СИНХРОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОВРЕМЕННЫХ МНОГОКРАТНЫХ ПОИМОК УБЕГАЮЩИХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2023. Том 61. С. 3-26

УДК 517.977.8, 519.837.4 © А. И. Благодатских

СИНХРОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОВРЕМЕННЫХ МНОГОКРАТНЫХ ПОИМОК УБЕГАЮЩИХ

Рассматривается задача преследования группы из m убегающих (m ^ 1) в конфликтно управляемых процессах с равными возможностями. Говорят, что в задаче преследования одного убегающего (m = 1) происходит многократная поимка, если заданное количество преследователей ловят его, при этом моменты поимки могут не совпадать. В задаче об одновременной многократной поимке одного убегающего требуется, чтобы моменты поимки совпадали. Одновременная многократная поимка всей группы убегающих (m ^ 2) происходит, если в результате преследования происходит одновременная многократная поимка каждого убегающего, причем в один и тот же момент времени. В терминах начальных позиций участников получены необходимые и достаточные условия одновременной многократной поимки всей группы убегающих.

Ключевые слова: поимка, многократная поимка, одновременная многократная поимка, преследование, убегание, дифференциальные игры, конфликтно управляемые процессы.

DOI: 10.35634/2226-3594-2023-61-01 Введение

Дифференциальные игры двух лиц, впервые рассмотренные Р. Айзексом [1], в настоящее время представляют собой содержательную математическую теорию [2-5] (метод Л. С. Понтрягина, метод экстремального прицеливания Н. Н. Красовского и другие).

Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются задачи преследования-убегания с участием группы управляемых объектов хотя бы с одной из противоборствующих сторон, при этом наибольшую трудность для исследований представляют задачи конфликтного взаимодействия между двумя группами управляемых объектов. Специфика этих задач (например, невыпуклость и несвязность объединения множеств достижимости преследователей или целевых множеств убегающих) требует создания новых методов их исследования, отличных от методов, разработанных для игр двух лиц.

Задача простого группового преследования с равными возможностями рассматривалась Л. А. Петросяном, им были получены достаточные условия поимки убегающего [6], Б. Н. Пшеничный получил необходимые и достаточные условия поимки убегающего [7]. Н. Л. Григоренко ввел понятие многократной поимки, для задачи с простыми движениями и равными возможностями им представлены необходимые и достаточные условия многократной поимки убегающего [8]. А. А. Чикрием [9] и Н. Н. Петровым [10] были получены достаточные условия многократной поимки убегающего в конфликтно управляемых процессах и в примере Л. С. Понтрягина с равными возможностями. Н. Н. Петровым и Н. А. Соловьевой рассмотрены рекуррентные дифференциальные игры при равных возможностях участников: для примера Л. С. Понтрягина [11, 12] и конфликтно управляемого процесса [13] получены достаточные условия многократной поимки убегающего; для примера Л. С. Понтрягина [14] и конфликтно управляемого процесса [15] получены достаточные условия поимки не менее q убегающих при условии, что каждого убегающего должны поймать не менее чем r преследователей. Задачу о многократной поимке не менее q убегающих с равными возможностями участников при указанном выше условии рассмотрели Н. Н. Петров и А. Я. Нарманов, были получены необходимые и достаточные условия разрешимости

задачи преследования для случая простых движений [16], а также достаточные условия завершения преследования в задаче с дробными производными и простой матрицей [17].

В работах [18-20] введены понятия нестрогой одновременной и одновременной многократных поимок убегающего, для задач простого преследования, конфликтно управляемых процессов, а также примера Л. С. Понтрягина с равными возможностями приведены достаточные, а в некоторых случаях и необходимые условия разрешимости. Многократная поимка происходит, если заданное количество преследователей ловят убегающего, при этом моменты поимки могут не совпадать. Если моменты поимки (не обязательно наименьшие) совпадают, то говорят, что происходит нестрогая одновременная многократная поимка убегающего. Наконец, если совпадают наименьшие моменты поимки, то происходит одновременная многократная поимка убегающего.

Задача об одновременной многократной поимке группы убегающих [21-24] рассматривалась в двух аспектах: в [23,24] с точки зрения суммарной кратности поимок всех убегающих — получены необходимые и достаточные условия суммарных многократной, нестрогой одновременной многократной и одновременной многократной поимок, использующих жестко скоординированное управление убегающих в нестационарном конфликтно управляемом процессе с равными возможностями всех игроков; синхронная реализация одновременных поимок заданной для каждого убегающего кратности рассматривалась в [21,22] — получены необходимые и достаточные условия разрешимости указанной задачи. Данная работа продолжает исследования [21,22], получены более общие необходимые и достаточные условия синхронной реализации одновременных поимок убегающих в нестационарных конфликтно управляемых процессах. Управления преследователей, гарантирующие указанный вид поимки не позднее некоторого конечного момента времени, построены в явном виде. Рассмотрен ряд модельных примеров.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Rk (k ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г n1 + n2 + ... + + nm + m лиц: ni + n + ... + nm преследователей Pn, P2i,..., Prai)b P12, P22,..., Pn2,2, ..., P1>m, P2,m,..., Pnm,m и m убегающих E1,E2,..., Em с законами движения и начальными условиями (при t = t0)

Pj: = А^з + £ UM хгз(to) = Xj, i £ /К), j £ I(m), (1.1)

Ej : yj = Aj (t)yj + vj, Vj £ Uj (t), y, (to) = Yj, j £ /(m),

причем Xj = Y0 при всех i £ /(n,), j £ /(m). Здесь и далее х,, yj £ Rk; Aj(t) — непрерывные на [t0, то) квадратные матрицы порядка k; Uj (t) — многозначные отображения, являющиеся при каждом t £ [t0, то) компактами в Rk; / (q) = {1, 2,...,q} для всех q ^ 1; S(o, r) — шар в Rk с центром в точке o радиуса r; O — нуль-матрица; I — единичная матрица.

Отметим, что в работах [21,22] рассматривался случай Uj(t) = Uj = const, j £ /(m).

Определение 1.1. Управления u,(t), i £ /(n,), v,(t) из класса измеримых по Лебегу функций на [t0, то) со значениями из Uj(t), j £ /(m), будем называть допустимыми.

Пусть а — некоторое разбиение t0 = в0 < в1 < в2 < ... < 9q < ... интервала [t0, то), не имеющее конечных точек сгущения (либо точек в разбиении конечное число, либо lim 9q = то). Без ограничения общности, будем рассматривать одно разбиение а, посколь-

q—У^о

ку, если есть не совпадающие при разных j £ /(m) разбиения, то их можно объединить, включив все точки всех разбиений (при объединении не имеющих конечных точек сгущения разбиений вновь получится разбиение, обладающее указанным свойством).

Определение 1.2. Кусочно-программной стратегией убегающих Е,, 3 € 1 (т), соответствующей разбиению а, будем называть семейство отображений, ставящих в соответствие моменту и позициям х,(6,), у,(6,), г € 1(п,), 3 € 1(т), допустимые управления V,(¿), 3 € 1(т), определенные для г € [6,, 6,+^, то есть

V,- (г) = V,- (г, , х», (6,), у,- (6,)), г € [6, ,0,+1), д = 0,1, 2,....

Здесь и далее, если момент 6,+1 не определен (6, — последняя точка разбиения а), то считаем 6,+1 = то.

Определение 1.3. Кусочно-программной контрстратегией преследователей Р,, г € 1(п,), 3 € I(т), соответствующей разбиению а, будем называть семейство отображений, ставящих в соответствие моменту , позициям х»,(6,), у,(6,), г € 1(п,), 3 € 1(т), и допустимым управлениям V,(в), 5 € [6,, 6,+1), убегающих Е,, 3 € 1(т), допустимые управления и,(г), г € 1(п,), 3 € 1(т), определенные для г € [6,, 6,+1), то есть

и»,-(г) = и,-(г, , х,(6,), у,(6,), V,(в), в € [6,А+1)), г € [6,А+1), д = 0,1,2,....

Для каждого д = 1, 2,..., п, и 3 € 1(т) определим множество

П(д) = {{¿1>г2,... }: ¿1 < ¿2 < ■ ■ ■ < г,, ¿1 ,¿2,... € 1(п,)},

мощность которого совпадает с числом сочетаний из п, элементов по д, то есть

№ (д)| = с*.

Определение 1.4. В игре Г возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (Ь1, Ь2,..., Ьт), где п, ^ Ь, ^ 1, если существует конечный момент Т0 = Т0(Х0, У,0) такой, что для любых разбиения а и кусочно-программной стратегии убегающих Е,, 3 € I(т), существует такая кусочно-программная контрстратегия преследователей Р,, г € 1(п,), 3 € 1(т), что найдутся момент т € [г0,Т0] и множества Л, € П,(Ь,), 3 € I (т), для которых при каждом фиксированном 3 € I (т) выполнено

Ха, (т) = у, (т), Ха, (в) = у, (в) для всех 5 € [¿0, т), а € Л,.

