАУ «ВИТ «ЭРА»,

Жуков Павел Романович, магистр, оператор, [email protected], Россия, Анапа, ФГАУ «ВИТ «ЭРА»,

Набиев Марат Айратович, магистр, оператор, [email protected], Россия, Анапа, ФГАУ «ВИТ «ЭРА»

DEVELOPMENT OF AUTOMATED CONTROL SYSTEM OF ELECTRIC DRIVE WITH SYNCHRONOUS MOTOR AND PERMANENT MAGNETS

V.A. Okunev, P.R. Zhukov, M.A. Nabiev

This article highlights the development of an automated control system for an electric drive with a synchronous motor and permanent magnets (PMSM), which is extremely necessary for the integration of power drives in robotic complexes (RTC) for various purposes. The expediency of the chosen approach and the system as a whole is considered, and mathematical modeling is carried out using functional block diagrams built in the MatLAB Simulink software product.

Key words: electric drive, robotic systems, intelligent control system, permanent magnet synchronous motor, pulse-width modulation

Okunev Vitalii Aleksandrovich, senior researcher, [email protected] Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,

Zhukov Pavel Romanovich, master, operator, [email protected], Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,

Nabiev Marat Airatovich, master, operator, [email protected], Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»

УДК 629.7.016.86

DOI: 10.24412/2071-6168-2021-9-332-337

СИНТЕЗ АВТОМАТА СТАБИЛИЗАЦИИ УГЛА КРЕНА НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА

МАКСИМУМА Л.С. ПОНТРЯГИНА

А.С. Ковалев, А.А. Злобарь, А.Б. Николаев

В данной работе приведены теоретические аспекты синтеза автомата стабилизации угла крена на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина. Актуальность работы заключается в развитии научно-технического задела по оптимальному автомату стабилизации угла крена для современного класса ракет-носителей типа «Ангара» легкой модификации.

Ключевые слова: автомат стабилизации угла крена, принцип максимума, оптимальное управление, закон управления.

Рассмотрим применение принципа максимума в оптимальном управлении [1] для решения рассматриваемой задачи. Выражение

у/аха, а = 0,1,...,п

означает сумму

¥аХа = ¥ох0 + ¥1 х1 +... + ¥„х".

Рассмотрим управляемые системы. Состояние системы в момент времени t определяется несколькими величинами х1, х2, ..., хп. Данные величины называются фазовыми координатами в фазовом пространстве Rn.

х = (х1, х2,..., хп) (11

Вектор (1) называется фазовым вектором системы. При этом скорость изменения фа-

1 йх' , зовых координат х со временем, т. е. -= х , определяется фазовым вектором х:

й>

х' = ^ = /' (х1, х2,..., хп) = /' (х) , (2)

В векторной форме можно записать:

х=£=Г(х). (3)

Для определения изменения вектора состояния x(t) необходимо задать начальное состояние х(^) = хо в момент времени Тогда может быть получено решение х(^) системы (3).

Изменения фазового вектора х в уравнении (3) может зависеть не только от фазового состояния х объекта, но и от параметра управления и. Уравнение (3) можно записать в виде

х = / (х, и ) (4)

Предполагается, что «функция f непрерывна по совокупности всех переменных и имеет непрерывные производные по каждому х-1. Управление и(^) - кусочно-непрерывная функция со значениями в г-мерном пространстве Rг, непрерывная слева в каждой точке разрыва и имеющая предел справа» [1].

Система (4) уравнений - управляемая система, и - функция управления, принадлежащая некоторому множеству О, которое является подмножеством г-мерного евклидова пространства Rг.

Рассмотрим задачу оптимального управления [2].

х = / (х, и), и е О,

Пусть х - управляемая система, заданная в п-мерном фазовом пространстве Rn. Допустим, что «существует такое управление и = и(^), которое переводит фазовое состояние хо в фазовое состояние х1. Это значит, что существуют два таких значения времени ^ < Ъ, что решение уравнения х = / (х, и ) удовлетворяет условиям

х^о) = хо, х(^) = х1.

