Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

ФИЗИКА

УДК 621.373.1

СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ДИФФУЗИОННЫМИ СВЯЗЯМИ

© 2008 С.А.Агибалов,1 В.В.Зайцев2 Г.П.Яровой3

На основе интегральных уравнений движения получены общие соотношения для расчета частотных характеристик и областей устойчивости синхронных колебаний в дискретно-распределенных автоколебательных системах с обратными связями диффузионного (параболического) типа. Приведен пример численного анализа синхронных колебаний в распределенном ДС-генераторе, находящемся по действием внешнего гармонического сигнала.

Ключевые слова: автоколебательные системы, синхронизация, синхронные колебания, устойчивость.

Введение

К классу дискретно-распределенных относится множество автоколебательных систем, в которых сосредоточенный в пространстве (дискретный) активный элемент локально взаимодействует с распределенными резонансными цепями и цепями обратной связи. При этом пространственно распределенные цепи могут быть как волнового, так и диффузионного типа. Волновые резонансные системы широко распространены в микроволновом диапазоне. Они входят в состав многочисленных типов твердотельных и электронных СВЧ-генераторов. Математические модели таких генераторов— нелинейные граничные задачи для гиперболических уравнений.

Автоколебательные системы с диффузионными цепями обратной связи (ОС) менее распространены, но и они находят применение в радиоэлектро-

1 Агибалов Сергей Александрович, кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2Зайцев Валерий Васильевич ([email protected]), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

3Яровой Геннадий Петрович ([email protected]), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

нике. Например, при генерировании колебаний в диапазоне частот от долей герц до сотен килогерц применяются генераторы с фазосдвигающими цепями ОС, выполненными на основе распределенных ЛС-линий [1, 2]. Моделирование автоколебаний в системах с диффузионными обратными связями основано на решениях нелинейных граничных задач для параболических уравнений. Подобного рода модели используются также при решении задач химической кинетики, эволюции био- и экосистем [3].

Из-за отсутствия высокодобротных резонансных систем стабильность частоты автоколебаний в генераторах с диффузионными связями невысока и для ее повышения можно применять синхронизацию генераторов внешним высокостабильным сигналом. По проблеме синхронизации автоколебательных систем в настоящее время существует обширная библиография (см., например, список литературы в монографии [4]). Тем не менее, исследования по теории синхронизации ряда автогенераторов не получили должного развития. Это относится, в частности, к генератору с распределенной ЛС-линий в цепи обратной связи.

В статье [5] анализ динамики автоколебаний в генераторе с ЛС-линий предложено проводить на основе численных решений интегрального уравнения движения (ИУД) генератора. В настоящей работе интегральная модель применяется для исследования процессов синхронизации генератора внешним гармоническим сигналом.

1. Интегральное уравнение движения автогенератора с диффузионной ОС

В качестве базовой будем рассматривать структурную схему автоколебательной системы, изображенную на рис. 1. Здесь диффузионная ОС для инвертирующего безынерционного усилителя реализуется распределенной ЛС-линией.

С(и)

Рис. 1. Структурная схема автогенератора с диффузионной ОС

Передаточная характеристика операционного усилителя описывается нелинейной зависимостью его выходного напряжения иа от входного напряжения и: иа = О(и). Широко распространенная аппроксимация этой за-

Л и2 \ 2

висимости имеет вид С{и) = &ои 1--- при \и\ ^ и5 и С(м) = —

\ 3^2/ 3

при \и\ > иц.

Здесь ко — малосигнальный коэффициент усиления, ия —напряжение насыщения передаточной характеристики. В дальнейшем мы будем использовать также нормированные на величину ия напряжения: х = и/и я и ха = = иа/ия. Для них

/ Х2 \ 2 g(x) = к$х\ 1 —— при \х\ ^ 1 и g(x) = —к$§1£п(х) при \х\ > 1. (1)

3 } г ' ' 3

Помимо (1) в классической теории автоколебательных систем часто используется кубическая нелинейность

8{х) = к0х{\-^. (2)

Распределенную ДС-линию будем характеризовать постоянной времени т = ЯС12, где Д и С —погонные сопротивление и емкость, I —длина линии.