Неформально: рассматривается т «непересекающихся» задач группового преследования (можно считать, что каждая из т групп, включающая одного убегающего и п, преследователей, находятся очень далеко друг от друга; либо задачи рассматриваются в параллельных плоскостях и т. п.), в которых действия убегающих координируются первым центром (для достижения общей цели — уклонение от одновременной многократной поимки группы убегающих), а действия преследователей — вторым центром (цель преследователей — синхронная реализация одновременных поимок заданной для каждого убегающего кратности).

§ 2. Решение задачи для случая простых движений

Сначала исследуем систему (1.1) для случая простых движений (А, (г) = О для всех 3 € 1(т)), в этом случае она примет вид

: х», = и»,-, и»,- € (г), (г0) = , г € 1 ), 3 € 1(т) (2 1)

Е,: у, = V,, V, € и,(г), у,(*0) = У0, 3 € 1 (т). .

Для всех т € Ш, £ € \{0}, где Ш — произвольный компакт в , определим величину

А(т,£; Ш) = 8ир{Л ^ 0: (т - А£) € Ш}. (2.2)

Отметим, что ; S (О, l)) — максимальный корень неравенства |w — Л£ | ^ l, откуда

(w, о + iei2(i-ki2) leí2

À(w, S(0,1)) =-*-^-для всех w е S(0,1) и £ ^ 0. (2.3)

Будем считать, что выполнено

Предположение 2.1. Существуют непрерывные и невырожденные на [Ь0, то) квадратные матрицы В, (Ь) порядка к и непрерывные на [Ь0, то) функции д, (Ь) € такие, что

В, (Ь)( и (Ь) + д, (Ь)) = Б (0,1) для всех Ь € [¿о, то), ^ € I (т). (2.4)

Из (2.4) следует, что Ц(Ь) = В-1(Ь)£(0,1) - д, (Ь) для всех Ь € [Ь0, то), ] € I(т), поэтому все многозначные отображения и (Ь), ^ € I(т), непрерывны в метрике Хаусдорфа на [Ь0, то), а также при каждом Ь € [Ь0, то) они являются строго выпуклыми компактами в с гладкой границей.

Предположение 2.1 при вычислениях допускает переход от Ц(Ь) к Б(0,1). А именно, из (2.2), (2.4), (2.3) получим, что для всех £ = 0, ш € Ц (Ь), Ь € [Ь0, то)

А(ш,£; Ц(Ь)) = 8ир{Л ^ 0 : (ш - А£) € Ц(Ь)}= = 8пр{Л ^ 0 : В,(Ь)(ш - А£ + д,(Ь)) € В,(Ь)(Ц(Ь) + д,(}))} = = 8пр{А ^ 0 : (В,(Ь)(ш + д,(Ь)) - АВ,(Ь)£) € Б(0,1)}=

= А (В, (Ь)(ш + д, (Ь)), В, (Ь)£; Б (0,1)) = (2.5)

1 /<В^)(^ + ^)),В^)£> +

+ ^(В,^ + дМ,ВШ2 + " I+ ^(¿))|2)

Учитывая, что Х0 = У,0, г € I(п,), € I(т), а также равенство (2.5), получим, что каждая функция

А,М) = - У,0; Ц(Ь)) = 8пр{А ^ 0: (V - А(Х° - У,0)) € Ц(Ь)} (2.6)

непрерывна на множестве Ц(Ь) х [Ь0, то). Значит, при любом допустимом управлении V,(Ь) получаем функции А,(V,(Ь),Ь) (одного аргумента Ь) измеримые по Лебегу на [Ь0, то). Введем обозначения

¿0j(t) = min max min (v,t), ¿0(t) = min ¿0j(t), Ao = ¿0(s) ds. (2.7)

veUj(t)ЛjeQj(bj) ae^ je/(m) Л0

Лемма 2.1. Пусть выполнено предположение 2.1 и Ao = то. Тогда функции ¿0j(t), j G I(m), ¿0(t) непрерывны и положительны на [t0, то).

Доказательство. При каждом j G I(m) рассмотрим функцию ¿0j(t). Из (2.7), (2.6), (2.5), (2.4) получаем, что

¿oj(t) = min max mm Л(v, ^ — j Uj(t)) =

veUj (t) Лj eQj (bj ) a^j J J

= mm max min Л^ (t)(v + g, (t)), Bj (t)(Xj — Y,0); S (О, l)) =

veUj (t) Л^- eQj (bj ) aeЛj J J

= min, л max min Л(в, Bj (t)(Xj — Y,0); S (О, l)).

ses(o,i^j enj (bj ) аeЛj J J

Таким образом,

ioj(t)= m?n^maX mn (t); S(0,1)), где (t) = Bj(t)(X° - Yj). (2.8)

seS(o,i) AjeHj (bj) «ел^ J J j j

Отметим, что все функции (t) = 0 и непрерывны на [t0, то). Из последнего утверждения следует, что (2.8) можно преобразовать с применением (2.3), получим

¿„j (t) = min max min

ses (0,i) Aj eQj (bj ) «eAj (t)|2

Из последнего равенства и указанных выше свойств (t) следует, что каждая функция (t), j G I(m), непрерывна на [t0, то).

Следовательно и функция #0(t) = min (t) непрерывна на [t0, то).

je/(m)

Предположим теперь, что, вопреки утверждению леммы, найдутся такие j G I(m) и t* G [t0, то), что £0j(t*) = 0. Тогда из (2.8) следует, что существует элемент s* G S(0,1) такой, что в любом множестве Л^ G Qj (bj) найдется элемент a G Л^, для которого

A(s*,£0j(t*); S(0,1)) = 0.

Построим множество

Q = {qi, 92,... , 9n-bj+i} g Qj(nj - bj + 1)

по следующему правилу. Выберем элемент

91 G Li = {1,2,..., bj} G Qj(bj) из условия (t*); S(0,1)) = 0,

затем такой элемент

92 G L2 = (Li U {bj + 1}) \ {9i} G Qj (bj ), что A(s*,£; (t*); S (0,1)) = 0, далее элемент

93 G L3 = (L2U {bj + 2}) \ {92} G Qj (bj ) такой, что A(s*,£°°3J (t*); S (0,1)) = 0 и так далее. На последнем шаге построим множество

Ln -bj+i = (Ln-^U{nj}) \ {9nj -bj} G Qj (bj)

и выберем элемент

9n —bj+1 G Lnj—bj+1 по условию +1j(i*);S(0,1)) = 0.

По построению для множества Q G Qj (nj — bj + 1) справедливо равенство

min max (t*); S(0,1)) = 0,

seS(o,i) geQ qj

что возможно тогда и только тогда, когда

0 G Int coiejj(t*), 9 G Q} = Int co{Bj(t*) (Xj — Yj0), 9 G Q}.

Поскольку матрица Bj (t*) невырожденная, то

0 G Intco{X0j — Yj0, 9 G Q}. А так как матрица Bj(t) невырожденная при всех t G [t0, то), то

0 G Int co{Bj(t) (Xjj — Yj0) ,9 G Q} для всех t G [to, то). Таким образом, построенное выше множество Q G Qj (nj — bj + 1) обладает свойством

min max A(s,£°-(t); S(0,1)) = 0 для всех t G [t0, то),

seS(0,1) geQ qj

которое означает, что для любого t G [t0, то) найдется элемент s* G S(0,1) такой, что в любом множестве Лj G Qj (bj) существует элемент a G Лj, для которого

A(s*,4 (t); S (0,1)) = 0.

Из последнего утверждения и (2.8) следует, что i0j(t) = 0 при всех t G [t0, то). Но тогда

(t) = min i0j (t) = 0 при всех [t0, то) и Д0 = 0.

je/(m)

Полученное противоречие доказывает, что i0j(t) > 0 при всех j G I(m) и t G [t0, то). А значит и функция #0(t) = min (t) > 0 при всех [t0, то).

j€/(m)

Лемма 2.1 доказана. □

Лемма 2.2. Пусть выполнено предположение 2.1 и Д0 = то. Тогда существует конечный момент T > t0 такой, что для любых допустимых управлений Vj (t) найдутся такие множества Л^- G Qj (bj), что

Г T

/ Aaj (vj (s), s) ds ^ 1 для всех a G Л^-, j G I(m).

