Синтез алгоритмов оценки местоположения объектов, устойчивых к аномальным ошибкам измерений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Синтез алгоритмов оценки местоположения объектов, устойчивых к аномальным ошибкам измерений

Ключевые слова: оценка местоположения, аномальные ошибки измерений, радиационный фактор, точность оценки координат.

Рассмотрены особенности синтеза алгоритмов оценки измерения координат местоположения объекта при аномальньх ошибках измерений, вызванньх случайными скачкообразными воздействиями в каналах наблюдения, обусловленных влиянием радиационного фона. Показано, что в случае воздействия импульсных воздействий устройство, формирующее устойчивую оценку координат местоположения, состоит из двух, соединенных каскадно блоков нелинейного преобразования (БНП) и линейного фильтра Калмана. Первый из БНП осуществляет операцию вычисления парциальной оценки координат в отсутствии, а второй БНП — в условиях аномального воздействия. Рассмотренный алгоритм относится к классу оценочно-компенсационных алгоритмов оценки параметров сигналов на фоне произвольных помех. Предложенные преобразования являются не чем иным, как операциями компенсации: в первом случае сигнала, а во втором случае — импульсного воздействия, заданного Марковской цепью. Полученные алгоритмы фильтрации параметров местоположения объектов конкретизированы для случая воздействия радиационного фона, и оценена эффективность их работы на конкретных примерах. Показано, что применение специального фильтрующего устройства на базе фильтра Калмана позволяет существенно повысить точность оценки координат объектов в системах оценки местоположения с помощью средств подвижной связи в условиях аномальных воздействий, вызванных например радиационным фоном.

Руднев А.Н.,

Нач. отдела ФГУП "СНПО Элерон", к.т.н., а1ехгис1пеу@ mail.ru

Постановка задачи

Задача позиционирования мобильных телефонов предполагает автоматическую оценку их местоположения в пределах сети подвижной связи. При этом под термином «местоположение» следует понимать не нахождение географических координат - широты и долготы (что в принципе также возможно), а однозначную идентификацию положения владельца мобильного телефона на местности (элекчронной карте). Теоретически системы определения местоположения (ОМП) позволяют определить координаты абонента с точностью до нескольких метров и являются реальной альтернативой системам глобального (спутникового) позиционирования, но лишь на территории обслуживания сотовых сетей.

В системах работающих в условиях экстремальных внешних воздействий, например при воздействии радиационного фактора [1,2] наблюдаются аномальные ошибки в каналах измерения. В этих условиях интерес представляют вопросы повышения точности систем местоопределения работающих в условиях аномальных ошибок измерения.

Вопросу синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов при аномальных измерениях посвящены [3,4,5]. Рассмотрим особенности синтеза алгоритмов оценки измерения координат местоположения объекта при аномальных ошибках измерений, представляющих собой случайные скачкообразные воздействия в каналах наблюдения, вызванные влиянием радиационного фона.

Синтез алгоритмов

Пусть уравнение состояния динамического объекта параметры местоположения которого необходимо найти описывается системой разностных уравнений:

Лм = ®*+иА + пм где 2 - вектор состояния размерностью N х I в момент И;

ф - переходная матрица системы размера /V х N; и -

вектор гауссовских шумов размерностью Л' х 1 с параметрами = 0; т [п^п', ] = Л,Д -Рассмотрим уравнение наблюдения

У/, = НЛ + П,*+ХА< <2>

где ун - вектор наблюдений размерностью /ихI; - мат-

рица наблюдений размера mxN; тпж„ = 0; т\пякпТж]~\ = Я,кбч\ - простая марковская последовательность, принимающая значения 0 и I, характеризующая наличие или отсутствие импульсных воздействий с матрицей перехода р[вь\вьЛ\ 6\

- скачкообразный стационарный марковский процесс, в общем случае с конечным числом состояний а, / = 1,ДГ, характеризующий амплитуду импульсных воздействий.

Марковская цепь определяется матрицей плотности вероятности перехода р(вь ,), а также плотностью вероятности начального состояния ро ).

