Синергетическое управление нелинейными объектами с хаотической динамикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

3. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-ского. М.: Наука, 1987.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т 1, 2. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ

В.Б. Яковлев, Ал.А. Колесников Таганрогский государственный радиотехнический университет

Развитие современной нелинейной науки показало, что во многих сложных природных и технических системах определяющую роль играют диссипативные структуры, сопровождаемые бифуркационными и хаотическими явлениями. Хаотические режимы таких систем могут быть как нежелательными, так и требуемыми технологическими процессами. Примерами желательности хаотического поведения являются процессы в генераторах хаотических автоколебаний, технологии псевдоожижения, широко применяемые при сжигании топлива на электростанциях, сушке различных материалов, в химических процессах и др. Нежелательное хаотическое поведение объектов часто возникает в критических режимах движения, например в летательных аппаратах, энергосистемах и т.д. Новой проблеме управления хаосом уделяется нарастающее внимание в мировой научно-технической литературе, при этом в большинстве работ для управления хаосом используется идеология нечеткого управления [1-3]. В качестве базовых моделей, в которых возникает хаотическая динамика, обычно выступают модели Лоренца и Ресслера, а иногда модель Чуа и др. [4].

В статье рассматривается применение метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) для управления хаосом [5]. Этот метод основан на введении в пространстве состояний синтезируемых систем притягивающих (инвариантных) многообразий - аттракторов, на которых наилучшим образом согласуются естественные свойства (физические, химические, биологические и др.) объекта и требования задачи управления.

На примере широко известной модели Лоренца покажем применение метода АКАР для решения сложной задачи управления нелинейными объектами с хаотической динамикой. Эта модель

х{Ь) — ау — ах\

У(*) = -у + тх - хг; (1)

г(Ь) = — Ъг + ху

описывает в зависимости от значений управляющего параметра как устойчивые, так и хаотические процессы в различных физических системах [4].

Предположим, что в модель Лоренца можно ввести некоторое воздействие , например, в первое уравнение системы (1), т.е.

В общем случае и) может быть некоторым внешним воздействием. Однако более перспективным является представление и\(х,у,г) как некоторой внутренней обратной связи, которую можно дополнительно ввести с целью формирования желаемых процессов. Итак, ставится задача синтезировать такую функцию (х, у, г), которая позволяет придать новые свойства модели (2), например, обеспечить асимптотическую устойчивость стационарных состояний или наделить эту модель новыми типами аттракторов и т.д.

Поставим задачу синтеза такой функции и\(х,у,г), которая обеспечивает асимптотическую устойчивость стационарных состояний системы (2) для любых значений положительных параметров г, а, Ь. Для решения этой задачи используем метод АКАР [5], основанный на введении некоторой макропеременной (х,у,г) и обеспечении свойства асимптотической устойчивости управляемой модели (2) относительно многообразия фх — 0. Это свойство можно обеспечить путем использования, например, дифференциального уравнения вида

которое обеспечивает перевод изображающей точки системы (2), замкнутой обратной связью (5), на многообразие -01 = 0. Движение по этому многообразию описывается дифференциальными уравнениями

Введение обратной связи их (5) гарантирует асимптотическую устойчивость стационарного состояния х$ — у8 — = 0 в начале координат при любых положитель-

ных значениях параметров г, а и Ь системы.

На рис. 1 приведены результаты моделирования системы (2), (5) при а = 10; Ь — 8/3; г = 24; /3 = 2, подтверждающие теоретические положения методы АКАР.

Теперь предположим, что коэффициент /3 имеет отрицательный знак. Положив /3 = —/?<ъ запишем уравнение (6) в виде

Оказывается, что структура уравнений (7) точно совпадает со структурой базовых эволюционных уравнений синергетики. Это еще раз указывает на удивительное единство и нетривиальную внутреннюю связь между собой универсальных эволюционных уравнений синергетики и нелинейной теории самоорганизации.

і(і) = <уу — ах + и\\ уЦ) — -у + гх - хг; г(і) = — Ьг + ху.

(2)

2x^1 (0 + ■Фх = 0,

где Ту > 0 - задаваемый параметр. Введем следующую макропеременную

■фх =х+ Ру

(3)

(4)

и найдем управление

(5)

Уф(1) = ~УФ - г0УФ + гф(і) = -Ьгф-Ру^.

