CC BY
48
Из расчетов следует, что для снижения коррозии и повышения долговечности заземляющей системы необходимо повышать сопротивление растеканию горизонтальных шин, так как они объединяют всю систему в единое целое, а по условиям их работы в качестве искусственных заземлителей его наоборот надо понижать. Это противоречие можно разрешить поместив горизонтальные шины в засыпку, имеющую нелинейную электропроводность. Это в нормальном режиме работы означает повышение сопротивления растеканию, а в переходном резкое его уменьшение.
На основании расчетов коррозионных токов для модели заземляющей системы можно сделать следующие выводы:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демин Ю.В., Демина Р.Ю., Горелов П.В. Обеспечение долговечности электросетевых материалов и конструкций в агрессивных средах. Книга 1. Теоретические основы / Под ред. д.т.н., проф. В.П. Горелова. — Новосибирск: НГАВТ, 1998. —209 с.
1. На коррозию искусственных заземлителей максимальное влияние оказывают сопротивления поляризации и сопротивления растеканию. Взаимные сопротивления оказывают на коррозионные токи минимальное влияние и ими можно пренебречь.
2. Для обеспечения растекания токов коротких замыканий (снижения сопротивления растеканию) и снижения токов коррозии (повышения сопротивления растеканию) необходимо помещать горизонтальные шины в засыпку, имеющую нелинейную электрическую проводимость.
2. Иоссель Ю.Я., Кленов Г.Э. Математические методы расчета электрохимической коррозии и защиты металлов. Справочник. — М.: Металлургия, 1984. —271 с.
Введение
Периодические электрические сигналы с предписанной (заданной) формой используются в измерительной технике для питания различных датчиков физических величин, измерения передаточных характеристик четырёхполюсников. Они применяются в метрологической практике при поверке средств измерений параметров переменных напряжений, в медицине для кардиостимуляции, в автоматике для создания программных движений, в строительстве при виброиспытаниях различных конструкций и т.д. Поэтому проблема получения сигналов с заданной формой или с заданным спектром продолжает оставаться актуальной. Для решения этой проблемы развиваются два способа: аналоговый и цифровой. Аналоговый способ основан на формировании сигналов непрерывной динамической системой, а цифровой базируется на воспроизведении сигналов дискретной динамической системой. К достоинствам
первого способа относят практически неограниченный диапазон частот, а к преимуществам второго — простоту воспроизведения сигналов сложных форм. Проблема создания динамической системы с заданным поведением имеет не только прикладное, но и самостоятельное теоретическое значение в теории колебаний. Для решения указанной проблемы можно использовать метод локализации [1], метод управления по производной [2] и др. В работе [3] автором предложен метод синтеза автоколебательных систем с заданной синусоидальной формой колебаний в стационарном режиме. Этот метод назван методом стационарных автоколебаний. Далее этот метод применяется для синтеза систем, воспроизводящих периодические колебания других форм.
Постановка задачи исследований
Метод стационарных автоколебаний основан на том, что в динамической системе второго порядка
УДК 621.374
СИНТЕЗ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ГЕНЕРАТОРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Ю.К. Рыбин
Томский политехнический университет E-mail: policom@policom.raden.epd.tpu.edu.ru
Периодические сигналы широко используются в измерительной технике в качестве тестовых сигналов, в медицине в качестве стимулов, в строительной индустрии при акустических испытаниях строительных конструкций, в промышленности при испытаниях механизмов и машин и т.д. Известны и широко применяются приборы и устройства для их воспроизведения — генераторы периодических сигналов. Развиты и методы построения автоколебательных систем генераторов для воспроизведения периодических колебаний простейших форм. Тем не менее, задача синтеза математических моделей автоколебательных систем до конца ещё не решена. В статье рассматривается метод стационарных автоколебаний, на основе которого несложно построить систему уравнений, решением которой являются колебания заданной формы.
x + F (x) = g (x, x),
(1)
. d2(-)
где x = - линейный дифференциальный опе
ратор, F(-) - нелинейный оператор, g = ^)-
стабилизирующий оператор при определенных ограничениях на F и g возможны периодические автоколебания со строго заданной формой. Эти ограничения сводятся к выполнению следующих равенств
+ F (x ст ) = 0,
g(Хст, xст) = 0.