Преобразуем (2) к виду уь = г(1 + х1:01: и рассмотрим случай, когда в1: принимает лишь два значения: а и 1. Здесь

Оптимальная оценка фильтрации вектора состояния системы (2.6) определяется как условное среднее |^*П •

где уЛ = {^,,^2,...,уА} ~ последовательность вектора наблюдений. Качество оценок определяется апостериорной условной матрицей погрешностей оценивания

4=ю{[Л-Л][Л-Л]Г|/|- ПосколькУ в процессе фильтрации необходимо оценивать и случайный вектор параметров сформулированная задача является задачей нелинейной фильтрации. Это справедливо даже в том случае, когда уравнения (1) и (2) линейны.

Оценка фильтрации вектора состояния , существенно

зависит от оценки вектора , характеризующего наличие или отсутствие импульсного воздействия. Поэтому перед

определением

требуется найти оценку

(**♦,) */=■(«)}• где 1 {■••}" ™кат0Р мно^-

ства Г(а) ~ константа, определяемая вероятностью

ложных срабатываний устройства с уровнем а, осуществляющего обнаружение импульсного воздействия.

(Ом) * Р И \Хм = о] = «’

где д/ ! - логарифм отношения правдоподобия устройства

обнаружения импульсного воздействия, который для рассматриваемой задачи:

л/ы= X X р\в>» 1*дг*=0|/"]-

»м=1 л / «,.,=1.а

Воспользовавшись результатами [5], можно записать рекуррентное соотношение:

Ам~А'ШТ]№[у”

Если ви - простая Марковская последовательность с матрицей перехода:

/»[Ч=«К. = в] = «К.=•], р[0*-||0м.в] 1^,-1]’

р|ЧК-,] =

то

I (3)

Относительно входящих в (3) распределений нетрудно показать, что:

*[ум] = н[на,Ах& + *.,]; w[vM-^,] = ^[w/A,/f,];

0»=1.я

0А.,=1.а0Л=1.и

а начальные условия

p. (*,)/Z (у, - *,) д, (4) •

/ 4=1»

Таким образом, отношение правдоподобия полностью определено и может быть использовано для решения задачи обнаружения импульсного воздействия. При А/(^, ,) с /г(«) принимаем решение об отсутствии им-

пульсного воздействия. В этом случае у. = H.L + п ; и линейная несмещенная оценка по критерию минимума СКО описывается рекуррентными уравнениями:

Дм =ф*+Д+^1 {ум -ЯЫФ^4}; я(о)=Л; <4)

где [h,Am^L+R.M* ]=4 ХЛ;

а апостериорная и априорная корреляционные матрицы погрешностей соответственно £>/ы = D,MI - ;

D,Ml = Ф**,.*Я*Ф*...* + •

Можно показать, что распределение вектора Я,, является Гауссовским: ЯЛеЛ^ЯЛ,Д)- В случае когда

ЛЛ ,(^tl)^F(a)> т.е. выносится решение о наличии в наблюдаемой реализации импульсного воздействия, оценка вектора состояния должна удовлетворить соотношению:

К=JI а^[а\у"'в"]р[в"\yh]dA>=1I-7")- (5)

Oel* Oe1h

где ЯЛ‘= |ялИ’[ял|У',<9''](/Я(1 - частная оценка вектора состояния ЯЛ. полученная для конкретной реализации последовательности ук; 0* ={01,е„...,вн}~ последовательность

вектора сосредоточенных по времени воздействий.

Весьма существенной в (5) является нелинейность оптимальной оценки вектора состояния относительно вектора наблюдений, что видно из зависимости условной вероятности р(е1'\у1'\ от/. Плотность распределения вероятностей

И’Гя,,|/,0*] может быть определена с использованием правила Байеса:

^[я;||/,0Л]=г[Л|яй,^]^[яЛ|/-'У']^-'[л,К'^']- <6>

Определим вид и параметры входящих в (6) распределений. Воспользовавшись [5], можно сказать, что все ПРВ являются гауссовскими и, следовательно, из достаточными статистиками являются среднее значение тГхЛ и ковариация /м|лад-7| . Рассмотрим достаточную статистику для ПРВ И' [ V, |У' ',#* ] • являющуюся условной ПРВ измерений ук

