CC BY
6
В результате, если модифицированная теория, действительно верна и отлично объясняет ускоренное расши- 1. рение, наблюдаемой Вселенной, а на масштабах много меньших, ведет себя аналогично, хорошо проверенной 2. ОТО, то она может претендовать на окончательную теорию тяготения, которая полностью описывает все явления 3. и эффекты, которые возникают в нашей Вселенной в результате действия силы гравитации.
Список литературы A. Astashenok, S. Capozziello, S. Odintsov, arXiv :1412.5453 [gr-qc]
A. Astashenok, S. Capozziello, S. Odintsov, JCAP 12, 040 (2013) arXiv:1309.1978 [gr-qc]. A. Astashenok, S. Capozziello, S. Odintsov, Phys. Rev. D 89, 103509 (2014) arXiv:1401.4546 [gr-qc].
СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА МИКРОПОЛОСКО-ВОГО ВИБРАТОРА, РАСПОЛОЖЕННОГО НА КИРАЛЬНОЙ ПОДЛОЖКЕ
Клюев Дмитрий Сергеевич
Д.ф.-м.н., зав. каф. «Электродинамики и антенн», ПГУТИ, г. Самара
Нещерет Анатолий Михайлович
Аспирант кафедры «Электродинамики и антенн», ПГУТИ, г. Самара
АННОТАЦИЯ
В результате электродинамического анализа микрополосковой антенны с киральной подложкой, получено сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши, описывающее распределение тока на поверхности микропо-лоскового вибратора, численное решение которого, является математически корректной задачей.
ABSTRACT
As a result of the electrodynamic analysis of microstrip antennas with chiral substrate, the singular integral equation with the characteristic Cauchy describing the current distribution on the surface of the microstrip antenna, the numerical solution which is mathematically correct problem.
Ключевые слова: киральная среда, микрополосковая антенна, метод сингулярных интегральных уравнений.
Keywords: chiral media, microstrip antenna, method of singular integral equations.
Введение
В настоящее время особый интерес в электродинамике представляет исследование композитных искусственных сред в диапазоне СВЧ, обладающих пространственной дисперсией. Такие среды представляют собой диэлектрическую структуру с макроскопическими проводящими включениями. Важным примером такой среды является киральная среда, представляющая собой совокупность равномерно распределенных и хаотически ориентированных в изотропной диэлектрической среде проводящих элементов зеркально-ассиметричной формы [4].
Киральные среды обладают следующими электродинамическими свойствами [4]:
- Во-первых, это невозможность распространения в них электромагнитных волн с линейной поляризацией. Вместо этого возбуждаются две волны с лево-и правокруговыми поляризациями с различными фазовыми скоростями, вследствие чего нормальные волны являются гибридными, а их поля имеют все шесть составляющих векторов E и И
- Во-вторых, это изменение вида поляризации падающей волны. Например, при падении на киральную среду электромагнитной волны с перпендикулярной поляризацией, в структуре поля отраженной волны будут присутствовать кросс-поляризационные компоненты, соответствующие параллельной поляризации. Отраженные волны в общем случае будут иметь эллиптическую поляризацию. Данное явление связано с особой формой проводящих включений.
Обычно микрополосковые антенны (МПА) представляют собой подложку, выполненную из диэлектрика, на поверхности которой располагаются плоские излучатели. В статье рассматривается в качестве подложки ки-ральная структура, представляющая собой диэлектрик с включенными в него проводящими правовинтовыми спиралями.
Настоящая статья посвящена получению сингулярного интегрального представления электромагнитного поля (СИП), которое при подстановке в него граничных
условии на излучающеи поверхности переходит в сингулярное интегральное уравнение (СИУ), с помощью которого впоследствии можно корректно численно решить внутреннюю электродинамическую задачу анализа МПА с киральной подложкой.
Постановка задачи
Пусть на киральной подложке, металлизированной с одной стороны, толщиной d, расположена бесконечно тонкая, идеально проводящая и достаточно узкая (
1а П I X полоска с зазором (ширина зазора 2Ь), шириной 2а и длиной 21 (рисунок 1). К зазору приложен сторонний гармонический источник ЭДС, благодаря которому на поверхности микрополоска возникают
электрические токи, распределенные так, что создаваемое этими токами ЭМП удовлетворяет уравнениям Максвелла, условию излучения на бесконечности и граничным условиям на идеально проводящей бесконечной полоске. Предполагается, что тангенциальная составляющая напряженности стороннего электрического поля в зазоре
имеет лишь одну составляющую т 1 у > . Еще учтем, что микрополосок возбуждается таким образом, что функ-
ЦУ ( X У )
ции распределения тока на полоске у у ' является непрерывной в области зазора.