Дифференциальная модель рассматриваемого генератора имеет вид параболического уравнения

ду = Р&у

81 х д12 К'

для нормированного на ия напряжения у(Ч, г) в ДС-линии, где Ч — координата, отсчитываемая вдоль линии. К уравнению (3) добавляются нелинейные граничные условия:

ду(Ч, г)

у(0, г) = § (х(г)), х(г) = -у(1, г) + е(г),

91

= 0. (4)

1=1

Здесь е(г) = Ея(г)/ия — нормированная эдс источника сигнала синхронизации. Отметим, что последнее из условий (4) записано в приближении нулевого входного тока усилителя.

Интегральная модель генератора строится на основе импульсной характеристики ДС-линии, которая определяется как отклик напряжения на выходе линии на дельта-импульс напряжения на ее входе: Н(г) = у(1, г) при у(0, г) = 6(г). То есть она вычисляется по решению уравнения (3) с граничными условиями

ду(Ч, г)

у(0, г) = 6(г),

=0

1=1

дЧ

и нулевыми начальными условиями. Эта задача может быть решена, например, методом преобразования Лапласа. При этом мы получим системную функцию вида

2 ехр ( д[рх]

Н(р) =-)-Чг, (5)

1 + ехр (2 л/рх)

по которой обратным преобразованием вычисляется импульсная характери-

стика

СО / О О ч

т = ^-1ГСЬ + 1)е*р 6(0.

Т п=0 * Т'

Используя полученную импульсную характеристику, на основе того, что для ЛС-линии входным является сигнал g(x(t)), а выходным— у(1, г), запишем ИУД автогенератора относительно нормированной переменной х(г) :

г

х(г) = g (х(г')) Н(г - г')Л' + е(г) + X (г). (6)

о

Здесь Х(г) — переходной процесс на выходе ЛС-линии при разомкнутой цепи обратной связи. Интегральную модель ЛС-генератора (6) будем использовать для исследования режима установившихся колебаний в полосе удержания и их устойчивости.

2. Установившийся режим синхронных колебаний

Для исследования режима установившихся синхронных колебаний в уравнении (6) нижний предел интегрирования (начало отсчета времени) следует перенести в минус бесконечность и учесть затухание свободных колебаний Х(г). В результате получим ИУД

- г')йг' + е(г) (7)

х(г) = - ^ g (х(г')) Н(г - г')ё,г' + е(г)

с гармоническим внешним воздействием е(г) = Е соъ(Ш).

В гармоническом приближении решение уравнения (7) для синхронных колебаний будем искать в виде

х(г) = ^АехрО'сог) + ^А* ехр(-7'сог) = асо&(Ш + ф).

Нелинейную передаточную характеристику (1) разложим в ряд Фурье

g (а соз(сог + ф)) = ехр (Хш + ф)) + ехр + ф)) + в.г.,

в котором при дальнейшем анализе не будем учитывать высшие гармоники в.г. После подстановки этих гармонических функций в ИУД (7) и ряда преобразований получим нелинейное алгебраическое уравнение для амплитуды а и фазы ф синхронных колебаний:

а + 0\(а)И(]ы) = Е ехр(-]ф), (8)

где И(]ш) — частотная характеристика ЛС-линии.

Комплексное уравнение (8) эквивалентно системе двух действительных уравнений

a + Gi(a)K(№) cos 0(ш) = E cos ф, G\(a)K(ш) sin 0(ш) = -E sin ф.