принятой реализации измерений и конкретной реализацией

в":

т [л |/'' Л] = Н„т[ль |/', в" ] + в„ = нХх +

ш[яЛ |/-',^]=фм.Х, = л;,;

Л|.| = + ^/|-1 [уМ ~

где

км = 4ЛЛ.'*,; +вЛ;

4*i = 4./ы— 4w"*«. htXDhtXH+ ЛТ| Л>| J Hhtі4>*і»

4,*+i= Ф*+иД,Ф*+м+

*{[л |/и.^][л К1. **]г}=**дх+

Аналогично для Г1РВ И'уЛ ,^Л]

достаточные ста-

тистики:

»{[л|Л.^.^'][лК.ум.^,]г}=лж|,.

а для ПРВ й>[я*|/-\0*]

ш[л= 4; «{[я*|/-',^][я*]г) = 4*•

Можно сказать, что ПРВ ^[яд|/д] = ЛГ(Л*’,4)- Определим значения Д’ ИД,* использовав процедуру дополнения до полного квадрата [10]. Поскольку ПРВ ^Гя^У'Д] Гауссовская, найдем выражение под экспонентой входящей в запись этого распределения:

Е = (У„-Н ,А - 0„ )' 11,(.V* - н „Я* - в„ ) + + (я* - я;*)' б-: (я* - я;*)-[>-* - нХь - ]Т х(//*о,Ая; + л„*) '[п-//я;А-^].

Откуда после несложных преобразований:

£=(АЧ’)ГГГ(а-Л’);

К = К„ + к„ [у, - "Л, -в,}, г;,' = Ь,1+н1яж\н„.

Для определения оптимальной оценки из соотношения (5) достаточно записать рекуррентный алгоритм вычисления условной вероятности рШу"]. Очевидно:

Р[е»\/у\у [л |/л в* ] Р[> |>*-' у £ * [л |/' ,<?*] р[> |/*' ], (7)

где рШу*-'] определяется по рекуррентной формуле

р(е*\/-') = р{е11\е„.,)р(Ол'\ук-'У, р(в„|^.,) - элементы

определенной выше матрицы перехода.

Формула (7), связывающая А11РВ р1$н | / ' | на Л-м шаге

с АПРВ р1(р ||)<| ') на (и-1)-м шаге, с учетом характеристик марковской цепи и текущих измерений является рекуррентной. Таким образом, оптимальная оценка вектора состояния ДС (2) при воздействии сосредоточенных во времени помех в общем случае является нелинейной и определяется соотношением (5).

Для повышения эффективности оценки фильтрации при воздействии импульсных воздействий можно предложить следующую инвариантную к виду распределения мешающего воздействия процедуру оценки вектора СОСТОЯНИЯ X, ■ Перед фильтрацией реализаций вектора наблюдений у. проведем нелинейное преобразование:

^=л-Ц**|л)=л-^КИ- (8)

Отметим, что в предположении отсутствия полезного сигнала условное математическое ожидание в соотношении (8)определяется как ,я[04|/] = /и[0*|/,#*/!*=()]•

Поскольку в рассмотренной выше модели измерителя всегда // ЯА ф о. непосредственно применять преобразование (8) нельзя. Для приведения модели измерений к требуемому виду предварительно вектор наблюдений подвергнем дополнительному преобразованию:

>?-

о],

(9)

действий, что справедливо при < Г (а)- Таким образом,

У™ =Ун-Zн^v(zh\y\zll=0)■

Дnя условного математического ожидания £й можно записать оптимальную оценку, эквивалентную (4). Для этого представим уравнение динамического объекта в удобной форме, умножив слева соотношение (4) на матрицу // , т.е.