где xCT(t) - заданная форма стационарных колебаний.
Первое уравнение описывает консервативную (по А. А. Андронову [4]) колебательную систему, а второе уравнение - управляющую систему. На рис. 1 показана блок-схема динамической системы (1).
(2)
u(t)
ККС
УС
x(t)
собой уравнение консервативной колебательной системы. Для него известно [5], что если существует вторая производная х(/) и выполняется условие
хД(х)>0 или %■% <0 при х^0, (3)
то оно имеет однопараметрическое семейство периодических решений х=хст(/). Задача построения консервативной части уравнения колебательной системы сводится к нахождению выражения для функции Д(х). Рассмотрим несколько методов нахождения этой функции.
В начале рассмотрим метод, основанный на представлении Д(х) в виде степенного многочлена [6]. Условию (3) удовлетворяют нечётные однозначные функции Д(х), для которых допустимо разложение Д(х)=Ёс2Нх"-1. При этом периодическое решение хст(/) может быть представлено бесконечным рядом Фурье. В общем случае полученная функция хст(/) может иметь особенности в точках, кратных Т/2. Поэтому для построения уравнения динамической системы хст(/) необходимо сглаживать, например, ограничивая ряд конечным числом членов разложения N в ряд Фурье, т.е.
г о=X к
T (2k -V
Рис. 1. Блок-схема автоколебательной системы
Верхний блок (консервативная колебательная система - ККС) отображает действие первого уравнения системы (2), а нижний (управляющая система - УС) - действие второго уравнения. При таком представлении в одной из связей появляется сигнал который в неявной форме присутствует в математическом описании системы (1). Этот сигнал формируется управляющей системой. Если колебания в консервативной системе находятся вне стационарного режима, то управляющая система создаёт такое управляющее воздействие и(7) под действием которого колебания стремятся к стационарному режиму. Как только система входит в режим, которому соответствуют периодические стационарные колебания хс1(/), сигнал управления и(7) становится равным нулю, и управление прекращается. При таком подходе требуемая форма колебаний определяется консервативной частью системы, а управляющая система обеспечивает лишь установление стационарного режима и парирует возможные отклонения от него. В этом состоит основное и принципиальное отличие предлагаемого метода от метода управления по производной и метода локализации. Ниже проводится результаты формализованного синтеза ур. (1).
Основные результаты
Рассмотрим возможности реализации колебательных систем (1) с предписанной формой колебаний. Первое уравнение системы (2) представляет
Тогда, удерживая в выражении для Д то же N членов разложения, получим
хС(0 + Р[^(01 = -£ Ъ2к-1 ГТ (2к -1) 1 X
2П (2k-1)t
j=1
j-1
(О-
Очевидно, что
xj1(f)=£j1(f)+r(f),
где r{t) = X b2k-isin
k=N+1
Откуда
T (2k-1)t
- остаточный член.
(2ж ,
X *r(t)+F [x*„(t)] = gsin (2k-1) t
х|£с2^_1Ь2к-1М_1 -^П(2к-1)] Ъгк-1\ +
+Х С27-1 X Ь2к-1,2^-181П \-ТГ (2к - 1) Г
j=1 к=N+1 \ Т
Если с2;Ч определить из условия равенства нулю выражения в фигурных скобках, т.е. эти коэффициенты считать решением системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:
X-\т(2к-1] Ья-1 = 0, к = (4)
то получим уравнение
Хст(г) + F [xCT(t)] = R(t),
(5)
в котором Щ)=1.с1И{[х2>-1У)-$2>-1({)] тем ближе к нулю, чем больше Ж, при котором правой частью уравнения (5) можно пренебречь. Число удерживаемых
k=1
членов N выбирается из условия минимизации невязки между решением однородного уравнения (1) при начальных условиях
хст (0) = 0, xCI(0) = Х b2
к=1
N*
X'ci(t) =X Ь2к-1 • Sln
2n
T (2k -1)
2n
T (2k - 1)t
ТТ
При этом Д(х)=|;с2Н.х2" и уравнение консервативной части принимает вид
xCI(i) + ^c2k-1 •[xCI(i )]2k-1 s 0.