(6)

УФІ*) = ІРог ~ 1)УФ ~ РоУфЧ'і іф(і) = ~Ьгф + /30Уф.

(7)

2

О

1

г

2

О

Рис. 1, Фазовый портрет системы (2), (5)

В уравнениях (7) управляющим параметром является Л = {30г - 1, который при Ьо = 1 определяет величину «надкритичности» в исходной модели Лоренца. Очевидно, что при малом г, когда /?0г < 1 и А < 0, система (7) асимптотически устойчива относительно стационарного состояния уэ = — 0. При /?ог > 1 и, следователь-

но, А > 0 в системе (7) может возникнуть коллективное движение, определяемое уравнением для параметра порядка:

Из синергетики известно, что уравнение (8) имеет бифуркацию типа «вилки», которая происходит в точке А = 0. После прохождения точки бифуркации (А = 0) система (8) может равновероятно устремиться к одному из асимптотически устойчивых состояний

На рис. 2 приведены результаты моделирования системы (2), (5) при а = 10; Ь — 8/3; г = 24; /3 = -2, подтверждающие основные положения метода АКАР.

Таким образом, введение обратной связи (5) позволяет гарантировать при произвольном г > 1 асимптотическую устойчивость в целом, т.е. во всем фазовом пространстве, относительно желаемых стационарных состояний при /? > 0 или (3 < 0 соответственно. При /3 < 0 в системе (2), (5) на многообразии ф\ = 0 (4) возникают кооперативные явления с бифуркацией типа «вилки». Это означает, что обратная связь (5), введенная в модель Лоренца (2), естественным образом отражает идеологию синергетики и теории самоорганизации.

Предположим теперь, что обратную связь щ можно ввести в третье уравнение модели Лоренца:

(8)

Уз = ±-^-у/ЬХ = ±1\/б(^—Ї)

(9)

и, следовательно,

Ха = ±^/Ь(Р0Г - 1), = ^°Г

(10)

і(і) = ау — ах; у(І) = —у + гх — хг; г(і) = —Ьг + ху + и3.

(П)

Аналогично предыдущему варианту (2) введем макропеременную

Ф2 = г — 'у — г)х2

(12)

У\

Рис. 2. Фазовый портрет системы (2), (5)

и на основе уравнения

Тъ'фъ^) + тр2 — 0 (13)

получим управление

м3 = (2т)а - 1)хі/ 4- Ьг + 2г)ох2 - -^2, (14)

-*2

которое неизбежно переводит систему (11), (14) на многообразие фъ = О (12). Подставив г = 7 +т)х2 во второе уравнение системы (11), получим дифференциальные уравнения

±ф(£) = ауф — <тхф\

Уф{ї) = -Уф + гхф - (7 + т)хф)хф

(15)

которые описывают движение системы (11), (14) на многообразии гр% = 0. Свернем (15) в одно уравнение относительно хф;

^Хф(і) + ^1 + ^ = (г - 1 - 7) Хф - т}Хф.

(16)

Очевидно, что при выборе коэффициентов 7 ) Г И ^ 0 система (16) является асимптотически устойчивой относительно состояния Хф — 0. Это означает, что при выборе 7 ^ г и г) ^ 0 гарантируется асимптотическая устойчивость в целом стационарного состояния системы (11), (14):

ха = 0;уэ = 0; га = 7. (17)

Если в (17) выбрать 0 ^ 7 ^ г — 1 и 17 > 0, то возникает бифуркационная точка гс = 1 + 7, а на бифуркационной диаграмме типа «вилки» появляются две равновероятные ветви, ведущие к двум асимптотически устойчивым состояниям:

Г — 1—7 Хз = ±\ --------

» V V

Иначе говоря, в этом случае система (11), (14) имеет следующие стационарные состояния

1г — 1 — У

= ±\ ------------, 2, = г-1, (18)

асимптотически устойчивые в целом, т.е. для всего фазового пространства. Если положить в (18) коэффициенты 7 = 0; ?; = то получим стационарное состояние исходной модели Лоренца без управления.