Уравнения записаны с использованием АЧХ и ФЧХ ДС-линии: К(ш) = = |H(jw)| и 0(ш) = arg(H(^)). Исключив из системы (9) фазу ф, получим уравнение АЧХ синхронных колебаний:

a2 + 2aG1(a)K(ш) cos 0(ш) + Gl(a)K2(w) = E2. (10)

Уравнение (10) решается численно. Аналитические результаты для него удается получить лишь при малых амплитудах внешнего воздействия.

Будем считать, что е = E/ao << 1, где ao — амплитуда свободных автоколебаний, определяемая решением уравнения

ao = Gi(ao)K (шо);

Шо = 2п2/т — частота свободных автоколебаний. В этих условиях амплитуду синхронных колебаний представим в виде суммы

a = ao + Aa = ao(1 + a)

с малыми абсолютным Aa и относительным a приращениями: Aa << ao, a << 1. Будем также считать, что расстройка частот внешнего воздействия и свободных автоколебаний A = ш - Шo удовлетворяет условию

Шo

При выполнении указанных допущений уравнения (9) линеаризуются относительно приращения Aa, а уравнение (10) преобразуется в квадратное уравнение вида

(pa + к©2 + о2^2 = е2, (11)

со следующими параметрами: p = 1 - G1(ao)K^o) — прочность предельного цикла автоколебаний, к = -ШoK'(Шo)/K(Шo), о = -Шo0'(шo). Значения двух последних параметров равны: к = о ~ 1.565. Из уравнения (11) находим значение устойчивого относительного приращения амплитуды:

ра = + ^е2 - а212. (12)

На рис. 2 приведены графики зависимости pa(^) для различных значений нормированной амплитуды е внешнего воздействия.

Согласно выражению (12) устойчивые синхронные колебания наблюдаются в области синхронизации (удержания), ограниченной расстройками "%s = ±е/о. Область синхронизации (язык Арнольда) показана на рис. 3 серым цветом.

Отметим, что область синхронизации расположена симметрично относительно частоты свободных автоколебаний. Подобным свойством обладают изохронные генераторы томсоновского типа (см., например, [6]). В то же время, в отличие от изохронных томсоновских автогенераторов, зависимость a(^) не является четной функцией.

р а

0.1

0.05

-0.05

-0.1

(

0.1 0.075

е= =0.05

\\

\

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

Рис. 2. Семейство АЧХ синхронных колебаний при малых амплитудах сигнала синхронизации

3. Устойчивость режима синхронных колебаний

При исследовании устойчивости установившихся режимов синхронных колебаний будем предполагать наличие малого возмущения комплексной амплитуды внешнего воздействия:

е(г) = (Е + Д£||(0) ео8(шг) - ДЕ±(г) 8ш(шг).

Здесь ДЕ|| и ДЕ± — синфазная и квадратурная составляющие возмущения такие, что |ДЕ||(г)|, |ДЕ±(г)| << Е и ДЕ|| = ДЕ± = 0 при г < 0.

Решение ИУД (7) при наличии возмущения синхросигнала представим в виде

х(1) = ^ (а + Аа(1) + 7<7.Дф(0) ехр (Лш + ф)) + к.с.,

полагая при этом, что синфазная и квадратурная составляющие возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний малы: |Да(г)|, |аДф(г)| << а. Кроме того, естественно считать, что Да(г) = 0, Дф(г) = 0 при г < 0.

Если ввести в рассмотрение векторы возмущений ДА = (Да, аДф)т и ДЕ = = (ДЕц, ДЕ±)т, линеаризованное ИУД (7) можно записать в виде

г

ДА(г) = - ^ ДА(г')Ьм(г - г')йг' + ДЕ(г). (13)

0

В этой записи использована матричная импульсная характеристика

Ь (г) = ( (а)Ие !ехР(- №)Ь(г)} -5а(а)1ш{ехр(-./шг)Ь(г)} м() \ (а)1ш {ехр(-;шг)Ь(г)} 5а(а)Ие {ехр(-;шг)Ь(г)}