Jto

Доказательство. Имеют место соотношения

f t 1 с t

min max min / ЛaAvAs), s) ds ^ min —г- > min / ЛaAvAs), s) ds ^ je/(т)Л, eQj (bj) ajto ' ' je/(m) C^j Л ^(b) °eWto

1 i-t 1 i-t

^ min —;— > / min \ai(vj(s), s) ds = min —r- / > min \ai(vj(s), s) ds ^ je/(m) Cbj ^ Л «ел, ajV jV ^ je/(m) Cbj jt ^ «ел, ajV jW' 7

v ; Cnj ЛjeQj(bjГt0 j Cnjt0 ЛjeQj(bj) j

^ [ 5Mds> -[ öo(s)ds.

je/(m) Cnj ./to max Cnj jto

je/(m)

Так как Д0 = то, то существует конечный момент T > t0, определяемый из условия

1 (T

max Cnj Jto

je/(m)j

i0(s) ds ^ 1,

для которого найдутся множества Л, € П, (Ь,), 3 € 1 (т), удовлетворяющие требуемым свойствам.

Лемма 2.2 доказана. □

Пусть

T0 = T0(X0-,Y0) = min< T>t0 : inf min max min / Ла,-(v(s), s) ds ^ 1 >, (2.9)

[ Vj(•) ie/(m)AjeQj(j) «eA^io J

где инфимум берется по всем допустимым управлениям Vj (t). Из леммы 2.2 следует, что T0 < œ, если выполнено предположение 2.1, и Д0 = œ, при этом

1 fToo

ö0(s)ds^l. (2.10)

тах С^ Jto ] е/(т)

Теорема 2.1. Пусть выполнено предположение 2.1 и Д0 = то. Тогда в игре Г возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (61; 62,..., Ьт).

Доказательство. Неформально, при осуществлении одновременной многократной поимки группы убегающих группой преследователей, предпишем каждому преследователю действовать так: сначала сблизиться с убегающим (максимально быстро, насколько это позволяет стратегия параллельного преследования) на зависящее от параметров игры расстояние; сопровождать убегающего (снова используя стратегию параллельного преследования — выбирать управление равное управлению убегающего) до наступления некоторого момента; осуществить одновременную многократную поимку группы убегающих с кратностями (61, 62,..., 6т) в составе одной из т групп захвата.

При любых допустимых управлениях решения системы (2.1) имеют вид

(¿) = + [ (в) у-(¿) = у0 + [ V(в)

Jt о ^ ^

Следовательно, при каждом ] € I(т)

Xj(t) - yj(t) = - Vf) + I (uj(s) - Vj(s)) ds, t G [t0, œ), г G I(n).

'to

Управления преследователей Pj, г G I(n), j G I(m), будут иметь следующий вид:

Uj(t) = Vj(t) - hj(t^(Vj(t),t)(X° - j, t G [t0, œ), (2.11)

где функции hj (t) G [0,1] являются кусочно-постоянными и могут менять свое значение лишь в моменты t0 = < < < ... < < ..., определенные разбиением а.

Тогда для всех i G I(nj), j G I(m), t G [t0, то)

xij(t) - yj(t)= (Xj- - Yj0)(l - Gij(t)), где Gij(t) = /^(s)Aj(vj(s),s) ds. (2.12)

Jto

Таким образом, чтобы добиться одновременной многократной поимки с кратностями (b1 , b2,...,bm), достаточно для любого разбиения а и допустимых управлений Vj(t) определить функции hj (t) G [0,1] так, чтобы нашлись множества Л* G Qj(bj) и момент т G [t0,T0], для которых выполнены соотношения

Gaj(т) = 1, Gaj(t) < 1 при всех t G [t0,T), а G Л*, j G I(m). (2.13)

Для всех Лj G Qj(bj), i G I(nj), а ^ c, а, c G [t0, то), введем обозначения

pc PC

Lj(Л^-; a,c) = / min Aaj(vj(s),s) ds, Lj(a,c) = / Aj(vj(s),s) ds. (2.14)

t

В дальнейшем будем учитывать, что при всех Л, € П, (Ь,), а € [г0, то), г € 1 (п,), 3 € 1 (т), и любых допустимых управлениях V, (г) функции (Л,; а, г) и Ь»,(а, г) непрерывны по г на интервале [а, то).

Определим Л», (г) и тем самым полностью определим управления преследователей.

Шаг 0. Момент г = 60 = г0. Определим Л»,(60) € [0,1] для всех г € 1 (п,), 3 € 1 (т).

Преследователи Р», знают разбиение а, момент Т0 из формулы (2.9) и V, (г) для г € [60, 61). Преследователи Р», вычисляют момент (или приходят к выводу, что такого момента нет)

т = min jt G (00, 01]: существуют Л* G Qj (bj) такие, что

Lj(Л*; 00, s) < Lj(Л*; 00, t) при всех s G [00,t) и min Lj(Л*; 00,t) = lj.

je/(m) J J

Вариант 0.1. Существует момент т G (00, 01]. Для каждого j G I(m)

(2.15)

haj{0о) = 7—^ если а G Л*; hßj{Q0) = 0, если ß G ) \ Л*;

Laj (00, т Г ----" - ----(2.16)

hij(t) = hij(00), t G [00, 0i), i G I(nj).

Здесь и далее, если (2.15) при некоторых j G I(m) определяет несколько множеств Л*, то, в соответствии с лексикографическим порядком, выберем первое (минимальное) из них. Отметим, что для всех а G Л*

пт пт

1 ^ Lj (Л*; 00, т) = / min Ла* j (vj (s), s) ds ^ / Aaj (vj (s), s)ds = Laj (00, т), ./00 a*еЛ Jeo

поэтому

haj{0o) = 7—тр.-г ^ 1 для всех a G Л*.

Laj (00, т)

Далее, из определения (2.15) момента т на данном шаге следует, что

Lj (Л*; 00, t) < Lj (Л*; 00, т) при всех t G [00, т). С учетом этого строгого неравенства, для всех t G [00, т) и а G Л* имеем

тт

Laj (t, т)= / Aaj (vj (s), s) ds ^ / min A«*j(vj(s), s) ds = Jt Jt а*еЛ

= Lj(Л*; 00, т) - Lj(Л*; 00, t) > 0 и Laj (00, t) < Laj (00,t) + Laj (t,т) = Laj(00, т). (2.17)

Выполнены соотношения (2.13), поскольку из (2.12), (2.14), (2.16), (2.17) следует, что при всех t G [00, т), а G Л* и j G I(m)

1

/00 Laj (00,т )

1

Laj (00, т)

Gaj(r) = /¿aj(0O) / Aaj(>j(», s) ds = 7-^Paj(0O, т) = 1,

0t L (0 , т)

Gaj(t) = /iaj(0o) / Aaj(wj(s), s) ds = -—--Laj(e0,t) < 1.

Покажем теперь, используя (2.14), (2.7) и (2.10), что если T0 ^ 0ь то момент т существует и т ^ T0.

min max L7(A7; 0O, To) ^ min —т- V^ Т7(Л7: 0О, Т0) =

__rT0 1 pTo

min

V / min \aj(vj(s), s)ds = niin —/ V min A«j(wj(s), s)ds ^

^-^ aeA- icTim} -' aeA-

je/(m) Je0 aeAj j€/(m) C

AjeQj(bj) jjcijvj

1 [T0 1 [T0 ^ 7Ä / M^s ^ -/ ^ L

je/(m) Cnj Jeo max Cnj Jeo

j е/(m)

Следовательно, момент т ^ T0 ^ 01 существует.

Вариант 0.2. Момента т G (00,01] не существует (это возможно только при 01 < T0). В момент t = t0 = 00 (по сути до начала игры) выберем и зафиксируем произвольное значение из условия

0 < ^ min ^0(t); (2.18)

te [to ,To]

существование следует из леммы 2.1.

Понадобится еще диаметр разбиения о, дополненный точкой T0. Напомним, что в начальный момент t = t0 = 00 преследователи уже знают разбиение о и могут вычислить T0 по формуле (2.9). Итак, зафиксировано разбиение о и значение T0. Найдем

q* = max{q ^ 0: 0q < T0}. (2.19)

Отметим, что T0 ^ 0q*+1. Вычислим

d* = d*(o,T) = min{0i - 00,02 - 0i,... A* - 0,*-i,T0 - 0q*} > 0. (2.20)

В начальный момент t = t0 = 00 определим как близко преследователь Pj должен сближаться с убегающим Ej :

i* d*

е* = £*(а,Т0) =-г > 0. (2.21)

max Cnj

j е/(m)

Определим hj (t) для всех i G I(nj), j G I(m) и t G [0o, 0i) следующим образом: f 1, если Lij(0o,01) ^ 1 - e*,

Mft>)=4 1-g* eiW (й й)>] ,* M*) = M*о). (2.22)

[¿■■(00 0i)' > I - e ,

Тогда

r 01

Gij(0i) = hij(0oW Aij(vj(s), s) ds = hij(0o)Lj(0o, 0i) = Je0

1 ■ Lij(0o,0i), если Lij(0o,0i) ^ 1 - e*, (L^(0o,0i), если hij(0o) = 1,

1 - e* = < -———-^•(00,01), если Ьу(вo,0i) > 1 - e*, I 1-е*, если кц{в0) < 1. Lij (0o,0i) l

В любом случае

Gij(0i) ^ 1 — e* для всех i G I(nj), j G I(m).