Здесь предполагаются фиксированными только точки хо и х1, но не моменты времени ^ и

Задача заключается в том, чтобы выбрать такое наиболее выгодное управление и(£) е О, которое также переводит фазовую точку хо в фазовую точку х1» [2]. Выгодность управления и(^) определяется функционалом L:

>1

Ь = | /о (х (>), и (>)й>, (5)

>о

где

/о (х,и) = /о (х1 (>),...,хп (>),и (>)) Данный L должен принимать минимальное значение.

Важным частным случаем является вариант функции ^(х, и) = 1. При этом Ь = >1 - >о, т.

е. наиболее выгодным является управление, переводящее фазовое состояние хо в фазовое состояние х1 за наименьшее время. Это задача быстродействия [3].

Рассмотрим включение фазового пространства Rn в п+1-мерное пространство Sn+1 за счет присоединения к координатам х1, ..., хп координаты хо. Вектор пространства Sn+1 принимает вид:

х = (хо,х1,...,хп) . 333

Также рассмотрим вектор ф :

V = {¥о,¥1,..,¥п)

и вспомогательную функцию

К (х,ц, и ) = ц/"(х, и ), а = 0,1, ..., п, двух п + 1-мерных векторов х, ц/ и точки и множества О. Для удобства номера координат векторов х и / пишем вверху, а вектора ц/ - внизу.

Сформулируем принцип максимума для задач оптимального управления [4]. Рассмотрим систему уравнений

^ = дК (х,у, и ) , (6)

дЦ '

V=_дк1Х1Ц^. (7)

дх1

Система (6), (7) содержит 2(п + 1) уравнений. Она является неполной, так как наряду с 2(п + 1) неизвестными функциями хь { = 0,1, ..., п, содержит еще неизвестную точку и(^) 6 О.

Теорема 1. Для того, «чтобы управление и(^) было оптимально при заданном функционале L, необходимо, чтобы существовала ненулевая векторная функция ), удовлетворяющая системе уравнений (6), (7), и, кроме того, чтобы для любого t из отрезка t0 < t < t1 и для любой точки V 6 О выполнялось неравенство (8):

К (х ^, и ^))> К (х (^ ,ц( ^, у) . (8)

Последнее неравенство так дополняет неполную систему (6), (7), что система уравнений (6), (7) вместе с (8), вообще говоря, определяет величины х(t), ) и и(^). Неравенство

(8), составляющее центральный пункт теоремы 1, дало основание назвать теорему 1 принципом максимума» [4].

Доказательство принципа максимума приведено в трудах Л.С. Понтрягина [1]. Рассмотрим дополнение принципа максимума. «Для оптимального управления и(^) и соответствующей ему траектории х(^) существует такая гиперплоскость Г), (проходящая через точку х (^ ), с координатами ц(t1 ) = (ц0 (^ ),..., ц (^ )) ),что

(/( х (1 ) и (1)) )) = ^

т. е.

К (х (^ ), и ( ^ ) ,ц( tl )) = 0. Последнее равенство выполняется для произвольного ^ т.е.

К(х^ ),и^ ),V(t )) =0. Кроме того, — неположительная постоянная величина» [1].

Рассмотрим задачу быстродействия. Предположим, что в пространстве Rn задана управляемая система

х' = /' (х1,х2,...,хп,и), и 6 О,

В векторном виде

х = / (х, и ), и 6 О. (9)

Предположим, что существует функция управления и(^), переводящая фазовый вектор Х0 в фазовый вектор Х1.

Следовательно, уравнение

х = / (х, и (t))

имеет решение x(t), удовлетворяющее условиям

х(^) = Х0, x(tl) = Х1

для некоторых значений t0 < 1Х.

*

Задача быстродействия: найти такое управление и (), для которого переход из состояния Х0 в состояние Х1 происходит за минимальное время. Функционал L имеет вид

Ь = |й>.

