CC BY
47
5. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. Москва: Энергоатомиз-дат, 1994.
РАН. Техническая кибернетика, 1993. №3.
7. Брусин В.А. Глобальная стабилизация неустойчивой нелинейной двухмассовой системы // Известия РАН. Техническая кибернетика, 1991. №4.
СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК НА ТЕЛЕЖКЕ»: НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Ал.А. Колесников Таганрогский государственный радиотехнический университет
В промышленности и технике широко распространены различные механические колебательные системы, модели которых имеют ряд отличительных особенностей с точки зрения проблем управления. В механике известны три эквивалентных способа описания движения - на основе второго закона Ньютона, уравнений Лагранжа и формализма Гамильтона. Все эти способы приводят к одинаковым результата^ путем пересчета начальных условий из одной системы координат в другие. При построении моделей механических систем на основе закона Ньютона или формализма Лагранжа образуется система дифференциальных уравнений второго порядка.
Указанные обстоятельства требуют некоторой модификации процедур метода АКАР. В этом случае функциональные уравнения целесообразно записывать также в виде системы уравнений второго порядка относительно макропеременных:
+ аи^*(*) + а2к'Фк = О, к ~ 1,2
где ш - размерность вектора управления.
В статье [2] были изложены результаты исследований по синтезу законов управления вертикальным положением маятника, расположенного на подвижной тележке, на основе линейного преобразования координат. Это позволило использовать укороченную модель системы. В результате применения метода АКАР для этой модели были синтезированы законы управления, обеспечивающие устойчивую стабилизацию маятника при максимальном угле отклонения от вертикального положения в 45 -г 50° и некотором ограничении на положение тележки.
Возникает идея поиска такого нелинейного преобразования координат, которое позволило бы расширить допустимый диапазон отклонения угла до предельного: —0,57Г < Х2 < 0,57Г и, кроме того, чтобы на положение каретки Х\ ограничений не накладывалось. Это исчерпывающим образом решает поставленную в [1] задачу управления системой «перевернутый маятник на тележке». Перейдем к рассмотрению такого преобразования координат.
Нелинейное преобразование координат
Математическая модель рассматриваемой нелинейной механической системы имеет следующий вид [1]:
±i(t) = х2\
¿2(t) - х4; x3(t)=u;
... д . 1
х4 (t) = — sin х2 - yj cos х2 ■ и,
Lj J-J
(1)
где - горизонтальное перемещение тележки; х2 - угловое отклонение маятника ха. х,1 - скорости отклонения маятника и перемещения тележки;
1
и =
М + т -
mL cos2 (х2)
i2iwT mL--^2x-— + mLx\ sin{x2) ) . (2)
Введем следующую макропеременную:
■ф = XI - pin |tg - у) - 7 У In tg (I - у)
Iit.
Тогда получим
7лл •• лл , ^(t) , №(i) + , 7*2 (*)
Mt) = xi(t)-\--------------1-------tgx2 H----------.
COS X2 COS X2 COS X2
Подставим производные xi(i) и x2(i) в (5) из исходных уравнений (1), (2), т.е.
Xi (t) = и,
.... д . 1
х2 (t) — — Sin х2 - — cos х2 • и.
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
В результате имеем
ф(і) = и +
cos х2
9 ■ 1
— sin х2 - — cos х2 • и
±J Xj
cosx2
cos x2
ИЛИ'
«() = B„ + ftgx2 + iiiffl,6xs + 2iaffl,
L' cos x2 cos x2
где В = 1 - j-j.
Образуем, согласно методу АКАР, функциональное уравнение:
+ aiij>(t) + а2ф = 0, Qi > 0, а2 > 0. Подставив xp{t) (8) в (9), найдем управление
(8)
Р9
7 tg х2
/7X2 (i)
BL' В cos х2
где F(x2{t)) = -pin
tgx2
7*г(*) _ F(x2(t)) __ Oi ■ _ 02
Bcosx2 Bcosx2 В В ’
(9)
(10)
Движение на многообразиях
В соответствии с методом АКАР управление и (10) переводит систему (6), (7) на многообразия ф = 0 (3) и ip(t) = 0 (4) из произвольных начальных условий. Движение координаты х2 на многообразиях ф = ф{€) — 0 описывается уравнениями (7), (10), т.е.
X2^(t) = ~sinx2xl, + ЩЩ5 SÍUX24, + ~±1ч,(*)ЧХ2ф + (П)
Для устойчивости решений уравнения (11) положим В = — Л < 0, тогда
Р (A+1)L, в^2 хь, 9, BL, д • ( )
С учетом (12) уравнение (11) принимает вид
X2^(t) + °1 sin Х2ф + 02*2,0 (í)tg *2^ + а3*2i>(t) = (13)
где
*=£• <“>
Уравнение (13) при ai > 0, а2 > 0, аз > 0 является асимптотически устойчивым относительно х2ф = 0 в диапазоне —0,5л- < x2x¡¡ < 0,5л\ В зависимости от величин коэффициентов ai, 02, a3 уравнение (13) может иметь различный характер переходных процессов, на который наибольшее влияние оказывает коэффициент 7.