Шаг 1. г = 61 (61 < Т0). Определим Л»,(61) € [0,1] для всех г € 1 (п,), 3 € 1 (т). Преследователи Р», знают V,(г), г € [61, 62), а также на предыдущем шаге вычислили е* > 0. Преследователи Р», вычисляют момент (или приходят к выводу, что такого момента нет)

т = min jt G (01, 02]: существуют Л* G Qj (bj) такие, что

Lj(Л*; 0i, s) < Lj(Л*; 0i,t) при всех s G [0i, t) (2.23)

и min (min Ga* j (0i) + Lj (Л*; 0bt)) = 1)

je/(m)Va* ел* jv jv j V J

Вариант 1.1. Существует момент т G (0i, 02]. Для каждого j G I(m)

= V^W если aeAj; VW = 0, если /3 G /(n,-) \ Л*;

Laj (01,т ) (2.24)

hj(t) = hij(01), t G [01,02), i G I(nj). Отметим, что для всех а G Л*

1 - Gaj(0i) ^ 1 - mm Ga*j(0i) ^ Lj(Л*; 01, т) = J jmin* Aa*j(vj(s), s)ds ^

^ / Aaj (vj (s),s)ds = Laj (01, т), Je 1

поэтому для всех а G Л*

7 /л Ч _ 1 ~ Ggjißl) 1 - Ggjißl) _

aA l)- L^T) ^ l-G^öx) Далее, из определения (2.23) момента т на данном шаге следует, что

Lj- (Л*; 01, t) < Lj- (Л*; 01, т) при всех t G [01, т). С учетом этого строгого неравенства, для всех t G [01, т) и а G Л* имеем

тт

Laj (t, т)= / Aaj (vj (s), s) ds ^ min Aa*j (vj (s), s) ds =

3t Jt a*e^*

= Lj (Л*; 01, т) - Lj (Л*; 0bt) > 0 и

Laj (01, t) < Laj (01, t) + Laj (t, т) = Laj (01, т). (2.25)

Выполнены соотношения (2.13), поскольку из (2.12), (2.14), (2.24), (2.25) следует, что при всех t G [01, т), а G Л* и j G I(m)

Gaj(r) = С^вг) + К^вг) Г Ха^(з),з) ds = Саз(вг) + 1 ~ Laj{eu т) = 1,

Je1 Laj (01,т )

Pt 1 — Ggjißl)

/01 Laj (01, т)

Gaj-(i) = Gaj-(0!) + M0i) / Aaj(Wj(S),s)ds = Gaj-(0!) + r < 1.

(С»,(г) ^ С»,(61) ^ 1 — е* < 1 для всех г € [60,61], г € 1 (п,), 3 € 1 (т), поскольку имел место вариант 0.2.)

Покажем теперь, используя (2.14), (2.7) и (2.10), что если Т0 ^ 62, то момент т существует и т ^ Т0.

Предположим сначала, что из (2.22) получили, что ^ (0о) = 1 для всех г € I(п), € I (т). Тогда

min max ( min Gaj (0i) + Lj (Л j; 0i, To)) ^

je/(m) AjeQj(bj^«eAj /

1

^ min — V Г min Gaj(9i) + Lj(Aj] 9i,T0)\-

je/(m) Cbj ^^ VaeA,' j V

je/(m) Cbj

j л, enj (bj)

1 _ , ftfl fTo

min

je/(m) Cbj Z—' VaeA, /0 4 ^ ' /0 аеЛ,

v ; Cnj Л, en, (bj) ^00 7 01 j

fTo

(min / A„j(wj(s), s) ds + / mm A«j(wj(s), s) ds)^

1 , f01 fT0

^ min —j- > ( / min \aj(vj(s), s) ds + / min Xaj(vj(s), s j e/(m) Cbj ^ VL a^j an П ^ L a^j JV

v ; Cnj л, enj (bj) 700 j 701 j

rTo 1 fTo

min

, V / min A^i^is), s) (is = min —r- / min A^f^is), s) ds ^

Jen je/(m) ^ L . ¿-Г «ел, Л J^ J

je/(m) Cbj ^^ /0„ aeЛj je/(m) Cbj aeЛ

v ; Cnj л, enj (bj Г00 j nj 0 л, enj (bj)

1 fT0 1 fT0

^ ТА / M^s ^ -T37 / ^ 1.

je/(m) Cnj J00 max Cnj ./00

j e/(m)

Следовательно, если hij(0o) = 1 для всех i G I(nj), j G I(m), то момент т ^ To ^ 02 существует.

Предположим, что из (2.22) получили, что haj (0o) < 1 при некоторых a G Л* и j G I(m). Тогда получим, что Gaj (0i) = 1 — e* и, в силу (2.18), (2.20), (2.21),

1 Г0 5*

Gaj(di) + Lj(A*; в1,Т0)^1-е* + — 5o(s) ds ^ 1 - е* +—(Т0 - 0:) >

Cnj ^01 Cnj

* 5*d* 5*d* 5*d*

^ 1 " e + — = 1--b" + — ^ !>

Cnj max Craj Cnj

je/(m)

то есть и в указанном случае момент т ^ To ^ 02 существует.

Вариант 1.2. Момента т G (0i, 02] не существует (это возможно только при 02 < To). Определим hij (t) для всех i G I (nj), j G I (m) и t G [0i, 02) следующим образом:

(1, если Gij(0i) + Lij(0i,02) ^ 1 - e*,

M0l) = I 1 ~?7Л'[в1\ если Gij(9i) + L4(0b 02) > 1 - e*, (2.26)

k Lij (0i, 02)

hij (t) = hij (0i).

Тогда

Сч (02) = G¿j (0!) + ^ (01М (V,- (8), 8) ^ = G¿j (0! ) + ^ (0! ^ (01, 02) :

Сч (01) + 1 ■ ¿¿,-(01,02), если (01) + (01,02) ^ 1 - е*

Сгз(9г) + 1 ~т*7п [)^(01,02), еслиСг,(01) + ^(01,02) > 1 - е*

¿¿Ч (01,02)

(01) + ¿ч(01,02), если ^¿ч(01) = 1, 1 - е*, если (01) < 1.

В любом случае G¿j• (02) ^ 1 — е* для всех г € I(п), € I(т).

Шаг д (д = 2, 3, 4,...). г = 0, (0, < То). Определим ^(0,) € [0,1], г € I(п), 3 € I(т). Преследователи Ру знают гу-(г), г € [0,) и е* > 0. Преследователи Ру вычисляют момент т (или приходят к выводу, что такого момента нет)

т = min jt G (eq, : существуют Л* G Qj (bj) такие, что

Lj(Л*; ,s) < Lj(Л*; e q, t) при всех S G |0q, t) (2.27)

min ( min, Ge. j (eq ) + Lj (Л*; eq, t)) = 1} •

7S/(m) V а*€Л* J / J

Вариант q.1. Существует момент т G (eq, eq+1 ]. Для каждого j G I(m)

Laj (eq,т) (2.28)

hij (t) = hij (eq), t G [eq , eq+l), i G I(nj)• Отметим, что для всех а G Л*

1 - Gaj (eq) ^ 1 - mm G«*j (eq) ^ Lj (Л*; eq, т) = / emin* j (Vj (s)' s) ds ^

CT

^ / Aaj(Vj(S)'S) ds = Laj(eq,T),

Jea

поэтому для всех а G Л*

fr (0 ) = 1 ~ < 1 ~ Gaj(9q) = ^

Laj (eq, Т) ^ 1 - Gej (eq) •

Далее, из определения (2.27) момента т на данном шаге следует, что

Lj (Л*; eq, t) < Lj (Л*; eq, т) при всех t G [eq, т). С учетом этого строгого неравенства, для всех t G [eq, т) и а G Л* имеем

TT

Laj (t, т)= / Aaj (Vj (s), s) ds ^ / min Aa*j (vj (s), s) ds =

Jt Jt a*eAJ

= Lj (Л*; eq ,т) - Lj (Л*; eq ,t) > 0 и

Laj (eq, t) < Laj (eq, t) + Laj (t'Т) = Laj (eq,т)• (2.29)

Выполнены соотношения (2.13), поскольку из (2.12), (2.14), (2.28), (2.29) следует, что при всех t G [eq, т), а G Л* и j G I(m)

Ga,(r) = GaJ(eq) + Г Aajfe(s), S) ds = Gaj(0q) + r) = 1,

Л, Laj (eq ,т)

Gaj(i) = Gaj(0q) + haj(dg) f XajiVjis), в) ds = Саз(вд) + 1 ~ Laj(dg,t) < 1.