** = яД,-

Теперь требуемые оценки состояния можно получить, подвергнув у<2> нелинейному преобразованию (9):

(Ю)

гд е£„ = Я,А-

Условное математическое ожидание в (9) найдено в предположении отсутствия воздействия импульсных воз-

^последовательно, в случае воздействия импульсных воздействий устройство, формирующее устойчивую оценку, состоит из БНП и линейного фильтра Калмана (ФК) (рис. 1). Как видно (рис. 1,а), БНП состоит из двух последовательно соединенных БНП1 и БНИ2, первый из которых осуществляет операцию вычисления в соответствии с выражением (9), второй - операцию вычисления Я,, в соответствии с

соотношением (10). В результате развернутую схему вычислительного алгоритма устойчивой оценки параметров состояния ДС можно представить, как на рис. 1,6.

Рассмотренный алгоритм относится к классу оценочнокомпенсационных алгоритмов оценки параметров сигналов на фоне произвольных помех . Операции (9) и (10) являются не чем иным, как операциями компенсации: в первом случае сигнала, а во втором случае - импульсного воздействия, заданного марковской цепью.

Субоптимальный алгоритм

Из-за того, что в алгоритме вычисления оценки вектора состояния X (5) требуется определить взвешенную сумму

частных оценок Я,', полученных для каждой реализации последовательности в1', необходим все больший объем памяти. Например, при одной переменной переключения, принимающей на каждом шаге различные случайные значения, общее число возможных последовательностей переменных переключения на Л-м шаге равно 2*. Это требует разработки субоптимальных реализуемых алгоритмов. Упрощение оптимальных алгоритмов достигается также за счет оценки на каждом шаге только текущего значения переменных , о,:

без его уточнения при следующих наблюдениях.

у. |/К) = °

ФК1

У. 1/К)»1 і

БНП1

/(*,)|/К) = о а)

БНП

БНП2

I I

J

4|/КН

ФК2

ФК2

\ I

») 1 в„

б)

Рис. 1. Структура алгоритма оценки параметров местоположения при воздействии сосредоточенных во времени импульсных воздействий:

а - структура каналов обработки; б - схема развернутого алгоритма оценки

Конкретизируем полученные алгоритмы фильтрации параметров местоположения объектов в случае воздействия радиационного фона, и оценим эффективность их работы на конкретных примерах.

Как было показано выше алгоритм фильтрации, устойчивый к импульсным воздействиям, вызванным радиационным фактором, является двухканальным (рис. 2). В результате оценки местоположения должны определяться суммой двух парциальных оценок и иметь вид

А/| = Р\Ш"ЛЛ + ^aih^alh» ' )

где Я,,,, И Д - частные оценки, полученные при условии,

что в уравнении наблюдения величина у принимает значение 1 или uj; р и р - апостериорные вероятности соответствующие значениям параметрической переменной yjh.

Задача фильтрации сводится к получению оптимальной оценки состояния Xih по наблюдениям у . Критерий минимума средиеквадратического значения ошибки приводит к оценкам условного среднего Xih = М ГЛ,А | Y* 1 • гДе

Y.1' = | уп yr,...,yih} ~ вектор наблюдений.

Качество оценок определяется условной дисперсией ошибок оценивания р^ =А/||^Я7 — Параметриче-

ская переменная уш на каждом шаге является независимой

случайной величиной, принимает два значения - 1 (режим нормальной работы) и ш (аномальное значение помехи, вносимой базовой станцией) и имеет матрицу вероятностей

Р\\ Pin

Pel Рпп

Сделаем допущение, что ПРВ оценок экстраполяции может быть аппроксимирована гауссовой плотностью со средним Д

«дисперсией Я(М, т.е. />*_„)• Для

нахождения оптимальной оценки вычислим апостериорную плотность распределения вероятностей Ц' Гд; | J'/'"1 П при фиксированной последовательности наблюдений )h =j . ,у^ | •

Используя вышеизложенное запишем для апостериорной плотности распределения:

«Ф. I 1 - I I? ]+ (|2)

+Wl[AUl\Ylh,yih='lT]Pl[ylh=m\Yih].

Вычислим условные плотности распределения вероятностей ^[41^=1] и w[Xih\Y!\yih = m\ определяющие частные оценки.