>о

Сформулируем принцип максимума для задачи быстродействия. Функция К (х, ц, и) в задаче быстродействия принимает вид

К(х,ц,и) = цо + Ца/а(х,и) , а = 1 ..., п.

Положим

Н^х,ц,ии^ = Ца/а (х,и),

а = 1, ..., п.

Тогда функция К принимает вид

К (х,ц, и ) = цо + Н (х,ц, и ), условие максимума записывается в виде

Н (х (> ),ц( >), V )< Н (х (>) ,ц(>), и (>)),

а системы уравнений (1.6) и (1.7) принимает вид

х = дН ( х,ц,и ) (1о)

дц

ц дН ( ^Л ) . (11)

дх

I

Из дополнения к принципу максимума следует, что функция у(^) - ненулевая.

Рассмотрим линейную задачу быстродействия [5]. В этом случае система (9) принимает вид:

х = Ах + и , (12)

а «множество О, которому принадлежит управление и, является выпуклым многогранником пространства Rn. Здесь А есть линейное отображение пространства Rn в себя или, в случае координатной записи, А является квадратной матрицей порядка п, а х - одностолбцовая матрица высоты п».

Уравнение (11) принимает вид

Ц = -цА, (13)

где справа указано произведение однострочной матрицы у длины п на квадратную матрицу А порядка п.

Рассмотрим некоторый вектор w - из Rn, имеющий направление какого-либо из ребер многогранника О. Как указано в, «вектор w не принадлежит никакому истинному подпространству пространства Rn, инвариантному относительно оператора А. Условие равносильно тому, что векторы (14) линейно независимы.

м>, Ам>,..., Ап-1^ (14)

Выпуклый многогранник О содержит начало координат 0еRn и не состоит только из

нуля.

Функция Н(х,у,и) принимает вид

Н(х,ц,и) = цАх + Цц,и} . (15)

Член уАх является произведением трех матриц, где у есть однострочная матрица длины п, А - квадратная матрица порядка п, х - одностолбцовая матрица высоты п. Скалярное произведение Цц,и) = ци - произведение однострочной матрицы у на одностолбцовую матрицу и.

Из формулы (15) вытекает, что функция Н(х,у,и) достигает своего максимума вместе с функцией Цц,и} . Максимум функции Цц,и} при переменном и и заданном у обозначим Р(у).

Из указанного выше следует, что:

Р(ц)>о.

В силу принципа максимума «оптимальное управление и(^) должно быть выбрано так, чтобы функция Н(х(^), у(^), и), как функция переменного и, достигала своего максимума при и = и(^). А это значит, что оптимальное управление и(^) удовлетворяет следующему условию» [1].

(ц(>),и (>)) = Р(ц(>)) . (16)

Рассмотрим линейные системы уравнений (17) и (18)

x = Ax (17)

W = -yÄ. (18)

Если x = x(t) есть решение уравнения (17), а у = y(t) - решение уравнения (18), то скалярное произведение (y(t), x (t ) постоянно:

(y(t),x(t)} = w(t)x(t) = const. (19)

Доказательство этого приведено в [1].

Рассмотрим решение уравнения (20) при помощи вариации постоянных

x = Äx + u (t) (20)

Пусть

x (t ) = ya( t) c"( t), а = 1, n является решением уравнения (20). При подстановке этого решения в (20) получим

ya(t) С" (t) = u (t).

Умножая слева на V(t), получим

С (t) = y" (t)u"(t) . Интегрируя от t0 до t, получим

С (t ) = С (t0 ) + {У (a)u"(a)da,

откуда

x(t) = У" (t)(x" (t0) + £ yß И uß(°)d*) .

Управление u(t) является экстремальным, если оно удовлетворяет принципу максимума, т. е. если существует такое неравное нулю решение y(t) уравнения (18), для которого выполняется условие

(w, u (t )) = yu (t ) = P (w(t)) (21)

Всякое оптимальное управление является экстремальным.