(г) ^ Gij(0,) ^ 1 — е* < 1 для всех г € [0о,0,], г € I(п), 3 € I(т), поскольку имел место вариант д — 1.2.

Аналогично тому как это делалось на шаге 1 доказывается следующее утверждение: если Т0 ^ 0,+1, то момент т существует и т ^ Т0.

T

q

Вариант д.2. Момента т € (0,, 0,+^ не существует (возможно только при 6^+1 < Т0). Определим (£) для всех г € I(п,) и £ € [0,, 0д+1) следующим образом:

1, если (0,) + ^(0,, 0,+1) ^ 1 - г*,

если (0,) + Т„-(0,, 0,+1) > 1 - г*, (2.30)

М^) = < 1 ~ е* ~

т (п п \ ' '

Тг, (0,, 0,+ 1)

',1 Тогда

Г 9q+l

СгЗ (0,+1) = Су (0,) + ^ (0, ) / Лгз (г, (в), в) ^ = (0, ) + йу (0, (0,, 0,+ 1) =

Сг,(0,) + 1 ■ Тг,(0,, 0,+1), если С,(0,) + Ту (0,, 0^) ^ 1 - г*,

1 - г* - С- (0 ) =

СгМ + й%3\ч)иАК ес™ Су + Ту (0„ 0,+1) > 1 - в*,

Сг, (0,) + Ту (0,, 0,+1) , если йг, (0,) = 1, 1 - г*, если (0,) < 1.

В любом случае С, (0,+1) ^ 1 - г* для всех г € I(п,).

Из (2.19) следует, что не позже чем на шаге д* произойдет одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (61; ..., Ьт).

Теорема 2.1 доказана. □

Для каждых 3 € I(т) и единичного вектора I € при всех £ € [£0, то) определим функции

€ ди,(£) из условия: («(£) - /) < 0 для всех «(£) € и,(£) \ {г,^)}. (2.31)

Отметим, что, при выполненном предположении 2.1, функции г, (£) при каждом зафиксированном I определены однозначно и непрерывны на интервале [£0, то) в силу свойств многозначных отображений и, (£).

Лемма 2.3. Пусть выполнено предположение 2.1. Тсли в процессе игры Г для некоторого единичного вектора I € номера с € I(п,) и момента 0, ^ £0 реализовалась ситуация

(х,(0,) - у,(0,), 0 ^ 0, х,(0,) = у,(0,), то, определяя допустимое продолжение управления убегающего Е,

г,(£) = для всех £ € [0,, то), получим выполнимость неравенств

(хс,(£) - У,(£), I) ^ 0, (£) = у,(£) для всех £ € [0,, то) при всех допустимых продолжениях управления ис, (£), £ € [0,, то), преследователя Рс,. Доказательство. В силу (2.31), условий леммы и теоремы Коши

(х,(£) - у,(£),/) = (х,(0,) - у,(0,), 0 + / («,(в) - г,7(з), /) ^ 0 для всех £ € [0,, то),

причем равенство возможно только в случае, если ис, (в) = ^(з) почти всюду на [0, ,£], но в этом случае хс,(£) = у,(£), так как хс,(0,) = у,(0,). Если (хс,(£) - у,(£),/) < 0, то хс,(£) = у,(£). Следовательно, хс,(£) = у,(£) для всех £ € [0,, то).

Лемма 2.3 доказана. □

Условие 2.1. При каждом j G I (m) выполнено включение Yj0 G IntcolX^j- ,c G K} для всех множеств K G Q (n — bj + 1).

Теорема 2.2. Пусть выполнено предположение 2.1. Тогда условие 2.1 является необходимым для осуществления одновременной многократной поимки группы убегающих с кратностями (bi, b2,..., bm) в игре Г.

Доказательство. Пусть условие 2.1 не выполнено. Тогда при некотором j G I (m) существует (хотя бы одно) множество Q G Q(nj — bj + 1) такое, что Yj0 / Int co{X0, c G Q}. Из теоремы отделимости следует, что существует единичный вектор l G такой, что

(h, l) ^ 0 для всех h G co{X0 — Yj0, c G Q}, поэтому

(Xj — Yj0, l) ^ 0 для всех c G Q. По (2.31) определим допустимое управление убегающего Ej

Vj(t) = Vji(i) для всех t G [t0, то).

В силу леммы 2.3 при любых допустимых управлениях ucj (t) преследователей Pcj- выполнено неравенство xcj-(t) = yj(t) для всех t G [t0, то).

Оставшиеся |1 (nj)\Q| = n — (n — bj + 1) = bj — 1 преследователей не могут осуществить bj-кратную поимку убегающего Ej, а следовательно не осуществима и одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (bi, b2,..., bm).

Теорема 2.2 доказана. □

Теорема 2.3. Пусть выполнено предположение 2.1 и отображение Uj(t) = Uj = = const, j G I(m). Тогда в игре Г условие 2.1 является необходимым и достаточным для осуществления одновременной многократной поимки группы убегающих с кратностя-ми (bi, b2, . . . , bm).

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.2. Пусть выполнено условие 2.1. Аналогично лемме 2.1 доказывается, что

i0(t) = = const > 0, поэтому Д0 = то,

и возможность одновременной многократной поимки группы убегающих с кратностями (bi, b2,..., bm) следует из теоремы 2.1.

Теорема 2.3 доказана. □

Пример 2.1. В R2 рассмотрим игру Г2.1 12 лиц: преследователей Pib P2i, P3i, Pi2, P22, P32, Pi3, P23, P33 (ni = П2 = П3 = 3) и убегающих Ei, E2, E3 (m = 3) вида (2.1), где

Ui(t) = S

U2 (t) = S

U3(t) = S

, 5

—3 1

4 /' 2

X 0

Xi2

Xi3

/ 2ni\

cos —

2П i

vsm-/

'-100 + cos^

2ni 3

V sm — '100 +cos

2ni 3

v sm— /

i G I(3), Yi

i G I(3), Y0

i G I(3), Y30

— 100

0

100 0

1

2

7

Предположение 2.1 выполнено при B^t) = I, gi(t)

B,(t) = 2I, gs(i) = (3, -4)T. Из теоремы 2.3 следует

(О, 0) , -02(i) = -X, g2(t) = (—2, — 7) ,

Утверждение 2.1. 5 игре Г2.1 возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (1,1,1), причем поимка большей кратности невозможна.

Пример 2.2. В R2 рассмотрим игру Г2 2 16 + 2b3 лиц (b3 ^ 1): преследователей Pu,..., P51; P12,..., P72; P13, • • •, Pi+2b3,3 (ni = 5, П2 = 7, пз = 1 + 2Ьз) и убегающих £ь E2, E3 (m = 3) вида (2.1), где

X 0 Xi1

Y0

( 2пА

cos —-

2П i 8111 — /

-100 0

Ui(t) = U2(t) = U3(t) = S

i G I(5), Y0 /

V

1

i2

Xi3

100 + cos

2ni \

21+ 2Ьз

sin

2 + cos t

( 2ni\

'-100 +cos — 7

2ni

V sm- /

i G I (1 + 263 ), Y30 =

i G I(7),

100 0

1 + 26з /

Предположение 2.1 выполнено при B?(t) = (2 + cost)I, g?(t) = (-5, — 5)T, j G I(3). Отметим, что если выполнено условие 2.1, то До = то.

Начальные позиции преследователей Pib i G I(5), образуют правильный пятиугольник с центром в начальной позиции убегающего Е. Проверяя, получаем, что при j = 1 и 61 ^ 2 условие 2.1 выполнено, а при 61 ^ 3 — не выполнено. Аналогично проверяем условие 2.1 при j = 2, 3.

Из теоремы 2.1 и теоремы 2.2 следует

Утверждение 2.2. В игре Г2.2 возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (2, 3,63), причем поимка большей кратности невозможна.

§ 3. Решение задачи в общем случае

Перейдем к исследованию системы (1.1) в общем случае.

Пусть Ф? (t), j G I(m), — фундаментальная матрица системы = A? (t)<£ такая, что Ф? (t0) = I. Отметим, что Ф-1^) невырожденна и непрерывна на [t0, то), а Ф-1^0) = I.