Факт появления уравнения (13) стал результатом введения нелинейного преобразования (3), что позволило обеспечить асимптотическую устойчивость движения на многообразиях ф = 0 и = 0, а следовательно, и устойчивость исходной системы с законом управления (10). Действительно, согласно (11) угол отклонения х2 маятника от вертикальной оси при ai > 0, а2 > 0, а3 > 0 всегда стремится к нулю, что и означает стабилизацию маятника в верхнем положении. Указанное явление можно трактовать как эффект генерации внутренних стабилизирующих управлений за счет действия нелинейного преобразования координат. Необходимо подчеркнуть, что выявленное здесь необычное свойство генерации внутренних управлений является результатом действия синергетических законов управления.
Законы управления и результаты моделирования
Запишем закон управления (10), используя (12), в следующей форме:
(1 + Х)д (1 + X)L' x2(t) 7 x2(t) а\ • ч а2 , ч
« = ...-Г" tgs2 + -----^-----------gz2 + {-^- + -^ Í +^, 15
A A eos х2 Xcosx2 А Л
где
ф = х 1 + (1 + A )L' ln |tg - у) - 7 J ln |tg (| - у) | ей, (16)
^=ы,)+i2¿SrÍ2lt) ~Tln lte (í - t) I ■ (17)
Рис. 1. Фазовый портрет подсистемы маятника
-0,8 -0,4 0 0,4 0,8
Рис. 2. Фазовый портрет подсистемы тележки
*;(0. *»№. *з№> *<(0
Л ....
/ь
1
V 1
*з(0
0,6 1,2 1,8 2,1
Рис. 3. Переходные процессы
Используя выражения (1) и (2), на основе (15)—(17) найдем управление
ц — Р,х3 - тпЬх\ біп Х2 + V
о . тЬдъіп(2х2) Л, тЬсоя2^'
л ---- ¿і + I м + т----------- —- ] х
2 V
1
(1 + А)
СОЙ Х'2
(1 + А)Ь'
СОБ Х2
+“■ (І2+Х1 “г1,11“ (ї - т) I)+
+ (! + А)1/ 1„ ¡18 (Ї - 2)1 - у ||„ |іЕ (| - !) |
+ а2 [хі
ей
(18)
В (11) следует выбрать такие оц, чтобы ф(1.) имела желаемый характер изменения. Так, при апериодическом процессе
02 =
1
а і
тогда
ЗД’ а2 ^(0 = схе~‘/Ті
= Ті +72,
(19)
+ с2е
-г/г2
что обеспечивается соответствующим выбором 7\ иГ2. При отличном от (19) выборе а1, а2 возникает затухающий колебательный переходной процесс. На рис. 1 и 2 приведены результаты моделирования с законом управления (18) соответственно
8,2
4,6
О
2,6
-6,2
-1,6 -0,8 0 0,8 1,6 Рис. 5. Фазовый портрет подсистемы тележки
для подсистем маятника и тележки. На рис. 3 изображены графики переходных
процессов для хю = 0,5, х?о = —0,5.
Вместо (9) можно использовать уравнение
xj>{t) - £ (1 - р-ф2) ip(t) + ф = 0. (20)
Уравнение (20) является уравнением Ван-дер-Поля и описывает режим автоколебаний. Тогда закон управления принимает вид
„ = (ЦЧ*,gl2 + tgl2 + 2МО (1 _т#) + (21)
Л A COS Х2 A COS X'i
На рис. 4 и 5 изображены соответствующие фазовые портреты подсистем маятника и тележки. Моделирование производилось с параметрами L = 0,1; L' = 0,1; М = 1; т = 0,1; д = 9,8; Ds = 100; 7 = 1; А = 1; /? = 2; £ = 0,5.
Необходимо отметить, что законы управления ц{х\,..., ц), получаемые в результате применения синергетических методов синтеза, физически представляют собой моменты, развиваемые электрическим двигателем перемещения тележки. Зная ц{х\,... ,£4), не представляет никакого труда определить соответствующие законы замкнутого управления напряжением на входе двигателя. Для этого следует представить [i(xi,... ,х 4) как внутренние управления и затем на основе модели двигателя синтезировать соответствующие законы управления электроприводом тележки.
Таким образом, выполненные исследования по применению синергетического подхода к задаче управления неустойчивой нелинейной двухмассовой системой •«перевернутый маятник на тележке» впервые позволили исчерпывающим образом решить указанную задачу в полной нелинейной постановке.
-1,6 -0,8 0 0,8 1,6
Рис. 4. Фазовый портрет подсистемы маятника
Литература
1. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.
2. Колесников Ал.А., Кондратьев И.В. Синергетическое управление механической системой «перевернутый маятник на тележке»: линейное преобразование координат // См. наст. сб. с. 162 - 174