Имеет место Теорема 2: «Экстремальное управление u(t) для линейной задачи быстродействия (12), в которой множество допустимых управлений Q представляет собой выпуклый многогранник, для которого выполнено условие, представляет собой кусочнопостоянную функцию, значения которой равны вершинам многогранника Q; более точно, экстремальное управление u(t), за исключением конечного числа значений t, однозначно определяется условием максимума как некоторая вершина многогранника Q» [1] Доказательство данной теоремы приведено в [1].

Также имеет место следующее утверждение: «Экстремальное управление u(t) для линейной задачи быстродействия (12), переводящее точку x0 в начало координат 0 пространства Rn, единственно в той мере, в какой оно определяется равенством (21)» [1]. Доказательство данного утверждения приведено в [1].

Список литературы

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 362 с.

2. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: МГУ им.М.В.Ломоносова, 2004. 167 с.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

551 с.

4. Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления. М. Изд-во МГУ 1978. 96 с.

5. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во ТбГУ, 1977.

264 с.

Ковалев Александр Сергеевич, специалист, оператор, [email protected], Россия, Анапа, ФГАУ «ВИТ «ЭРА»,

Злобарь Александр Андреевич, старший научный сотрудник, [email protected], Россия, Анапа, ФГАУ ВИТ «ЭРА»,

Николаев Александр Борисович, канд. воен. наук, старший преподаватель, [email protected], Россия, Тверь, Военная академия воздушно-космической обороны

SYNTHESIS OF A ROLL ANGLE STABILIZATION AUTOMATON BASED ON THE MAXIMUM

PRINCIPLE OFL.S. PONTRYAGIN

A.S. Kovalev, A. A. Zlobar, A.B. Nikolaev

This paper presents the theoretical aspects of the synthesis of the roll angle stabilization automaton based on the maximum principle of L. S. Pontryagin. The relevance of the work lies in the development of scientific and technical groundwork for the optimal automatic roll angle stabilization for the modern class of launch vehicles of the "Angara" type of light modification.

Key words: automatic roll angle stabilization, maximum principle, optimal control, control

law.

Kovalev Alexandr Sergeevich, operator, [email protected], Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,

Zlobar Alexander Andreevich, senior researcher, [email protected], Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,

Nikolaev Alexander Borisovich, candidate of military sciences, senior lecturer, [email protected], Russia, Tver, Military Academy of Aerospace Defense

УДК 65.011.4

DOI: 10.24412/2071-6168-2021-9-337-339

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

С.М. Никольский

Современное автоматизированное промышленное оборудование представляет собой конструктивно и функционально самостоятельные изделия, состоящие из элементов различной физической природы, предназначенных для решения технологических задач. При этом область применения динамично развивается, так как позволяет удовлетворить растущие требования к качеству и экономическим показателям товаров. В настоящей статье предпринята попытка научного анализа и критического осмысления экономической эффективности применения оборудования для автоматизации технологических процессов.

Ключевые слова: экономическая эффективность, оборудование, автоматизация, технологические процессы.

Интерес данного исследования направлен на сферу робототехники, станкостроения и оборудования для автоматизации технологических процессов, поскольку эта область напрямую влияет на совершенствование и конкурентное преимущество продукции других отраслей.

Поскольку та или иная функция может быть реализована различными физическими принципами, при синтезе мехатронного комплекса необходимо учитывать экономические критерии. В связи с этим в последнее время наметилась четкая тенденция на замещение функций, традиционно выполняемых механическими элементами, на электронно-цифровые функциональные аналоги [2].

Это связано с некоторыми недостатками механических узлов по сравнению с их аналогами, имеющими электронную и цифровую природу, среди них: усталость и износ материала, относительная дороговизна изготовления, недостаточная гибкость в эксплуатации.

При этом за последние несколько лет электронные компоненты и цифровые системы получили стремительное развитие и широкое распространение, что, как следствие, существенно снизило их стоимость. В связи с наметившейся тенденцией следует направить усилие на совершенствование цифровых алгоритмов управления сложных машин и комплексов.

337