В системе (1.1) проведем неособые линейные преобразования координат

xj (t) = Ф-1 (t)Xj (t)

y; (^ф-1 (t)y, (t),

uj(t) = Ф-1 (t)uj(t) G Ф-ЧОД(t), v;(t) = Ф-1 (t)Vj(t).

(3.1)

В новых координатах конфликтно управляемая система (1.1) преобразуется [3] к задаче простого группового преследования

Pj: xj = uj, uj G V,(t) = Ф-1^)^(t), xj(to)= Xj, i G I(n,), j G I(m). E,

• * * У; = V; '

v; g v,(t) = ф-1^)^,(t), y;(t0) = y,0,

j GI (m).

(3.2)

Отметим, что в полученной (3.2) и в исходной (1.1) системах поимка означает точное совпадение координат. Кроме того, между решениями этих систем существует взаимно однозначное соответствие (3.1).

0

По форме системы (3.2) и (2.1) совпадают, но, чтобы применить результаты §2 необходимо убедиться, что многозначное отображение V} ({) = Ф—1 ({) сохраняет свойства многозначного отображения [/, ({), для этого достаточно показать, что справедлива

Л е м м а 3.1. Если выполнено предположение 2.1, то существуют непрерывные и невы-

рожденные на [{0, то) квадратные матрицы В*({) порядка к и непрерывные на [{0, то)

}*({)( V} ({) + }

функции д*({) е такие, что В|({)(У,-({) + д*({)) = Б(0,1) для всех [{0, то), ] е I(т).

Доказательство. В силу предположения 2.1, В* ({) = В, ({)Ф, ({) являются непрерывными и невырожденными на [{0, то) квадратными матрицами порядка к как произведение двух матриц с аналогичными свойствами, а д*({) = Ф-1({)д}({) е — непрерывными на [{0, то) функциями, поэтому

В*({)(^({) + д* ({)) = адФ^ХФ-^ад + ф-1(^)д(^)) =

= В,({)(и({) + д}(¿)) = Б(0,1) для всех [¿о, то), ^ € I(т). Лемма 3.1 доказана. □

При сделанном предположении 2.1, из леммы 3.1 и (2.5) следует, что для всех £ = 0,

т е { е [{0, то)

А(т,£; ^({)) = 8пр{А ^ 0 : (т-А£) е >}({)}= = А (В* ({)(т + д* ({)), В* ({)£; Б (0,1)) =

= ( (Щ (*) + 9) (*)), (*)£> +

+ V+ + |в;(^)^|2(1 - (*)(«; + #*С0)|2)

В исходных координатах получим: при всех £ = 0, т е и({), { е [{0, то)

А(Ф-1 ({)т,£; Ф71(*)и-({)) = 8пр{А ^ 0 : (Ф-1 ({)т - А£) е Ф-1 ({)и({)}= = вир{А ^ 0 : (т - АФ}({)£) е и({)}= = 8пр{А ^ 0 : В,({)(т - АФ}({)£ + д,({)) е В,({)(и({) + д,({))}= = 8ир{А ^ 0 : (В,({)(т + д,({)) - АВ,({)Ф,({)£) е Б(0,1)}=

= А(В,({)(т + д,({)),В,({)Ф,({)£; Б(0,1)) = (33)

(В,({)(т + д,({)),В,({)Ф,({)£ > +

\в3тлт2

+ у/ (в3т™+дшт) ФШ)2 + \в3тлтч1 - \вт*>+яш2)

Из леммы 3.1 следует, что теоремы 2.1, 2.2, справедливы для системы (3.2). Перепишем их для системы (1.1) с учетом преобразования координат (3.1), а также (2.6) и (2.7). По функциям

А!>,{) = А(Ф-1({)^,Х° - У,0; Ф-1 ({)и({)) = = 8ир{А ^ 0: (Ф-1(ф - А(Х° - у0)) е Ф-1({)и({)},

непрерывным на множестве и ({) х [{0, то), ] е I(т), определим величины

(3.4)

^ь({) = ш1п тах шт А^ 7(^,{), ({) = шт $}•({), Д1 = (в) ^з. (3.5) ■ие^ еп ) «ел,- 7 (т)

те

Теорема3.1. Пусть выполнено предположение 2.1 и A1 = то. Тогда в игре Г возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (b1; b2,..., bm).

Теорема 3.2. Пусть выполнено предположение 2.1. Тогда условие 2.1 является необходимым для осуществления одновременной многократной поимки группы убегающих с кратностями (b1; b2,..., bm) в игре Г.

Условие 3.1. Любой фиксированный набор hy £ S (Xij — Yj0, 2е), i £ I (ny), j £ I (m), обладает тем свойством, что при каждом j £ I(m) для всех множеств K £ Qy (ny — by + 1) имеет место включение 0 £ Int co{hCj, c £ K}.

Лемма 3.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда существует е > 0, при котором выполнено условие 3.1.

Доказательство. Выберем произвольные j £ I (m) и K £ Qj (ny — by + 1). Множество co{X0j — Yj0,c £ K} является выпуклым многогранником с вершинами в точках X0 — Yj0, где q £ Q С K. Из условия 2.1 следует, что

0 £ Int co{X0 — У/, c £ K} = Int co{X0 — У/, q £ Q}.

Так как множество Int co{X0 — Yj0, q £ Q} является открытым, то найдется такое число ej (K) > 0, что

0 £ Int co{hqj, q £ Q} для каждого набора hgj- £ S(X0 — Yj0, 2e).

Так как Int co{hgj-, q £ Q} С Int co{hy, c £ K}, то 0 £ Int co{hy, c £ K}.

Пусть

e = min min {ej (K)} > 0.

je/(m) кeQj(nj-bj+i)

Лемма 3.2 доказана. □

В данной работе выражение «функция (определенная на [t0, то)) является почти периодической в смысле Бора» означает, что ее можно доопределить при всех t < t0 так, чтобы полученная функция стала почти периодической по Бору [25].

Лемма 3.3. Пусть выполнены предположение 2.1 и условие 2.1, Uj(t) = Uy = const, а матрицы Фу (t), j £ I(m), являются почти периодическими в смысле Бора. Тогда Ai = то.

Доказательство. При Uj(t) = Uj = const предположение 2.1 примет вид: существуют постоянные невырожденные квадратные матрицы Bj порядка k и постоянные векторы gj £ Rk такие, что

Bj-(Uj- + gy) = S(0,1) для всех j £ I(m). (3.6)

Из (3.5), (3.4), (3.3), (3.6) получаем, что

iy (t) = min л max min А(Ф-1(ф, Xj — Yj0; Ф"1^-(t)) =

veUj(t) AjeQj (bj) «eAj J J J J

= min max min A (By (v + gy), Bj Фу (t)(Xj. — Yj0); S (0,1)) = (3 7)

veUj (t) AjeWj(bj) a€Aj v /

= min, л max min A(s, By Фу (t)(Xj — Yj0); S (0,1)).

seS(0,i)AjeQj (bj) «eAj J J

Выполнены все условия леммы 3.2. Зафиксируем любое е > 0, при котором выполнено условие 3.1. Введем обозначения

H = {t ^ to : - У/) G S(X° - У/, 2е) для всех i G Ij j G I(m)},

а

^(G) — мера Лебега множества G С R

dist(Gi, G2) = inf |g! — g2| для множеств Gi, G2 С Rk.

öiSGi, ö2€G2

Функции Ф,(t) (Xj — у0) являются почти периодическими в смысле Бора. Откуда, с учетом равенства

$j(to)(x° — у0) = i (Xj — у0) = (xo — у0),

следует существование числа C > 0 такого, что для каждого q = 1, 2,... найдется момент tq G [t0 + C(q — 1), t0 + Cq), обладающий свойством

Ф (tq)(Xj — Y0) G S(X/ — У/ ,е) для всех i G I(п,), j G I(m).

Для всех q = 1, 2,... определим

Hq = {t G [tq,tq+i): Фо(t)(X° — Yf) G S(X° — Yj0, 2е) для всех i G I(п,), j G I(m)} .

Так как почти периодические функции в смысле Бора являются и равномерно непрерывными, то имеет место следующее утверждение:

если 02 >0i ^ t0 и Ф(02)(X° — у0) — Фо(0i)(X° — у0)| ^ е, то 02 ^ 01 + L для всех i G I(nj), j G I(m), где L = L(e) > 0.