(6)
В ряде случаев, при сложной форме заданных к синтезу колебаний, когда N* велико, функция F(x) может описываться степенным полиномом высокой степени, тогда в качестве стационарного колебания можно принять первую или вторую производную некоторой вспомогательной функции zCT(t), такой что требуемая форма определяется либо её первой XM)=Z CT(t), либо второй производной xjf)=z CT(t).
Рассмотрим метод построения функции F(x) в виде разложения по многочленам Чебышева.
Пусть заданное колебание содержит только чётные гармонические составляющие, т.е. является решением вида
N 2 Xd(t) = Yjak • C0S (4Пkt).
k=1 T
Подставляя это решение в первое уравнение системы (2), получим
-Yxfk)2ak • cos^kt) + F
T
]Г ak • cos^kt)
= 0.
Учитывая, что тригонометрические функции можно представить через многочлены Чебышева, имеем уравнение,
-^k2ak •Tk (x) + F
Y,ak Tk (x)
= -w(x) + F[v(x)] = 0, (7)
2n
где x = cos T~t = cos
Полученное уравнение по известным w(x) и v(x) позволяет определить функцию F, например, посредством интерполяции степенными многочленами или сплайнами зависимости w(x)=F [v(x)].
Теперь рассмотрим второе уравнение системы (2), которое представляет собой уравнение управляющей системы. Найдём его вид в общем случае из уравнения консервативной части, для чего представим его в виде системы.
[ У = -F (x), I * = у.
Как известно [4], эта система имеет первый интеграл
С = Уг + G( x),
(8)
где О (х) = | Д {я )&, С -постоянная интегрирования.
о
Известно также, что первый интеграл остаётся постоянным вдоль каждого из решений системы. На фазовой плоскости первому интегралу уравнения консервативной системы соответствует семейство (континуум) вложенных друг в друга замкнутых линий (траекторий). Для этого функция О(х) должна иметь глобальный минимум [4]. При этом замкнутым линиям соответствует особая точка типа "центр". В континууме траекторий одна из них соответствует заданному стационарному периодическому колебанию хст(/). Отклонение от этой траектории (при определённом С)1 или иначе переход на другую траекторию меняет значение первого интеграла. Фактически константа С задаёт параметры колебания: его амплитуду и частоту. При конкретном значении С переход на другую траекторию приводит к нарушению равенства (8). Возникает разность между левой и правой частью (8). Знак и значение этой разности зависит от отклонения от заданной траектории, т. е. от стационарного колебания хст(/). Это свойство первого интеграла используется для управления колебаниями. Ведь ясно, что параметры соответствующих колебаний консервативной системы зависят от начальных условий и при малейшем их изменении существенно меняются. Для независимости параметров колебаний от начальных условий или воздействия возмущений и превращения их в автоколебания необходимо особую точку системы "центр" превратить в "фокус', причём так, чтобы на стационарной траектории ур. (8) превращалось в тождество. Для превращения "центра' в "фокус", введём инкрементную составляющую. Таким образом, дифференциальное уравнение метода стационарных автоколебаний можно представить в виде
х + ¥(х) = б Х[С - (X)2/2 - О(х)], (9)
где б - коэффициент (малый параметр).
Это уравнение позволяет строить динамические автоколебательные системы при заданной форме колебаний хст(/), заданной аналитической функции ¥(х) или при заданном спектральном составе колебания.
Практика применения изложенной методики к синтезу колебательных систем (1) показывает, что условия (3), налагаемые на функцию Дх), являются очень сильными и приводят к существенным ограничениям класса воспроизводимых колебаний. Например, если заданное к синтезу колебание имеет на половине периода значения второй производной равные нулю при х^0, то такие колебания не удовлетворяют ур. (3). Например, при построении колебательной системы для генерирования колебаний, содержащих первую и третью гармоники хс1(/)=а 8т(/)+в 8т(3/), воспроизводимыми могут быть колебания удовлетворяющие неравенству в/а<0,3. По существу, неравенства (3) ограничивают класс воспроизводимых колебаний такими, которые имеют на фазовой плоскости только один центр. Одна-
1Константа С находится путём интегрирования первого слагаемого (8) за период колебаний.
k=1
k=1
ко изложенную методику можно распространить и на случай, когда особых точек типа центр может быть больше одной и, соответственно, класс воспроизводимых колебаний может быть существенно расширен. Важно только, чтобы на самом предельном цикле не было особых точек и, чтобы стационарная фазовая траектория охватывала бы все частные замкнутые циклы, соответствующие особым точкам.