Исследуем уравнения (15) с помощью адиабатического приближения, распространенного в синергетике [6]. Учитывая структуру второго уравнения системы (15), предположим, что через некоторое время у{Ь) и 0, тогда получим стационарное соотношение

УФ = (г~ 1)хф - Щ%-Подставив уф (19) в первое уравнение системы (15), получим

Хф(г) = <т(г - 7 - 1 )хф - аг}Хф.

Преобразуем (20) к виду

Хф(г) — ХхХф - А2Хф,

(19)

(20)

(21)

где

Ах = сг(г - 7 - 1), А2 = сгг).

(22)

Уравнение (21) представляет собой широко известное в синергетике эволюционное уравнение с бифуркацией типа «вилки» [6, 7]. Удивительно, что введение управления из (14) в исходные уравнения Лоренца (11) снова привело к известному эволюционному уравнению (21). Этот факт свидетельствует, во-первых, о естественности управления щ (14) и, во-вторых, о поразительном единстве и глубокой внутренней связи природных явлений, описываемых моделью Лоренца и другими известными эволюционными уравнениями синергетики.

В уравнении (21), как известно, возможна бифуркация при смене знака управляющего параметра Х\ (22). При этом в установившемся режиме возможны варианты состояний (17) или (18). На рис. 3 и 4 приведены результаты моделирования системы (11), (14) при а — 10; Ь ~ 8/3; г = 24; Ах > 0 и Ах < 0 соответственно, которые подтверждают изложенные теоретические положения метода АКАР. Фазовые портреты синтезированной системы были получены при <у — 10; Ь — 8/3; г = 24 и при следующих значениях управляющих параметров: Ах = Аг = 10 (рис. 3) и А] = —100; А2 = 70 (рис. 4).

Рис. 3. Фазовый портрет системы (11) с управлением (14)

Рис. 4. Фазовый портрет системы (11) с управлением (14)

Таким образом, введение обратной связи ы3 (14) в систему (11) позволяет в зависимости от выбора коэффициентов 7 и 77 обеспечить асимптотическую устойчивость стационарных состояний (17) и (18) управляемой системы (11), (14). В этой системе возникают кооперативные явления и процессы направленной самоорганизации.

Управления и\ (5) и ^3 (14) относятся к классу объективных законов управления, преобразовывающих модель Лоренца в типовые эволюционные уравнения теории самоорганизации. На основе метода АКАР можно получить аналогичные законы управления объектами, описываемыми моделями Ресслера, Чуа и др.

Итак, метод АКАР позволяет эффективно решить сложную задачу управления хаосом и синтезировать объективные законы управления нелинейными объектами с динамическим хаосом. Такие законы являются антихаотическими, т.е. упорядочивающими хаос в нелинейных динамических системах. Они формируют на инвариантных многообразиях типичные уравнения синергетики с распространенными видами бифуркаций. Это свидетельствует о естественности указанных законов, позволяющих выявить глубокую внутреннюю связь между кооперативными процессами, возникающими в нелинейных самоорганизующихся системах произвольной природы.

Проблема управления нелинейными объектами и процессами с хаотической динамикой имеет важное прикладное значение. Дело не только в борьбе с хаосом, обычно ухудшающим или даже разрушающим сложные системы. В соответствии с доктриной современной нелинейной науки хаос может играть существенную конструктивную роль и служить источником порядка. Для реализации в управляемых сложных системах идеи «порядок из хаоса» целесообразно использовать методы теории АКАР для синтеза упорядочивающих объективных законов управления соответствующими нелинейными объектами, в которых возникновение хаотических режимов на определенном интервале времени приводит к значительному улучшению показателей качества их технологических процессов.

Литература

1. Ресога L.M., Caroll T.I., Jonnson G.A., Mar D.J., Heagy J.F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems. Concepts and applications//Chaos, 1997, Vol. 7, № 4. P. 520 - 543.

2. Peng J.H., Ding E.J., Ding М., Yang W. Synchronizing hiperchaos with a csalar transmitted signal// Phys. Rev. Lett., 1996, Vol. 76, JV3 6, P. 904 - 907.

3. Tanaka K., Jkeda Т., Wang H.O. A Unified Approach to Controlling Chaos via an LMI-Based Fuzzy Control Systems Design// IEEE Trans. Circuits Syst. J., 1998, Vol. 45, № 10. P. 1021 - 1040.

4. Неймарк Ю.М., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

о. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

6. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

7. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.