Из данного утверждения и того, что

dist(öS(Xj — у0,е), öS(Xf — у/, 2е)) = е, Фо(tq)(Xj — у0) G S(Xj — у/, е) для всех i G I(nj), j G I(m),

следует включение

[tq, tq + L] С Hq для всех q = 1, 2,...,

а это означает, что

те те

MH) ^ ^(|jHq) L =

q=1 q=1

Теперь докажем, что для всех

dj = (hij, h2j,..., j) G Dj = S(X0j — у/, 2е) x S(X2f — у/, 2е) x ... x S(X£.f — у/, 2е) имеет место неравенство

Pj(dj)= min max min A(s,Bjhaj; S(0,1)) > 0.

seS(0,i) л^' eQj (bj) «ел^'

Предположим противное: найдется d* = (hj, h2f,..., j) G Dj такой, что

p,(d*) = min max min A(s, Вhi,-; S(0,1)) = 0.

j seS(0,i^j eQj (bj) оел,-

Значит, найдется в * € Б (0,1) такой, что в любом множестве Лу € Пу (Ьу) существует

j ^ ajj

элемент a G Л,, для которого A(s*, Bjh^j; S(0,1)) = 0. Построим множество

Ko = {ai, a2,..., araj.-bj+i}

по следующему правилу. Элемент a1 G L1 = {1, 2,...,bj} G Qj (bj ) выберем из условия A(s*,Bjha,у; S(0,1)) = 0. Пусть L2 = (Li U{bj + 1}) \ {ai}. Отметим, что L2 G Qj(bj). Выбираем a2 G L2 из условия A(s *, Bjha2j; S(0,1)) = 0. Теперь определим множество L3 = = (L2U{b + 2}) \ {a2} и элемент a3 G L3 из условия A(s *,Bjh^3j; S(0,1)) = 0. Далее действуем аналогично. На последнем шаге построим Lnj-bj+1 = (Lnj-bj (J{nj}) \ {anj-bj} и выберем элемент anj-bj+1 G Lnj-bj+1 из условия A(s *,Bjь + ; S(0,1)) = 0. По построению множества K0 G Q(nj — bj + 1)

min max A(s,Bj h*-; S (0,1)) = 0.

ses(0,1) «eKo j

Из последнего равенства следует, что 0 G Intco{Bjh*j, q G K0}. Матрица Bj невырожденная, поэтому 0 G Int co{h*j, q G K0} и условие 3.1 не выполнено. Полученное противоречие доказывает, что pj (dj) > 0.

Из непрерывности функции A получим, что

lim p, (d* )= lim min max min A(s,B, h*- ; S (0,1)) =

d* ^dj j d* ^dses (0,1) л^ eOj (bj ) «ел^ aj

= min max min A(s,Bjhaj; S(0,1)) = pj(dj).

seS(0,1) Лj eQj (bj ) a^j

Следовательно, функция pj является непрерывной, учитывая еще, что множество Dj компакт и pj (dj) > 0, получим

rj = min min max min A(s,Bjhaj ; S(0,1)) = min pj (dj) > 0.

djeDj ses(0,1) ЛjeQj(bj) a^j djeDj

Таким образом, величина

^Hj = mm Î1j(t) = mm mm, max min A(s, BjФу(i)(X°j — Yj0); S(0,1)) ^ teH teH ses(0,1) Лj eQj(bj) a^j J J

^ min min max min A(s, Bjhaj; S(0,1)) = г, > 0. djeDj ses(0,1) л^-en,(b,) a^j

Из (3.5) и (3.7) получаем, что

Д1 = i1(r)dr ^ / i1(r)dr = min ^j(t)dr ^ min iHj / dr = œ, Л0 JH JHje1 M je1 M JH

так как min #Hj > 0 и ^(Я) = œ.

je/(m)

Лемма 3.3 доказана. □

ТеоремаЗ.З. Пусть выполнено предположение 2.1, матрицы Фу (t) являются почти периодическими в смысле Бора и Uj (t) = Uj = const, j G I (m). Тогда условие 2.1 является необходимым и достаточным для осуществления одновременной многократной поимки группы убегающих с кратностями (b1, b2,..., bm) в игре Г.

Доказательство. Необходимость выполнения условия 2.1 следует из теоремы 3.2. Из леммы 3.3 следует, что Д1 = œ и достаточность следует из теоремы 3.1.

Теорема 3.3 доказана. □

Отметим, что матрица Ф^ (t) является почти периодической в смысле Бора, в частности, когда матрица Aj(t) = O или Aj(t) = Aj = const, а все ее собственные числа являются простыми и чисто мнимыми.

Пример 3.1. В R2 рассмотрим игру Г3Л 12 лиц: преследователей Pib P2i, P3i, Pi2, P22, P32, Pi3, P23, P33 (ni = П2 = Пз = 3) и убегающих Eb E2, E3 (m = 3) вида (1.1), где

Ai (t) = Ai = A2(t) = A2 = A3(t) = A3 =

0 -2 8 0

0 -20 5 0

0 -64

1 0

det(Ai - AX) = (A2 + 16) = 0,

det(A2 - AX) = (A2 + 100) = 0,

det(A3 - AX) = (A2 + 64) = 0,

а остальные параметры такие же как и в игре Г2л (см. пример 2.1).

Предположение 2.1 выполнено (см. пример 2.1). Собственные числа матрицы А равны ±41, А2 — ±101, А3 — ±81, и матрицы Ф1(¿), Ф2(£), Ф3(£) являются почти периодическими в смысле Бора. Из теоремы 3.3 следует

Утверждение 3.1. В игре Г3! возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (1,1,1), причем поимка большей кратности невозможна.

П р и м е р 3.2. В К2 рассмотрим игру Г3.2 16 + 263 лиц (63 ^ 1): преследователей Р1Ь

..., Р51; Р12, ..., Р72; Р13, ..., Р1+2Ь3,3 (П1 = 5, П2 = 7, П3 = 1 + 263) и убегающих Е1, Е2, Е3 (т = 3) вида (1.1), где

Ui(t) = U2 (t) = U3 (t) = S ((0,0)T, 1)

Ai(t) =

sin t

cos t

X 0

0

sin t

( 2ni\

cos —-

2П i Sm~J

Фl (t)

i—cos t

- sin t

e

i— cos t

e

0

i— cos t

i G I(5), Yi0 =

cos t sin t - cos t

A2(t)= o_s _ 3, - .„J, Ф2(t)

/ 2ni\

-100 + cos — 7

. 2ni

sin-

7

A3(t) =

2 cos t - cos3 t - cos t sin t

IE 1(7), Y>

т У

ncos(nt) 0

¿2

5'

1

sin t

-100 0

- sin t

cos2 t

0

- sin t

Ф3^)

esin(nt) 0

0

e

Xi3

100 + cos

2та \

1 + 2 63 2ni

V

sin

i G I(1 + 263), Y0 =

1 + 2b3 /

cos t

100 0

Предположение 2.1 выполнено при В(¿) = I, ^(¿) = (0, 0) , ] € I(3). Матрицы Ф1(^), Ф2(£), Ф3(£) являются почти периодическими в смысле Бора. Из теоремы 3.3 следует (ср. с примером 2.2)

Утверждение 3.2. В игре Г3.2 возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (2, 3,Ь3), причем поимка большей кратности невозможна.

Пример 3.3. В (к ^ 2) рассмотрим игру Г3.3 п + п2 + ... + пт + т лиц: п + п2 + + ... + ит преследователей Рш Р21, ..., Рщъ Р12, Р22, ..., РП22, ..., Ат, Р2т, ..., Р«тт и т убегающих Е1, Е2, ..., Ет вида (1.1), где

ау(¿), ^ € I(т), — произвольные непрерывно дифференцируемые функции такие, что о,-(¿о) = 1 и ау(¿) > 0 для всех [¿0, то). Предположение 2.1 выполнено

В (¿) = а"1(^)Х, д (¿) = (0, 0,..., 0)т и Фу(¿) = ау(¿)1, Ф-1(*) = а"1(^)Х, V-(¿) = Ф"^(¿) = 5 ((0, 0,..., 0)т, 1).

Отметим, что если выполнено условие 2.1, то Д1 = то, при этом Фу (¿) не всегда является почти периодической в смысле Бора (например, при ау (¿) = 1 + (£ — ¿0)2). Из теоремы 3.1 и теоремы 3.2 следует

Утверждение 3.3. В игре Г33 возможна одновременная многократная поимка группы убегающих с кратностями (Ь1,Ь2,..., Ьт) тогда и только тогда, когда выполнено условие 2.1 .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.

2. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания // Труды ордена Ленина Математического института имени В. А. Стеклова. 1971. Т. 112. C. 30-63. https://www.mathnet.ru/rus/tm3032

3. Красовский Н.Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

4. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1977.

5. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.