Рисунок 1. Физическая модель МПА с киральной подложкой
Матрица поврехносных импедансов
На плоскости ^ — ^ Фурье-образ ^ } тан-
генциальной составляющей напряженности электриче-
£
ского поля х и Фурье-образ
поверхностных импедансов ющим образом [1, 3]:
7 7
•^11 12
7 7
21 22
Л
Л
адмитансов
Л
Л
У ('■, ■ = 1,2) _
У У
^11 12
У У
21 22
плоскости
адмитансов
Элементы матрицы поверхностных адмитансов
г = d
определяются через матрицу входных
ГУ <2)] d
- _ г^ггяптт,г г ^ d
поверхностной
плотности тока ^ на вибраторе связаны через матрицу
г = d
плоскости ^ следу-
слой) матрицу 3]:
области
ГУ «] d
- _ области г ^ "
У = У(2) — У}1)
и (диэлектрический (киральный слой) [1,
(1)
(3)
Матрицы входных адмитансов вводятся следующим образом [1, 3]:
(1)
где 7а 1 ^'2) — элементы матрицы поверхностных им-
педансов [ 7 ] есть функции переменных " , h Фурье-про-
7 и = 7 и (Р, И) странства: ■ '.
Для определения матрицы поверхностных импе-
[7]
дансов проще сначала найти матрицу поверхностных
[У ] :
Г н<и>]
н (1'2) - У _
У( 1\\
(I'2) У<1'2)
12
У(1,2) У(1,2) 21 22
:(1,2)' :(1,2)
(4)
Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд в области г ^ d, т.е. для кирального слоя
Ег"} {я;"'Я;"'Я!"}
стеме координат: Ю
в декартовой си-
Вп
'0 _
электриче-
(2)
где ■ У'-' — элементы матрицы поверхностных
адмитансов [У ] , которые также являются функциями переменных Р и к
Так как из матричных соотношений (1) и (2) следует, что матрица [У ] есть обратная матрице [ 7 ].
где — циклическая частота,
ская постоянная, — магнитная постоянная, В1' — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; ^ - коэффициент киральности.
Заметим, что уравнения (5) справедливы только для киральной среды, состоящей из правовинтовых спиралей. Это обусловлено знаками между Е и Н в материальных уравнениях [4].
dEz dEy
dy dz
dEx dEz
dz dx
dEy dEx
= -'юц0 + к%Ех = -гюц0 ^ Hy + к%Еу = -'юц0 ^ Hz + kxEz
Эх Эу
Запишем систему уравнений для данной структуры
dHz dHy
dy dz
dHx dHz
dz dx
dHy dHx
dx dy
= fa^A + k%Hx = теое^у + куИу
= ¿юеое! + k%Hz
(5)
Таким образом, получая выражения элементов матрицы поверхностных адмитансов с помощью (3) можно найти выражения для элементов матрицы поверхностных импедансов. Ввиду громоздкости выражений для элементов матрицы поверхностных импедансов, в явном виде в данной статье оно не приводится. (6) Сингулярное интегральное представление поля
Полагая, что тангенциальная составляющая напря-
„ ^ г ±±1; - /^ч женности стороннего электрического поля имеет только
Определим • и • из решения уравнении (6) 1, , л
У2Ё + (к\^+х1)Ё-2т^1кхЙ = 0 У2Я + (Аг^ц, + Ха )Н + 2тг^хкуЁ = 0
Е(!) н«
с учетом граничных условий П^-П .Н (2)
н;1J(z=о)=о E?\zо нy2)(z^ад) =о.
I
продольную компоненту и учитывается
только продольная составляющая поверхностной плотно-
E^-i
1 (CR eXP ("^) - CL eXP (-iYLZ))
сти тока
Л
y
выражение для вектора напряженности электрического поля на вибраторе с учетом того матричного соотношения (1) переходит в скалярное:
нУх) = CR exp(-iyRz) + CL exp(-/ylz)
где
(7)
E,
(x, y, z = d) = J Jnr(x', y') ZH(x', y'; x, y) dx'dy',
(9)
где
YR = Vк2 (n + X)2 -P2 - A2 Yl = Vк2(n-x)2-P2 -h2
П
- ад ад
Zfj (x',y, x,yJ J Zjj (P,h)e-P(x-x')e_ih(y-y'^Pdh.
Zn (P, h )
(1П) при
(8)
E® h«
Затем, выражая составляющие x , x через
Е« h«
y y
Асимптотическое представление \к\
(Р,к) = _^_ | к |
(к2 (81 +82 )(^1 +^2 )"Ха2 ) (11)
Z„ (P, h)-
Из (11) следует, что интеграл по h в (10) является расходящимся. Для устранения этой расходимости, в !.((511под:тавля1(72 ,.в"олуче.нны1выраЖ!- подынтегральном выражении (10) прибавляются и вычитаются слагаемые с асимптотическим сомножителем
ния, с помощью формулы (4), получаем значения элементов матрицы входных адмитансов плоскости ^ ~ $ области ^ ^ $, т.е. для кирального слоя. Нахождение значений элементов матрицы входных адмитансов плоскости ^ _ $ области ^ ^ $ (диэлектрический слой) подробно описаны в [2].