е

\У Mi III !i!Í!l!Í!Í:Í!l!l I 0.1 liliü И щ

V ■II III lililí X'¡ «lililí ■I

1 т iii !!!! ¡n¡!¡ ¡iliü ¡¡i

шя ¡!¡ ¡ÜÜ -0.07Í ■liilN

III IM lüü inin

1 liülü 11

Ji! Sfilil!; ■I 0.05 i; y

lis- ЙШЙ i y

\\

\ !. 1 1 1 / 1' i i

I-1-1-1--1-1-1-1

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

Рис. 3. Область синхронизации (язык Арнольда) при малых амплитудах сигнала синхронизации

Ее элементы содержат дифференциальную Sd(а) = dG\(a)|da и среднюю Sa(a) = Gl(a)|a крутизну передаточной характеристики усилителя по первой гармонике.

Системная функция линейного преобразования (13) возмущений комплексной амплитуды сигнала синхронизации в возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний равна

1 / 1+5а(я)ЯеО;со) со)

%(«) =

D(s; w, a) \ -S d(a)Hs(s; w) 1 + Sd(a)H(s; w)

где

Hc(s; со) = ^ [H(s + jco) + H(s - jco)], Hs(s-, со) = [H(s + jco) - H(s - jco)],

D(s; w, a) = 1 + (Sd(a) + S«(a)) Hc(s; w) + Sd(a)S«(a)H(s + jw)H(s - jw). (14)

В представленных выражениях после точки с запятой указаны параметры функциональных зависимостей.

Устойчивость синхронных колебаний относительно малых возмущений предполагает отсутствие полюсов системной функции преобразования (13) в правой полуплоскости комплексного аргумента s. В конечном счете это сводится к отсутствию в правой полуплоскости нулей функции (14). В квазигармоническом приближении, учитывая что |s| << w, функцию D(s; w, a) представим разложением в ряд Тейлора:

D(s; со, а) = со, a)s2 + D's( 0; со, a)s + D( 0; со, а).

Это разложение в совокупности с критерием Рауса—Гурвица позволяет установить, что границы областей устойчивости в пространстве параметров

(ш, а) представляют собой геометрические места точек, для которых

Я(0; ш, а) = 1 + (Б ¿(а) + Ба(а)) Яе (И(]ш)} + Б ¿(а)Б а^ЩШ2 = 0 (15)

или

(0; ш, а) = (Б ¿(а) + Ба(а)) Яе {И'(]ш)} + (16)

+2Ба(а)Ба(а)Яе {И'(;ш)И(-;ш)} = 0. ( )

Линии а = а(ш) границ областей устойчивости определяются численным решением нелинейных уравнений (15) и (16).

4. Результаты для автогенератора с кубической нелинейностью

Полученные выше соотношения, в частности, уравнения (10), (15) и (16), справедливы для безынерционной нелинейности g(x) общего вида. Для "классической" кубической нелинейности (2) эти нелинейные уравнения становятся алгебраическими, что позволяет при численном анализе синхронных колебаний использовать надежные и эффективные методы поиска корней полиномов.

Передаточной характеристике (2) соответствует амплитуда первой гармоники выходного напряжения усилителя вида

/ a2 ^ G\{a) = коа\ \ - —

При этом уравнение (10) сводится к алгебраическому уравнению р2(ш)а6 - 8р(ш) (cos 0(ш) + р(ш)) а4+

+ 16 (1 + 2р(ш) cos 0(ш) + р2(ш)) а2 = 16£2, где введено обозначение р(ш) = &0K(ш).