Ниже приведены нетривиальные примеры применения уравнения (9) для синтеза автоколебательных систем, подтверждающие сказанное.
Пусть к синтезу задано колебание, хст(/)= =-1,4а 8т(/)+3,2^ бш3(/) график которого показан на рис. 2, а в виде линии х(/), а его вторая производная - на рис. 2, б. Как видно, вторая производная этого колебания равна нулю при х^0 в точках /=п/3, /=2п/3 и др. При этом не выполняется условие (3). Более того, функция Д(х) оказывается неоднозначной. Общие вопросы построения автоколебательных систем с такими функциями ещё не решены.
Поэтому примем, что хст(/)=г (/), где г(/) - некоторое вспомогательное колебание (на рис. 2, а оно показано пунктиром). Тогда, выполняя все операции синтеза, получим по формулам (4) выражение для функции ^(г)=-1,9г+9,57г3+21,32г5+44,02^7--64,05г9+57,89г11-28,76г13+5,96.г15.
2 х( г) Л
! Л
г (г) - 2 V Г
V
2 ■ п
а)
- 10
0
г
2 ■ п
б)
Рис. 2. Графики а) заданного к синтезу сигнала и б) его второй производной
На рис. 3 показан график функции Д(г) (рис. 3, а), а так же график погрешности воспроизведения колебаний (рис. 3, б). Видно, что погрешность не превышает 1 %, что считается приемлемым для задач синтеза.
Фазовые портреты возбуждения автоколебаний представлены на рис. 4.
Видно, что в данной системе имеет место случай двух особых симметричных точек типа "центр". Видно так же, что введение в управляющее воздействие инкремирующе - демпфирующих составляющих привело к превращению "центров" в "фоку-
сы", в результате чего колебания из областей особых точек приходят на стационарную траекторию.
2
- г)
- 2
1
!
V/
1 /
-2
а)
0.1
г" (г)+х( г)'
- 0.1.
Рис. 3.
0 г 2п б)
Графики: а) функции Е(г) и б) погрешности воспроизведения колебаний
а)
-1.5 г(г) 1.5 б)
Рис. 4. Фазовые портреты установления автоколебаний при начальных условиях а) внутри и б) вне стационарного предельного цикла
Приведём ещё один пример применения метода стационарных автоколебаний к синтезу с заданной функцией Д(х), например, в виде
Д(х) = 16х5 - 20х3 + 5х = 75(х),
описываемой многочленом Чебышева пятого порядка.
2
г
0
г
В этом случае ур. (9) принимает следующий вид х + 16х5 -20х3 +5х =
1 - (х)2 - 2 (16 Х- - 20 ^ + 5 f
(10)
1.5
x(t)
y(t) -1.5
>1, '/■ 1 1 / \ ' J 1 ' / •ill V у
1 1 J \ 1 / > / у ; , У7 ЛЛ
20
а)
w( cos (t))
П
П
5 ■—
2
а)
1.5
y4(t) y3(t) y2(t) yi(t)
- 1.5
- 1.5 x4(t), x3(t), x2(t), x1(t) 1.5 б) Рис. 5. Графики: а) стационарного решения уравнения (10) и б) фазовые портреты при разных начальных условиях
На рис. 5 представлено решение ур. (10) и фазовые траектории при разных начальных условиях. Из графиков видно, что здесь имеет место случай трёх "центров". Тем не менее, все траектории после переходного процесса выходят на стационарную траекторию - предельный цикл. В зависимости от постоянной С и начальных условий здесь возможны траектории, охватывающие каждую из особых точек или все три. Уравнение метода стационарных автоколебаний (9) позволяет строить динамические системы и с заданным спектральным составом.
Приведём пример синтеза автоколебательной системы для воспроизведения колебания с заданным спектром, например, содержащего первую, вторую и третью гармоники с амплитудами ak равными единице
3
Хст (t) = ^ak ■ cos(kt) = Z(t).
k=1
Для такого колебания функции w(x) и v(x) имеют вид
w(x) = а3(4х3 -3х) + а2(2х2 -1) + aix = z,(t), v(х) = а3 4х 9~3х + а2 2х4-1 + а1 х = z(t), где х = cos t.