W, [л* |^,уй=1]=^ [я,, I уш,УГ'Уш = 1]=

IУ,".Гт 7. = ®] =

V[y»\rm = a.Y“]

перехода Марковской цепи р _

Ч

Поскольку шумы измерений гауссовские, то справедливы следующие выражения:

^Ыг*=иЛ=лЧяй,/у, (15>

Щ[г,н I Уш = я,,] = Л/(Я,,,й7-/?л). (16)

В этом случае, в соответствии с принятым допущением, условные плотности, входящие в знаменатель (13) и (14) также являются Гауссовскими, и можно записать

^[уй|уй=1.^']=^(4*-.)^(Ы)+л») (17)

=^УҐ] = "(Кн-Л-и+ ^Ч) (18)

Соответственно и ПРВ входящие в (13) и (15) также являются Гауссовскими плотностями. В результате частные

оценки 4=АГ[4|^уй=1] И ЛаіІІ = м[Л,\У,\у,=т] могут быть вычислены по рекуррентным соотношениям

Кн ~ Л//1-і ■*" Кш [у„и,— Л/л-1)’ ^

4/, = Яга,7,_| + Кп!к (уа/1} - ЛтІІ_,), (2°)

Uh P„-s, + K aih Ph-u + ^Ri

- оптимальные

коэффициенты усиления фильтра при у = 1 и у — цг

соответственно.

Схема дискретного фильтра, реализующего алгоритм (19)-(20) в условиях воздействия аномальных помех представлена на рис. 2.

1 Ъ

Утк ~ I

Ув* ~ Кti

І

г — -и<ч>

Оценка иарамсіров при вошнкновеннн х помех

«ЯП

-о

t

гл

-чн>—

(13)

(14)

Оценка иарачс»рон при <ч~>мчном шчме

Рис. 2. С хема дискретного фильтра в условиях аномальных помех

Для вычисления апостериорных вероятностей вида р_^У/ =1|}^] и р^ ^ произведем замену переменных: -/»[/.-ф;*], рт11=р[уь = ш\у;']. Тогда,

в соответствии с вышеизложенным, можно записать:

=_______________^Уш\Ь = МГ]1$7*=1\ГГ]____________________

Р"" »1л1л=иГМл=11I/.=®иГ']‘

(21)

11ринимая во внимание Марковские свойства у , из которых следует, что

’’[г,. -1|п*]- = я\/гу р,:р{г,_, -||>Г ].

(22)

запишем выражение для апостериорной вероятности:

_ уу ________________(Р||Р||«Н) + Р\г,РвЩ,-\))_____________

Щц1 (Р\ |Р|/(*-|) ■*" Р\аРтЦк-1)) ( Рт\Р\ИЬ~\) РтяРтМ-Х))

(23)

Величина р представляет собой рекуррентно рассчитанную вероятность того, что при заданной последовательности У* величина у на данном шаге примет значение

«единица», т.е. в канале связи на /;-й момент аномальные выбросы, вызванные радиационным фоном, отсутствуют.

На основании (11) общее выражение для оценки параметров местоположения представим как

Л/> = Р./Д/А + [1 “ Р/л]Л*|Л> которое, после подстановки в него (19) и (20), можно записать в виде:

Л* = \н~1) + — Дц*-1)) + П ” Р1и\^а1и{УаШ -Л(*-1))

(25)

Используя выражение для нормального распределения ^/(х):Лг(а,<т)> получим выражение для апостериорной

вероятности исправного состояния канала измерения:

( г » V л

exp

exp

-0.5

-0.5

+exp

og[^>, Д.*-.,]

' Pik-» + tn2R<

(РмР/(А-.) + Р|„(|-Р/,/,-.)))

x ( Pi i A(*-d + Л» 0 ~ Л(*-і))) + ( Pra\Pi(h-\) Pmm ( 1 A(*-l)))

ным размером окна анализа. В частности видно, что при размере окна анализа равном 7, удалось улучшить точность оценки координат до, приблизительно, ± 1,4 м.