(17)

Амплитудно-частотные характеристики синхронных колебаний для коэффициента усиления &0 = 15 (в этом случае а0 = 0.953) при различных амплитудах внешнего воздействия, полученные путем численного решения уравнения (17), показаны на рис. 4. Характеристика 1, соответствующая амплитуде Е = 0.035 распадается на две кривые: замкнутую кривую, по форме напоминающую эллипс, и кривую резонансного типа. При увеличении амплитуды внешнего воздействия обе кривые сливаются в одну — характеристика 2 при амплитуде Е = 0.073 и характеристика 3 при амплитуде Е = 0.112. Существуют области расстроек, при которых зависимость А = А(^) является трехзначной, но устойчивым состояниям соответствует лишь одна ветвь зависимости. Как показывают исследования устойчивости синхронных колебаний, в тех случаях, когда амплитудно-частотная характеристика имеет в своем составе замкнутую кривую, устойчивые состояния расположены на верхней части кривой между точками с вертикальными

касательными. Качественно эти устойчивые ветви АЧХ полностью соответствуют малосигнальным кривым рис. 2.

С учетом того, что для нелинейности усилителя вида (2) дифференциальная и средняя крутизна его передаточной характеристики равны Б ^(а) =

Л 3а2\ / а2\

= А'о 11--— I и 5 „(а) = А'о11 —— I, уравнения границ областей устойчивости

(15) и (16) сводятся к биквадратным уравнениям. Границы областей устойчивости показаны на рис. 4 пунктирными линиями. Линия I определяется условием (15), а линия II —условием (16). Устойчивыми являются участки АЧХ, расположенные вне области, ограниченной линией I, и выше линии II.

Рис. 4. Семейство АЧХ синхронных колебаний

Заметим, что качественно форма АЧХ и расположение областей устойчивости напоминают картину синхронизации автогенератора Ван дер Поля с запаздыванием в интервале от половины до полного периода автоколебаний [7].

Заключение

Представленная методика анализа процессов синхронизации автоколебаний в дискретно-распределенном автогенераторе на основе интегрального уравнения движения системы обладает значительной степенью универсальности. Соотношения (10), (15), (16) позволяют проводить расчеты частотных характеристик синхронных колебаний автогенераторов, выполненных

на основе сосредоточенных активных элементов и сосредоточенных или распределенных в пространстве колебательных систем и цепей обратных связей. При этом передаточную характеристику (1) и системную функцию (5) следует заменить соответствующими зависимостями, выполняющимися в исследуемой системе.

Литература

[1] Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В.Капранов, В.Н.Кулешов, Г.М.Уткин. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

[2] Кабанов, Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами: Основы теории и расчета / Д.А. Кабанов - М.: Сов. радио, 1979. - 336 с. - С. 7-38.

[3] Васильев, В.А. Автоволновые процессы / В.А.Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г.Яхно. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

[4] Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А. Пиковский, М.Розенблюм, Ю.Куртс. - М.: Техносфера, 2003. -496 с.

[5] Зайцев, В.В. Моделирование автоколебаний в ^С-генераторах на основе интегральных уравнений движения / В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2006. - Т. 9. -№2. - С. 64-68.

[6] Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах /

A.Н.Малахов. - М.: Наука, 1968. - 660 с.

[7] Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием /

B.П. Рубаник. - М.: Наука, 1969. - 288 с.

Поступила в редакцию 18/УН/2008; в окончательном варианте — 18/ VII/2008.

SYNCHRONISATION OF SELF-OSCILLATOR WITH DIFFUSION FEEDBACK CIRCUIT

© 2008 S.A. Agibalov,4 V.V. Zaitsev,5 G.P.Yarovoi6

On the basis of self-oscillating systems integral equation dynamic there have been work out general correlation for the calculation frequency characteristic and synchronous oscillations sphere of stability in discretely distributed self-excited oscillators. There has been perform numerical analysis of synchronous oscillations in the distributed ^C-oscillator, wich is under the influence of external harmonic signal.

Keywords and phrases: self-oscillating systems, synchronization, synchronous oscillations, stability.

Paper received 18/V77/2008. Paper accepted 18/V77/2008.

4Agibalov Sergei Aleksandrovich, Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

5Zaitsev Valeriy Vasilievich ([email protected]), Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

6Yarovoi Gennadiy Petrovich ([email protected]), Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.