На рис. 6 приведены графики заданного к синтезу сигнала и функции F(х).
- 2
2
б)
X, - V (х)
Рис. 6. Графики: а) заданного к синтезу сигнала содержащего три первые гармоники с амплитудами а1=а2=а3=1 и б) функции F
2 \ /
G( z) \ /
л
-2
- 2
а)
2
z' (t)
-2
- 2
г(0 2 б)
Рис. 7. Функция потенциальной энергии а) и фазовый портрет системы б)
На рис. 7 показан график функции потенциальной энергии ((г) и фазовый портрет системы. Из графика видно, что функция ((г) имеет глобальный минимум и, следовательно, консервативная система должна иметь континуум циклов. Фазовый портрет позволяет сделать вывод о том, что в динамической системе (9) с нелинейной функцией Дг),
4
2
t
2
2
г
показанной на рис. 7, б, один из циклов превращается в предельный цикл системы и все траектории стремятся к нему.
1.5 a( к) г г /"> с Г)
г» (I) ^ п л П О 1
0 к 10 Рис. 8. Спектр колебаний в системе
На рис. 8 показан спектр автоколебания. Видно, что спектр, также как и заданный к синтезу, содержит три первые гармоники, амплитуды которых практически равны единице с погрешностью, не превышающей 4 %. Эта погрешность, а так же наличие высших гармоник малой амплитуды при к>3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. — М.: Высшая школа, 2004. — 365 с.
2. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. — М.: Энергия, 1971. —100 с.
3. Рыбин Ю.К. Синтез генераторов синусоидальных колебаний. // Радиотехника и электроника. — 1984. — Т. 27. — № 9. — С. 1793—1797.
обусловлены неточной аппроксимацией функции F.
В частном случае, когда заданная форма сигна-
2п
ла синусоидальная, т.е. xCT(t) = sm-^t =sm®0t,
функция F(x)=a¡x, тогда ур. (9) превращается в уравнение
x + a¡2x = е m0x[1 - (rn0x)2 — x2],
которое имеет решения в виде синусоидальных колебаний.
Заключение
Таким образом, создан эффективный метод синтеза автоколебательной системы с заданной формой колебаний и заданным спектром. Метод нашёл применение при синтезе автоколебательных систем генераторов электрических сигналов. Его можно применить при синтезе стимулов в медицине, программных движений механических систем и в других случаях.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981. —568 с.
5. Рейсиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1974. —318 с.
6. Рыбин Ю. К., Барановский А. Л. Синтез динамической системы со стохастическими автоколебаниями // Радиотехника и электроника. — 1988. —Т. 33. — № 8. — С. 1643—1651.
Ввиду непрерывности технологического процесса изготовления кабельных изделий требуется непрерывный контроль параметров кабеля в реальном времени для оперативного вмешательства в технологический процесс при обнаружении брака. Проблемы контроля параметров кабеля существуют с момента организации в 1840 г. в Санкт-Петербурге их промышленного производства 1 и заключаются в следующем:
1. Контроль параметров изделия необходимо проводить сразу после выполнения технологических операций, при которых формируется геометрический размер (волочение, скрутка гиб-
кой жилы, наложение изоляции на токоведу-щую жилу, наложение оболочки кабеля и т.п.).
2. Контроль параметров изделия необходимо проводить при движении контролируемого изделия с линейной скоростью до 50 м/с, что делает невозможным применение контактных методов, а также накладывает жесткие требования к быстродействию измерителя. Кроме того, в случае контроля диаметра изоляции кабеля до ее охлаждения, механический контакт с изоляцией, нагретой до температуры 180...240 °С вообще недопустим.
3. Зона контроля геометрического размера на технологической линии и место нахождения опе-
УДК 681.513.3
СИСТЕМА КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ПРОИЗВОДСТВА КАБЕЛЬНЫХ ИЗДЕЛИЙ
П.С. Глущук
Томский политехнический университет E-mail: pavelthegreat@mail.ru
Разработана виртуальная панель, отображающая в реальном масштабе времени весь технологический процесс изготовления кабельных изделий. Предусмотрена возможность контроля любого конкретного параметра кабеля при помощи многооконного режима. В программном обеспечении применена нечеткая логика, позволяющая отслеживать нарушения производственного процесса и корректировать действия оператора.