6. Петросян Л. А. Игры преследования «с линией жизни» со многими участниками // Известия АН Арм. ССР. Математика. 1966. Т. 1. № 5. С. 331-340.

7. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. C. 145-146.

8. Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990.

9. Чикрий А. А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992.

10. Петров Н. Н. Многократная поимка в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 747-754. https://pmm.ipmnet.ru/ru/Issues/1997/61 -5

11. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка в рекуррентном примере Л. С. Понтрягина с фазовыми ограничениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21. № 2. С. 178-186. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23607930

12. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка в рекуррентном примере Л. С. Понтрягина // Автоматика и телемеханика. 2016. № 5. С. 128-135. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=26873985

13. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка убегающего в линейных рекуррентных дифференциальных играх // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23. № 1. С. 212-218. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28409380

14. Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка заданного числа убегающих в рекуррентном примере Л. С. Понтрягина // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2020. Т. 186. С. 108-115. https://doi.org/10.36535/0233-6723-2020-186-108-115

15. Petrov N.N., Solov'eva N.A. Problem of multiple capture of given number of evaders in recurrent differential games // Сибирские электронные математические известия. 2022. Т. 19. Вып. 1. С. 371-377. https://www.mathnet.ru/rus/semr1508

16. Петров Н.Н., Нарманов А. Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. Т. 28. Вып. 2. С. 193-198. https://doi.org/10.20537/vm180205

17. Петров Н. Н., Нарманов А. Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче с дробными производными и простой матрицей // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 3. С. 188-199. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-3-188-199

18. Благодатских А. И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 2009. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=22947344

19. Благодатских А. И. Одновременная многократная поимка в задаче простого преследования // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 1. С. 54-59. https://pmm.ipmnet.ru/ru/Issues/2009/73-1/54

20. Благодатских А. И. Одновременная многократная поимка в конфликтно управляемом процессе // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 3. С. 433-440. https://pmm.ipmnet.ru/ru/Issues/2013/77-3/433

21. Благодатских А. И. Одновременная многократная поимка убегающих в задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 13-18. https://doi.org/10.20537/vm120302

22. Благодатских А. И. Поимка группы убегающих в конфликтно управляемом процессе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 20-26. https://doi.org/10.20537/vm130403

23. Благодатских А. И. Многократная поимка жестко скоординированных убегающих // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Вып. 1. С. 46-57. https://doi.org/10.20537/vm160104

24. Blagodatskikh A.I., Petrov N.N. Simultaneous multiple capture of rigidly coordinated evaders // Dynamic Games and Applications. 2019. Vol. 9. No. 3. P. 594-613. https://doi.org/10.1007/s13235-019-00300-8

25. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

Поступила в редакцию 01.03.2023 Принята к публикации 20.04.2023

Благодатских Александр Иванович, к. ф.-м. н., доцент, Удмуртский государственный университет,

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

E-mail: [email protected]

Цитирование: А. И. Благодатских. Синхронная реализация одновременных многократных поимок

убегающих // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2023. Т. 61. С. 3-26.

A. I. Blagodatskikh

Synchronous implementation of simultaneous multiple captures of evaders

Keywords: capture, multiple capture, simultaneous multiple capture, pursuit, evasion, differential games, conflict controlled processes.

MSC2020: 49N70, 49N75

DOI: 10.35634/2226-3594-2023-61-01

The problem of pursuit of a group of m evaders (m ^ 1) in conflict-controlled processes with equal opportunities is considered. It is said that in the problem of chasing one evader (m = 1), multiple capture occurs if a given number of pursuers catch him, and the moments of capture may not coincide. In the problem of simultaneous multiple capture of one evader, it is required that the moments of capture coincide. Simultaneous multiple capture of the whole group of evaders (m ^ 2) occurs if, as a result of pursuit, each evader is repeatedly caught simultaneously, and at the same time. In terms of the initial positions of the participants, necessary and sufficient conditions for the simultaneous multiple capture of the whole group of evaders are obtained.

REFERENCES

1. Isaacs R. Differential games, New York: John Wiley and Sons, 1965.

2. Pontryagin L. S. A linear differential evasion game, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1971, vol. 112, pp. 27-60. https://www.mathnet.ru/eng/tm3032

3. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems, New York: Springer, 1988.

4. Petrosyan L.A. Differentsial'nye igry presledovaniya (Differential games of pursuit), Leningrad: Leningrad State University, 1977.

5. Chernous'ko F. L., Melikyan A. A. Igrovye zadachi upravleniya i poiska (Control and search game problems), Moscow: Nauka, 1978.

6. Petrosyan L. A. "Life-line" pursuit games with several players, Izvestiya Akademii Nauk Armyanskoi SSR. Matematika, 1966, vol. 1, no. 5, pp. 331-340 (in Russian).

7. Pshenichnyi B.N. Simple pursuit by several objects, Cybernetics, 1976, vol. 12, issue 3, pp. 484-485. https://doi.org/10.1007/BF01070036

8. Grigorenko N. L. Matematicheskie metody upravleniya neskol'kimi dinamicheskimi protsessami (Mathematical methods of control over multiple dynamic processes), Moscow: Moscow State University, 1990.

9. Chikrii A. Conflict-controlled processes, Dordrecht: Springer, 1997. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1135-7

10. Petrov N.N. Multiple capture in Pontryagin's example with phase constraints, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1997, vol. 61, issue 5, pp. 725-732. https://doi.org/10.1016/S0021-8928(97)00095-6

11. Petrov N.N., Solov'eva N.A. Multiple capture in Pontryagin's recurrent example with phase constraints, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2016, vol. 293, suppl. 1, pp. 174-182. https://doi.org/10.1134/S0081543816050163

12. Petrov N.N., Solov'eva N.A. Multiple capture in Pontryagin's recurrent example, Automation and Remote Control, 2016, vol. 77, issue 5, pp. 855-861. https://doi.org/10.1134/S0005117916050088

13. Petrov N.N., Solov'eva N.A. A multiple capture of an evader in linear recursive differential games, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2017, vol. 23, no. 1, pp. 212-218 (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-212-218

14. Petrov N.N., Solov'eva N.A. Multiple capture of a given number of evaders in L. S. Pontryagin's recurrent example, Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematich-eskie Obzory, 2020, vol. 186, pp. 108-115 (in Russian). https://doi.org/10.36535/0233-6723-2020-186-108-115

15. Petrov N.N., Solov'eva N.A. Problem of multiple capture of given number of evaders in recurrent differential games, Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya, 2022, vol. 19, issue 1, pp. 371-377. https://www.mathnet.ru/eng/semr1508

16. Petrov N.N., Narmanov A. Ya. Multiple capture of a given number of evaders in the problem of a simple pursuit, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2018, vol. 28, issue 2, pp. 193-198 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm180205

17. Petrov N.N., Narmanov A. Ya. Multiple capture of a given number of evaders in a problem with fractional derivatives and a simple matrix, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 188-199 (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-3-188-199

18. Blagodatskikh A. I., Petrov N.N. Konfliktnoe vzaimodeistvie grupp upravlyaemykh ob"ektov (Conflict interaction of groups of controlled objects), Izhevsk: Udmurt State University, 2009. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=22947344

19. Blagodatskikh A.I. Simultaneous multiple capture in a simple pursuit problem, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2009, vol. 73, issue 1, pp. 36-40. https://doi.org/10.1016/jjappmathmech.2009.03.010

20. Blagodatskikh A. I. Simultaneous multiple capture in a conflict-controlled process, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, no. 3, pp. 314-320. https://doi.org/10.1016/jjappmathmech.2013.09.007

21. Blagodatskikh A. I. Simultaneous multiple capture of evaders in a simple group pursuit problem, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2012, issue 3, pp. 13-18. https://doi.org/10.20537/vm120302

22. Blagodatskikh A. I. Capture of a group of evaders in a conflict-controlled process, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2013, issue 4, pp. 20-26. https://doi.org/10.20537/vm130403

23. Blagodatskikh A. I. Multiple capture of rigidly coordinated evaders, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2016, issue 1, pp. 46-57. https://doi.org/10.20537/vm160104

24. Blagodatskikh A. I., Petrov N. N. Simultaneous multiple capture of rigidly coordinated evaders, Dynamic Games and Applications, 2019, vol. 9, no. 3, pp. 594-613. https://doi.org/10.1007/s13235-019-00300-8

25. Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti (Lectures on the mathematical stability theory), Moscow: Nauka, 1967.

Received 01.03.2023 Accepted 20.04.2023

Aleksandr Ivanovich Blagodatskikh, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Udmurt

State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia.

E-mail: [email protected]

Citation: A. I. Blagodatskikh. Synchronous implementation of simultaneous multiple captures of evaders,

Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2023, vol. 61,

pp. 3-26.