(25)

Где дисперсия ошибок фильтрации оценивается уравнением:

Р/А = Р/(А-1) _ Р|/Л ( ^„Л — ^т,и)Рц11-1) + Рии\} ~ Р/|]Х ^6)

Х(^Ч Ш ~ ^пИ< ) ( УтЬ ~ 4(Л-1) ) (^1/* — ^тЛ ) — ^ашРцк-1У

Эффективность предложенного метода сглаживания координат в условиях аномальных выбросов иллюстрируется на рис. 3. По оси абсцисс отложен порядковый номер координаты - /, график можно рассматривать как функцию изменения координаты во времени; по оси ординат — значение координаты. Точками нанесены координаты, сплошными линиями - результат работы алгоритма сглаживания с задан-

Рис. 3. Графики изменения координат х, у, г во времени при наличии сглаживания аномальных ошибок

Выводы

Проведенные исследования показывают, что применение специального фильтрующего устройства на базе фильтра Калмана позволяет существенно повысить точность оценки координат объектов в системах оценки местоположения с помощью средств подвижной связи в условиях аномальных воздействий, вызванных например радиационным фоном.

Литература

1. Руднев А.Н., Рязанов Р.А. Анализ беспроводных сетей, использующихся при выполнении работ с радиационным фактором // Т-Согпт: Телекоммуникации и транспорт, №10, 2011. -С.81-83.

2. Давыдов Ю.Л., Руднев А.Н. Радиоканал для системы охраны водного рубежа // Системы безопасности, №2, 2007. - С.206-207.

3. Шемигон Н.Н., Давыдов Ю.Л., Руднев А.Н. Система комплексного мониторинга грузов на железнодорожном транспорте // Транспортная безопасность и Технологии, №1(28), 2012. — С. 118-120.

4. Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем. Учеб. Пособие для вузов. - М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

5. Волков Л.Н., Немировский М.С., Шинаков Ю.С. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики. Учебное пособие. — М.: Издательство "Эко-Трендз", 2005. - 392 с.

6. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учебное пособие для вузов.

- М.: Радио и связь, 2004. - 524 с.

Synthesis of object location estimation algorithms that are resistant to abnormal measurement errors

Rudnev AN., Russia, alexrudnev@ mail.ru

Abstract

The features of syntheg's algorithms for the measurement of the position coordinates of the object under abnormal measurement errors caused by accidental impacts jump in the observation channel , caused by background radiation. It is shown that in the case of pulse influences means forming a stable estimate location coordinates composed of two blocks connected in cascade of a nonlinear transformation ( BNP) and a linear Kalman filter . First of BNP performs the operation of calculating the partial evaluation in the absence of coordinates , and the second BNP - the anomalous effects . Conadered algorithm belongs to a class appraisal and compensation algorithms parameter estimation signals against arbitrary interference. The proposed transformation is nothing short of operations as compensation in the first case the signal, and in the second case - pulse action , a Markov chain. Filtering algorithms derived parameters specified the location of objects in the case of exposure to background radiation , and evaluated their performance on specific examples. It is shown that a special filter device based on the Kalman filter can significantly improve the accuracy of estimates in the object coordinate systems location estimates by means of mobile communications in terms of anomalous effects caused by such radiation background

Keywords: Otsenka mestopolozheniya, abnormal measurement errors, the radiation factor, the estimation accuracy of the coordinates.

References

1. RudnevA.N. Ryazanov R.A. Analysis of wireless networks that are used when working with radiation factor / T-Comm: Telecommunications and transport, Nol0, 2011. pp. 81-83.

2. Davydov YL, RudnevA.N. Radio channel for water system protection abroad / Security Systems, No2, 2007. pp. 206-207.

3. Shemigon N.N., Davydov YL, Rudnev A.N. Integrated monitoring system for rail freight / Transport security and Technology, No1(28), 2012. pp. 118-120.

4. PerovA.I. Statistical theory of radio systems. A manual for schools. Moscow, 2003. 400 p.

5. Volkov L.N., Nemirovsky M.S., Shinakov Y.S. Digital radio: basic methods and characteristics. Tutorial. Moscow, 2005. 392 p.

6. Tikhonov V.I, Khaiisov V.N. Statistical analysis and syntheas of wireless devices and systems: A manual for schools. Moscow, 2004. 524 p.

48

T-Comm #6-2014