(P, h)
Е,
для
. В результате получается следующее СИП
z = h
на плоскости
Ey (x, y, z = d) =
l ад ад
= -aJf' (y' )iiJо (Pa)
-l
Zn (P, h) Z11 (P, h)
ih
ih
e ih(y-y)dPdhdy' - - f t^Xly' n-i y'- y
(12)
C =
(ц1 + ц2)
где
(к2 (е1 +е2 )(^1 +^2 )-Ха2 )
Сингулярное интегральное уравнение с особенно- '(у'): стью Коши '
При подстановке (12) в граничное условие (
Ёх(х,у) = -ЁГ ^ хе[-а,а] у^-Ъ^ ^
чается следующее сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши относительно неизвестной функции
EСТ (X = 0, y, z = d) =
l оо да
- £ l( У)И '0 (и*)
Z„ (H,h) Z.1 (М)'
ih
ih
-ih(y у
')dpdhdy'- Cf
ТГ J
-lf '( у')
^-1 y - у
dy
(13)
где
С = -
^0 (^ +^2 )
(k2 (S1 + S2 )(W +^2 )-Xa2 )
Е°т ( у )
где У - напряженность стороннего электрического поля в зазоре. При выводе данного уравнения было поло-Х = 0
жено , так как граничное условие справедливо для
любой точки области г = d ' Х е [ а'а]' у е [ ^].
Главной особенностью СИУ (13) является то, что оно справедливо для любого способа возбуждения микро-полоскового вибратора при учете только одной составляющей поверхностной плотности тока. В зависимости от
Е =—Ест
способа возбуждения меняется только у у в ле-
вой части данного СИУ. Это обусловлено тем, что в соответствии с физической моделью излучателя, поверхностная плотность тока в области зазора остается непрерывной функцией.
Список литературы
1. Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Электродинамика анизотропных волноведущих структур. — М.: Наука, 1983. — 304 с.
2. Неганов В.А., Клюев Д.С., Соколова Ю.В. Метод расчета входного сопротивления микрополоско-вого электрического вибратора // Известия вузов. Радиофизика. 2008. Т. LI. № 12. С. 1061.
3. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полос-ково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. — М: Наука. Физматлит, 1996. — 304 с.
4. Неганов В.А., Осипов О.В. Отражающие, волнове-дущие и излучающие структуры с киральными элементами — М.: Радио и связь, 2006. — 280с.
АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА ПРОМЫШЛЕННОСТИ РЕСПУБЛИКИ
МОРДОВИЯ ПО МОДЕЛИ СОЛОУ
Панягина Инна Алексеевна
Магистрант 2 года обучения факультета математики и информационных технологий, Мордовский
Государственный Университет им. Н.П. Огарева, г. Саранск
ANALYSIS OF THE ECONOMIC GROWTH OF THE INDUSTRY OF THE REPUBLIC OF MORDOVIA ON THE SOLOW MODEL
Panyagina Inna, Undergraduate of the second year of education of the Faculty of Mathematics and Information Technologies of the Ogarev Mordovia State University, Saransk АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрена модель экономического роста Солоу. Проверяется выполнение условия равновесного роста промышленности Республики Мордовия, а также дается анализ полученных результатов и предлагаются возможные варианты приведения развития промышленной деятельности Республики Мордовия к равновесному росту ABSTRACT
The article considers the Solow economic growth model. Checks effectuation of condition of equilibrium growth of industry of the Republic of Mordovia, and provides an analysis of the results and suggests possible options for adduction of industry of the Republic of Mordovia to the equilibrium growth
Ключевые слова: Модель Солоу; производственная функция; факторы экономического роста; уровень капиталовооруженности; равновесный рост
Keywords: Solow model; production function; factors of economic growth; the level of capital intensity; the equilibrium
growth
Одной из важнейших долгосрочных целей эконо- величину совокупного продукта описывается с помощью мической политики правительства любой страны является простейшей производственной функции: стимулирование экономического роста, поддержание его _ ,
темпов на стабильном и оптимальном уровне. — ( , , ), ( )
В экономической теории разрабатываются динами- где L - производственный фактор труда, K - производ-ческие модели экономического роста, основная цель по- ственный фактор капитала, N - производственный фактор строения которых - это определение условий, необходи- земельных ресурсов.
мых для равновесного роста. [2] Модель роста Солоу базируется на производствен-
Весь созданный в экономике продукт появляется в ной функции Кобба-Дугласа, имеющейОвид: результате взаимодействия производственных факторов - Y — AKaL^, (2)
труда, капитала и земельных ресурсов. Их воздействие на
